平面向量数量积的坐标表示典型例题

平面向量数量积的坐标表示
坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容．
本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．
2．向量垂直的坐标表示的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0．即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．
3．向量长度公式的坐标表示
设a ＝（x ，y ），则|a |2＝x 2＋y 2
，因此，|a |＝22y x +． 4．两向量夹角公式的坐标表示
已知非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），夹角为θ，则cos θ＝2
22221212
121||||y x y x y y x x +⋅++=⋅b a b a ． 学习本课时，我们弄清楚下面的问题：
平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i 、j 分别是和x 轴、y 轴同向的单位向量，则i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则
a ·
b ＝（x 1i ＋y 1j ）·（x 2i ＋y 2j ）
＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2
＝x 1x 2＋y 1y 2．
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
【学习方法指导】
怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？
［例1］已知a ＝（1，－2），b ＝（2，0），求同时满足条件a ·c ＝4，b ·c ＝0的向量c ．
解：设c ＝（x ，y ），则
由⎩⎨⎧=⋅=⋅04c b c a 得⎩⎨⎧=⋅+=-00242y x y x
∴x ＝0，y ＝－2，∴所求向量c ＝（0，－2）
怎样求向量的投影？
［例2］求向量a ＝（1，2）在向量b ＝（2，－2）方向上的投影．
分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
解：设向量a 与b 的夹角为θ，则
cos θ＝.1010)2(221)2(221|b ||a |b a 2222-=-⨯⨯+-⨯+⨯=⋅⋅
∴a 在b 方向上的投影＝|a |cos θ＝5×（－22)1010-=．
怎样把一个已知向量转化为单位向量？
［例3］设a ＝（x ，y ）≠0，则
)
,(),(1||222222y x y y x x y x y x ++=+=a a 即得到一个单位向量 ．
怎样利用向量的几种形式解答问题？
［例4］已知a 、b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 分析：由于向量的表示形式不同，有下面三种解法：
解法一：由|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2
又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2
∴a ·b ＝21
|a |2
而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2
∴|a ＋b |＝3|a |
设a 与a ＋b 的夹角为θ，则 cos θ＝
,23||3||||21||22=⋅+=+⋅+⋅a a a a |b a ||a |b)(a a ∴θ＝30°． 解法二：设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）
∵|a |＝|b |，∴x 12＋y 12＝x 22＋y 22
由|b |＝|a －b |
得x 1x 2＋y 1y 2＝21
（x 12＋y 12）
由|a ＋b |2＝2（x 12＋y 12）＋2·21
（x 12＋y 12）＝3（x 12＋y 12）
得|a ＋b |＝
2
1213y x + 设a 与a ＋b 的夹角为θ，则 cos θ＝.233)(21)(|b a ||a |b)(a a 2121212121212121=+⋅⋅++++=+⋅+⋅y x y x y x y x
∴θ＝30°
解法三：由向量加法的几何意义，可作图5－7－1如下：
图5－7－1
在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，以、为邻边作平行四边形OACB ． ∵|a |＝|b |，即||＝||，
∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b ，
而|a |＝|b |＝|a －b |
即|OA |＝|OB |＝|BA |
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB ＝60°，
于是∠AOC ＝30°
即a 与a ＋b 的夹角为30°．
点评：用向量的坐标形式入手容易，但计算量较大．用向量的几何形式简捷且直观，但不易入手．
怎样用平面向量的坐标形式解证几何问题？
［例5］已知A （5，－1），B （－1，7），C （1，2），求△ABC 中∠A 的平分线AD 的长．
图5－7－2
解：|AB |＝22)17()51(++--＝10，
|AC |＝22)12()51(++-＝5．
设D 分BC 所成的比为λ，则
λ＝
||||||||AC AB DC BD =＝2． 设点D （x 0，y 0），则
x 0＝31121227,312
11210=+⨯+==+⨯+-y 所以，|AD |＝
【知识拓展】
用向量方法可以解证三角和不等式方面的问题．
［例6］用向量法证明cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（要求α－β∈［0，π］）．
证明：在单位圆上取两动点A 、B ，设以OA 、OB 为终边的角分别为α，β． 则A （cos α，sin α），B （cos β，sin β）
于是·＝cos αcos β＋sin αsin β
又·＝||·||cos （α－β）＝cos （α－β）
∴cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β．
点评：用向量方法证明三角的和差角公式显得方便．但也有缺陷，要限制α－β∈［0，π］，否则不符合定义中“向量夹角”的要求。