图论部分小结 北京科技大学解析
图论总结(超强大)
图论总结（超强大）-标准化文件发布号：（9556・EUATWK・MWUB-WUNN・INNUL-DDQTY-KII 1.图论Graph Theory1 丄定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization12 图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1・3・图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1・概念1.3.1.2・求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)14 拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有［句图1.5.13. 7昆合图1.5.1.4 ・无权图Un weighted1.5.1.5・有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Un weighted1.5.2.2・有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem 1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3・ Sollin ( Boruvka)1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k 小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1 ...................................................................................... Dijkstra1.6.2・1・1.2 ......................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1 ........................... S hortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2. 应用 Applications1.6.2.1.2.1 ......................差分约束系统 System of difference constraints1. 6.2. 1. 2. 2 ........... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1. 6.2. 2.所有顶点对间最短路 Al 1-pairs shortest paths1. 6.2. 2. 1 ........................................................ 基本算法 Basic algor it hms1.6.2. 2.1.1 ..................................................................... Floyd-War shall1.6.2. 2.1.2网络流 Flow network 1. 6. 3. 1.最大流 Maximum flow最小费用流Minimum cost flow............... 找最小费用路 Finding minimum cost pathJohnson 1.6.3 16. 3 1.1 ................................................... 1.6. 3.1.1.1 • •••••• 1.6. 3.1 1.1.1.. • ••••••••• 1.6 3. 1. 1. 1 1・ 1・ ・・・・1.6 3. 1. 1. 1 1.2 ..........1.6. 3.1.1.2 • •••••• • ••••••••1.6. 3.1 1.2.1..1.6. 3.1 1.2. 2..1. 6. 3.1.1. 31.6. 3.1.2 ............1.6. 3.1.2.1 • •••••• • •••••••••基本算法 Basic algor it hmsFord-Fulkerson method Edmonds-Karp algorithmMinimum length path Maximum capability path 预流推进算法Pref low pushmethod Push-relabelRelabel-to-front Dinic method 扩展模型 Extendedmodels 有上下界的流冋题 1.6. 3. 2.1. 6. 3.2. 2 .......................................... 找负权圏Finding negative circle1. 6. 3.2. 3 .................................... 网络单纯形Network simplex algorithm1. 6. 4 ....................................................................................................... 匹酉己Matching1. 6. 4. 1.二分图Bipartite Graph1. 6. 4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1. 6. 4.1.2...带权图-KM 算法Weighted - Kuhn-Munkres(KM) algorithm1. 6. 4.2. 一般图General Graph1. 6. 4.2.1 ............ 无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds) 1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(H,E)称为图(graph) V为结点(node)或顶点(vertex)集。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。
定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。
欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。
定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。
推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。
若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。
(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。
所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。
定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。
(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。
图论详细讲解
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V3 本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
2.树和最小支撑树
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去 掉边e3 。在剩下的图中，再取一个圈 （v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4 。再从圈 （v3,v4 v5,v3）中去掉边e6 。再从圈 (v1,v2,v5,v4,v3,v1 ）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个 支撑树，如图8.12所示。
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1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A） 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)}
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1.图的基本概念与基本定理
定理8.1 所有顶点次数之和 等于所有边数的2倍。
定理8.2 在任一图中，奇 点的个数必为偶数。
1.图的基本概念与基本定理
图的连通性：
链： 由两两相邻的点及其相关联的 边构成的点边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ; v0 ，vn分别为链的起点和终点； 简单链：链中所含的边均不相同； 初等链：链中所含的点均不相同,也 称通路；
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1.图的基本概念与基本定理
北京 太原 石家庄
天津 塘沽 济南 青岛郑州 Nhomakorabea徐州 连云港
南京 上海
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重庆
武汉
图论总结(超强大)解读
1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network1.1.2.图的术语Glossary of Graph1.1.3.路径与回路Path and Cycle1.1.4.连通性Connectivity1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph1.1.6.匹配Matching1.1.7.树Tree1.1.8.组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表示Expressions of graph1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix1.2.2.关联矩阵Incidence matrix1.2.3.邻接表Adjacency list1.2.4.弧表Arc list1.2.5.星形表示Star1.3.图的遍历Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph1.3.2.广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Unweighted1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem1.5.2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1.无权图Unweighted1.5.2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem1.6.网络优化Network optimization1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees1.6.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.1.1.1.Prim1.6.1.1.2.Kruskal1.6.1.1.3.Sollin（Boruvka）1.6.1.2.扩展模型Extended models1.6.1.2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)1.6.2.最短路Shortest paths1.6.2.1.单源最短路Single-source shortest paths1.6.2.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.1.1.1. ..................................................................................................... D ijkstra1.6.2.1.1.2. .......................................................................................... B ellman-Ford1.6.2.1.1.2.1.....................................Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2.应用Applications1.6.2.1.2.1. ........................... 差分约束系统System of difference constraints1.6.2.1.2.2. .......................... 有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG1.6.2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths1.6.2.2.1.基本算法Basic algorithms1.6.2.2.1.1. ....................................................................................... F loyd-Warshall1.6.2.2.1.2. .................................................................................................... Johnson 1.6.3.网络流Flow network1.6.3.1.最大流Maximum flow1.6.3.1.1.基本算法Basic algorithms1.6.3.1.1.1. ........................................................................ Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1.......................................................... E dmonds-Karp algorithm1.6.3.1.1.1.1.1. ................................................... M inimum length path1.6.3.1.1.1.1.2. ........................................... Maximum capability path1.6.3.1.1.2. ............................................... 预流推进算法Preflow push method1.6.3.1.1.2.1.................................................................................. P ush-relabel1.6.3.1.1.2.2........................................................................... Relabel-to-front1.6.3.1.1.3. .......................................................................................... Dinic method1.6.3.1.2.扩展模型Extended models1.6.3.1.2.1. ............................................................................... 有上下界的流问题1.6.3.2.最小费用流Minimum cost flow1.6.3.2.1.找最小费用路Finding minimum cost path1.6.3.2.2.找负权圈Finding negative circle1.6.3.2.3.网络单纯形Network simplex algorithm1.6.4.匹配Matching1.6.4.1.二分图Bipartite Graph1.6.4.1.1.无权图-匈牙利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2.带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2.一般图General Graph1.6.4.2.1.无权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1.图论Graph Theory1.1. 定义与术语Definition and Glossary1.1.1.图与网络Graph and Network二元组(),V E称为图(graph)。
第八章 图论原理(缩)
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学. • 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象. • 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用. • 在计算机科学中，图论在形式语言、数据 结构、分布式系统、操作系统及数据库研 究中均有很重要的应用. • 本篇结构
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• d次正则图：所有结点均有相同次数d的图.
8.1.4 图中结点的次数
• 例：任何图G中必有偶数个() A. 引入次数为奇数的结点 B. 引出次数为奇数的结点 C. 次数为偶数的结点 D. 次数为奇数的结点 • 解： 引入次数与引出次数均指有向图, 这里是所有图 因为图中结点次数的总和为偶数, 因此次数为奇 数的结点数目为偶数. 所以选D.
• 例8.3 R={R1,R2,R3,R4} P={P1,P2,P3,P4} 其资源分配状况是： P1占有资源R4且申请资源R1; P2占有资源R1且申请资源R2及R3; P3占有资源R2且申请资源R3; P4占有资源R3且申请资源R1及R4. • 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2； • 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路. • (P2,P4,P5, P2 )构成一条回路, 故过程P2,P4和P5是递归 的
8.1.5 多重图与带权图
图论课期末总结
图论课期末总结首先，我在课程中学习了图的基本概念和性质。
图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，可以用来描述很多现实生活中的问题。
在图的定义中，顶点表示问题中的对象，而边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向边表示关系有方向性，无向边表示关系无方向性。
另外，图还可以分为带权图和非带权图，带权图中的边上有权重，非带权图中的边没有权重。
接着，我学习了图的连通性和路径的概念。
在图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，那么这个图就是连通的。
连通图中的任意两个顶点都是连通的，非连通图中存在孤立的顶点。
路径是从一个顶点出发，经过若干个顶点，到达另一个顶点的序列。
在有向图中，路径有方向性，即从起点到终点的方向。
而在无向图中，路径没有方向性，即可以从任意一端出发。
然后，我学习了图的表示方法。
常见的图的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行和列分别代表图的顶点，数组元素的值表示顶点之间是否有边相连。
邻接表是由一组链表组成的数据结构，链表的每个节点表示一个顶点，链表节点中存储了与该顶点相邻的其他顶点。
除了学习图的基本概念和表示方法，我还学习了一些图的算法和应用。
其中包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
最短路径算法是用来寻找图中两个顶点之间最短路径的算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法是用来寻找连通图中一棵包含所有顶点的生成树的算法，其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法是用来解决网络中最大流和最小割问题的算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
在图的应用方面，图论在计算机科学、通信网络、交通运输等领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，图可以用来表示网页链接、社交网络和路由问题等。
在通信网络中，图可以用来建模网络拓扑和路由算法。
在交通运输中，图可以用来建模交通流量和路径规划。
图论实践部分
图论实践部分实践教学部分课程的专题论文分为 8 个专题：（1）最短路算法及其应用；（2）匹配理论及其应用；（3）顶点着色理论及其应用；（4）边着色理论及其应用；（5）独立集，Ramsey 数，支配集，覆盖集理论及其应用；（6）有向图理论及其应用；（7）网络流理论及其应用；（8）Euler 图与 Hamilton 图理论及其应用。
为保证专题论文选题的开放性，学生根据自己的兴趣选择不同的专题，组成研究小组，并完成相应的专题论文。
1 1 、论文选题为保证论文选题的开放性，每小组可选择 8 个专题中的一个，选择同一个专题的小组最多不超过两个。
2 2 、论文格式及内容的具体要求 (1) 论文格式参照毕业论文格式要求。
(2) 论文内容主要包括 1）中文题目；2）作者、专业、班级；3）中文摘要；4）中文关键词；5）英文题目、作者、专业、班级、摘要、关键词（应与 1）—4）对应,此项为选择项）；6）文献综述（引言）； 7）基本原理及知识； 8）实例或算法； 9）结果分析； 10）结束语； 11）参考文献。
3 3 、装订顺序封面→论文评价指标与鉴定意见→论文题目、作者、专业、班级→摘要→关键词→正文→参考文献→附录（程序等）注：封面、论文评价指标与鉴定意见部分格式见附录 1。
4 4 、时间安排（1）查阅、研读文献：7 天（2）确定研究的技术路线和方案：4 天（3）数据处理、建模、编程、仿真、结果分析：8 天（4）撰写论文：9 天（5）提交论文：1 天5 5 、论文评阅与成绩评定论文的评阅主要由任课教师根据论文的完成情况，对论文按四个等级评定成绩：A（86—100 分）、B（70—85 分）、C（60—69 分）、D（0—59 分）。
注：各组组长应对其成员在论文中的贡献提交书面材料。
每组学生的成绩依据所在分组的论文评定成绩与学生的实际贡献进行评定。
6 6 、说明 1、参考文献仅标注实际引用的文献。
2、每一组必须提交论文的电子版文件和两份打印文本。
离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
工学图论及应用考试复习总结
Meredith图是由彼得森图的每个顶点嵌入一个K3,4作成。
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4、托特猜想：每个3连通3正则偶图是H图。 该猜想错误。Coxeter构图对猜想进行了否定。
Coxeter图 第18页/共81页
5、普鲁默猜想：每个2连通图的平方是H图。 该猜想是正确的，已经得到证明。
(二)、E图和H图的关系
从表面上看，E图与H图间没有联系。因为我们可以不 费力地找到: (1) E图但非H图；(2) E图且H图；(3) H图但非 E图; (4) 非E图且非H图.
E图但非H图
E且H图
H但非E图
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非E且非H图
1、线图概念 定义3 设G是图，G的线图L(G)定义为：
V (L(G)) E(G)
(e1, e2 ) E(L(G)) 在G中有：边e1与e2邻接
特别地，定义G的n次迭线图Ln(G) 为：Ln (G) L(Ln1(G))
x1 x2 x3
x4 G1
x1
x2
x3
x4 G2=L(G1)
L(G2)=L(L(G1))
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2、线图的性质 (1) 线图L(G)顶点数等于G的边数；若e=u v是G的边， 则e作为L(G)的顶点度数为：d(e)=d(u)+d(v)-2 .
本次课主要内容
超哈密尔顿图问题 (一)、超H图与超H迹 (二)、E图和H图的关系
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(一)、超H图与超H迹
定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是 H图，则称G是超H图。
定理1 彼得森图是超H图。
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图论知识点总结
图论知识点总结•对应简单图的度序列，在同构意义下可能不止一个•简单图的度序列最大度一定要小于等于n-1•只要和为偶数就是图的度序列•若图中两点u与v间存在途径，则u与v间存在路•若过点u存在闭迹，则过点u存在圈•一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈•无向图的顶点之间的连通关系一定是等价关系•有向图的顶点之间的单向连通关系不是等价关系•一个简单图G的n个点的度不能互不相同•无向图的邻接矩阵的行和对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的所有元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素等于对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的特征值的平方和等于边数的2倍•若G是非连通的，则邻接矩阵相似于某个对角矩阵•树一定是连通无圈图•树G无环且任意两点之间存在唯一的路•树无回路但任意添加一条边后有回路•回路是边不重的圈的并•如果一个闭迹不是一个圈，那么它一定是没有重边的圈的并集。
•n阶树T的形心由一个点或两个相邻点组成。
•若T只有一个形心，则形心的权小于n/2•若T有两个形心，则形心的权等于n/2•树T的对偶图全是环•G是极大平面图的充要条件各面的次数均为3且为连通图每个n方体都有完美匹配由n方体的构造知：n方体有2n个顶点，每个顶点可以用长度为n的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。
划分顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。
X中顶点互不邻接，Y中顶点也如此。
所以n方体是偶图。
很容易验证n方体的每个顶点度数为n，所以n方体是n正则偶图。
因此，n方体存在完美匹配。
树T有完美匹配当且仅当对所有顶点v∈T，o(T-v)=1必要性：树T有完美匹配，由Tutte定理知o(T-v)≤|{v}|=1显然T是偶数阶的图，o(T-v)≥1.因此o(T‒v)=1。
充分性：对于T的任意顶点v，假设Tv是T-v仅有的奇分支，且Tv与v之间的边为uv。
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欧拉公式及其推广
定理17.8 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则nm+r=2（此公式 称为欧拉公式）
定理17.9 （欧拉公式的推广）设G是具有k（k2）个连通分支的平面 图，则nm+r=k+1 (非)平面图的判定（库拉图斯基定理 ） 定理17.14 设G为简单平面图，则(G)5. 定理17.15 G是平面图 G中不含与K5或K3,3同胚的子图. 定理17.16 G是平面图 G中无可收缩为K5或K3,3的子图
重要概念：
平面嵌入、平面图、对偶图、G的色数(G)=k、面色数、边 色数 重要定理：
•K5, K3,3都不是平面图 •设G G，若G为平面图，则G 也是平面图
•设G G，若G 为非平面图，则G也是非平面图
•定理17.4 平面图各面次数之和等于边数的两倍. •定理17.7 设G为n（n3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.
ห้องสมุดไป่ตู้
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i
0 mod 2
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则△(G)≤n-1. 3.画低阶的满足既定条件的所有非同构的无(有)向简单图。
数组2, 2, 2, 2, 3, 3能简单图化吗？若能，画出尽可能多的非 同构的图来.
4. 有向图邻接矩阵的应用
形如：给定某有向图D，求A, A2, A3, A4，并回答诸问题： （1）D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ （2）D中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？ （3）写出D的可达矩阵。
4.非平面图的判断
5. 平面图着色定理的简单应用
如：某校计算机系三年级学生在本学期共选6门选修课Ci, i=1, 2, …, 6. ……
（5）G是连通的且G中任何边均为桥.
（ 6 ） G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一 条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.
重要题型
1.解无向树与画非同构的无向树
例 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试 求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树.
2.求基本回路系统与基本割集系统 3.用避圈法求带权图的最小生成树 4.用Huffman算法求最优树/产生最佳前缀码
平面图的着色定理
定理17.21 (G)=4. 若G为奇圈或奇阶轮图，则 (G)=3 ，若G为偶阶轮图，则
定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
重要题型
1.求G的一个平面嵌入；重新画出它的平面嵌入 2.判断/证明给定平面图G不是极大平面图。
3.前面重要定理的综合应用
如：设G为8阶极大平面图，求G的面数r。
例 在通信中，八进制数字出现的频率如下：
0：25% 2：15% 1：20% 3：10%
5.简单证明题
4：10%
6：5%
5：10%
7：5%
求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n2）个按上述比例出现的八 进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的（长为3）的码字传输需要 多少个二进制数字？
知识点
CH17 平面图与图的着色
2．无向哈密顿图的必要条件
定理 15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且V1，均有
p(GV1) |V1| 推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1V且V1均有
p(GV1) |V1|+1
3．无向哈密顿图的一个充分条件
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n1 则G中存在哈密顿通路. ()
i 1 i 1 n d ( v ) d i (v i ) m i 1 i 1 n n n
推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数。
重要题型
1.握手定理及其推论的应用 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点度数 均小于3，问G的阶数n为几？ 2.可图化的与可简单图化的非负整数列 定理14.3 设非负整数列d=(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当 且仅当
知识点
重要概念：
CH16 树
基本回路系统与基本割集系统、r叉完全正则有序树、根树、 避圈法 、Huffman 算法 重要定理：无向图的性质定理
定理16.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等 价的： （1）G是树 （2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径. （3）G中无回路且m=n1. （4）G是连通的且m=n1.
推论 设G为n（n3）阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶 点vi,vj，均有
d(vi)+d(vj) n （）
则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.
重要题型
1.欧拉图的判断（简单图形） 如课本习题1 2.哈密顿图的应用 如：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4 人有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座， 使得每个人都与两边的人交谈？
5.求图的度
知识点
CH15 欧拉图与哈密顿图
重要概念：
一笔划问题：欧拉回路、欧拉图
周游世界问题：哈密顿图、哈密顿回路
重要定理：无向(半)欧拉图的判别定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点. 定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶 点. 定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边 不重的圈之并
图论部分小结
CH14 图的基本概念 CH15 欧拉图与哈密顿图
CH16 树
CH17 平面图与图的着色
CH14 图的基本概念
知识点 重要概念：简单图、完全图、正则图、子图、补 图、通路、初级回路、圈、二部图、桥、割点 重要概念：同构图、邻接矩阵(有向图)
重要定理：握手定理及其推论
无向图： d (vi ) 2m 有向图： d ( v i ) 2m 且