第五章 图论六
例4 假设连通图平面性简单图有20个顶点，每个顶点的度 都是3。这个平面性图的平面表示把平面分割成多少个区域？ 解 这个图有20个顶点，每个顶点的度都是3，所以 v=20。因为这些顶点的度之和3v=3*20=60是等于边数的两 倍2e，所以有2e=60，即e=30。所以，根据欧拉公式，区 域数是： r=e-v+2=30-20+2=12
定义 在平面图的一个平面表示中，边把平面划分成若干区 域 面R：内部不含图的边或顶点的、由边所包围的区域 面的边界： 包围面的最短的回路 面的度deg(R)：边界的长度 有限面：面积有限的面，无限面：面积无限的面
例 右面的平面图有3个面，R1和R2是有限面，R3是无限面 R1的边界：1231， R2的边界：2342， R3的边界：1245431 deg(R1)=3，deg(R2)=3，deg(R3)=6 R3的边界不是12431，因为12431所 包围的区域含有边，不能构成面 R2的边界不是234542，因为234542 不是包围R2的最短的回路
R是G的面
deg(R) =
v*V *
* d ( v )
=2|E*| =2|E|
(由握手定理)
5.6.2欧拉公式
定理1 欧拉公式 连通平面图，r=e-v+2。
证明：直观描述首先规定G的平面表示。将要这样证明定 理：构造一系列子图G1，G2，…，Ge=G，相继地在每个 阶段上添加一条边。用下面的归纳定义来这样做。任意地 选择一条G的边来获得G1。从Gn-1这样获得Gn：任意地添 加一条与Gn-1里顶点相关联的边，若与这条边关联的另一 个顶点还不在Gn-1里，则添加这个顶点。这样的构造是可 能的，因为G是连通的。在添加e条边之后就获得G。设rn， en和vn分别表示G的平面表示所诱导出的Gn的平面表示的 区域数、边数和顶点数。 现在通过归纳来进行证明。对G1来说关系r1=e1-v1+2为真。
定义 设平图G=(V，E)有r个面，n个顶点，m条边，称用如 下的方法构造出来的图 G*=(V*，E*)为G的对偶图： (1) 在G的任意一个面Ri中取一个点作为G*的一个顶点Vi*， 令V * ={V1*，V2* ，…， Vr*}。 (2) 对G的任意一条边ek，若ek出现在G的两个不同的面Ri和 Rj( ij) 的边界中,则构作G*的边={Vi* ， Vj*}；若ek仅出现 在G的某一个面Ri的边界中,则构作G*的边(环) ek* ={Vi* ， Vi*}； 令E*={e1* ， e2* ，…， em* }。
3.证明：若G是一个带有v个顶点和e条边的连通简单图，则G 的厚度至少为e/(3v-6)。
例7 确定图7-76中所示的图是否为平面性的。
解： G有同胚于K5的子图H。H是这样获得的：删除h， j 和k 以及所有与这些顶点关联的边。H是同胚于K5的，因 为从K5（带有顶点a, b, c, g和i）通过一系列初等细分，添 加顶点d, e 和f就可以获得H。因此，G是非平面性的
习题 1.假定一个平面性图有k个连通分支、e条边和v个顶点。另外 假设这个图的平面表示把平面分割成r个区域。求用e，v， k所表示的r的公式。 2.用库拉图斯基定理来确定下面所给的图是否为平面性的。
定义1 图的平面表示：图的一种图形表示（画法）， 其中边仅在顶点处相交 平面图：有平面表示的图
例1 判断下面的三个图是否为平面性的。
（接下页）
解：K4是平面性的，因为可以不带交叉地画出它（图7-66 所示）； Q3是平面性的（图7-68所示）； 在平面里画出K3,3而没有边交叉，任何这样的尝试都注 定是失败的。在K3,3的任何平面表示里，顶点v1和v2都必须 同时与v4和v5连接。这四条边所形成的封闭曲线把平面分 割成两个区域R1和R2，如图7-70a）所示。顶点v3属于R1 或R2。当v3属于闭曲线的内部R2时，在v3和v4之间以及在v3 和v5之间的边，把R2分割成两个区域R21和R22，如图7-70b） 所示。
例 在G的无限面内，仅有G*的一个顶点v4*，过v4*有G* 的一个环
若平面图G=(V，E)有n个顶点，m条边，r个面，则其对偶 图G* =(V* ，E*) （１）有r个顶点，m条边 （２）是平面图 （３）是连通图 （４）对于G的任意一个面R及R所对应的G*的顶点V* ， deg(R)=d(V*) 定理 平面图的面的度数之和等于其边的数目的两倍。 证明： 设可平面图G=(V，E) ，其对偶图G* =(V*,E*)， 则
(接下页)
现在假定rn=en-vn+2。设｛an+1，bn+1｝是为了获得 Gn+1而添加到Gn里的边。有两种情形需要考虑。在第一种 情形里，an+1和bn+1都已经在Gn里了。这两个顶点必然是 在一个公共区域R的边界上，否则就不可能把边｛an+1， bn+1｝添加到Gn里而没有两条边交叉（并且Gn+1是平面性 的。）这条新边的添加把R分割成两个区域。所以，在这 种情形里，rn+1=rn+1, en+1=en+1，而且vn+1=vn+1 。因此， 联系着区域数、边数、顶点数的公式两边都恰好增加一， 所以这个公式仍然为真。在图7-73 a）里说明这种情形。 在第二种情形里，新边的两个顶点之一已不在Gn里。 假定an+1在Gn里但是bn+1不在Gn里。添加这条新边不产生 任何新的区域，因为bn+1必然是在边界上有an+1的一个区 域里。所以，rn+1=rn,，另外en+1=en+1，而且vn+1=vn+1。 联系着区域数、边数、顶点数的公式两边都保持相等，所 以这个公式仍然为真。在图7-73 b）里说明这种情形。 已经完成了归纳论证。因此对所有n来说都有rn=envn+2。因为原图是在添加了e条边之后所获得的图Gn，所 以这个定理为真。 (见下页图)
例5 证明K5不是平面图 证明： 图K5有5个顶点和10条边。不过，对这个图来 说，不满足不等式e≤3v-6，因为e=10和3v-6=9。因此， K5 不是平面图。
推论2 简单连通平面图,v≥3，没有长度为3的回路，则 e≤2v-4 证明：①deg(R)=2e ②deg(R)≥4 推论2的证明类似于推论1的证明，不同之处在于，在这 种情形里，没有长度为3的回路的事实蕴含着区域的度数至 少为4。
例6 证明K3,3不是平面图 证明： 因为K3,3没有长度为3的回路（因为它是偶图）， 所以可以使用推论2。 K3,3有6个顶点和9条边。因为e=9和 2v-4=8，所以推论2证明K3,3不是平面图。
5.6.3 库拉图斯基定理
定义 初等细分：在边上插入顶点 收缩：合并顶点 图同胚：能通过初等细分或（和）收缩转换
第五章 图论
5.6平面图
5.6.1平面图的概念
例 考虑把三座房和三种 设施每种都连接起来的问题， 如图7-64所示，是否有可能使 得这样的连接里不发生交叉？ 这个问题可以用完全偶图K3,3 来建模。原来的问题可以重新 叙述为：能否在平面里画出K3,3 ，使得没有两条边发生交叉？
印刷线路板的设计问题
(ห้องสมุดไป่ตู้下页)
画在平面里的连通平面性简单图把平面分割成区域， 比如说r个区域，每个区域的度数至少为3（简单图）。又 因为没有长度为3的回路，所以每个区域的度数至少为4。 每个区域的度数之和恰好是图中边数的两倍，因为每条边 都在区域的边界上出现两次。因为每个区域都有大于等于4 的度数，所以 2e=deg(R)≥4r 因此 e≥2r 利用欧拉公式r=e-v+2，就得到 e≥2e-2v+4 这样就证明了e≤2v-4。
推论1 简单连通平面图,v≥3，则e≤3v-6
①deg(R)=2e ②简单图中，deg(R)≥3r 画在平面里的连通平面性简单图把平面分割成区域， 比如说r个区域，每个区域的度数至少为3（简单图）。特 别是，注意无界区域的度数至少为3，因为在图中至少有3 个顶点。 注意个区域的度数之和恰好是图中边数的两倍，因为 每条边都在区域的边界上出现两次（或者在两个不同区域 里，或者两次在相同的区域里）。因为每个区域都有大于 等于3的度数，所以 2e=deg(R)≥3r 因此 (2/3)e≥r 利用欧拉公式r=e-v+2，就得到 (2/3)e≥e-v+2 所以得到v-2≥e/3。这样就证明了e≤3v-6。 证明：
例 (2)是的(1) 初等细分，(4)是(3)的收缩
定理2 库拉图斯基定理 图是非平面图同胚于K3,3或K5 的子图。
证明： 显然，一个包含着同胚于K3,3或K5的子图是非 平面性的。不过，相反的命题——即每个非平面性图都包 含一个同胚于K3,3或K5的子图的子图——的证明是复杂的， 因而不在这里给出。
图论知到章节答案智慧树2023年长安大学
图论知到章节测试答案智慧树2023年最新长安大学绪论单元测试1.下列选项中正确的是（）.参考答案:图论的研究对象是图;图论中图是顶点集合上的一种二元关系;图的结构是图论的重要研究方向之一;图论中的图由若干给定的顶点及连接某些顶点对的边所构成2.著名的哥尼斯堡七桥问题最初由哪位数学家给出解答（）.参考答案:欧拉3.在任意6个人的聚会上，总有3个人互相认识，或者3个人互不认识.（）参考答案:对4.图论中著名的中国邮递员问题是由中国管梅谷教授提出的.（）参考答案:对5.图论与数学的其他分支形成的交叉研究方向有（）.参考答案:随机图论;代数图论;模糊图论;拓扑图论第一章测试1.四个顶点的非同构简单图有（）.参考答案:11个2.序列称为图序列，如果d是某一个简单图的度序列. 则下列不是图序列的是（）.参考答案:(7,6,5,4,3,2,2);(6,6,5,4,3,3,1)3.设图G有21条边，12个3度顶点，其余顶点的度均为2，则图G的顶点数为（）.参考答案:154.下列哪些矩阵是本题中所给图的邻接矩阵？（）参考答案:;5.本题中所给的两个图G与H不同构.（）参考答案:错第二章测试1.边数比顶点数少1的简单图一定是树.（）参考答案:错2.六个顶点的非同构的树有（）.参考答案:6个3.本题中所给图的非同构生成树的个数等于（）.参考答案:3个4.设G是五个顶点的标号完全图（即给G的每个顶点标号），则G的不同的生成树（注意“不同”是指标号不同，不是不同构）的个数等于（）.参考答案:1255.若G是单圈图（即G是仅含一个圈的连通图）, 则G的边数一定等于它的顶点数.（）参考答案:对第三章测试1.若图G的每条边是割边, 则G是森林.（）参考答案:对2.若H是连通图G的子图, 则H的连通度不超过G的连通度.（）参考答案:错3.若图G没有偶圈, 则G的每个块或是2个顶点的完全图或是奇圈.（）参考答案:对4.设G是有n个顶点m条边的k -边连通图, 则下列一定成立的是（）.参考答案:5.图G的连通度、边连通度和最小度分别为（）.参考答案:3, 4, 4第四章测试1.设M和N是简单图G的两个不同的完美匹配，则由M与N的对称差在G中的边导出子图的每个连通分支必为（）.参考答案:偶数个顶点的圈2.一棵树T可以有两个或者两个以上的完美匹配.（）参考答案:错3.2n个顶点的完全图中不同的完美匹配个数为（）.参考答案:(2n-1)!4.如果每个小伙子恰好认识k个姑娘，而每个姑娘也恰好认识k个小伙子(k >0)，则每个小伙子都能与自己认识的姑娘结婚.（）参考答案:对5.本题中所示图没有完美匹配.（）参考答案:错第五章测试1.本题中所示图能一笔画成（即笔不离纸，线不重复）.（）参考答案:错2.下列哪些是非空连通图G有Euler迹的充分条件（）？参考答案:G没有奇度顶点;G有2个奇度顶点3.如果非空连通图G恰有2个奇度顶点，则G的Euler迹一定是从其中一个奇度顶点出发，终止于另一个奇度顶点.（）参考答案:对4.本题中所示图是Hamilton图.（）参考答案:错5.完全二部图（m, n均大于0）是Hamilton图的充分必要条件是（）.参考答案:m = n第六章测试1.对于控制数为1的n个顶点的图，其控制集中顶点的度为n-1.（）参考答案:对2.下列命题中正确的是（）.参考答案:顶点子集F是图G的点覆盖集当且仅当V(G)\F是G的独立集;一个图的独立数和点覆盖数的和等于它的顶点数目3.下列哪个选项中的集合分别是该图的最大匹配、最小边覆盖集（）.参考答案:4.以下选项中正确的是（）.参考答案:Q是G的极大团的充分必要条件是Q是G的补图中的极大独立集;任意6个人的聚会上, 总有3人互相认识或互不认识5.若I是独立集, 则它是极大独立集的充分必要条件是I是极小控制集.（）参考答案:错第七章测试1.Petersen图的边色数等于（）.参考答案:42.3-正则Hamilton图的边色数为（）.参考答案:33.设H是图G的子图，则H的边色数不超过G的边色数.（）参考答案:对4.Petersen图的色数等于（）.参考答案:35.设G是n个顶点的圈，则G的色多项式 P(G,k) 等于（）.参考答案:第八章测试1.可平面图有可能存在子图是不可平面图.（）参考答案:错2.Petersen图是可平面图.（）参考答案:错3.若地图上每两个地区都相邻，则最多能有几个地区（）.参考答案:4个4.正八面体的顶点数、边数和面数分别为（）.参考答案:6,12,85.从Petersen图中需至少删除几条边才能得到一个可平面子图（）.参考答案:2条第九章测试1.设G是3个顶点的圈，则G的积和多项式为.（）参考答案:对2.完全二部图的谱为（）.参考答案:-3,0,0,0,0,33.五个顶点的完全图的谱为（）.参考答案:4,-1,-1,-1,-14.设G是n（n大于或等于3）个顶点的路，则G的边色数和彩虹连通数分别为（）.参考答案:2, n-15.本题中顶点赋权图的最小权点覆盖集的权等于（）.参考答案:10。
第五部分图论第二部分教学课件
（3） 依此类推，直到求得某个目标集Tk，使得z为Tk中指标最小的结 点，则DTk(z)为a到z的最短通路的边权和。
关键：求结点关于目标集Ti的指标。
13
采用“递推”的方法求目标集中的指标
d
min(, ) 通路：无
c是指标最小的点。
a到c的最短通路为： abc,边权和为DT2(c)=3
7 g
T2
18
令T3 =T2 {c} {d, e, f , g, z}, T3中各点的指标为
DT3(d) min(DT2(d), DT2(c) W (c, d))
min(4,3 3) 4
狄克斯特洛算法：原理
[原理]:
设目标集T = {t1, t2, ……, tn}, 其中t1为T中指标最小的 点，即：
DT(t1) = min{DT(t1), DT(t2) , ……, DT(tn)} (1) 始点a到t1的最短通路的边权和就是DT(t1) (2) 对任意2 in， a到t1的最短通路 a到ti的最短通路
62
1
3 f4 z
56 3
d
7
g
比较T4中各点指标可知：e和g的指标相同，且最小，
故可选其中一个，DT5(e)=8是a到e的最短路径长度，
abcfe是a到e的最短路径。
21
令 T6＝T5－{e}={g, z} T6中各结点的指标为：
DT6 (g) min(DT5(g), DT5(e) W (e, g))
min(6, ) 6 通路：abcf a
4
图论-图的基本概念
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
图论课件
鸽巢原理（鸽舍原理、抽屉原理）
平均值总是介于最大值和最小值之间
如果对象多于kn的一个集合被划分为n个
类，则必有一个包含的对象多于k个
等价关系与同余 （1）
集合S上的一个等价关系是S上的一个关系
R,它对不同元素
满足 a) 自反性 ( x, x) R b) 对称性
x, y, z S
图论及其应用 Graph Theory and Its Applications
主要内容
图论前言
数学预备知识
前言
课程目标
学时和学分 教学大纲
教材和主要参考资料
课程考核
图论学科简介 （1）
图论是研究点与线组成的“图形”问题
的一门科学。图论是组合数学的一个分 支，它交叉运用了拓扑学、群论、数论 等学科，有时将其归为离散数学的一个 分支 属于应用数学分支 哥尼斯堡七桥问题 欧拉（1707~1782）：根据几何位置的 解题方法，这是图论领域的第一篇论文， 1736年， 被尊称为图论和拓扑之父
31
(5) 考试时间安排问题 一个教授需要对期末考试时间进行安排，使得学生们 不会有相互冲突的考试。如何解决？ 该问题可以建立一个图论模型来解决：待考的课程可 抽象为图的顶点，连接两个顶点的边表示至少有一个学生 同时选择了这两门课程。 问题归结于在模型图中求所谓的“顶点着色方案”问题， 该问题将在第六章讨论。 例如：有a, b, c ,d, e, f 六门课程。按照上面方法建立 的模型图如下：
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
程序员的数学4：图论入门
内容摘要
这一章通过分析图的连通性，让读者理解图中的信息流动和路径问题。 第四章介绍了图的遍历算法，包括深度优先遍历和广度优先遍历。这两种算法是常用的图遍历算 法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何遍历一个图并获取所需信息。 第五章介绍了最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。这两种算法是最常用的最小生成 树算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何找到一个图中连接所有节点的最小代价的树。 第六章介绍了拓扑排序算法，包括Kahn算法和DFS算法。拓扑排序是解决有向无环图（DAG）上 的一种排序算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何对一个有向无环图进行拓扑排序。 《程序员的数学4：图论入门》这本书是一本非常适合程序员阅读的数学书籍，它介绍了图论的 基本概念和应用，并提供了很多实例和练习题帮助读者理解和应用所学知识。这本书不仅可以提 高程序员的数学素养，还可以帮助程序员更好地理解和应用图论来解决实际问题。
精彩摘录
精彩摘录
《程序员的数学4：图论入门》是一本面向程序员群体的数学入门指南，其作 者罗博·福布斯将带大家探索图论的基础概念和算法，从而更好地理解和应用编 程技术。本书将选取一些精彩的摘录，供大家欣赏。
精彩摘录
“图论是一个研究图形和结构的学科，其中节点和边分别表示对象和它们之 间的关系。”
精彩摘录
这是本书最基本的概念之一，通过节点和边这两个概念，我们可以描述各种 复杂的结构。在编程中，我们通常会使用节点和边来表示数据结构，例如树、图 等。
精彩摘录
“一个图G=(V,E)由一组节点V和一组边E组成。”
精彩摘录
这个定义简洁明了，很好地概括了图论的基本构成要素。在许多应用场景中， 节点可以表示人、物体或其他实体，而边则表示这些实体之间的关系。
图论复习
图论复习题第一章图主要内容：1．图的基本概念和基本定理（重点是完全图、二部图、图的同构、握手定理等）2．轨道和圈（最长轨理论）练习题目：1．5阶无向完全图的边数为__10_____。
2．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件______。
3．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件______。
4．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有_n(n-1)/2_ 条边。
5．一个有n个结点的图，最少有___1____个连通分支。
6．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有___4____个。
7．单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设G中有x各结点，则3度的结点有x-7根据握手定理有，1x2+2x2+4x3+3x(x-7)=2x12解得x=9,故G中有9个结点。
满足条件的图如下：8．单连通无向图G有9条边，G中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．9．面上有n个点S＝{x1,x2,……,x n}，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n个点中距离为1的点对数不超过3n。
（38题）10．若图G是简单图，且(1)(2)2p pq-->，则G连通。
（42题）11．如果G是具有m条边的n阶简单图，证明：若G的直径为2且△= n-2，则m≥2n-4。
（50题）12．证明：在任何图中，奇度点个数为偶数。
（推论1.1）13．证明：图G是二部图当且仅当G无奇圈。
（定理1.2）14．证明：每个顶点度数都大于等于2的简单图必有圈。
（例1.9）15．证明：每个顶点度数都大于等于3的简单图必有偶圈。
（例1.11）16．画出4个顶点的不同构的图（包括连通和不连通图）。
第二章 树主要内容：1．树的定义和简单性质； 2．树的几个等价条件；3．生成树的个数（Cayley 公式）练习题目：1．设树T 中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T 中有____片树叶。
图论和网络优化
v4
2
4 5
v7
3
v6
2
v5
最小树，权为13
17
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
(2)破圈法：
① 在图中寻找一种圈。
若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最 大旳边； ③ 反复反复 ① ② 两
权数，记为：
w Tk w e e Ek
若 T T ，使
w T min Tk T
w Tk
则称 T * 为图G旳一棵最小支撑树。
14
b4
2 a
2
4
3
f5
c 5
2d 6
e
最小 树
例如，城市间交 通线旳建造等，能够 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知旳几种城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用至少，此类问 题旳处理都能够归结为最小树问题。
24
如下图所示旳单行线交通网，每个弧旁边旳
数字表达这条单行线旳长度。目前有一种人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要谋求总旅程最短
旳线路。
v2
6
v4
3
v1
14
5
1 v3
3
2
v6
6
v5
25
v2
6
v4
3
3
v1
14
5
2 6
v6
1
v3
从v1到v6旳路线是诸多旳。例如:
第五章 图论
例16. 在任何聚会中，与奇数个人握过手的人必定有偶数 个。 证明： 我们用点来表示聚会中的人，若两个人有握手， 则我们用一条边把表示这两个人的点连接起来。与奇数个 人握过手的那个人，在图上表示为他的度为奇数。由握手 定理，则可知这样的点应该有偶数个，所以与奇数个人握 过手的人必定有偶数个。
（2）有向图
证明： 用6个点v1，v2，v3，v4，v5，v6来表示六个 人，互相认识的两个人用实现相连，否则用虚线相连。这 就产生了一个任何两个顶点间必有连线的图，称为完全图。 因此，问题就归结为：在一个具有六个顶点的完全图中， 至少存在一个实线三角形或虚线三角形。 任取一个顶点vi，则vi与其他五点的连线中，至少有三条 是实线或三条是虚线。不妨设为实线，其相应的顶点为vj， vk，vl，这三个顶点形成的三角形，若是实线或虚线三角 形，则问题得解；否则，至少有一条边是实线的，不妨设 为vj vk，那么三角形vjvivk便是实线三角形了。 定理1 握手定理：
5.2.3 图的运算 旧图→新图 定义6 子图：（G1G2）原图的一部分 定义7 并图：（G1∪G2）两个图的综合 定义8 补图： 对于完全图的边集的补 例14 图7-23所示的图G是K5的子图。
例15 求图a)所示的图G1和G2的并图。
习题 1.对哪些n值来说下列图是偶图？ a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn 2.至少带有一个顶点的W3 的子图有多少个？ 3.证明：若G是有v个顶点和e条边的简单偶图，则ev2/4 。
一个重要类型的互联网络是超立方体。对这样的网络来 说，处理器数是2的幂， n=2m。n个处理器标记成P0, P1,…, Pn-1。每个处理器都有到m个其他处理器的双向连 接。处理器Pi与下标的二进制表示与i的二进制表示恰恰相 差1位的处理器相连接。超立方体网络在每个顶点的直接连 接数与保证处理器通信的中间连接数之间取得了平衡。已 经用超立方体网络建造了许多计算机，而且用超立方体网 络设计了许多算法。n立方体图Qn表示带n个处理器的超立 方体网络。图7-22显示8个处理器的超立方体网络。
图论第05讲
5、平面图的边把图G所在的平面划分为若干 个区域，每个区域称为图G的面，封闭的区 域称为内面，无界的区域称为外面。 6、包围每个面的回路称为面的边界； 7、回路的边数称为面的次数。 容易发现，平面图G每增加1条边，图G总的 边（弧）数和面数都增加1。
边界
内面
外 面
8、欧拉公式定理（1750，必要条件 必要条件）：如 必要条件 果平面连通图G有n个顶点，m条边，d个区域， 则 n－m＋d＝2 － ＋ ＝ 证明：对d进行归纳法证明。 设图G是有n个顶点一棵树，则 G n m＝n－1，d＝1，这时n－m＋d＝2成立。 G每增加1条边，即m增加1，这时d也增加1。 所以 (顶点数)－(边数)＋(域数)＝2 不变。 证毕。
a v1* d v2* f v3* c e b g h v4*
思考题
1.若连通平面图G1与G2同构，它们的对偶图 G1*与G2*是否同构？ 2.若连通平面图G中有n个顶点，m条边，d个面， 则其对偶图G*中的顶点数，边数，面数分别 是什么？
课堂练习
分别画出下图的对偶图。
第一章内容回顾
图论的发展 图论几个著名的问题 图的基本概念 两个回路问题 图的矩阵表示法 中国邮路问题 平面图
§6
平面图
1、若图可以画在一个曲面上，任意两边都不 相交（端点除外），称图G被嵌入在曲面上。 2、如果曲面是平面——称G是可平面图。 3、如果图已经画在平面上，称图G为平面图。
可平 面图
图a
图b
平面 图
图c
非平面图
4、若有一个简单的平面图，再加一条边就是 不可平面，则称之为最大平面图。 再加一条边就 不是平面图了。 不是平面图了。
14、Kuratowski定理(1930)： 图G是平面图的充要条件 充要条件是：G图不存在任何 充要条件 子图为K(1) 图或K(2)图。 证明较繁，在此不多述。 推论：所有树都是平面图。 树
图论第6章
正八面体和正二十面体的一维骨架：
正八面体
正二十面体
26
如果将一个有n个顶点，m条棱和ф个面的凸多面 体的顶点作为顶点，棱作为边，则这个多面体可视 为一个图G，而且G可嵌入球面，从而可嵌入平面而 得到一个连通的平面图。 由定理2，凸多面体的顶点数，棱数与面数也满 足 n-m + ф =2。这个公式也称为欧拉公式 定理6（Platonic） 存在且只存在5种正多面体： 正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二 十面体。 证明 任取一个正ф面体A ，设A 有n个顶点，m 条棱。将A 嵌入平面记所得的平面图为G。易知G 是一个每个面的次数均相同（设为l）的r 度简单 正则图。从而有
n m +
i
k
k
k
i
而
n
i =1
k
i =1
i =1
i
= 2k
i
(1.4)
i =1
i
= n,
m
i =1
k
i
= m,
i =1
k
=ф +（k-1）
因为外部面重复计算了k次，即多算了k-1次
13
将它们代入（1.4）式得 n – m +ф+ k-1 = 2k n – m +ф= k+1 定理4 设 G 是具有n 个点m 条边的连通平面图, Ψ 是G 中所有面的集合，若对 任意的 f ∈ Ψ 均有 deg( f )≥l ≥3，则
deg( f ) = 2m
f Ψ
（1.1）
证明 任取G 的一条边 e 。若 e 是两个面的公共 边，则在计算面的次数时，e 被计算两次。若 e 不 是公共边，则 e 是 G 的割边，由面的次数的定义， e 也被计算两次。所以所有面的次数之和是边数 的2倍，即（1.1）式成立。