图论及应用考试复习总结.讲义
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
(完整版)图论复习提纲
复习课件 数学科学学院
1
本次课主要内容 期末复习
(一)、重点概念 (二)、重要结论 (三)、应用
2
(一)、重点概念
1、图、简单图、图的同构与自同构、度序列与图序列、 补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；
(1) 图：一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中： 1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。
G1 G2
例1 指出4个顶点的非同构的所有简单图。 分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
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(6) 补图与自补图
1) 对于一个简单图G =（V, E），令集合 E1 uv u v,u,vV
则图H =（V，E1\E）称为G的补图，记为 H G
2) 对于一个简单图G =（V, E），若 G G ，称G为自补图。
(5) 根树
一棵非平凡的有向树T，如果恰有一个顶点的入度为0，而其余所有顶 点的入度为1，这样的的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根， 出度为0的点称为树叶，入度为1，出度大于1的点称为内点。又将内点 和树根统称为分支点。
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(6) 完全m元树
对于根树T，若每个分支点至多m个儿子，称该根树为m元根树； 若每个分支点恰有m个儿子，称它为完全m元树。
(2) 森林
称无圈图G为森林。
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(3) 生成树
图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T 为森林，称它为G的一个生成森林。
生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。
(4) 最小生成树
在连通边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称 为最小生成树或最小代价树。
离散数学第8章 图论及其应用
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第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
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第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
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第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
图论及其应用PPT课件
图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
-29-
图论及其应用第一章
v1
(i=1,2,3,4,5,6)下是同构的。
x1
y1
v6
y3
x2
v2
x3
y2
v4
v3
-31-v5
图论及其应用第一章 画出所有的阶数不大于4，大小为3的所有非同构 简单图：
-32-
图论及其应用第一章 画出阶数为5大小为3的所有非同构简单图
G1
G2
G3
G4
-33-
图论及其应用第一章
无标号的图 注：判断两个图是否同构目前没有好算法。
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
-2-
图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
图论概念定理知识点梳理
图论基本知识点梳理第一部分(基本概念)1.G连通的充分必要条件是(G) = 1 o或若|V(G) |=2k，且对—v V(G)，有d(v) _ k，则G是连通图。
4•图G为二分图当且仅当G中无奇圈。
5•在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。
6•设G为简单图，若、；(G) _ 2，则G中有圈。
7.设G为简单图，若「.(G) 一3，则G中有偶圈。
具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。
⑵在k -正则图G中，若k _3，则G中有偶圈。
8•简单图G与其补图G c不能都不连通。
29•在."■：的三角剖分中，正常三角形为奇数个。
10•以下等价(1) G是树(无圈连通图)° (2) G中任两顶点间恰有一条轨。
⑶G 无圈，=■…1。
(4) G是连通图，；-、•-1 ° (5) G是连通图，且对G的任意边e, G -e不连通。
(树每边皆割边)(6) G无圈，且对任一不在E(G)的边e, G e恰含一个圈。
11. 若G连通，则；(G) (G)-1。
G的生成树是G最小的连通生成子图。
12. G是连通图的充分必要条件是G有生成树。
13. > - 2的树T至少有两个叶。
14. 完全图K n的生成树个数・(K n)二n n°。
15. 图G可平面嵌入的充分必要条件是G可以球面嵌入。
(染地球上各国等价于染地图上各国)16. (Euler公式) G是连通平面图，贝X - ；「- 2.17. 证明：若G是、-3的连通平面图，则；乞3 -6。
18. 证明：平面图G的最小顶点次数5。
19 -3平面图G是极大平面图的充要条件是G的平面嵌入的每个面皆三角形。
' -3平面图G是极大平面图的充要条件是；=3二-6。
20 G是平面图当且仅当G中不含与K5和K3,3同胚的子图。
21 M是图G的最大匹配当且仅当G中无M的可增广轨。
22婚配定理：设G是具有二分类(X,Y)的偶图，存在把X中顶点皆许配的匹配的充要条件是-s X,|N(S)|」S|,其中N(S)是S中每个顶点的邻点组成的所谓S的邻集推论：k -正则二分图有完美匹配，k .0。
离散数学(图论)课后总结
第八章图论例1、下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列?如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图?a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) d) (1,1,1,1,4) e) (1,2, 2,4,5)解:a)不是, 因为有三个数字是奇数. b) c) d)是.e) 不是简单图,因为它有5个结点, 有一个结点度为5, 必然有环或平行边.例2、已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点的度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么?解:已知边数|E|=10, ∑deg(v)=2|E|=20其中有4个3度结点, 余下结点度之和为: 20-3×4=8 因为G是简单图, 其余每个结点度数≤2, 所以至少还有4个结点.所以G中至少有8个结点.强连通、单侧连通和弱连通在简单有向图G中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通.在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图. 具有弱连通的最大子图,称为弱分图.注：我每次都会被各种分图弄糊涂！！考试时要注意啊，千万不要错了利用可达性矩阵求强分图，注意初等矩阵变换的知识不要忘了！！令图G=<V,E,W>, 集合Si V Si’=V-Si , 令|V|=nSi={u|从u0到u的最短路已求出}Si’={u’|从u0到u’的最短路未求出}Dijkstra算法:(求从u0到各点u的最短路长)第一步. 置初值: d(u0,u0)=0 d(u0,v)=∞(其中v≠u0)i=0 S0={u0} S0’=V-S0 ,第二步.若i=n-1 则停. 否则转第三步第三步. 对每个u’∈Si’计算d(u0,u’)=min{d(u0,u’), d(u0,ui)+c(ui,u’)} ui ∈Si计算min{d(u0,u’)}u’∈S i’并用ui+1记下达到该最小值的那个结点u’置Si+1 =Si∪{ui+1} i=i+1 Si’=V-Si , 转第二步.例3、求最短路解：例.求右图中从v1到v6的最短路1.置初值: u0=v1d(u0,u0)=0d(u0,v2)=d(u0,v3)=d(u0,v4)=d(u0,v5)=d(u0,v6)=∞2.3. i=0 S0={v1} S0’={v2,v3,v4,v5,v6}d(u0,v2)=min{d(u0,v2), d(u0,u0)+c(u0,v2)}=min{∞,0+3}=3d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u0)+c(u0,v3)}=min{∞,0+∞}=∞d(u0,v4)=min{d(u0,v4), d(u0,u0)+c(u0,v4)}=min{∞,0+5}=5d(u0,v5)=min{d(u0,v5),d(u0,u0)+c(u0,v5)}=min{∞,0+∞}=∞d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u0)+c(u0,v6)}=min{∞,0+∞}=∞min{3,∞,5, ∞,∞}=3ui+1 =u1=v2 , 实际已求出d(u0,v2)=3, 路是u0v2i=1 S1={v1, v2}S1’={v3,v4,v5,v6}u1=v2d(u0,u1)=3d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u1)+c(u1,v3)}=min{∞,3+6}=9d(u0,v4)=min{d(u0,v4), d(u0,u1)+c(u1,v4)}=min{5,3+1}=4d(u0,v5)=min{d(u0,v5),d(u0,u1)+c(u1,v5)}=min{∞,3+∞}=∞d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u1)+c(u1,v6)}=min{∞,3+∞}=∞min{9,4,∞,∞}=4ui+1 =u2=v4 , 实际已求出d(u0,v4)=4, 路是u0v2v4i=2 S2={v1, v2 ,v4}S2’={v3,v5,v6}u2=v4d(u0,u2)=4d(u0,v3)=min{d(u0,v3), d(u0,u2)+c(u2,v3)}=min{9 ,4+3}=7d(u0,v5)=min{d(u0,v5), d(u0,u2)+c(u2,v5)}=min{∞,4+1}=5d(u0,v6)=min{d(u0,v6), d(u0,u2)+c(u2,v6)}=min{∞,4+∞}=∞min{7,5,∞}=5ui+1 =u3=v5 , 实际已求出d(u0,v5)=5, 路是u0v2v4 v5i=3 S3={v1, v2 ,v4 ,v5}S3’={v3,v6}u3=v5d(u0,u3)=5d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u3)+c(u3,v3)}=min{7 ,5+3}=7d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u3)+c(u3,v6)}=min{∞,5+6}=11 min{7,11}=7ui+1 =u4=v3 , 实际已求出d(u0,v3)=7, 路是u0v2v4 v3i=4 S3={v1, v2 ,v4 ,v5, v3} S3’={v6} u4=v3 d(u0,u4)=7 d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u4)+c(u4,v6)}=min{11,7+3}=10min{10}=10ui+1 =u5=v6 , 实际已求出d(u0,v6)=10, 路是u0v2v4 v3 v6i=5 (n-1) 时算法停止.例4、求关键路径。
图论 期末复习
图论及其应用总复习第1章图的基本概念•§1.1 图论发展史•§1.2 图的定义•§1.3 顶点的度•§1.4 子图与图的运算•§1.5一些特殊的图•§1.6 图的矩阵表示•§1.7 有向图1、图的定义图--图G=<V(G)，E(G)，ψ)>是有序三元组，其中V(G)是一个非空有限集合，E(G)与是V(G)不相交的有限集合，ψ)使E(G)中每一个元素对应于V(G)中的一个无序元素对.顶点--V(G)中的元素称为G的顶点，p(G)=|V(G)|称为G的点数.边--E(G)中的元素称为G的边，q(G)=|E(G)|称为G的边数.环--两个端点重合为一个顶点的边。
重边（平行边)--关联于同一对顶点的若干条边。
关联--如果ψ)e =uv ，则称边e 连接顶点u 和v ，u 和v 是e 的端点，u (或v )与e 关联。
相邻--点的相邻：两点间有边边的相邻：两条边有公共端点简单图--不含环和重边的图.有限图--一个图的顶点集和边集都是有限集的图.平凡图--只有一个顶点所构成的图称为平凡图.2、图的同构3、顶点的度最大度Δ(G)=max{d(v)|v∈V}最小度δ(G)=min{d(v)|v∈V}孤立顶点--度为0的顶点。
k-正则图--如果一个图中每个顶点的度是某一个固定整数k，则称该图是k-正则图。
握手定理顶点的度序列4、子图完全图--若图G 中的每一对不同顶点之间恰有一条边连接，则称图G 为完全图，记作K ;.4K 5K 3K 2K 1K 5、特殊图二分图−−G=(V>,V@;E)通常写出G=(X,Y;E),即它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中。
完全二分图--是指具有二分类（X,Y）的简单二部图，其中X 的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=p，|Y|=q，则这样的偶图记为K p,q.关联矩阵设图G=(V,E),V=v>,v@,⋯,v;,E=e>,e@,⋯,e G，则称B(G)=(b JK);×G为G的关联矩阵，其中b JK=0v J与e K不关联1v J与e K关联1次2v J与e K关联2次(即e K是以v J为端点的环)6、矩阵表示邻接矩阵设图G=(V,E),V=v>,v@,⋯,v;,用a JK表示G中顶点v J与v K之间的边数，则称M(G)=(a JK);×;为G的邻接矩阵。
图论总结（超强大）
图论总结（超强⼤）1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与⽹络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表⽰Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表⽰Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求⽆向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.⼴度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.⽆向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.⽆权图Unweighted2.Hamiltonian Cycle 哈⽒路径与回路1.5.2.1.⽆权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅⾏商问题The travelling salesman problem1.6.⽹络优化Network optimization1.6.1.最⼩⽣成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制⽣成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k⼩⽣成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应⽤Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints2.1.2.2. .......................... 有向⽆环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.⽹络流Flow network1.6.3.1.最⼤流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method 1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最⼩费⽤流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最⼩费⽤路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle2.3.⽹络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.⼆分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.⽆权图-匈⽛利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.⼀般图General Graph1.6.4.2.1.⽆权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与⽹络Graph and Network⼆元组(),V E称为图(graph)。
图论及其应用 第一章答案
)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。
证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。
<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。
求证G 为连通图。
证明：反证法，假设G 为非连通图。
设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。
<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。
其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。
证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。
证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。
<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。
图论及应用习题答案
图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。
本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。
1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。
图的基本概念包括顶点、边和路径。
线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。
2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。
图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。
二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。
3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。
图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。
迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。
4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。
最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。
克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。
5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。
图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。
数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。
总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。
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情形1：假如28在C中，则39，34在C中,从而7(10), 8(10) 在C中
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。
情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39, 79在C 中.
5 6 1 1 7 8 9 3 彼得森图 2 彼得森图 9 3 10
5 6 1 7 8 2 彼得森图 9 3 10
4
证明： (1) 证明彼得森图是非H图。
若不然，设C是G的H圈。 对于边12, 17,15来说，必然有两条边在C中。不失一般性， 假定17,12在C中，那么，56，54也必然在C中。
5
6 1
7 8 2 9 3 10
4
彼得森图
又对于边28，23来说，在前面情况下，必有一条在C中。 分两种情形讨论。
图论及其应用
任课教师：杨春 Email: yc517922@ 应用数学学院
本次课主要内容
超哈密尔顿图问题
(一)、超H图与超H迹 (二)、E图和H图的关系
(一)、超H图与超H迹
定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是 H图，则称G是超H图。 定理1 彼得森图是超H图。
5
6 4 10
4
7
8 2
但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。 上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。
(2) 证明对任意点v，G-v是H图。 由对称性，只需考虑下面两种情形: (a) G-1,（b）G-6
5 6 5
4
1
4
7
8 2 G-1 9
10
7
8 9
10
3
2 G-6
3
(a) G-1中有H圈：54328(10)7965 (b) G-6中有H圈：54397(10)8215
2、泰特猜想：任何3连通3正则可平面图是H图。
泰特猜想也是错误的。托特1946年构图否定了泰特猜想。
46个点的托特图
Lederberg等构造了最小的3连通3正则图非H图，有38个 点。
如果泰特猜想正确，4色定理可得到证明。 托特(1917---2002) 英国著名数学家。1935年，入剑桥三 一学院学习化学，并攻读了化学研究生，撰写了2篇化学 论文。但是，他的兴趣是数学。在剑桥，他结识了3位数 学专业的本科学生并成为终身朋友，合作发表数学论文。 二战后，托特回到剑桥攻读数学研究生。研究生期间，发 表了关于图的因子分解论文。在他的数学博士论文中，复 兴了拟阵理论(惠特尼引入的).1948年博士毕业后，受20世 纪伟大的几何学家Coxeter邀请前往多伦多大学任教，成 为组合数学杰出学者。5年后到滑铁卢大学工作直到1984 年退休。 托特是20世纪伟大的数学家之一，在近代数学史上占有 一定的地位。主要功绩是提出并证明了图的完美匹配定理。
由(1)与(2)，G是超H图。
定义2 若G中没有H路，但是对G中任意点v，G-v存在 H路，则称G是超可迹的。
数学家加莱曾经猜想：不存在超可迹的图。但该猜想被 Horton和Thomassen以构图的方式否定了。 定理2 Thomassen图是超可迹图。
f c Ⅰ e d
Ⅱ
b Ⅲ
a Ⅳ
Thom路；(2) 证 明对G中任意点v，有G-v存在H路。
f c
(1) 证明G中不存在H路。 如图所示，将G用虚线分成对称 的4部分：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 。
Ⅱ e d
Ⅰ
b Ⅲ
a Ⅳ
假设G有H路P,设该路的起点为α ， 终点为β 。
不失一般性，设α∈ Ⅰ∪｛a｝。
Ⅰ e d
b
a Ⅳ
Thomassen图
综合上面的论述：得G中没有H路。 (2) 证明对G中任意点v，有G-v存在H路。 由对称性：我们取b和Ⅲ中顶点逐一分析即可。例如：
f c
Ⅱ e d
Ⅰ
b Ⅲ
a Ⅳ
Thomassen图
综上所述：得Thomassen图是超可迹图。
关于H图的一些猜想
1、加莱猜想：不存在超可迹的图。
Ⅱ e d Ⅰ
b
a Ⅳ
Ⅲ
Thomassen图
(2) 没有遍历完Ⅰ ∪｛a｝ 中的顶点，假若从c进入Ⅱ， 那么，必须遍历完Ⅱ ∪ ｛b｝ 的所有顶点后，才能从e进 入Ⅰ。但这也会与断言1产生矛盾。
由前面假设：α∈ Ⅰ∪｛a｝。 情形1：α = a 我们沿着P作如下的行进： (1) 假设是由a进入Ⅰ，要能够走 完P,必须遍历Ⅰ∪Ⅱ 的所有顶点后 由b进入Ⅲ，但这与断言2矛盾！ (2) 假设是由a进入Ⅳ，要能够走 完P,必须遍历Ⅲ∪Ⅳ 的所有顶点后 由b进入Ⅱ，但这也与断言2矛盾！ 所以，情形1不能成立！
Ⅱ
f
c
Ⅰ e d
b
a Ⅳ
Ⅲ
Thomassen图
情形2：α ≠ a 我们沿着P作如下的行进：
f c
(1) 假设是由α 遍历了Ⅰ∪Ⅱ ∪｛b｝ Ⅱ 所有顶点从a进入Ⅳ，这与断言2矛盾！ 同样，假设是由α遍历了Ⅰ∪Ⅱ ∪｛a｝ 所有顶点从b进入Ⅳ，这也与断言2矛盾！ Ⅲ
(2) 假设是由α 开始，没有遍历Ⅰ∪Ⅱ ∪｛a ,b｝而从a或b进入Ⅲ∪Ⅳ，那么， 要走完P,都必须遍历完Ⅲ∪Ⅳ的所有顶点 后，才能重新进入Ⅰ∪Ⅱ 。但这要与断 言2矛盾 所以，情形2也不能成立！
Thomassen图
断言1： Ⅰ∪｛a｝ 中不存在以a , c , d三点中任意两点 为端点的H路。
若不然，将推出彼得森图是H图。
断言2： Ⅰ∪Ⅱ ∪ ｛a， b｝ 中不存在以a 为端点的H 路。 f c 若不然，设Q是一条以a为起点 的Ⅰ∪Ⅱ ∪ ｛a， b｝ 中的H路。 那么，从a出发，沿着该路行走 有两种可能: (1) 遍历了Ⅰ中所有 点之后，从c或d进入Ⅱ，但这形 成了Ⅰ ∪｛a｝ 中的以a, c或a, d 为端点的H路，与断言1矛盾！
加莱猜想是错误的。Thomassen图否定了加莱猜想。 加莱(1912---1992) 匈牙利数学家。他和Erdos, 托兰是 当时匈牙利国家数学竞赛获胜者，后来成为一生的朋友。 加莱深受哥尼的影响而对图论产生极大兴趣，以至于 他对图论基础理论做出了重大贡献，推动了图论与组合数 学的迅速发展。同时，他也是最早认识所谓的“极小--极 大定理”重要性的数学家之一。 加莱为人谦虚低调，很少在公开场合露面。常常在赞扬 别人工作时低估自己的成绩。不喜欢发表自己研究成果。