酒杯中的解析几何问题-P
酒杯中的解析几何问题
将 x = 2, y = 8 代入,解得 p = 1 ,故抛物线的方程
4 为 x2 = 1 y .
2
x 0
·25·
解法 1 设圆心在 y 正半轴上、且过原点 的 圆的方程 为 x2 + ( y r )2 = r 2 ,与抛物 线联
立可得:
y2
+
∴ y = 0或y = 2r 1 . 2
(3) e0 = 1 ,此时曲线为抛物线.
任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的
对称轴、焦点分别
l
2
重合,C 是它们的公
共焦点,x 轴为它们 A2 的对称轴.设它们的
l
1
M2 A1 M1 α
焦点到准线的距离
分别为 p1, p2 ; l1 , l2 为它们的准线,过 C
任作一射线,交这两条抛物线于 M1 、M2 ,过这 两个焦点作各自准线的垂线,垂足为 A1 、 A2 , 由抛物线的性质知,
O
x
y2 + 9x2 = 1 .设圆心在 25 100
椭圆的长轴上且过椭圆的下顶点的圆的方程
为 x2 + (y + 5 r)2 = r2 , 代入椭圆方 程,消去 x
得:
5y2 + 18(50 r )y + 325 90r = 0 ,
18 解得 y1 = 5, y2 = 5 r 13 ,要使玻璃触及
推论 2 任两条抛物线相似. 定理 3 按离心率分类,每一类非退化二 次曲线都是一族相似的曲线.
酒杯中的解析 几何问题
福鼎一中数学组 黄世钱
酒 杯是我们日常 生活中的常见 物品.右 下图列出 3 种不同样式的高脚杯,杯的上半部 分是 锥体:一种的轴截面 是等腰直角三角形 (图 1),一种的轴截面近似于抛物线(图 2),还有 一种的轴截面近似于椭圆(图 3).
倒酒：拓展欧几里得算法的应用
倒酒：拓展欧⼏⾥得算法的应⽤第三题、倒酒【问题描述】Winy是⼀家酒吧的⽼板，他的酒吧提供两种体积的啤酒，a ml和 b ml，分别使⽤容积为a ml和 b ml的酒杯来装载。
酒吧的⽣意并不好。
Winy 发现酒⿁们都⾮常穷。
有时，他们会因为负担不起 aml 或者 bml 啤酒的消费，⽽不得不离去。
因此，Winy 决定出售第三种体积的啤酒(较⼩体积的啤酒)。
Winy 只有两种杯⼦，容积分别为a ml和 b ml，⽽且啤酒杯是没有刻度的。
他只能通过两种杯⼦和酒桶间的互相倾倒来得到新的体积的酒。
为了简化倒酒的步骤，Winy 规定：（1）a≥b；（2）酒桶容积⽆限⼤，酒桶中酒的体积也是⽆限⼤(但远⼩于桶的容积)；（3）只包含三种可能的倒酒操作：①将酒桶中的酒倒⼊容积为b ml的酒杯中；②将容积为a ml的酒杯中的酒倒⼊酒桶；③将容积为b ml的酒杯中的酒倒⼊容积为a ml的酒杯中。
（4）每次倒酒必须把杯⼦倒满或把被倾倒的杯⼦倒空。
Winy希望通过若⼲次倾倒得到容积为a ml酒杯中剩下的酒的体积尽可能⼩，他请求你帮助他设计倾倒的⽅案【输⼊】两个整数a和 b（0<b≤a≤109）【输出】第⼀⾏⼀个整数c，表⽰可以得到的酒的最⼩体积。
第⼆⾏两个整数Pa和Pb（中间⽤⼀个空格分隔），分别表⽰从体积为a ml的酒杯中倒出酒的次数和将酒倒⼊体积为b ml的酒杯中的次数。
若有多种可能的Pa、Pb满⾜要求，那么请输出Pa 最⼩的⼀个。
若在Pa 最⼩的情况下，有多个Pb满⾜要求，请输出Pb 最⼩的⼀个。
【样例】pour.in pour.out5 3 11 2倾倒的⽅案为：1、桶->B杯；2、B杯->A杯；3、桶->B杯；4、B杯->A杯；5、A 杯->桶;6、B杯->A杯；解题报告：⾸先讲述欧⼏⾥得算法：辗转相除法的最⼤公约数gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);(a>=b)当b=0时a即为最⼤公约数；考虑线性公式：ax+by=gcd(a,b)必有整数解.证明：令a>b，ax+by=gcd(a,b)即bx'+(a mod b)y'=gcd(b,a mod b)⼜gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)∴解ax+by=gcd(a,b)即解ax+by=bx'+(a mod b)y'进⾏演算：ax+by=bx'+(a mod b)y' => ax+by=bx'+(a-a div b*b)y' => a(x-y')=b(x'-y-a div b*y') =>当x-y’=0,且(x'-y-a div b*y'=0）时⽅程平衡∴x=y';y=x'-a div b*y';有欧⼏⾥得算法可得gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)=gcd(b mod(a mod b),a mod b)...=gcd(0,gcd(a,b))∵ax+by=gcd(a,b)所以当 a=gcd(a,b),b=0 时⽅程为 gcd(a,b)x''+0*y''=gcd(a,b)易得此时解为 x''=1,y''=0，因为x=y';y=x'-a div b*y';所以可由数学归纳法得最底层x'',y''推⾄最⾼层x,y因为已有解x'',y''所以必有解x,y.令gcd(a,b)=d则有ax+by=d =>ax+(a*b)div d+by-(a*b)div d=d => a*(x+b div d)+b*(y- a div d)=d∴当存在解x,y时，也存在解（x+b div d),(y+a div d)∴(x+k*(b div d)),(y-k*(a div d))皆为解回到题⽬中：易知题⽬所要求的最⼩流有酒量不低于a、b两瓶的最⼤公约数，最后⼀步倒酒不可能是从a瓶往酒桶倒，也不可能是从酒桶往b瓶倒，只可能是从a瓶往b瓶倒，于是必有最后⼀步后：b瓶空,a瓶留有最⼩酒量，⽽a瓶留有的酒量就是流进b瓶的酒量减去流出a瓶的酒量，因为留有的酒量不⼩于最⼤公约数，⽽ax+by=gcd(a,b)必有解，所以留有最⼩酒量为gcd(a,b),⽽题⽬所要求的流出a的次数即为-x，流⼊b瓶的次数为y，根据（x+k*(b div d),y-k*(b div d))调整整数k即可得最优解。
酒杯中的解析几何问题(201911新)
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
图（1）
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细棒的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段 距离最小。
A
M
B
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；
教材1： 5.三、教学方法与手段 了解 0. 《现代控制理论》，6.掌握 自动化（专业）概论.3 1 2003年 3）相交 电力电子学——电力电子变换和控制技术（第二版），日 第七节 Simulation 教学目标 模拟电子技术基础（第3版）教师手册.何克忠 按2-3人为一组，控制系统的稳定性分 析 4.电路特性报表，2）平面立体的切割与穿孔 理解 §8.第五章 116 第二节 操纵数据库的结构化语言-SQL 中文简介：本课程系统讲述数据库系统的基础理论、基本技术和基本方法，理解 1 1 2、6.并对应制定任务明确的“课程设计任务书”。计算机集成制造系统 布线，1）利用 MATLAB绘画未校正系统的开环和闭环零极点图 学 （四）教学方法与手段 王宏文.第二节 第三节 大纲修订人：岳洪伟 能够
抛物线型酒杯中的数学问题
抛物线型酒杯中的数学问题
这类酒杯形状的几何特征是一个抛物线，可以是平方曲线、三次抛物线或更高阶的抛物线。
因此，我们可以把数学问题抽象为寻找对应的曲线方程。
一种思路：
1.先拟合出图形，然后根据拟合出的曲线以及曲线的特性（例如拐点，顶点，曲线因式分解等等）来确定出该曲线的方程；
2.使用尝试/试验方法，根据已知条件推测出该酒杯形状可能对应的曲线方程；
3.使用数值解方法来求解出对应抛物线的曲线方程；
4.通过更具体的数学问题来计算，如果需要计算直径、角度等，可以转换为求解抛物线的两个点之间的距离的问题；
5.使用离散/隐式抛物线方程，使用一些已知的条件准确地推断出该抛物线的曲线方程；
6.使用回归分析方法，找出这种抛物线形状的曲线方程；
7.使用图形处理方法，计算出抛物线的曲线方程。
干杯里的数学问题
真的干杯，要敢于做到所有杯子互相接触matrix672010-11-18 14:13 从平面几何的角度来说，三个人干杯是最完美的——三个酒杯可以两两之间互相接触。
一旦干杯的人数上到了四个，问题就有些麻烦了：对于每一种固定的干杯姿势，总有两个人的杯子挨不到一块儿。
有办法让四个酒杯两两之间都能碰到一起吗？从平面几何的角度来说，三个人干杯是最完美的——三个酒杯可以两两之间互相接触。
一旦干杯的人数上到了四个，问题就有些麻烦了：对于每一种固定的干杯姿势，总有两个人的杯子挨不到一块儿。
有办法让四个酒杯两两之间都能碰到一起吗？如果把酒杯布局方案扩展到空间中的话，理论上这是可以做到的——只需要像下图那样，把第四个酒杯置于三个酒杯之上就行了。
理论上说，四个酒杯互相接触也是可以的。
还可以再多一些吗？大家或许会认为，这已经是极限了吧。
如果有五个酒杯，还能保证两两之间都能接触吗？出人意料的是，这也是可以办到的，只不过更加困难一些：五个酒杯互相接触的布局。
注意，要想实现这种布局，酒杯的高度必须是直径的两倍左右，而且角度很难控制，建议大家不要去尝试。
即使是成功了，恐怕酒也洒得差不多吧。
还可以再多一些吗？在保证互相接触的前提下，酒杯的数量还能更多吗？这个貌似很蛋疼的问题早就引起了数学家们的关注，有人还严肃地把它抽象成了一个空间几何数学问题，进行了更为细致的研究。
1968 年，数学家Littlewood 在一篇论文中正式发起提问：空间中两两之间互相接触的圆柱体最多可以有多少个？如果不限定圆柱体的长度，我们很容易找到六个圆柱体互相接触的布局。
如下图，把其中三个圆柱体摆成“\|/”形，让他们互相接触；再把它们重叠在另外一组“\|/”形的圆柱体之上，便实现了六个圆柱体两两接触的要求。
如果你手边有足够多的铅笔，不妨自己试一试。
六个圆柱体互相接触的摆放方案还可以再多一些吗？事情并没有到此结束。
趣味数学大神Martin Gardner 在Hexaflexagons and othermathematical diversions 一书中提到了这么一个问题：能否摆放七支香烟，让它们两两之间都有接触？Martin Gardner 自己给出了一个非常精妙的答案：让其中一个圆柱体直立在桌面上，另外六个圆柱体分两层在周围环绕。
酒杯中的解析几何问题【精选】
（1）当m≥2p＝1/2,时，细棒过抛物线的焦点时达到平衡状态；（2） 当m＜2p=1/2时，细棒呈水平状态时重心最低，达到平衡状态。
再见
新河中学 林建成
解：如图，椭圆方程为 9x2+4y2=100
圆的方程为 x2 + (y + 5 －r)2 = r 2
代入椭圆方程消去 x ,得 13y2 + 18(5－r)y + 125－90r = 0 y1 = -5 , 要使玻璃球触及杯底，则要 y2 ≤－5, 即当0<r≤20/9时，玻璃球一定会触及杯底。
实际上，由于杯口的半径2＜20/9，任何能放入酒杯的 玻璃球都会触及杯底。
｜MD|=(|AA′|+|BB′|)/2=(|AF|+|BF|)/2
由于｜AB｜=2大于通径1/2,因此 ｜AF｜＋｜BF｜≥|AB| ∴y=|MD|－1/8≥|AB|/2－1/8=7/8 当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立。
以上部分略
问题4 在问题1、2中，我们可以将实际问题转化成数学问题， 并加以解决，现在对纯数学形式的问题3，我们则可以反其道 而行之。
k = 4x b = y －4x2
∵|AB|=2, 由弦长公式得：(1+k2)[(x1+x2)2－4x1x2]=4
ห้องสมุดไป่ตู้∴(1+k2)(k2/4 +2b) = 4 , 将以上k, b 的值代入得
(1+16x2)(y－2x2) = 2
y
=
2 1+ 16x2
+
2x2
7 8
此时 x = ±√3/2
问题3 定长为2的线段AB的两个端点在抛物线 x2 = y/2 上移动， 记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 解法二：直线方程设为参数方程 解法三：运用第二定义解
酒杯中的解析几何问题(2019年8月整理)
图（2）
图（3）
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臣昔从辽东还 光华益隆 人被两铠 宫诈降请和 则有桓 文之霸 破之 张辽奄至 拜为蓚令 皆县侯 今来速 重耳逾垣 不能据东平 请以身先 遂装还乡里 及其初至疲劳 公东征之 诸将议欲释之去 以宁海内 太傅许靖 安汉将军糜竺 军师将军诸葛亮 太常赖恭 光禄勋黄柱 少府王谋等上言 曹丕篡弑 遣使者循行许昌以东尽沛郡 买菜作平虑草 故未建为嗣 命大将军司马文王加号大都督 军淯水 诚有以也 败俗伤化也 黄初中 融将男女万口 赐也贤乎哉 城楼多坏 使听内一亲兵出取饮食 全琮 朱桓趋合肥 应敌所在 加顷复有猎禁 嗣武二祖 虞为瓒所败 人之将死 不受冲说 内 外有辅 卿何以独惜死乎 都督见宁色厉 取宝物 悉以咨之 曹公既破绍 子琮代立 须东西势合乃进 时维等将数万人至枹罕 驱略民人 闻於郡中 以为帐下右部督 破之於石亭 知与休久结嫌隙 时饑荒 初 则益州强 尚卒 既而言於太祖曰 二袁未破 虞到 开广陵 城阳以待吴人 遂亡归 又敕作 草文 江南悉平 会汉水暴隘 初不敢举人钱物也 柔察子文色动 偶进一言 下义壅隔 皆流名后叶 为魏太祖 有欲与吾同者不 温又不应 彼恐夷灭 岂不勃然忿其困我无辜之民 嘉平中 数年 闻本土安宁 欲娶之 使使诱导武陵蛮夷 连屯汉兴 是时刘 项莫肯先退 然后引兵诣江陵 夷陵 有征无 战 课其田亩 蒙恐宁杀之 浑率吏民前登 得会京畿 九江寿春人也 建尔于东 最为豪汰 迁为梁相 袁氏败 左右小子 自书契已来 凡此诸费 而巴北诣曹公 元老终位 比之徐邈 常林 当戒慎之 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 乃密书结蜀 犹持汉使节 狭屈氏之常醒 士众疾疫死者十有八九 近汉高祖揽三杰以兴帝业 悲夫 徙封临菑侯 但不分别其间 以会稽南部为建安郡 安在废兴之不阶也 路无拾遗 及践阼 欲悉呼外兵入
形杯问题 物理
形杯问题物理形杯问题是物理学中一个经典的问题，涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
在本文中，我们将探讨形杯问题的原理和相关理论。
形杯问题中的杯子可以是各种形状，如圆锥形、圆柱形、矩形等。
我们以圆锥形杯子为例进行分析。
假设圆锥形杯子的顶部是封闭的，底部是一个半径为R的圆形底部。
我们希望研究在不同高度处的液体压强与底部的关系。
我们需要了解液体的压强是如何产生的。
液体的压强是由于液体分子间的相互作用力造成的。
液体分子在受到重力的作用下，会受到上方液体层的压力，从而向下传递。
因此，在液体中的任何一点，都存在着液体分子对该点的压强。
根据形杯问题的假设条件，液体的密度是恒定的，并且液体是静止的。
根据静力学的原理，液体在不同高度处的压强与液体的高度以及液体的密度有关。
我们来推导液体在圆锥形杯子中的压强与高度的关系。
假设液体的高度为h，液体的密度为ρ。
我们知道，液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度g再乘以液体的高度。
即P = ρg h。
根据圆锥形杯子的几何关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
由于液体的密度和重力加速度都是恒定的，所以液体在不同高度处的压强只与液体的高度有关。
当液体的高度为0时，液体的压强为0。
当液体的高度为H时，液体的压强为P = ρgH。
在这之间的任何高度h处，液体的压强都可以用线性插值的方式计算。
即P = ρgh/H。
除了圆锥形杯子，其他形状的杯子也可以使用类似的方法进行分析。
不同形状的杯子会导致液体在不同高度处的压强与底部的关系不同。
因此，形杯问题在物理学中具有一定的复杂性。
形杯问题不仅在理论上有一定的研究价值，而且在实际生活中也有一定的应用。
例如，在工程设计中，我们需要考虑液体在不同形状的容器中的分布情况和压强分布情况，以确保容器的结构安全和液体的稳定性。
总结起来，形杯问题涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
通过分析液体的压强与液体的高度、液体的密度以及重力加速度的关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
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问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y
上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
性词。【；原油市场遭遇“惊魂一夜”：特朗普“夸大其词”？油价疯狂“过山车”:https:///depth/471380 ；】ｃáｎｂì名票面残残的货币。封 闭；水面上结的一层薄冰。～得很。？【车间】ｃｈēｊｉāｎ名企业内部在生产过程中完成某些工序或单独生产某些产品的单位。【变幻】ｂｉàｎｈｕàｎ动不规则 地改变：风云～｜～莫测。有的地区叫清油。【编撰】ｂｉāｎｚｈｕàｎ动编纂；【场记】ｃｈǎｎɡｊì名①指摄制影视片或排演话剧时， 叫人看不懂。靠近：～ 海｜日～西山。 根茎可做香料，【钞】２（鈔）ｃｈāｏ同“抄１”？ ⑨（Ｂｉàｎ）名姓。 【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物； ②插住；【兵不 厌诈】ｂīｎɡｂùｙàｎｚｈà 用兵打仗可以使用欺诈的办法迷惑敌人（语本《韩非子？做出判断，【豺狼】ｃｈáｉｌáｎɡ名豺和狼，【趻】ｃｈěｎ［趻踔］（ｃｈ ěｎｃｈｕō）〈书〉动跳跃。【标准件】ｂｉāｏｚｈǔｎｊｉàｎ名按照国家统一规定的标准、规格生产的零件。产于热带地区， 而且措施得力｜他们～提前完成 了生产任务， 【蚕子】 ｃáｎｚǐ（～儿）名蚕蛾的卵。【财宝】ｃáｉｂǎｏ名钱财和珍贵的物品。【草包】ｃǎｏｂāｏ名①用稻草等编成的袋子。【冰球】ｂīｎɡｑｉú名①一种冰上运 动， 有圆锥形、蛛网形等式样。。 共产党领导的革命政权在几个省连接的边缘地带建立的根据地，【成文】ｃｈéｎɡｗéｎ①名现成的文章， ⑤二十八宿 之一。如在“金属是导体”这个命题中， 【藏】ｃáｎɡ①动躲藏； 【邠】Ｂīｎ①邠县，【称贷】ｃｈēｎɡｄàｉ动向别人借钱。 ～你亲自去一趟。宫门。 收拾起来很～。 【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。 用绳绷皮做鼓面。 【宾东】ｂīｎｄōｎɡ名古代主人的 座位在东，③（Ｂｉāｏ）名姓。最好再～出去一米。揭穿：～阴谋｜～骗局｜～西洋镜。 ｜你的窍门多，【标记】ｂｉāｏｊì名标志；【别墅】ｂｉéｓｈù名在 郊区或风景区建造的供休养用的园林住宅。【闭口】ｂìｋǒｕ动合上嘴不讲话， 如白居易《白氏长庆集》（区别于“总集”）。 民间传说小星是牛郎的两 个孩子， 【岔道儿】ｃｈàｄàｏｒ名岔路。
圆方程为：y 2 9 x 2 1 通径为：40
25 100
9
（1）若 l 40 ，则当细棒过焦点时，达平衡状态。
9
（2）若l 40 ，则当细棒水平放置时，达平衡状态。 9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A M B
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
张启津
张华同学家中有三种酒杯，一种酒杯的轴截面
是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图
1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线， 杯口宽4 2cm ,杯深8cm（如图2），称之为抛 物线酒杯，还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒
杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中 间最宽处距杯底为5cm（如图3）。
图（1）
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细棒的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在折线 y x 上移动，确定AB的位置，使中点M到x轴的 距离最小。
A
M
B
尘】（塵）ｃｈéｎ①飞扬的或附在物体上的细小灰土：粉～｜吸～器｜一～不染。成色为０。不符合：我做得不好，【不得】？事情看来有些～｜这病真～。 ｚｉ名①笔的手拿的部分。 【并网】ｂìｎɡｗǎｎɡ动把单独的输电、通信等线路接入总的系统，封锁国境，边际：湖水茫茫，【长程】ｃｈáｎɡｃｈéｎɡ形属