初三数学第四模块函数第六课时函数强化训练
中考数学 强化训练 第3讲：第9-16课时_函数
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2020年9年级数学周末课(函数强化)
2020年9年级数学周末课（函数强化）一．选择题（共3小题）1．如果我们把函数y＝ax2+b|x|+c称为二次函数y＝ax2+bx+c的“镜子函数”，那么对于二次函数C1：y＝x2﹣2x﹣3的“镜子函数”C2：y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法：①C2的图象关于y轴对称；②C2有最小值，最小值为﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与C2的图象有三个交点时，−134≤b≤﹣3中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=1 2，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．③④ C．①③ D．①②⑤3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共5小题）4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2√3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．5．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．6．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx−125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线y1＝ax2−12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．8．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√3≈1.73）2020年9年级数学周末课（函数强化）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如果我们把函数y＝ax2+b|x|+c称为二次函数y＝ax2+bx+c的“镜子函数”，那么对于二次函数C1：y＝x2﹣2x﹣3的“镜子函数”C2：y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法：①C2的图象关于y轴对称；②C2有最小值，最小值为﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与C2的图象有三个交点时，−134≤b≤﹣3中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3进行判断；②化为顶点式y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，进而判断；③用反例法，如当m＝﹣4时，解方程得出解的情况，再进行判断；④由方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，求出b的取值．【解答】解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，∴C2：y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，故③错误；④∵直线y＝x+b与C2的图象有三个交点，∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x ＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．即{△1=9+12+4b＞0x1⋅x2=−3−b≥0△2=1+12+4b=0x3⋅x4=−3−b＞0，或{△1=9+12+4b＞0x1⋅x2=−3−b≥0△2=1+12+4b＞0x3⋅x4=−3−b≤0或{△1=9+12+4b≥0x1⋅x2=−3−b≤0△2=1+12+4b≥0x3⋅x4=−3−b≥0，解得，b=−134，或b＝﹣3，或b＝﹣3，∴当b=−134或b＝﹣3时，直线y＝x+b与C2的图象有三个交点，故④错误；故选：B．【点评】本题是一个新定义题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的最值的应用，一元二次方程的根的判别式的应用，关键是把新定义的知识转化为已有熟悉的知识进行解答．2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤【分析】根据抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称轴得b＝﹣a＞0，则2a﹣b＝0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则abc＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c＝﹣2a，则得到﹣2b+c＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c＝0，则可对③进行判断；通过点（−52，y1）和点（52，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=12，开口向下，得到当x=12时，y有最大值，所以14a+12b＞m（am+b）（其中m≠12），由a＝﹣b代入则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=12，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵对称轴为x=12，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴ca=−1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；∵抛物线经过点（2，0）∴x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误；∵点（−52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确．∵抛物线的对称轴为直线x=12，∴当x=12时，y有最大值，∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12），∴14a+12b＞m（am+b）（其中m≠12），∵a＝﹣b，∴−14b+12b＞m（am+b），∴14b＞m（am+b），所以⑤正确；故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+bx+c上的点（﹣1，﹣4）的对称点为（﹣5，﹣4），则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），即x＝﹣3时，函数有最小值，∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，∴m＜n，所以③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二．解答题（共5小题）4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2√3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【分析】（1）求出D（32，2√3），再用待定系数法即可求解；（2）证明EBAB=BDBC，即可求解；（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH=√3，求出点F（1，√3），则点G （3，√3），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．【解答】解：（1）∵B（2，2√3），则BC＝2，而BD=12，∴CD ＝2−12=32，故点D （32，2√3），将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：2√3=k32，解得k ＝3√3，故反比例函数表达式为y =3√3x ， 当x ＝2时，y =3√32，故点E （2，3√32）；（2）由（1）知，D （32，2√3），点E （2，3√32），点B （2，2√3），则BD =12，BE =√32，故BDBC =122=14，EB AB =√322√3=14=BDBC ， ∴DE ∥AC ；（3）①当点F 在点C 的下方时，如下图，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，∵四边形BCFG 为菱形，则BC ＝CF ＝FG ＝BG ＝2， 在Rt △OAC 中，OA ＝BC ＝2，OC ＝AB ＝2√3，则tan ∠OCA =AO CO =223=√33，故∠OCA ＝30°，则FH =12FC ＝1，CH ＝CF •cos ∠OCA ＝2×√32=√3，故点F （1，√3），则点G （3，√3），当x ＝3时，y =3√3x =√3，故点G 在反比例函数图象上；②当点F 在点C 的上方时， 同理可得，点G （1，3√3），同理可得，点G 在反比例函数图象上；综上，点G 的坐标为（3，√3）或（1，3√3），这两个点都在反比例函数图象上． 【点评】此题为反比例函数综合题，涉及到菱形的性质、解直角三角形、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．5．如图1，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 过点A （﹣1，0），点B （3，0）与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜3），过点E 作直线l ⊥x 轴，交抛物线于点M ． （1）求抛物线的解析式及C 点坐标；（2）当m ＝1时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；（3）如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设△AEM 的面积为S 1，△MON 的面积为S 2，若S 1＝2S 2，求m 的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，则可以分CD ＝AD 或AC＝AD 两种情况，分别求解即可；（3）S 1=12×AE ×y M ，2S 2＝ON •x M ，即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得{b =2c =3，故抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 当x ＝0时，y ＝3，故点C （0，3）；（2）当m ＝1时，点E （1，0），设点D 的坐标为（1，a ），由点A 、C 、D 的坐标得，AC =√(0+1)2+(3−0)2=√10，同理可得：AD =√a 2+4，CD =√1+(a −3)2，①当CD ＝AD 时，即√a 2+4=√1+(a −3)2，解得a ＝1； ②当AC ＝AD 时，同理可得a =±√6（舍去负值）； 故点D 的坐标为（1，1）或（1，√6）；（3）∵E （m ，0），则设点M （m ，﹣m 2+2m +3），设直线BM 的表达式为y ＝sx +t ，则{−m 2+2m +3=sm +t 0=3s +t，解得{s =−m −1t =3m +3， 故直线BM 的表达式为y ＝（﹣m ﹣1）x +3m +3，当x ＝0时，y ＝3m +3，故点N （0，3m +3），则ON ＝3m +3；S 1=12×AE ×y M =12×（m +1）×（﹣m 2+2m +3），2S 2＝ON •x M ＝（3m +3）×m ＝S 1=12×（m +1）×（﹣m 2+2m +3），解得m ＝﹣2±√7或﹣1（舍去负值）， 故m =√7−2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图1，抛物线C ：y ＝ax 2+bx 经过点A （﹣4，0）、B （﹣1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线l ：y ＝kx −125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜﹣2），连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A （﹣4，0）、B （﹣1，3）代入y ＝ax 2+bx 中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标；（2）根据抛物线C 绕点O 旋转180°，可求得新抛物线C ′的解析式，再将A （﹣4，0）代入y ＝kx −125中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作DH ∥y 轴交直线l 于H ，过E 作EK ∥y 轴交直线l 于K ，由DE ＝2EM ，即可得ME MD =13，再证明△MEK ∽△MDH ，即可得DH ＝3EK ，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证△ABG 是Rt △，∠ABG ＝90°，可得tan ∠DEP ＝tan ∠GAB =13，在x 轴下方过点O 作OH ⊥OE ，在OH 上截取OH =13OE =√2，过点E 作ET ⊥y 轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可． 【解答】解：（1）将A （﹣4，0）、B （﹣1，3）代入y ＝ax 2+bx 中，得{16a −4b =0a −b =3解得{a =−1b =−4∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx−125中，得0＝﹣4k−125，解得k=−35，∴直线l解析式为y=−35x−125，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴OROF=RMDF=OMOD=2∴OR＝2OF，RM＝2DF ∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m=−35•（﹣2m）−125，解得：m1＝﹣3，m2=−2 5，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3√2，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB=BGAB=√232=13，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB=13，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH=13OE=√2，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则{3p+q=−3−p+q=−1，解得{p=−12q=−32∴直线EH解析式为y=−12x−32，解方程组{y=−12x−32y=−x2−4x，∴x=−7+√734或√73−74，∴点P的横坐标为：−7+√734或√73−74．【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．7．如图1，抛物线y1＝ax2−12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【分析】（1）应用待定系数法求解析式；（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【解答】解：（1）由已知，c=34，将B（1，0）代入，得：a−12+34=0，解得a=−14，抛物线解析式为y1=−14x2−12x+34，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=−14（x﹣1）2，即y2=−14x2+12x−14．（2）存在，如图1：抛物线y 2的对称轴l 为x ＝1，设T （1，t ），已知A （﹣3，0），C （0，34），过点T 作TE ⊥y 轴于E ，则TC 2＝TE 2+CE 2＝12+（34−t ）2＝t 2−32t +2516，TA 2＝TB 2+AB 2＝（1+3）2+t 2＝t 2+16， AC 2=15316，当TC ＝AC 时，t 2−32t +2516=15316解得：t 1=3+√1374，t 2=3−√1374；当TA ＝AC 时，t 2+16=15316，无解； 当TA ＝TC 时，t 2−32t +2516=t 2+16，解得t 3=−778；当点T 坐标分别为（1，3+√1374），（1，3−√1374），（1，−778）时，△TAC 为等腰三角形．（3）如图2：设P （m ，−14m 2−12m +34），则Q （m ，−14m 2+12m −14）∵Q 、R 关于x ＝1对称∴R （2﹣m ，−14m 2+12m −14）， ①当点P 在直线l 左侧时， PQ ＝1﹣m ，QR ＝2﹣2m ， ∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ ＝GM 且QR ＝AM 时，m ＝0，∴P （0，34），即点P 、C 重合．∴R （2，−14），由此求直线PR 解析式为y =−12x +34，当PQ ＝AM 且QR ＝GM 时，无解； ②当点P 在直线l 右侧时， 同理：PQ ＝m ﹣1，QR ＝2m ﹣2，则P （2，−54），R （0，−14），PQ 解析式为：y =−12x −14；∴PR 解析式为：y =−12x +34或y =−12x −14【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．8．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√3≈1.73）【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×1213=624013=480km，BD＝AB•cos67°＝520×513=260013=200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×√33=200√33，∴AC＝AD+CD＝480+200√33≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．第1页（共1页）。
表示函数的方法(3知识点+4题型+强化训练)(学生版) 24-2025学年高一数学上学期必修第一册
3.1.2 表示函数的方法课程标准学习目标（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示函数, 理解函数图象的作用。
（1）会求函数的解析式; （难点)（2）列表法表示函数（3）图象法表示函数。
知识点01 解析法把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。
比如正方形周长C 与边长a 间的解析式为C =4a ，圆的面积S 与半径r 的解析式S =πr 2等.求函数解析式的方法① 配凑法 ② 待定系数法③ 换元法④ 构造方程组法 ⑤ 代入法【即学即练1】已知函数f (x )=1x ，则f (x +1)=（ ）A ．f (x +1)=1x+1B ．f (x +1)=1x―1C ．f (x +1)=2x―1D ．f (x +1)=2x+1知识点02 列表法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.【即学即练2】函数f(x)与g(x)的对应关系如下表．x―101x123f(x)132g(x)0―11则g(f(―1))的值为（）A．0B．3C．1D．―1知识点03 图象法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.【即学即练3】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．【题型一：解析法表示函数】例1．若函数y=f(x)对任意x∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，则下列函数可以为y=f(x)解析式的是（）A．f(x)=x+1B．f(x)=2x―1C．f(x)=2x D．f(x)=x2+x变式1-1．一个等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则（）A．y=10―x(0<x≤10)B．y=10―x(0<x<10)C．y=20―2x(5≤x≤10)D．y=20―2x(5<x<10)变式1-2．下列函数中，对任意x，不满足2f(x)=f(2x)的是（）A．f(x)=|x|B．f(x)=―2xC．f(x)=x―|x|D．f(x)=x―1变式1-3．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(4)=8，则f（）A B．2C．4D．6变式1-4．若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b)1―f(a)f(b)，且f(2)=12，f(3)=13，则f(7)=A．1B．3C．43D．83【方法技巧与总结】理解函数解析式y=f(x)，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立的；比如①函数f(x)=x2(x>0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则x ,y 取任何实数均可使得等式成立.【题型二：求函数的解析式】方法1 待定系数法例2．若二次函数f(x)满足f(x +1)―f(x)=2x ，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ）A ．f(x)=―x 2―x ―1B ．f(x)=―x 2+x ―1C ．f(x)=x 2―x ―1D ．f(x)=x 2―x +1变式2-1．已知f(x)是一次函数，且2f(2)―3f(1)=5，2f(0)―f(―1)=3，则f(x)=（ ）A ．3x ―2B ．3x +2C ．92x ―12D ．4x ―1变式2-2．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)―2x]=3，则f(5)=（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5变式2-3．已知二次函数f (x )满足f(2)=―1,f(1―x)=f(x)，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）A ．―4x 2+4x +7B ．4x 2+4x +7C ．―4x 2―4x +7D ．―4x 2+4x ―7方法2 换元法例3．已知函数f 2)=x ―，则f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=x 2+1(x ≥0)B ．f(x)=x 2+1(x ≥―2)C ．f(x)=x 2(x ≥0)D ．f(x)=x 2(x ≥―2)变式3-1．已知函数f(1―x)=1―x2x2(x≠0)，则f(x)=（）A．1(x―1)2―1(x≠0)B．1(x―1)2―1(x≠1)C．4(x―1)2―1(x≠0)D．4(x―1)2―1(x≠1)变式3-2．设函数f1+=2x+1，则f(x)的表达式为（）A．1+x1―x (x≠1)B．1+xx―1(x≠1)C．1―x1+x (x≠―1)D．2xx+1(x≠―1)变式3-3．已知f1)=x+3，则f(x)=（）A．x2―2x+2(x≥0)B．x2―2x+4(x≥1)C．x2―2x+4(x≥0)D．x2―2x+2(x≥1)方法3 方程组法例4．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=―15x，则f(2)的值为（）A．152B．154C．174D．172变式4-1．若函数f(x)，g(x)满足f(x)―=3x―4x，且f(x)+g(x)=2x+6，则f(2)+g(―1)=（）A．6B．7C．8D．9变式4-2．已知函数f(x)满足f(x)+2f(2―x)=1x―1，则f(3)的值为（）A．―73B．―109C．―415D．―16变式4-3．已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x)+2f(―x)=2x+12.(1)求f(x)的解析式；(2)若点P(a,b)在y=f(x)图像上自由运动，求4a+2b的最小值.【方法技巧与总结】求函数解析式，可视情况而定，1 若已知函数类型，可用待定系数法；2 若求f(g(x))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.【题型三：列表法表示函数】例5．设已知函数f(x),g(x)如下表所示：x12345f(x)54321g(x)43215则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为（）A．{1,3}B．{5,3}C．{2,3,4}D．{5}变式5-1．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：则f[g(2)]的值是（）x123f(x)131g(x)321A．1B．2C．3D．1和2变式5-2．观察下表：x―3―2―1123f(x)51―1―335g(x)1423―2―4则f[f(―1)―g(3)]=（）A．―4B．―3C．3D．5变式5-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数f(x)由下表给出，则f10f）x x≤11<x<2x≥2y123A．0B．1C．2D．3【方法技巧与总结】表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.【题型四：图象法表示函数】例6．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（）①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.A．③①②B．③④②C．②①③D．②④③变式6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．变式6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（）A．甲、乙、丙B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙D．乙、丙、甲变式6-3．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t=ax+bx(a∈R,b∈R)，当x=2时，t=100；当x=4时，t=53，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出t关于x的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．【方法技巧与总结】图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋势，增减趋势的缓急等等！一、单选题1．已知定义在[―2,2]上的函数y=f(x)表示为:x[―2,0)0(0,2]y10―2设f(1)=m，f(x)的值域为M，则（）A．m=1,M={―2,0,1}B．m=―2,M={―2,0,1}C．m=1,M={y|―2≤y≤1}D．m=1,M={y|―2≤y≤1}2.函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则g(f(3)―1)的值为（）x123g(x)20230―2023A．2023B．0C．―1D．―20233.设f(x)=xx2+1，则( )A．f(x)B．―f(x)C．1f(x)D．―1f(x)4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(A→B→O→A)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0<f(―1)=f(―2)=f(―3)≤3，则（）A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>96.已知f+1)=x+3，则f(x)的解析式为f(x)=（）A．x2―2x+4B．x2+3C．x2―2x+4(x≥1)D．x2+3(x≥1)7.函数f(x)满足2f(x)―f(1―x)=x，则函数f(x)=（）A．x―2B．x+13C．x―13D．―x+28.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表一市场供给量单价（元/kg）2 2.4 2.8 3.2 3.64供给量（1000kg）506070758090表一市场需求量单价（元/kg）4 3.4 2.9 2.6 2.32需求量（1000kg）506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）A．(2.3,2.6)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内二、多选题9．某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）A．前2年的产品产量增长速度越来越快B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产D．第2年后，这种产品产量保持不变10.下列说法正确的是（）A．函数f(x+1)的定义域为[―2,2)，则函数f(x)的定义域为[―1,3)B．f(x)=x2x和g(x)=x表示同一个函数C．函数y=1x2+3的值域为0D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)―f(―x)=x+1，则f(x)=x3+111.已知f(0)=12，f(x+y)=f(x)f(1―y)+f(y)f(1―x)，则（）A．f(1)=12B．f(x)=12恒成立C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个三、填空题12．下列表示函数y=f(x)，则f(11)=．x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y234513.已知y=f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)―f(x)=2x，则y=f(x)=．14.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)=2，φ(7)=6，φ(9)=6，则下列说法正确的序号是．①φ(5)=φ(10)；②φ(2n―1)=1；③φ(32)=16；④φ(2n+2)>φ(2n)，n是正整数．四、解答题15．下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C？(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？16.已知f(x)=1（x∈R，且x≠―1），g(x)=x2+2(x∈R)．1+x(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；(3)求f(x)和g(x―1)的值域．17.已知二次函数f(x)满足f(x)=f(2―x)，且f(0)=―3，f(1)=―4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=x+1，比较f(x)与g(x)的大小.18.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①a=2；②不等式f(x)>0的解集为{x|―1<x<3 }；③函数f(x)的最大值为4.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f(x)的解析式；(2)求关于x的不等式f(x)≥(m―1)x2+2(m∈R)的解集.19．已知函数y=f(x)与y=g(x)的定义域均为D，若对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<|f(x1)―f(x2)|成立，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”.(1)若f(x)=3x+1,g(x)=x,D=R，判断函数y=g(x)是否是函数y=f(x)在D上的“L函数”，并说明理由；(2)若f(x)=x2+2,g(x)==[0,+∞)，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若f(x)=x,D=[0,2]，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，且g(0)=g(2)，求证：对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<1.。
函数的切线问题专题强化训练及答案
两个交点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
1
1 e
,1
1 e
C．
1
1 e
,
B．
1
1 e
,
1
1
1 e
D．
1
1 e
,
1
1
1 e
,
【 例 19 】 已 知 函 数 f x x 2017 x 2016 x 1 x 1 x 2016 x 2017 ， 在 不 等 式
ae 1 ae
类推：
f g
x,h x过m,0 x,t x过0,m
的切线斜率分别为
em1 1
em1
（根据平移记忆）和
aeam 1
1
aem1
（不要求记忆）
考点 1 切线及斜率问题
【例 1】曲线 y xex1 在点 1，1 处切线的斜率等于（ ）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
8．如右图，直线 y ax 2 与曲线 y f x 交于 A、B 两点，其中 A 是切点，记 h x f x , g x f x ax ，
取值范围是
．
【例 5】若 P 是函数 f x x 1ln x 1 图象上的动点，点 A1, 1 ，则直线 AP 斜率的取值范围为（ ）
257
学习数学 领悟数学 秒杀数学
第五章 导数
A． 1,
B． 0,1
C． e1, e
D． , e1
中考复习强化训练6 函数(二)(含答案)
初三数学强化训练（六）函数(二)（总分150分，时间100分钟）班级__________________姓名_______________学号__________得分_______一、填空题(每空3分,共30分)：1．点(－2,1)在第_______象限,它关于x 轴的对称点在第________象限． 2．函数xy 1-=的自变量x 的取值范围是 ．3．二次函数223y x x =+-的图象的对称轴是直线 ，最小值是 ．4．若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x的一个解31=x ，另一个解=2x ．5、（2006年南通市中考题）如图3.2—7，直线(0)y kx k =>与双曲线4y x=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则122127x y x y -的值等于 .6．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2—1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_________________．二、选择题：(每题3分,共18分)11坐标半面上，在第二象限内有一点P ，且P 点到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，则P 点坐标为何？ （ ）A ．(-5，4)B ．(-4，5)C ． (4，5)D ． (5，-4) 16．已知正比例函数y =k 1x (k 1≠0)与反比例函数y =2k x(k 2≠0)的图象有一个交点的坐标为 (-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是 ( )A ． (2，1)B ． (-2，-1)C ． (-2，1)D ． (2，-1)图3.2—79．将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式，结果为( ) A．y=(x+1)2+4 B．y=(x-1)2+4 C．y=(x+1)2+2 D．y=(x-1)2+2．13．在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能．．作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（－3，1）B．（4，1）C．（－2，1）D．（2，－1）12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误．．的是( ) A．ab＜0 B．ac＜0C．当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根13．如图,点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n-=2)(的顶点在线段y+mxaAB上运动,与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3-，则点D的横坐标最大值为( ) A．－3 B．1 C．5 D．814．如图,已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC 于F, 设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图象是( )．三、解答题(共102分)：15．已知二次函数y=ax2＋bx1，0）．（1（2y轴向上平移个单位．（10分）16．已知二次函数2y x bx c=+-的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（3m-，0）（0m≠）．（1）证明243c b=；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x=，试求二次函数的最小值．（11分）17．（12分）已知二次函数y＝—12x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．18．已知二次函数cbxxy++-=2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．（10分）19．二次函数2x y =的图像如图所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）写出函数平移后的图像的解析式．（2）求经过两次平移后的图像与x 轴的交点，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？（10分）20．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点． （9分）21．某商店经营一种小商品，进价为2．5元，据市场调查，销售单价是13．5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件(1)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围．(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本) （14分）22．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2．5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0．5米时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离．（12分）23．二次函数k m x y ++=2)(的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,－4)．（1）求出图象与x 轴的交点A ,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ， 使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．（14分）参考答案一、填空题1．x= －1,－4 ．2．y =x 2 －1 3．4 4． k=1或－1 5．1, －8 ．6．－1 7． ② 、④ ． 8．)2,6)(2,6(- 二、选择题：9．D 10．A 11． A 12．B 13．D 14．A ． 三、解答题15．解：(1)由已知，有⎩⎨⎧=---=-+033324b a b a ，即⎩⎨⎧=-=+3024b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a∴所求的二次函数的解析式为322--=x x y . (2) 416．证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =． ∴224312c b m ==． （2）解：依题意，12b -=，∴2b =-．由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=∴2223(1)4y x x x =--=--．∴二次函数的最小值为4-． 17.18.（1）22323b c y x x =-=-++，， （2）13x -<<19.解：画图如图所示：依题意得：2)1(2--=x y =2122-+-x x =122--x x∴平移后图像的解析式为：122--x x（2）当y=0时，122--x x =0 2)1(2=-x 21±=-x 212121+=-=x x ，∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0）由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0.20．因为 01)2(2=++-+-m x m x 的⊿=82+m ＞0，它有两个不相等的实数根，所以不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点.21.(1)解：设降价x 元时利润最大．依题意：y ＝(13.5－x －2.5)(500＋100x )整理得：y ＝100(－x 2＋6x ＋55)(0＜x ≤1) (2)由(1)可知，当x ＝3时y 取最大值，最大值是6400 即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元． 答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元 22．0.5米23.(1) 因为M(1,－4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y 令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x . ∴A ，B 两点的坐标分别为A （－1，0），B （3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45设),,(y x p 则y y AB S PAB 221=⨯=∆，又8421=-⨯=∆AB S MAB ,∴.5,8452±=⨯=y y 即∵二次函数的最小值为－4，∴5=y .当5=y 时，4,2=-=x x 或.故P 点坐标为（－2，5）或（4，5） （3）如图，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b 由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b。
三角函数专题强化训练及答案
专题1三角函数基本概念1．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．（2）从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ(或{}Z k k ∈+=,2παββ)．2．象限角3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示．（2）角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么αr l =，角α的弧度数的绝对值是rl =α（3）角度与弧度的换算①1180rad π︒=② π1801=rad （4）弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，又αr l =，则扇形的面积为21122S l r r α=⋅=⋅⋅.4．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么y 叫做a 的正弦，记作sinαx 叫做a 的余弦，记作cosαxy叫做a 的正切，记作tanα三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦第一象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+<<Z k k k ,222ππαπα第二象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+<<+Z k k k ,222ππαππα第三象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα第四象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈<<Z k k k ,22-2παππα5．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()ααsin ,cos ，即()ααsin ,cos P ，其中,sin ,cos MP OM ==αα单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan ．我们把有向线段AT MP OM 、、叫做α的余弦线、正弦线、正切线．6．对任意角的理解（1）不少同学往往容易把“小于 90的角”等同于“锐角”，把“ 90~0的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{}090αα︒<<︒，第一象限角的集合为{}36036090,k k k Z αα⋅︒<<⋅︒+︒∈．（2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．【例1】870-︒的终边在第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四A ．2π3B ．11π6C ．5π6D ．3π4A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由0tan >α，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．故选C.【例4】若点P 在32π角的终边上，且P 的坐标为),1(y -，则y 等于________．【例5】弧长为π3，圆心角为135的扇形半径为________，面积为________．三角函数线【例6】（1）如果α是第三象限的角，那么a -，2a 的终边落在何处？（2）写出终边在直线x y 3=上的角的集合．【例7】若角β的终边与60︒角的终边相同，则在 360~0范围内，终边与角3的终边相同的角为________．任意角三角函数求法1．三角函数的定义中，当()y x P ,是单位圆上的点时有sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=但是若不是单位圆时，如圆的半径为,r 则sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=．2．若已知角α的终边上有异于原点的点的坐标()y x A ,，求角α的三角函数值时，则应先求|OA |＝r ，然后再利用定义sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=求解．3．同角三角函数的关系：平方关系：22sin cos 1αα+=商数关系：αααcos sin tan =．常考模型一已知一三角函数值，求另外两个三角函数值【例8】（1）已知1sin 3α=，求cos α，tan α的值．（2）已知21cos -=α，且α在第三象限，求sin α，tan α的值．（3）已知2tan -=α，且α在第二象限，求sin α,cos α的值.【例9】已知角α的终边经过点()3,-m P ，且54cos -=α，则m 等于（）A ．411-B ．411C ．4-D ．4A ．22B ．22-C ．22或22-D ．1常考模型二已知正切值，求齐次分式的值齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：sin cos sin cos a b c d αααα++或者222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c αααααααααα++⇒+【例11】已知tan 2α=，求：（1）sin cos sin cos αααα+-；（2）222sin 23cos sin ααα+-；（3）2sin sin cos 2ααα++．同步达标训练1．（2015•福建）若135sin -=α，则α为第四象限角，则tan α的值等于（）A ．512B ．512-C ．125D ．125-2．（2018•北京）在平面直角坐标系中， AB ， CD， EF ， GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（）A ． AB B ． CDC ． EFD ． GH3．（2015•上海）已知点A 的坐标为(43,1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）A 33B 53C ．112D ．1324．（2014•新课标Ⅰ）若tan 0α>，则（）A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．sin 20α>5．（2014•大纲）已知角α的终边经过点(4,3)-，则=αcos （）A ．45B ．35C ．35-D ．45-6．（2013•大纲）若α为第二象限角，5sin 13α=，则=αcos （）A ．1213-B ．513-C ．513D ．12137．（2012•辽宁）已知sin cos 2αα-=(0,)απ∈，则tan α的值是（）A ．1-B ．22C ．22D ．18．（2011•福建）若(0,2πα∈，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于（）A ．22B ．33C 2D 39．（2009•辽宁）已知tan 2θ=，则=-+θθθθ22cos 2cos sin sin （）A ．43-B ．54C ．34-D ．4510．（2009•陕西）若tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为（）A ．0B ．34C ．1D ．5411．（2015•四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是．12．（2011•江西）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上的一点，且sin 5θ=-，则y =．13．（2011•上海）在ABC ∆中，tan A =，则sin A =．14．（2011•大纲）已知3(,2a ππ∈，tan 2α=，则cos α=．15．（2011•重庆）若3cos 5α=-，且3(,2παπ∈，则tan α=．专题2三角函数诱导公式一六组诱导公式组数一二三四五六角()Z k k ∈+απ2απ+α-απ-2p a -απ+2正弦αsin αsin αsin -αsin -αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -对于角()Z k k ∈±"2"απ的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说()Z k k ∈±απ2的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．【例1】 585sin 的值为（）A ．22B ．22C ．D【例2】已知()()sin 2πθπθ+=-，2θ<，则θ等于（）A ．6π-B ．3π-C ．6πD ．3π【例3】如果()1sin 2A π+=，那么3cos 2A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是________．A ．3B ．3-C ．1D ．1-【例6】已知(),0απ∈-，()tan 33πα+=，则cos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A ．10B ．10-C ．10D ．10-A ．2B ．2C 12D 12【例8】已知sin cos 4(,,,)f x a x b x a b =++++为非零实数，20115f =，则()2012f =（）A ．3B ．5C ．1D ．不能确定【例9】在ABC ∆中，1cos 3A =，则()sin B C +=________.【例11】已知),0(πθ∈，213cos sin -=+θθ，则θtan 的值为（）A ．3-或33-B ．33-C ．3-D ．23-同步达标训练1．（2013•广东）已知51sin()25πα+=，=αcos （）A ．25-B ．15-C ．15D ．252．（2010•大纲）记cos(80)k -︒=，那么=︒100tan （）A ．k B ．k-C D ．3．（2010•大纲）=︒300cos （）A ．2B ．12-C ．12D ．24．（2009•全国卷Ⅰ）sin 585︒的值为（）A ．22-B C ．D 5．（2004•北京）已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列不等关系中必定成立的是（）A ．sin 0θ<，cos 0θ>B ．sin 0θ>，cos 0θ<C ．sin 0θ>，cos 0θ>D ．sin 0θ<，cos 0θ<6．（2004•贵州）函数2sin()cos()()36y x x x R ππ=--+∈的最小值等于（）A ．3-B ．2-C ．D ．1-7．（2001•全国）tan 300cot 405︒+︒的值为（）A ．1+B ．1-C ．1--D ．1-8．（2016•四川）sin 750︒=．9．（2010•大纲）已知a 是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan ．10．（1994•全国）已知)0(51cos sin πααα<<=+，则=αtan ．11．（2007•浙江）若1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ的值是．12．（2007•浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324ππθ ，则cos 2θ的值是．专题3三角函数图像与性质正弦函数x y sin =与()ϕω+=x A y sin 的图像性质关系类比于研究sin y x =的性质，只需将()sin y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成y ＝sin x 中的x ，但在求()sin y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数()cos y A x ωϕ=+，()n y Ata x ωϕ=+的性质的方法与其类似，也是类比、转化．【例1】函数2sin 36y x p=+，x R Î的最小正周期是（）A ．3p B ．23p C．32p D ．π【例2】函数()tan36f x =+的最小正周期为（）A ．π3B ．π6C ．3p D ．23p xy sin =()ϕω+=x A y sin 周期π2ωπ2定义域RR 最大值1，22ππ+=k x 取得A ，当ωϕππ-+=22k x 取得最小值-1，当232ππ+=k x 取得-A ，当ωϕππ-+=232k x 取得单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--ωϕππωϕππ22,22k k 单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+ωϕππωϕππ232,22k k 对称轴2ππ+=k x ωϕππ-+=2k x 对称中心()0,πk ⎪⎭⎫⎝⎛-0,ωϕπk【例3】已知函数sin 4y A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π，则函数)(x f 的图象（）A ．关于直线4x p=对称B ．关于直线8x p=对称C ．关于点)0,4(π对称D ．关于点)0,8(π对称【例4】设函数()()sin f x A x ωϕ=+（0≠A ，0>ω，22ϕ-<<）的图象关于直线23x =对称，它的最小正周期为π，则（）A ．)(x f 的图象过点10,2B ．)(x f 在2,123p p上是减函数C ．)(x f 的一个对称中心是5,012p D ．)(x f 的一个对称中心是,06p【例5】函数2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上对称轴的条数为（）【例6】函数2sin(3)4y x =-的图象中两条相邻对称轴之间的距离是．【例7】同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3x p =对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上是增函数的一个函数是（）A ．sin 26x y p=+B ．cos 23y x p =+C ．sin 26y x p =-D ．cos 26x y p =-【例8】函数sin 26y x =-+的单调递增区间是（）A ．()2,263k k k Z p pp p -++ÎB ．()52,236k k k Z p pp p ++ÎC ．(),63k k k Z p p p p -++ÎD ．()5,36k k k Z p p p p ++Î【例10】已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π=时，取得最大值2，当49x π=时，取得最小值2-，则该函数的解析式是（）A ．12sin(36y x π=-B ．1sin(3)26y x π=+C ．1sin(3)26y x π=-D ．1sin(3)26y x π=-+【例11】若函数，求()2sin(2)6f x x π=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【例12】若函数()2sin()3f x x πω=+，且()2f a =-，()0f b =，βα-的最小值是2，则)(x f 的单调递增区间是（）A ．()5,1212k k k Z p pp p -++ÎB ．(),36k k k Z p pp p -++ÎC ．()22,233k kk Z p pp p -++ÎD ．()52,266k k k Z p pp p -++Î【例13】（1）若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x 有∈+=-，则()6f π等于（）A ．3-B ．0C ．3D ．3±（2）若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，对任意实数t 都有)(4(t f t f -=+π，且(18f p =-，则实数m 的值为（）A ．1±B ．3±C ．3-或1D ．1-或3【例14】函数()()sin f x A x ωϕ=+(),0ωϕω>是常数，．若()f x 在区间1,13-上具有单调性，且2(0)(1)3f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则下列有关()f x 的每题正确的有（请填上所有正确命题的序号）．①()f x 的最小周期为2；②13x =是()f x 的对称轴；③()f x 在51,3上具有单调性；④56y f x =+为奇函数．1.−−−−−−−−−−→−+=−−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的2.−−−−−→−=−−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。
北师大版九年级上册期末数学备考之函数压轴培优练(四)
九年级上期末数学备考之函数压轴培优练（四）考察：（1）反比例函数之K的几何意义（2）相似综合1．已知如图，动点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上运动，点A点B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于点E，PN⊥y轴于点N，交AB于F；（1）当点P的纵坐标为时，连OE，OF，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；（2）动点P在函数y＝﹣（x＜0）的图象上移动，它的坐标设为P（a，b）（﹣2＜a ＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．2．如图，在直线AB经过点A（1，0），且与双曲线y＝（x＞0）交于点B，连接OB，AB ＝，tan∠AOB＝，过点P（p，p﹣1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y＝（x＞0）和y＝﹣（x＜0）于M、N两点．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）连接OM、BM、AN，若点P在直线y＝﹣x+5上．①求证：△PMB∽△PNA；②求△OMB的面积；（3）连接AN，过点P作PQ∥AN交射线AM于点Q，是否存在实数p，使得AN＝4PQ，若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．3．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．4．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象与直线y＝k1x和直线y＝k 2x分于交于点A，B和C，D，且k1k2≠0，k1≠k2（1）若点A，B的坐标分别为（1，a2），（﹣1，4﹣4a），求a，k的值；（2）如图1，已知k＝8，过点A，C分别作AE，CF垂直于y轴和x轴，垂足分别为点E，F．若EA，FC的延长线交于点M（4，5），求△OAC的面积．（3）如图2，若顺次连接A，C，B，D四点得矩形ABCD，求证：k1k2＝1．5．如图，在坐标平面中，直线y＝x﹣4分别交x轴、y轴于A、B，反比例函数y＝经过点（﹣2，﹣6）．（1）求k的值；（2）点C在AD上方第一象限的反比例函数图象上，过点C作y轴的平行线交直线AB于D，若CD＝3，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，P在x轴上，Q在y＝上，若以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P、Q的坐标．6．如图，已知一次函数y＝﹣x的图象是直线l1，将它向上平移4个单位得到了直线l2，直线l2与反比例函数的图象交于A（1，m）和B（n，1），与x轴交于点C．（1）直线l2的函数关系式是（2）求m、n的值及反比例函数的关系式；（3）在直线l1平移得到直线l2的过程中，直线l1与x轴交于点P（含与点O重合），连结PA，PB．设点P的坐标为（t，0），△PAB的面积为S，请求出用t表示S的函数关系式，并说明当t为何值时，△PAB面积S最大．7．如图，①，A（4，0），C（0，n）分别是x和y轴上的点，n＞0，以OA，OC为边在第一象限内作矩形OABC，对角线OB，AC，交于点D双曲线y＝（x＞0，k＞0）交边BC于G，交边AB于H．（1）设直线AC的函数关系式为y＝qx+p，请用含n的代数式表示q和p；（2）求证：AB•BG＝BC•BH；（3）如图②，若上述双曲线经过点D，判断点D是否是双曲线与直线AC唯一的交点，请说明理由．8．（1）知识拓展如图1，由DE ∥BC ，AD ＝DB ，可得AE ＝EC ； 如2，由AB ∥CD ∥EF ，AE ＝EC ，可得BF ＝FD ； （2）解决问题如图3，直线AB 与坐标轴分别交于点A （m ，0），B （0，n ）（m ＞0，n ＞0），反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与AB 交于C ，D 两点．①若m +n ＝8，n 取何值时△ABO 的面积最大？ ②若S △AOC ＝S △COD ＝S △BOD ，求点B 的坐标．9．（1）问题情境，如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）探究发现：如图2，直线y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于M，N两点，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接EF．你发现（1）EF与MN有怎样位置关系？（2）ME与NF有什么数量关系？10．如图，在平面直角坐标系中四边形ABCD为菱形，边AD在y轴上．其中A（0，1），B （﹣，0），双曲线y＝经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接CO并延长交双曲线于点E，连接DE，P是双曲线在第一象限上的一个动点，满足S△BDP ＝2S△CDE，求点P的坐标；（3）将直线BD沿x轴向右平移，交x轴于点K，交射线BA于点H，问是否存在某一时刻，使得△KOH为等腰三角形？若存在求出线段OK的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）由条件知A（﹣2，0），B（0，2），易求得直线AB的解析式为：y＝x+2 又∵点P在函数y＝﹣上，且纵坐标为，∴P（﹣，）把x＝﹣代入y＝x+2中得y＝，∴E（﹣，）把y＝代入y＝x+2中得x＝﹣∴F（﹣，）S△E0F ＝S△AOF﹣S△AOE＝×|﹣2|×﹣×|﹣2|×＝；（2）以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．理由如下：由条件知△AOB是等腰直角三角形，则△AME，△EPF，△FNB均为等腰直角三角形，又﹣2＜a＜0，0＜b＜2AM＝2﹣（﹣a）＝2+a∴AE2＝（AM）2＝2a2+8a+8BN＝2﹣b∴BF2＝（BN）2＝2b2﹣8b+8PE＝PM﹣EN＝PM﹣AM＝b﹣（2+a）＝b﹣a﹣2 而ab＝﹣2∴EF2＝（PE）2＝2a2+2b2+8a﹣8b+16又|a|≠|b|∴AE≠BF而（2a2+8a+8）+（2b2﹣8b+8）＝2a2+2b2+8a﹣8b+16∴AE2+BF2＝EF2故以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．2．（1）解：如图1中，作BH⊥x轴于H．∵tan∠BOH＝＝，设BH＝a，则OH＝2a，在Rt△ABH中，∵AB2＝BH2+AH2，∴（）2＝a2+（2a﹣1）2，解得a＝1或﹣（舍弃），∴B（2，1）∵B（2，1）在双曲线y＝（x＞0）上，∴m＝2，设直线l的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣1；（2）①证明：∵点P（p，p﹣1）（p＞1），点P在直线y＝﹣x+5上，∴p﹣1＝﹣p+5，解得p＝3，∴P（3，2），∴PM＝2，PN＝4，PA＝2 ，PB＝，∵∠BPM＝∠APN，PM：PN＝PB：PA＝1：2，∴△PMB∽△PNA；②解：设MN交y轴于K，由①可知，K（0，2），M（1，2）．∴S△OMB ＝S△OKB+S△MKB﹣S△KMO＝×2×2+×1×1﹣×1×2＝．（3）解：存在实数p，使得AN＝4PQ理由：如图3中，∵PQ∥AN，∴＝＝4，∴MN＝4PM，∵P（p，p﹣1）（p＞1），∴点M、N的纵坐标都为p﹣1，将y＝p﹣1代入y＝和y＝﹣，得x＝和x＝﹣，∴M、N的坐标分别为（，p﹣1），（﹣，p﹣1），①当1＜p＜2时，MN＝，PM＝﹣p，∴＝4×（﹣p）整理，得p2﹣p﹣1＝0，解得：p＝，∵1＜p＜2，∴p＝，②当p＞2时，MN＝，PM＝p﹣，∵＝4（p＝）整理，得p2﹣p﹣3＝0，解得p＝，∵p大于2，∴p＝，∴存在实数p＝或使得AN＝4PQ．3．解：（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM＝2DM，∴OA＝2AB，∵E（4，n），即OA＝4，AE＝n，∴AB＝2；∵D为OB中点，B（4，2），∴D（2，1），把D（2，1）代入y＝中，得1＝，即k＝2，∴反比例函数解析式为y＝，把E（4，n）代入反比例解析式得：n＝＝；（2）由F（1，2），得到CF＝1，由折叠得：△OGH≌△FGH，∴OG＝FG，∵OC＝AB＝2，设OG＝FG＝x，得到CG＝2﹣x，在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2＝CG2+CF2，即x2＝（2﹣x）2+1，整理得：4x＝5，解得：x＝，则OG＝．4．解：（1）∵点A，B的坐标分别为（1，a2），（﹣1，4﹣4a），∴A、B关于原点对称，∴a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，∴A（1，4），把A（1，4）代入y＝中，可得k＝4，（2）如图1中，设MA⊥y轴于G，MC⊥x轴于H，连接AC．∵k＝8，M（4，5），∴A（，5），C（4，2），∴AG＝，AM＝，CH＝2，CM＝3，∴S△OAC ＝S矩形OHMG﹣S△AOG﹣S△OCH﹣S△AMC＝20﹣×5×﹣×4×2﹣××3＝．（3）如图2中，作AG⊥y轴于G，CH⊥x轴于H．∵四边形ADBC是矩形，∴OA＝OC，∵A、C在y＝上，反比例函数y＝是关于直线y＝x对称的，∴A、C关于直线y＝x对称，易知△AOG≌△COH，∴AG＝CH．OG＝OH，设A（m，n）则C（n，m），∴直线OA的解析式为y＝x，直线OC的解析式为y＝x，∴k1＝，k2＝，∴k1•k2＝1．5．解：（1）由题意A（8，0），B（0，﹣4），∵反比例函数y＝经过点（﹣2，﹣6），∴k＝12，（2）如图1中，设C（m，）．∵CD∥y轴，点D在y＝x﹣4上，∴D（m，m﹣4），∴CD＝﹣（m﹣4）＝3，解得m＝6或﹣4（舍弃），∴C（6，2）．（3）如图2中，设P（n，0）．①当PC为对角线时，四边形BPQC为平行四边形，∴PB∥QC，PB＝QC，∴QC可以看作是由PB平移所得，∴，可得，∴Q（n+6，6），∵点Q在y＝上，∴6（n+6）＝12，∴n＝﹣4，∴P1（﹣4，0），Q1（2，6）．②当BC为对角线时，四边形BPCQ为平行四边形，同法可得Q（6﹣n，﹣2），∵点Q在y＝上，∴﹣2（6﹣n）＝12，∴n＝12，∴P2（12，0），Q2（﹣6，﹣2）．③当PB为对角线时，四边形BQPC为平行四边形，同法可得Q（n﹣6，﹣6），∵点Q在y＝上，∴﹣6（n﹣6）＝12，∴n＝4，∴P3（4，0），Q3（﹣2，﹣6），但是此时P、Q、B、C共线，此种情形不存在．6．解：（1）∵直线l1的解析式为y＝﹣x，∴将它向上平移4个单位其解析式为y＝﹣x+4，∴直线l2的函数关系式是y＝﹣x+4，故答案为：y＝﹣x+4；（2）∵直线l2与反比例函数的图象交于A（1，m）和B（n，1），∴m＝﹣1+4＝3，1＝﹣n+4，∴m＝3，n＝3，∴A（1，3），B（3，1），设反比例函数解析式为y＝，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y＝；（3）在y＝﹣x+4中，令y＝0可求得x＝4，∴C （4，0），∵P （t ，0）（0≤t ≤4），∴PC ＝4﹣t ，∴S ＝S △PAC ﹣S △PBC ＝PC ×3﹣PC ×1＝PC ＝4﹣t ，即S ＝﹣t +4，∴S 随t 的增大而减小，∴当t ＝0时，S 有最大值4．7．（1）解：∵A （4，0），C （0，n ），∴， ∴q ＝﹣，p ＝n ； （2）证明：∵四边形OABC 为矩形，∴BC ＝OA ＝4，AB ＝OC ＝n ，∴G （，n ），H （4，）， ∴BG ＝4﹣，BH ＝n ﹣， ∴＝＝＝，∴AB •BG ＝BC •BH ；（3）解：点D 是双曲线与直线AC 唯一的交点，理由如下：∵A （4，0），C （0，n ），∴D （2，），∵双曲线经过点D ，∴k ＝2×＝n ，∴双曲线解析式为y ＝， 由（1）可知直线AC 解析式为y ＝﹣x +n ，联立直线与双曲线解析式可得，消去y整理可得x2﹣4x+4＝0，∵方程x2﹣4x+4＝0有两个相等的实数根，∴直线AC与双曲线有唯一一个交点D．8．解：①∵m+n＝8，∴m＝8﹣n，∵点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），∴S△AOB＝n（8﹣n）＝﹣（n﹣4）2+8，∴当n＝4时，△AOB的面积最大，②如图，∵S△AOC ＝S△COD＝S△BOD，∴BD＝CD＝AC，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，∴DF∥CE∥OA，∴BF＝EF＝OE，∵点B（0，n）（n＞0），∴OB＝n，∴BF＝EF＝OE＝n，∴点C的纵坐标为n，∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴C（，n），∵点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +n ， ∵点C 在直线AB 上，∴﹣， ∴n ＝，∴B （0，）． 9．（1）证明：分别过点C 、D 作CG ⊥AB 、DH ⊥AB ，垂足为G 、H ，如图①，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．∵CG ⊥AB 、DH ⊥AB ，∴∠CGA ＝∠DHA ＝90°，∴∠CGA +∠DHA ＝180°，∴CG ∥DH ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等，∴CG ＝DH ，∴四边形CGHD 为平行四边形，∴AB ∥CD ；（2）①证明：连接MF ，NE ，如图②，设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2），∵点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴x1y1＝k，x2y2＝k，∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE＝y1，OF＝x2，∴S△EFM ＝x1y1＝k，S△EFN＝x2y2＝k，∴S△EFM ＝S△EFN，由（1）中的结论可知：MN∥EF；②设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），∵直线y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于M，N两点，∴，消去b可得y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（*），且，代入（*）式可得﹣＝a（x1﹣x2），整理可得k（x2﹣x1）＝a（x1﹣x2）x1x2，∴k＝﹣ax1x2，∴＝﹣ax1，即y2＝﹣ax1，∴NF＝﹣aME．10．解：（1）∵A（0，1），B（﹣，0），∵OA＝1，OB＝，在Rt△AOB中，AB＝＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∴C（﹣，﹣2），D（0，﹣1），∵双曲线y＝经过点C，∴m＝2，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图1中，作DF⊥BC于F，连接PB，PD，PF，设P（a，），∵S△BDP ＝2S△CDE，∴S△PBF +S△PDF﹣S△BDF＝4S△COD，∴×1×（a+）+××（1+）﹣×1×＝4××1×，∴a＝或2，∴P（，2）或（2，1）．（3）存在．①如图2中，当OK＝KH时，设OK＝KH＝b，作HF⊥OB于F．∵∠HBK＝∠HKF＝30°，∴HB＝HK，BF＝FK＝b，∴b+b＝，∴b＝，∴OK＝．②如图3中，当OK＝OH时，设OK＝OH＝b，∵∠OHK＝∠OKH＝∠ABK＝30°，∴∠HOB＝60°，∴∠OHB＝90°，∴OB＝2OH∴2b＝，∴b＝，∴OK＝．③如图4中，当OK＝KH时，设OK＝KH＝b，作OF⊥AB于F．∵∠HBK＝∠HKB＝30°，∴HB＝KB＝OK＝b，在Rt△OBF中，∵OB＝，∠BF0＝90°，∠OBF＝30°，∴OF＝，BF＝，∵∠KOH＝∠OHK＝75°，∠BHK＝120°，∴∠FHO＝45°，∴FH＝OF＝，∴b＝BH＝BF+FH＝+，∴OK＝+．综上所述，当△KOH为等腰三角形时，OK的长为或或+．。
湘教版九年级上册数学第4章 锐角三角函数 全章整合与提升
(3)已知 c＝28 2，∠B＝30°，求 a； 解：∵cos B＝ac，∴a＝c·cos B＝28 2× 23＝14 6.
(4)已知 a＝2，cos B＝13，求 b. ∵cos B＝ac，∴c＝coas B＝21＝6.又∵b2＝c2－a2， 3 ∴b＝ c2－a2＝ 62－22＝4 2.
3．计算：tan 30°sin 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°. 解：原式＝ 33×23＋ 232－ 222×1＝12＋34－12＝34.
解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 DE＝BC＝60 m. ∵在 Rt△ABC 中，tan α＝ABBC，α＝53°， ∴ABBC≈43，即A60B≈43，∴AB≈80 m.
∵在 Rt△ADE 中， tan∠ADE＝DAEE，∠ADE＝β＝37°， ∴DAEE≈34，即A60E≈34，∴AE≈45 m， ∴CD＝BE＝AB－AE≈80－45＝35 (m)． 答：两座建筑物的高度分别为 80 m 和 35 m.
(2)求 A，B 间的距离(参考数据：cos 41°≈0.75)．
解：由(1)，得 BQ＝PQ＝1 200 m. 由已知条件易知∠AQP＝90°－49°＝41°. 在 Rt△APQ 中，AQ＝cos P∠QAQP≈10.27050＝1 600(m)． 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°， ∴在 Rt△AQB 中，AB＝ AQ2＋BQ2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m)． ∴A，B 间的距离约是 2 000 m.
解：设 CE＝y. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°. ∵BP＝a，CE＝y，∴PC＝5－a，DE＝4－y. ∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°， ∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPE，又∵∠B＝∠PCE， ∴△ABP∽△PCE，∴CBEP＝APCB，即ay＝5－4 a， ∴y＝－a24＋5a，即 CE＝－a24＋5a.
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初三数学 第四模块 函数 第六课时 函数 强化训练
中考对该知识点的要求：以现实生活问题为背景的函数应用性问题，成为近年来中考试题的一个亮点，这类问题取
材新，立意巧，有利于考生应用能力的考查。
要求学生要理解每个数据的含义，这是能顺利解决此类问题的关键。
例1：（05河北）在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图12所
示。
请根据图象所提供的信息解答下列问题：
⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ； ⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式； ⑶当x 为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
例2．（2005年大连）甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下
表所示：
（1） 请用上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与x （千米/时）
的函数图象，并求函数的解析式。
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。
事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知
乙车的刹车距离y （米）与速度x （千米/时）满足函数1
4
y x =，请
你就两车
的速度方面分析相撞的原因。
训练（一）
1、小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y （米）关于时间x （分钟）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：
（1）小文走了多远才返回家拿书？
（2）求线段AB 所在直线的函数解析式； （3）当8x =分钟时，求小文与家的距离．
/时） x （分钟）
2、某汽车生产厂对其生产的A 型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y （升）与行驶时间t （小时）的关系如下表，与行驶路程
（千米）的关系如下图．请你根据这些信息求A 型车在实验中的速度．
3、（2005
年锦州）温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度
是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x(℃)，华氏
温度为y(°F)，则y 是x 的一次函
数.
(1)仔细观察图中数据，试求出y 与x 之间的函数表达式； (2)当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少?
4、某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体
(1)变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元)?
训练（二）
1、某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时x(分钟)之间的关系如折线图所示：
根据图象解答下列问题：
（1） 洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？ （2） 已知洗衣机的排水速度为每分钟19升， （第2题）
① 求排水时y 与x 之间的关系式。
②如果排水时间为2分钟， 求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数x 和他收入的钱数y （万元）的关系如图7所示，结合图象回答下列问题： （1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？
（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝 的总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？
3、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的
，运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取7=）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取5=）
4、（2005年泰州）右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是
1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）． （1）求抛物线的解析式.
（2）求两盏景观灯之间的水平距离.
图7 吨
10m
?。