第六章不定积分
第六章不定积分
第七章 定积分 §7.1 定积分的概念和可积条件 1、定积分的概念为了说明定积分概念的由来，我们先看几个例子.实例1 (曲边梯形面积问题).求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥,x 轴以及直线,()x a x b b a ==>所围成的曲边梯形的面积.ab xyo求平面图形的面积问题是人们在长期的生产和生活实践中经常面临的问题,而任何形状的平面图形的面积问题,都可以利用互相垂直的两组平行直线将它分成若干部分,将其转化为求曲边梯形的面积问题.用矩形面积近似取代曲边梯形的面积.1) 分割:在区间[,]a b 中任意插入1n -个分点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形;2) 近似:在第i 个窄曲边梯形上任取1[,]i i i x x ξ-∈,作以1[,]i i x x -为底,以为高的小矩形()i f ξ,并以此小矩形面积近似代替相应的窄曲边梯形的面积i S ∆,得1()(,1,2,,)i i ii i i S f x x x x i n ξ-∆≈∆∆=-=L ;3) 求和:11()nniiii i S S f xξ===∆≈∆∑∑4) 取极限:令1max{},i i nx λ≤≤=∆则曲边梯形的面积011lim ()nnii i i i S Sf x λξ→===∆=∆∑∑.1.1 定义()y f x =?A =设函数()f x 在区间[,]a b 上有界.在区间[,]a b 内插入1n -个点,0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,1i i i x x x -∆=-(1,2,,)i n =L ,1max{},i i n x λ≤≤=∆在小区间1[,]i i x x -中任取一点i ξ(1,2,,)i n =L ,作和1()niii f xξ=∆∑;如果极限01lim()niii f xλξ→=∆∑存在,且极限值与区间[,]a b 的分法和i ξ的取法无关,则称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==∆∑⎰此时称()f x 在区间[,]a b 上可积. 通常称为Rieman 可积，简称R 可积.a 与b 分别称为积分的下限与上限,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量.若极限01lim()niii f xλξ→=∆∑不存在, 则称()f x 在区间[,]a b 上不是R 可积.定积分的概念需注意以下几点：(i ) 定积分要求积分区间有界,被积函数有界; (ii ) 定积分是积分和1()niii f x ξ=∆∑的极限,在构造积分和时,分割与点iξ的选取都是任意的,而取极限是指当1max{}0i i nx λ≤≤=∆→时的极限.(iii ) 定积分的值与积分变量的选取无关,只与被积函数及积分区间有关,所以 ()()bbaaf x dx f t dt =⎰⎰.1.2 定积分的几何意义与物理意义设()f x 在[,]a b 上连续, 由定积分的定义知，()baf x dx ⎰在几何上表示界于x 轴、曲线()y f x =、x a =与x b =之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号;当x 为时间变量时, ()f x 是做直线运动的物体的速度函数, 则()baf x dx ⎰表示物体从时刻a 到时刻b 所走过的路程.由定积分定义和极限性质不难得到定积分存在的必要条件：定理1：函数()f x 在区间[,]a b 上可积的必要非充分条件是：()f x 在区间[,]a b 上有界。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
高等数学上册目录同济第七版
高等数学上册目录同济第七版目录第一章导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的计算1.3 高阶导数与Leibniz公式1.4 微分学的应用第二章极值与最值2.1 极值的概念与求解2.2 最值的概念与求解第三章中值定理3.1 Rolle定理3.2 Lagrange中值定理3.3 Cauchy中值定理第四章函数的单调性与曲线的凹凸性4.1 函数的单调性4.2 曲线的凹凸性第五章泰勒公式5.1 泰勒公式的定义与基本形式5.2 带Peano余项的Lagrange形式5.3 带Lagrange余项的形式第六章不定积分6.1 不定积分的定义与基本性质6.2 基本初等函数的不定积分6.3 分部积分法与换元积分法第七章定积分7.1 定积分的概念与性质7.2 定积分的计算方法7.3 定积分的应用第八章曲线长度、曲率与曲率半径8.1 曲线长度的计算8.2 曲率的概念与计算8.3 曲率半径第九章多元函数的极限、连续与偏导数9.1 多元函数的极限9.2 多元函数的连续9.3 偏导数及其应用第十章多元函数的微分、全微分与隐函数定理10.1 多元函数的微分10.2 多元函数的全微分10.3 隐函数定理第十一章重积分11.1 二重积分的概念与性质11.2 二重积分的计算方法11.3 三重积分的概念与性质11.4 三重积分的计算方法第十二章曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分的概念与计算方法12.2 曲面积分的概念与计算方法第十三章常微分方程13.1 常微分方程的概念与解法13.2 一阶常微分方程的解法13.3 高阶常微分方程的解法以上就是《高等数学上册目录同济第七版》的主要内容目录，希望对你的学习有所帮助。
分部积分法(一)
说明
当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之
积时, 如:
xα loga x, xα arcsin x
要用分部积分公式.
u 并选对数函数、反三角函数为
3
例
x ln xdx= ln x( 2x 2 )dx
3
33
= 2x 2 ln x − 3
2x 2 (ln x)dx 3
= x(e x )dx
= xe x − e x xdx
= xe x − e x + C
xe xdx
= e x ( 1 x2 )dx
2
= 1 x2 e x − 1 x2 (e x )dx
2
2
= 1 x2 e x − 1 x2e xdx
2
2
例
求 x2e xdx
例
求 x cos xdx
解
若取u = cos x, v =
x2 ,
2
由分部积分公式,得
x
cos
xdx
=
(
1 2
x2
)
cos
xdx
= 1 x2 cos x − 1 x2(cos x)dx
2
2
= 1 x2 cos x + 1 x2 sin xdx
2
2
例
求 xe xdx
解
xe xdx
微积分II
Calculus II
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质 §6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.4 分部积分法（一）
一 分部积分法
1 定理一
第6章第2节不定积分的计算_图文
求 f (x)dx 设 x (t) dx (t)dt
f ((t))(t)dt,
dx 2sin x cos x
dx
d (tan 2x ) 2 三角公式使用
凑!
tan x 2
dx cos x
2 cos2
x
2 d(x
)
sin(x
2
)
2 tan x
2
ln | csc x cotx | C. (tan x 1 cos x csc x
2 sin x
ln | sec x tan x | C.
e x
C.
x
2.
令 1 t, x
dx
1 t2
dt
变量代换
原式
t
2et
(
1 t2
)dt
1
etdt e x C.
2020年5月12日星期二
6
由浅入深
§6.2. 不定积分的计算
定理 : 设f (x)连续,x (t)及(t)皆连续,x (t)的反
函数t 1(x)存在且连续, 且
f ((t))(t)dt F(t) C,
公式
cotx)
2
例5. x2 4 3x3 dx
1
(4
3x3
)
1 2
d
(4
(4 3x3)2 C.
9
9
27
2020年5月12日星期二
5
由浅入深
§6.2. 不定积分的计算
二、换元积分法
第二类换元法
例6. 求
1 x2
e
1 x
dx
1.
原式
e
1 x
d
(
1
不定积分课件
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
微积分第6章不定积分
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以 便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括 线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx， 即两个函数的乘积的不定积分等于它 们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到 函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概 念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要 掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与 三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意 义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结 果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起 使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 不定积分6.1 不定积分的概念和运算法则前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导数、微分的概念。
我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。
在以前我们也学过很多的运算。
例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。
我们可以将求导运算与这些已知的很熟悉的运算相类比。
（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。
）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。
我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它的逆运算是什么？问题1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？我们知道导数概念是一个非常重要的概念。
它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。
例如（1）已知物体的运动规律)(t s s =，即路程函数，求物体的瞬时速度)(t v ；（2）已知曲线)(t y y =，求它的切线的斜率。
如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数)(t v ，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。
在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜式很快就能得到。
如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。
我们把求导的逆运算称为不定积分。
定义：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果存在函数)(x F ，使 I x x f x F ∈=),()('称)(x F 是函数)(x f （在区间I 上）的原函数。
例如：at at ='2)21( （a 是const ），所以221at 是at 的原函数。
x x cos )(sin '=，所以x sin 是x cos 的原函数。
2121)'2(-=xx ，所以212x 是21-x的原函数。
23)'231(x x =+，所以2313+x 是2x 的原函数。
问题2：函数)(x f 的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。
如果存在，其原函数是否唯一？对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。
而对后半截问题的回答则是容易的。
显然由)(x F 是)(x f 的原函数，即)()('x f x F =，则)()')((x f c x F =+ ， （c 是const ）即c x F +)(也是)(x f 的原函数。
由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个函数就有无限多个原函数。
问题3：函数)(x f 的原函数的结构是什么样子。
已知一个原函数为)(x F ，是否每一个原函数都可表示为形式c x F +)(？换句话说，除了c x F +)(形式之外，是否还有其它形式的函数，也是)(x f 的原函数？定理：如果)(x F 是函数)(x f 的原函数，则函数)(x f 的无限多个原函数仅限于c x F +)(（c 是const ）的形式。
证明：已知)(x F 是)(x f 的原函数，即)()('x f x F = （1）设)(x φ是函数)(x f 的另一个原函数，即)()('x f x =φ （2） （1） 与（2）相减，有0)()()]'()([)(')('=-=-=-x f x f x F x x F x φφ由第6.1节，例1，c x F x =-)()(φ（c 是某个常数）或c x F x +=)()(φ，亦即函数)(x f 的任意一个原函数)(x φ都是c x F +)(的形式。
这就给出了函数)(x f 的原函数的构造问题。
一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。
如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。
另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得到。
定义：函数)(x f 的所有的原函数c x F +)(（c 是const ），称为函数)(x f 的不定积分。
表为⎰+=c x F dx x f )()( （)()('x f x F =）其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，c 称为积分常数。
值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。
例如：at at ='2)21( ， 有 c at atdt +=⎰221x x cos )(sin '=， ⎰+=c x xdt sin cos23)'31(x x =， c x dx x +=⎰3231 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算，积分运算是微分运算的逆运算。
对于一个运算有它的运算法则，有它的公式表，例如乘法运算的法则及其乘法表。
一、不定积分的性质及运算法则：1．)()')((x f dx x f =⎰ 或 ⎰=dx x f dx x f d )()( 亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。
证明：设)(x F 是函数)(x f 的原函数，即)()('x f x F =，则)()')(()')((x f c x F dx x f =+=⎰2．⎰+=c x F dx x F )()(' 或⎰+=c x F x dF )()(亦即函数)(x F 的导数（或微分）的不定积分等于函数族c x F +)(。
证明：已知)(x F 是函数)('x F 的原函数，则 ⎰+=c x F dx x F )()('。
例如：x x d x s i n )'sin (=⎰x x dx x x +=+⎰223)')3((⎰+=c x x d s i n s i n c x x x x d ++=+⎰223)3(3．（齐次性）⎰⎰=dx x f a dx x af )()(，a 是常数，且0≠a 。
即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。
证明：)()')(()')((x af dx x af dx x f a ==⎰⎰，即⎰⎰=dx x f a dx x af )()(。
4．（可加性）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。
即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和。
证明：)')(()')(()')()((⎰⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g dx x f＝)()(x g x f ±即⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。
此法则可推广到n 个（有限）函数，即n 个函数的代数和的不定积分等于n 个函数不定积分的代数和。
3．4．表明积分运算是线性运算，亦即⎰⎰⎰+=+dx x g b dx x f a dx x bg x af )()()]()([。
当然，上式也可推出3．4。
类似于从乘法表得到除法表，我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表： 1．⎰+=c ax adx ,⎰+=c x dx a 是常数， 2．1,111-≠++=+⎰ααααα是常数，其中c x dx x 3．c x x dx+=⎰ln4．1,0,ln 1≠>+=⎰a a c a adx a x x且其中 特别c e dx e xx +=⎰5．⎰+=c x xdx cos sin － 6．⎰+=c x xdx sin cos7．c tgx x dx+=⎰2cos8．c ctgx xdx +-=⎰2sin 9．c x c x xdx +-=+=-⎰arccos arcsin 1210．c arctgx x dx+=+⎰2111．⎰+=c chx shxdx 12．⎰+=c shx chxdx 公式3的补充说明：（1）()c x xdx x x x +==>⎰ln ,1'ln 0所以时，。
（2）()⎰+-==-<c x xdx x x x )ln(,1')ln(0所以时，。
于是，对0>x 或0<x ，都有c x x dx+=⎰ln 。
乘法表对于乘法运算相当重要，所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。
例1：求⎰++-dx x x x )3524(23。
解：⎰++-dx x x x )3524(23＝⎰⎰⎰⎰++-dx xdx dx x dx x 352423＝⎰⎰⎰⎰++-dx xdx dx x dx x 352423＝c x x x x ++⋅+⋅-⋅3553244234 ＝c x x x x +++-32532234值得注意的是，等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数的代数和还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。
例2：求dx x x 2)21(⎰-。
解：dx x x 2)21(⎰-＝dx x x x ⎰+-)44(252321 ＝dx x dx x dx x ⎰⎰⎰+-25232144＝c x x x ++-272523785832 例3：求dx xx x x ⎰+-3)1)((。
解：dx xx x x ⎰+-3)1)((＝c x x dx x dx x dx xxx x +-=-=-⎰⎰⎰676136167376136例4：求⎰x x dx22cos sin 。
解： ⎰xx dx22cos sin ＝⎰⎰⎰+=+x dxx dx dx xx x x 222222sin cos cos sin cos sin ＝c ctgx tgx +-例5：求dx x ctg x ⎰+)10(2。
解：dx x ctg x ⎰+)10(2＝dx xxdx dx ctg dx xx⎰⎰⎰⎰-+=+222sin sin 11010 ＝dx x ⎰10⎰⎰-+dx x dx2sin＝c x ctgx x +--1010ln 1例6：求⎰+dx x x 221。
解： ⎰+dx xx 221 ＝⎰+-+dx x x 22111＝⎰⎰⎰+-=+-dx x dx dx x 2211)111(＝c arctgx x +-例7：c x shx dx x chx x x ++-=+-⎰10)10ln 105(546.2分部积分法与变量替换法虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则，以及积分公式表，但我们仅对较简单的函数易求不定积分，而对较复杂的就较难求了。
例如：⎰xdx x sin 就不能用运算法则来求。
另外，如⎰xdx 2cos 亦不能用运算法则和公式来求。
所以我们必须新辟途径来求不定积分。
至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求，把不能用公式表示的化为用公式来表示。