专题9 有条件的分式的化简与求值（含答案）
初中数学化简求值专题
初中数学化简求值专题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-初中数学化简求值个性化教案3、整体代入例练：已知：x+x 1=3,求代数式(x+x 1)2+x+6+x1的值 例练：已知当x=7时,代数式ax 5+bx-8=8,求x=7时,8225++x bx a 的值.例练： 若ab=1，求11+++b ba a 的值 例练：已知y xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值 4、归一代入例练：已知a=3b,c=4a 求代数式cb a cb a -++-65292的值5、利用性质代入例练：已知a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求代数式a+b+x 2-cdx 的值6、取特殊值代入例练：设a+b+c=0,abc ＞0,求ac b ++b a c ++c ba +的值是 A -3 B 1 C 3或-1 D-3或-1解决本类问题的关键在于化简，可能是单方向化简然后求值，即通过整式乘除，因式分解化简成一个最简单的代数式，然后代入字母对应的数字解决问题；也可能是双向化简，即从条件和问题同时入手化简。
找到两者对应关系后进行代入求值。
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值 2．利用乘法公式求值3．设参数法与换元法求值4．利用非负数的性质求值5．利用分式、根式的性质求值举例分析1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x 的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解 已知条件可变形为3x 2+3x-1=0，所以6x 4+15x 3+10x 2=(6x 4+6x 3-2x 2)+(9x 3+9x 2-3x)+(3x 2+3x-1)+1=(3x 2+3x-1)(2z 2+3x+1)+1=0+1=1．说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a ，b ，c 为实数，且满足下式： a 2+b 2+c 2=1，① 求a+b+c 的值．解 将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(bc+ac+ab)=a 2+b 2+c 2=1， 所以 a+b+c=±1．所以a+b+c 的值为0，1，-1． 说明 本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．例6：已知1,0,x y z a b ca b c x y z++=++=求222222x y za b c++的值u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m 2x 2+m 2y 2-2mxy-2mny+y 2+n 2=0，(m 2x 2-2mxy+y 2)+(m 2y 2-2mny+n 2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0． 5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明． 例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算． 同样(但请注意算术根！) 将①，②代入原式有一般题型1、先化简，再求值：12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值：，其中a=﹣1．3、先化简，再求值：，其中x=．4、先化简，再求值：，其中．※5、先化简，再求值，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．6、化简：ba ba b a b 3a -++-- 7、先化简，再求值：，其中a=．8、先化简211111x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个合适的数作为x 的值代入求值．9、先化简，再求值：（+1）÷，其中x=2．10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–3 11、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．．12、先化简，再求值：12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、先化简，再求值：，其中．※14、先化简22()5525x x xx x x -÷---，然后从不等组23212x x --≤⎧⎨<⎩的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．15、先化简，再求值：62296422+-÷++-a a a a a ，其中5-=a ．16、先化简，再求值：232()111x x x x x x --÷+--，其中32x =．17、先化简。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
专项10.1 分式有意义的条件及求值(解析版)
2020—2021八年级下学期专项冲刺卷（苏科版）专项10.1分式有意义的条件及求值姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果分式3x x +有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3B ．x ≠﹣3C ．x ≠0D ．x ＞﹣3 【答案】B【分析】根据分式有意义的条件可得x ＋3≠0，再解之即可得出答案．【详解】解：由题意得：x ＋3≠0，解得：x ≠﹣3，故选：B ．【点睛】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零．2．若分式13x -无意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠B ．3x =C ．3x <D ．3x > 【答案】B【分析】根据分式无意义的条件，即可求解．【详解】∵式13x -无意义， ∴x -3=0，即：3x =，故选B ．【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，掌握分式的分母不等于0.是解题的关键．3．若分式24x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．4-D ．0 【答案】A【分析】根据分式的值为0的条件可直接进行求解．【详解】解：∵分式24x x -+的值为0， ∴20x -=且40x +≠，解得：2x =；故选A ．【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．4．若分式122x x -+的值为零，则x 的值等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．2D ．1 【答案】D【分析】根据分式值为零的条件列出10x -=，且值需保证220x +≠，即可得到答案．【详解】 解：要使分式122x x -+的值为零，必须10x -= ，220x +≠ ， 解得，1x = ，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．5．若分式224+-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x ≠-C ．2x ≠且2x ≠-D ．2x ≠或2x ≠-【答案】C【分析】直接利用分式有意义则分母不能为0，进而得出答案．【详解】 解：分式224+-x x 有意义， 则x 2-4≠0，解得：x ≠2且x ≠-2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．6．若a 2-3a +1＝0，则a 2+21a 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】先由原等式得a 2+1＝3a ，利用等式的基本性质两边同除以a ，可得13a a+=，再两边同时平方后得出222112a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，即可计算出结果． 【详解】解：由a 2－3a +1＝0得a 2+1＝3a ，∵a ≠0，给a 2+1＝3a 两边同除以a ，得13a a +=， 则22222111122a a a a a a a a ⎛⎫+=+⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭， ∴222112927a a a a ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】 本题考查了求分式的值，根据已知求出222112a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是解题的关键．7．若1113a b -=，则ab a b-的值是（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．13- 【答案】A【分析】 先根据1113a b -=求出ab 与a -b 的关系，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵1113b a a b ab --==，即ab =-3（a -b ）， ∴原式=()3a b a b ---=-3． 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．8．若分式211x x -+值为0，则x 的值为（ ） A ．1B ．±1C ．2-D ．2【答案】A【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0，据此解答即可．【详解】 解：根据题意得，21=010x x ⎧-⎨+≠⎩， 解得：x =1，故选：A ．【点睛】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．9．下列各式中，是分式的是（ ）A ．1x x +B ．32x y +C ．3xD ．1x π- 【答案】A【分析】根据分式的定义逐项分析即可．【详解】 A.1x x +的分母含字母，是分式； B.32x y +的分母不含字母，不是分式； C.3x 的分母不含字母，不是分式； D.1x π- 的分母不含字母，不是分式； 故选A ．【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．10．分式31x x -+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x =-B ．1x ≠-C ．3x ≠D ．3x ≠- 【答案】B【分析】根据分式的分母不为0即可求解．【详解】解：因为该分式有意义，∴10x +≠，∴1x ≠-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，其中，牢记分母不为0是解题的关键．11．式子12x -有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≠0B ．x ＞0C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】D【分析】根据分式有意义的条件解答．【详解】解：要使分式12x-有意义，必须满足：x-2≠0，即x≠2，故选D．【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．12．要使式子32m+有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2，且m≠2B．m≠2C．m≥﹣2 D．m≥2【答案】B【分析】根据立方根及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵322mm+-有意义，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．分式261xx-+有意义的条件是________．【答案】1x≠-【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：要使分式261xx-+有意义，必须x+1≠0，解得，x≠﹣1，故答案是：x≠﹣1．此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的分母不为0．14．若分式1x有意义，则x的取值范围是_____．【答案】0x≠；【分析】根据分式有意义的条件可得x≠0．【详解】解：由题意得：x≠0，故答案为：0x≠．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．15．下列各式：15（1﹣x），43xπ-，222x y-，1x+x，23xx，其中是分式的有_____个．【答案】2【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：15（1﹣x），43xπ-，222x y-，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．1 x +x，23xx，分母中含有字母，因此是分式．分式有两个，故答案为：2．【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以43xπ-，不是分式，是整式．16．若分式32x-的值为负数，则x的取值范围是_______．【答案】2x<【分析】根据分式值为负的条件列出不等式求解即可．解：∵32x -＜0 ∴x-2＜0，即2x <．故填：2x <．【点睛】本题主要考查了分式值为负的条件，根据分式小于零的条件列出不等式成为解答本题的关键．17．已知x ﹣1x ＝1，则4221x x x-+的值为_____． 【答案】2【分析】将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：∵x ﹣1x＝1 ∴x 2﹣1＝x ，∴x 2＝x +1，∴原式＝2221)1(x x x -+ ＝(1)11x x x +++ ＝211x x x +++ ＝111x x x ++++ ＝2(1)1x x ++ ＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．若分式2824x x -+的值为正数，则x 的取值范围为_____． 【答案】4x <先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．【详解】∵20x ≥∴2+40x >∵分式2824x x -+的值为正数 ∴820x ->∴4x <故答案为4x <．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．先化简，再求值：2321(2)22m m m m m -++-÷++，从﹣2，﹣1，1，2中选取一个你认为合适的m 值代入求值． 【答案】11m m +-；0 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的数代入求值即可．【详解】 原式()22134222m m m m m -⎛⎫-=+÷ ⎪+++⎝⎭ ()221221m m m m -+=⨯+- ()()()211221m m m m m -++=⨯+-11m m +=- ∵要使得原分式运算有意义，∴2m ≠-和1，选择1m =-代入化简结果，原式11011-+==--． 【点睛】本题考查分式的化简求值问题，熟练掌握分式的混合运算法则，理解分式有意义的条件是解题关键．20．先化简，再求值：（21a a +﹣2）÷2222a a a a+-+，其中a 2﹣4＝0． 【答案】1a -，1【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，然后结合条件求值即可．【详解】 原式()()()221212a a a a a a a +--+=÷+ ()211a a a a -=⨯- 1a =-∵240a -=，且原分式运算中，2a ≠-，∴2a =，代入化简结果得：原式211=-=．【点睛】本题考查分式的化简求值问题，掌握分式的混合运算法则，并注意分式有意义的条件是解题关键．21．先化简分式：（22244a a a a --+－32a -）234a a -÷-，再从2，3，4这三个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．【答案】a ＋2，6【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，然后结合分式有意义的条件选择合适的数字代入求解即可．【详解】解：原式()()()()22223232a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()()223223a a a a a a +-⎡⎤=-⨯⎢⎥---⎣⎦ ()()22323a a a a a +--=⨯-- 2a =+由原式可得：23a ≠±，，∴符合条件的数只有4a =，代入化简结果得：原式=6．【点睛】本题考查分式的化简求值问题，掌握分式混合运算法则，并注意结合分式有意义的条件是解题关键．22．先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，请在-1、0、1、2当中选出一个合适的数a 代入求值． 【答案】1a a +；23【分析】先根据分式的运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的a 的值即可．【详解】 解：原式=()()22211111111a a a a a a a a a a a ⎛⎫-+-÷=⨯= ⎪-+-+-⎝⎭， ∵a ≠-1、0、1，∴当a =2时，原式22213==+． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值，掌握分式的各个运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键． 23．先化简再求值：22293(4)232y x y y x y x y x y y x--+÷--+-，x 2＝4y 2． 【答案】2x x y -；12【分析】根据分式的运算法则先化简，然后代入条件求解即可．【详解】原式()()()()2423332232x y x y x y x y y y x y x y x y y x --+-⎡⎤=+÷-⎢⎥--+-⎣⎦ ()2313232x y y x yx y y x -=⨯---- 3322x y y x y y x-=--- 2x x y=- 由条件可得：2x y =±，且由分式有意义的条件可得：2x y ≠，∴2x y =-，代入化简结果得： 原式21222y y y -==--． 【点睛】本题考查分式的化简求值问题，掌握分式的运算法则并注意分式有意义的条件是解题关键． 24．已知y =，求2x y 的值． 【答案】18【分析】由y =可得：3x =且3,x ≠ 可得x 的值，再求解,y 从而可得答案．【详解】 解：y =303030x x x ⎧-≥⎪∴-≥⎨⎪-≠⎩3x ∴=且3,x ≠3,x ∴=-0+0+122,33y ∴==--- ()()223218.x y ∴=-⨯-=-【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。
人教版 八年数学上册 竞赛专题：分式的化简与求值(含答案)
人教版 八年数学上册 竞赛专题：分式的化简与求值（含答案）【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1344（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-．（宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=． （北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131x x x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）．A ．1B ．2C ．12 D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211x x mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ）A ．1B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c------++=++．（n 为自然数） （波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ． （1）若a abc b c b c a++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题） （2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----；（“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ．5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．208．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？ （江苏省竞赛试题）参考答案例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k ∙∙∙∙∙==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =∙∙∙=例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b cab++） ＝14－（2+ab ac a abc -＋2+bc ab b abc -＋2ac bc c abc +-）＝2228()4()4abc ab bc ac a b c abc -+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc ca abc-+++-++把⑥代入等式中，0＝316()164abc ab bc ac abc-+++①② ③＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c，由勾股定理逆定理知，为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153.34. A5. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc6.B7. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m38. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）9. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--10. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝011. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.12. 3 x ＝1a ，y ＝1b ，c ＝1z ，∴411a +＋411x +＝411a +＋4111a+＝1，∴原式＝3. 13. （1）x ＝－112（2）x ＝12314（3）（x ，y ，z ）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B 级1. 22. －1或8 提示：设a b c +＝b c a +＝c a b +＝k ，则k ＝－1或2 3. 1128354. 0 提示：由x y z +＝1－y z x +－z x y +，得：14＝x －xy z x +－xz x y + 5. A 6. C 7. A 提示：由已知条件得x ＝3y8. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·c a b -＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c a b -）·a b c -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·b c a-＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝99. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.10. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 11．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则 27271818.S x y S x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16mn -=，m 分别取值，则有显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级．∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。
化简求值(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)
化简求值--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测①分式的化简求值②整式的化简求值化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值8分左右，着实不少！一、分式1.分式的加减乘除运算，注意去括号，添括号时判断是否需要变号，分子计算时要看作整体。
2.分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式AB中，若B≠0，则分式AB有意义；若B＝0，那么分式AB没有意义．3．分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.4．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝acbd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.5．分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．二、因式分解因式分解的方法：(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.化简求值的解法第一种是直接代入求值，已知给出了字母的值或通过已知能求出字母的值。
初中数学 培优专题9 分式方程及其应用含答案
精品文档12、分式方程及其应用【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（）解这个整式方程；2）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于3 （零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得3.的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】2x解方程：例1. 1??11x?x?解首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，分析：完后记着要验根)11)(x??(x，得解：方程两边都乘以2，1)x(x?1)(?1x2?(x?)?22，1??x即x?2x?2?3?x?23经检验：x?是原方程的根。
2精品文档．精品文档5?x?1x?6x?2x解方程例2. ???6x?2x?7x?3x?分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现)x?3?x2)与((x?6)与x?7)、((，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用的值相差1 分式的等值性质求值。
1x?6x?5x?2x?解：原方程变形为：???2?3xx?6x?x?7方程两边通分，得11?)x(x?6)(x?7)(?2)(x?3)6)(x??3?2)(x7)?(x所以(x?36?即8x?9???x29??x经检验：原方程的根是。
219??1032x?3424x?2316x12x例3. 解方程：???5x?98x?74x??4x38可化为一个整数与一个简单的分因此，分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，数式之和。
12213解：由原方程得：???4?3??4?574x????4x38x98x2222即???7x?x?68?108xx8?9811，于是?)x?7)()(8x?108?9(8x?)(8x6所以(8x?9)(8x?6)?(8x?10)(8x?7)解得：x?1经检验：x?1是原方程的根。
分式化简求值复习ppt课件
x 1
xx 1
x
1x 1 x 12
xx 1
x 1
当x=2013时，原式=2013
x
直击中考
11.（2013本溪市）先化简，在求值：
(
m
m2 1 2 2m
1
m
m 2
m
)
(1
2 m
)，其中m=-3
解：( m
m2 1 2 2m
1
m m2
m
)
(1
2 m
)
m 1m 1 m 12
m
mm 1
m m
2
4 2
] a
4
3
2
当a
3 2时，原式
1 32-2
1 3
3 3
6.（2013铁岭市）先化简，在求值：(1
7.（2013鞍山市）先化简，在求值：
a
1
) 1
a
2
4a a2 1
4
其中a=-2
(x 3 7 ) 4 x x3 x3
，其中 x
2 4
8.（2013抚顺市）先化简，在求值：(a 1
用符号语言表达： a c ac b d bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
a 用符号语言表达： c a d ad b d b c bc
分式的加减
同分母相加
B C BC AA A
异分母相加
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；
足__x___3__
x3
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题9 有条件的分式的化简与求值知识解读给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：①恰当引入参数； ②取倒数或利用倒数关系； ③拆项变形或拆分变形； ④整体代入； ⑤利用比例性质等。
典例示范一、变条件或变代数式例1 已知311=-y x ，求yxy x yxy x ----2353的值. 【提示】 思路1：（条件变形）我们可以将311=-y x ，化简为y-x=3xy ，然后将中的yxy x yxy x ----2353中的y 一x 用3xy 代入化简； 思路2：（代数式变形）将y xy x y xy x ----2353的分子、分母同时除以xy ，然后将311=-yx 整体代入求值；思路3：（特殊值代入）可以令y=1，则x=41，代入代数式求值. 【解答】【技巧点评】（1）由本题的条件311=-yx 不能求出x ，y 的值，只能考虑使用整体代入的方法；（2）分式的基本性质是分式变形的主要依据，在解题过程中要加深理解，而且要运用整体思想、转化思想等数学思想，变形对象可能是变形已知条件，也可能变形待求的代数式.跟踪训练11. 已知a≠0，b≠0，且411=+b a ，求bab a bab a 323434-+-++的值。
二、“1”的妙用例2 已知非零实数a ，b ，c 满足3111111,1222-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++b a c c a b c b a c b a ，求a+b+c的值。
【提示】.⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b a a c b a 111111【解答】【技巧点评】在解题时，遇到形如abc=1的条件，常常考虑把问题中的abc 换成1，但有时候，把1换成abc ，往往可能收到意想不到的效果。
在本题中，巧妙把3变成1+1+1，而3个“1”分别替换成了a×a 1 ,b×b 1,c×c1跟踪训练22. 若abc=1，则111++++++++c ac cb bc b a ab a 的值是( ) A.2 B.1 C.0 D.-1三、倒数求值法例3 已知a ，b ，c 满足51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ,求cabc ab abc++的值. 【提示】ca b abc ac bc ab a b ab b a 111,11++=+++=+ 【解答】【技巧点评】解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程.如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，灵活根据题目特征寻找相应的解题策略，是解决问题的关键.跟踪训练33.（全国竞赛试题）已知y x xy +=1，z y yz +=2，xz zx+=3，则z y x 111++的值为（ ） A.6 B.61 C.1211 D.611四、分子变“和”，裂项巧解例4 若a ，b ，c 两两不相等，求abbc ac c ba c ac bc ab bc a b bc ac ab a c b a +----++----++----222222 的值。
【提示】c a b a c a b a c a b a bcac ab a c b a -+-=---+-=+----11))(()()(22 【解答】【技巧点评】化简是解决代数问题永恒的主题，而将分子、分母化成乘积的形式是化简的前提，当然本题中，分子没有化成乘积的形式，是因为分子恰好是分母各因式的和。
跟踪训练44. 已知032=-+x x ，，那么=---1332x x x .五、两个等式和三个未知数例5 已知11=+b a ，11=+c b ，则=+ac 1( ) A.11-a B.11-b C.)1(1-b a D.1【提示】已知条件中含有两个等式，a ，b ，c 共三个未知数，可考虑用含b 的代数式表示出a 和c ，然后代入ac 1+中. 【技巧点评】已知条件中有几个未知数，一般需要几个方程，如果方程的数目少于未知数的个数，可令其中多出的未知数为参数.跟踪训练55. 若4x －3y －6z=0，x ＋2y －7z=0（xyz≠0），则代数式222222103225z y x z y x ---+的值为( )A.21-B.219- C.-15 D.-13 六、凑xy解决问题 例6 若532-=+x yy x ，那么2222326104y x y xy x +++的值是 ( ) 【提示】将2222326104y x y xy x +++的分子、分母同时除以xy.【技巧点评】2222326104yx y xy x +++的分子、分母都是2次，当分子、分母同时除以xy 时，正好可以凑成x y和y x跟踪训练66.（江苏省数学竞赛）已知b a b a +=+511，则baa b +的值是 （ ） A.5 B.7 C.3 D.31拓居延伸七、化二次根式为有理数例7 （希望杯试题）已知122+=x ，则分式15119232----x x x x 的值是 。
【提示】 直接代入分式，计算很繁琐，本题可化122+=x 为()812=-x .跟踪训练77.已知34-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值。
竞赛链接例8 （全国初中数学联赛试题）已知x ，y 为整数，且满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=++44221132)11)(11(y x y x y x ，32)11)(11(444422=-++y x y x y x y x ，则x+y 的可能的值有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【提示】将⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=++44221132)11)(11(y xy x y x 左、右两边的分子、分母因式分解，便于约分。
【技巧点评】化简是解决代数问题永恒的主题，而因式分解是化简的前提。
跟踪训练88.（希望杯邀请赛试题）若a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则cb a 111++的值是 （ ）A.正数B.负数C.零D.正数或负数培优训练直击中考1. ★已知2111=-b a ，则ba ab-的值是 （ ） A.21 B.－21C.2D.－2 2.★已知ab b a 622=+且a>b>0，则a 的值为 （ ）A.2B.2±C.2D.2±3.★★（2017·江苏扬州）若2=b a ，6=c b 则=ca. 4.★已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+x z zx，则x 的值为 .5.（2017·江苏镇江）已知实数m 满足0132=+-m m ，则代数式21922++m m 的值等于 . 6.★已知x+y=－4，xy=－12，求1111+++++y x x y 的值.7. ★★设a+b+c=0，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值。
挑战竞赛1.★★（江苏省竞赛试题）已知0221≠+=+b a b a ，则ba=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.不能确定 2.★★（肇庆数学竞赛试题）如果实数m≠n ，且1188++=++n m m n n m ，则m ＋n=（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 3．★★正实数x ，y 满足xy =1，那么44114x y +的最小值为（ ）A ．12B ．58C ．1D 24．★★（全国初中数学联赛试题）设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令｛t ｝=t -[t ]，已知实数x 满足x 3+31x =18，则｛x ｝+｛1x｝= ( ) A ．12 B ．35 C ．(1352D ．15．★★★（“祖冲之杯”邀请赛试题）若a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc >0，且x=a b ca b c++，y=111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x+2y+3xy = ．6．★★★（北京市竞赛题）已知xyz =1，x+y+z =2，x 2+y 2+z 2=16，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值．。