线性代数经典例题

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最全线性代数习题及参考答案

第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ；解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ；解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是；解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

线性代数例题[1]

行列式例1：若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,m αααβ=，1223n ααβα=，四阶行列式32112αααββ+等于多少？例2：设A 是n 阶方阵，且0=A ，则A 中( ) (A ) 必有一列元素全为零； (B ) 必有两列元素成比例；(C ) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D ) 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3：设A 33)(⨯=ij a ，ij A 为ij a 的代数余子式，且ij A ij a =，并且011≠a ，求A . 例4：设四阶方阵A 44)(⨯=ij a ，A E x f -=λ)(，其中E 是n 阶单位矩阵，求：（1）4λ的系数；（2）3λ的系数；（3）常数项.例5：设A 为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，E AAT=，0<A ，计算E A +.例6：设A ，B 为n 阶正交矩阵，若0=+B A ，证明B A +是降秩矩阵.矩阵例1：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01101001A ，证明当3≥n 时，恒有E A A A n n -+=-22. 例2：设)41,31,21,1(),4,3,2,1(==βα，βαTA =，计算n A . 例3：设三阶方阵A ，B 满足关系BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=710004100031A ，求B 例4：设A 是三阶方阵，21=A ，求*12)3(AA --例5：证明：若实对称矩阵A 满足条件O A =2，则O A =例6：设'ξξ-=E A ，其中E 是n 阶单位矩阵，ξ是n 维非零列向量，证明：（1）A A =2的充要条件是1'=ξξ；（2）当1'=ξξ时，A 是不可逆矩阵.例7：已知n 阶方阵A 满足3)(2A E A A =-，求1)(--A E例8：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=803010100100001*A ，且E BAABA 311+=--，求B .例9：设10021)(x x x x f ++++= ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01000001A ，求))((),(A f f A f . 例10：设B A ,是n 阶方阵，且满足B A AB +=，证明：BA AB =例11：设A 是n 阶方阵，是否存在E B ≠，使得A AB =，若存在B ，指出求B 的办法，若不存在，说明理由.例12：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a aa a a a B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010100001010001P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010010000012P 其中A 可逆，则=-1B （）(A )211P P A -；(B )211P A P -；(C )121-A P P ；(D )112P A P -.例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足C AQ =的可逆矩阵为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101001010 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101010 （C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110001010（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110例14：设B A ,是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足022=++B AB A ，证明A 和BA +都是可逆矩阵，并求它们的逆.例15：设C A ,分别是m 阶和n 阶非奇异方阵，B 是n m ⨯矩阵，证明：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B AM 0为可逆矩阵；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----111110CBCAA M 例16：求n 阶行列式10001000011000中所有元素的代数余子式的和.例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使0=mA ，又B 是n 阶可逆矩阵，证明矩阵方程XB AX =只有零解.例18：（1）设B A ,是n 阶方阵，且0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(（2）设A 是n 阶方阵，且E A A 22=-，证明：n A E R A E R =++-)()2(例19：已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（） (A )6=t 时，P 的秩必为1；(B )6=t 时，P 的秩必为2；(C )6≠t 时，P 的秩必为1；(D )6≠t 时，P 的秩必为2.例20：设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，其中m n <，若E AB =，证明B 的列向量线性无关.例21：求)2(≥n n 阶方阵A 的秩，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a bbb a bb b a A例22：求设D C B A ,,,是和n 阶方阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D CB AG ，且CB AD CA AC ==,，又行列式0≠A ，求证：n G R n 2)(<≤.例23：设A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，并且n A R =)(，证明： )()(B R AB R =例24：设n 维列向量组s ααα， ,,21线性无关，向量组t βββ， ,,21可用s ααα， ,,21线性表示，表示矩阵为C ，证明：（1）)(),,(21C R R t =βββ，（2）当s t =时，有s βββ， ,,21线性无关C ⇔是可逆矩阵. 例25：设βα,为三维列向量,矩阵 TTA ββαα+=, 其中T T βα,分别是βα,的转置.证明: )1( 秩2)(≤A r(2) 若βα,线性相关,则秩2)(<A r （2008年数学一）例26：设B A ,均为2阶方阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵,若3,2==B A ,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O BA O的伴随矩阵为 (A )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B O**23 . (B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B O **32. (C )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O **23. (D )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O **32. (答案: B) （2009年数学一、二、三）向量例1：设向量组321,,ααα线性无关，证明向量组211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=也线性无关.例2：设向量组m ααα， ,,21线性无关，讨论向量组211ααβ+=，322ααβ+=，1ααβ+=m m ，的线性相关性.例3：设向量组m ααα， ,,21线性无关，向量组βααα，，m ,,21线性相关，则向量β可由向量组m ααα， ,,21线性表示.例4：设向量)',,,(21n a a a =α，A 为n 阶矩阵，如01≠-αm A ，0=αmA ，则αααα12,,,,-m AA A 线性无关.例5：设A 为n 阶矩阵，证明)()(1+=n n A R A R例6：设向量组)3(,,121≥-m m ααα，线性相关，向量组m ααα，， 32,线性无关，问（1）1α能否由132,-m ααα，，线性表示？（2）m α能否由121,-m ααα，，线性表示？例7：设向量组l ααα， ,,21线性无关，向量1β可由它线性表示，向量2β不能由它线性表示，证明1+l 个向量2121,,,ββααα+k l ，线性无关.例8：设向量组},,{21m A ααα， =与向量组},,{21l B βββ， =的秩相同，且向量组A 可由向量组B 线性表示，证明A 与B 等价.例9：设A 为n 阶矩阵，s ααα， ,,21是一组n 维向量，满足11αα=A ，s i A i i i ,,3,2,1 =+=-ααα，并且01≠α，证明向量组s ααα， ,,21线性无关.例10：设321,,ααα是线性无关的5维向量组，321,,βββ也是5维向量组，满足3,2,1,,0),(==j i j i βα。

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳

2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。

了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。

本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。

1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。

如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。

解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。

对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。

然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。

同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。

然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。

因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。

2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。

在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。

试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。

大一数学线性代数实用题集

大一数学线性代数实用题集一、向量与矩阵1. 给定向量组 $A=\{\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}\}$，其中$\vec{a_1}=(1,2,-1)$，$\vec{a_2}=(-1,3,2)$，$\vec{a_3}=(2,1,0)$。

求向量组 $A$ 的秩。

2. 已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 &1\end{bmatrix}$ 和矩阵 $B=\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A\times B$ 和 $B\times A$。

3. 设 $\vec{a}=(3,1,-2)$，$\vec{b}=(1,-3,4)$，计算向量的内积$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 和夹角 $\theta$。

4. 已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 &1\end{bmatrix}$ 和矩阵 $B=\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A^T\times B^T$。

二、线性方程组1. 解线性方程组：$$\begin{cases}x_1+2x_2=3 \\3x_1-2x_2=4\end{cases}2. 解线性方程组：$$\begin{cases}2x_1-x_2+x_3=1 \\3x_1+x_2-2x_3=2 \\x_1+3x_2+4x_3=4\end{cases}$$3. 设有线性方程组的增广矩阵为$$\begin{bmatrix}1 & -1 &2 & 1 \\2 & 1 & 1 &3 \\-1 & 3 & 2 & 4\end{bmatrix}$$求该线性方程组的解集。

线性代数习题集(带答案)

. .. . ..第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

大一线性代数知识点例题

大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。

3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。

4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。

a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。

b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。

5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。

a) 计算 T((3, 2))。

b) 判断 T 是否为一一映射。

6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。

7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。

a) 计算 A 和 B 的内积。

b) 判断 A 和 B 是否正交。

c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。

8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。

以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。

希望能够为你的学习提供一些帮助。

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（22）（本题满分11分）
已知111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是1253102a A b -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
的特征向量，求,a b 的值，并证明A 的任一特征向量均能由ξ线性表出. 解
设ξ是λ所对应的特征向量，则A ξλξ=，即1211531110211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即12,
53,1,2,312,a b a b λλλλ--=⎧⎪
+-=⇒=-==-⎨⎪-+=⎩
故211533102A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭由323(2(3)(2))(162)(1)(1)E A λλλλλ-=-+-+-+-+---=-，知1λ=-是A 的三重特征根.又因312()5232101r E A r --⎛⎫
⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭
，从而1λ=-对
应的线性无关的特征向量只有一个.所以A 的特征向量均可由ξ线性表出.
(23) （本题满分11分）
已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化
为标准型2
3222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵.
解变换前后二次型的矩阵分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=500020001B ，由正
交变换性质知，A 与B 相似，于是B E A E -=-λλ即
)5)(2)(1()96)(2(22---=-+--λλλλλλa 将1=λ(或5=λ)代入上式，得
2,042±==-a a
因0>a ，故2=a ，这时⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=320230002A 其特征值分别为
5,2,1321===λλλ(与B 的特征值相同)
当11=λ时，解方程0)(1=-x A E λ，得⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=1101ξ；当22=λ时，解方程
0)(2=-x A E λ，得⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=0012ξ
当53=λ时，解方程0)(3=-x A E λ，得⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1103ξ
将321,,ξξξ单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21210111ξξη，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==001222ξξη，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21210333ξξη 故所用正交变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=210
212102
1
010Q . (22) （本题满分11分）
设向量组1(,2,10)T a α=，2(2,1,5)T α-，3(1,1,4)T α=-，(1,,)T b c β=.试问：当,,a b c 满足什么条件时
(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？(2) β不能由123,,ααα线性表出？
(3) β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.
解设有一组数123,,x x x ，使得 112233x x x αααβ++=
对应方程组的增广矩阵作初等行变换，有
2
11
1211211021122210540
015a a a ab A b c c b ⎛⎫
--⎛⎫
⎪
⎪
⎪=→--
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭线性表出，且表示唯一.
(1)当202
a --≠，即4a ≠-时，秩()A =秩()A =3，方程组有唯一解，β可由
123,,ααα
(2)当202a --=，即4a =-时，对A 作初等行变换，有210
10011200013b A b b c --⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪
-+⎝⎭
当31b c -≠时，秩()A ≠秩()A ，方程组无解，β不能由123,,ααα线性表出. (3)当4a =-且31b c -=时，秩()A =秩()A =2<3，方程组有无穷多解，β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一.此时，解得
123,21,21
k t k t b k b ==---=+(t 为任意常数) 因此有
123(21)(21)t t b b βααα=-++++
(23)（本题满分11分）
已知矩阵2000303A a a ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
有特征值5λ=，求a 的值；并当0a >时，正交矩阵Q ，使1Q AQ -=Λ.
解因5λ=是矩阵A 的特征值，则由
2300
5023(4)002
E A a a a -=-=-=-.可得
2a =±.
当
2
a =时，则由矩阵
A
的特征多项式
2
00
032(2)(5)(1)0023
E A λλλλλλλ--=
--=---=--，知矩阵A 的特征值是
1,2,5.
由()0E A x -=得基础解系1(0,1,1)T α=- 由(2)0E A x -=得基础解系
2(1,0,0)T α=
由(5)0E A x -=得基础解系3(0,1,1)T α= 即矩阵A 属于特征值1,2,5的特征向量分别是123,,ααα.
由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有
101,1λ⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭2100γ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，3011γ⎛⎫
⎪=⎪⎪⎭
那么，令123010()00
Q γγγ⎛⎫
⎪ ⎪ == ⎝
，则有1125Q AQ -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
. （22）设A 为三阶矩阵，123,,ααα为3维列向量.若向量组123,,ααα线性
无关，且112322A αααα=-++，
212322A αααα=--，312322A αααα=--. (1)求矩阵A 的特征向量；（2）设2B A E *=-，求B .
解 123123123122(,,)(,,)(,,)212221A A A A ααααααααα-⎛⎫
⎪
==-- ⎪ ⎪--⎝⎭
，因为123,,ααα线性无关，所以123(,,)ααα可逆，于是
1123123122(,,)(,,)212221A αααααα--⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
，即122212221A
C -⎛⎫
⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭
，则A 与C 有相同的特征值，
由1222
1
2
02
2
1
E C λλλλ+---=-+=-+，得1235,1λλλ=-== 于是A 的特征值
为1235,1λλλ=-==
（2）1235A λλλ==-，A *
的特征值为
1
1A
λ=，
2
5A
λ=-，
3
5A
λ=-，于是
2B A E *=-的特征值为1,11,11--，故121B =-.（23）设实二次型
123(,,)T f x x x x Ax =经过正交变换后得到的标准型为222
1232f y y y =--，A *是
A 的伴随矩阵，且向量(1,1,1)T α=-满足A αα*=，求二次型123(,,)f x x x .
解由于A 的特征值为2,1,1--，所以2(1)(1)2A =⨯-⨯-=.对A αα*=两边左乘A ，并利用AA A E *=得2A αα=，这表明α是A 对应于特征值2的特征相量.
取2(0,1,1)T α=，3(2,1,1)α=--，则123,,ααα两两正交，将它们分别规范化
为1T q =
，2T q =
，3(T
q =，令123(,,)Q q q q =，则Q 为正交矩阵，且011101110T A Q Q -⎛⎫
⎪
=Λ=- ⎪ ⎪--⎝⎭
所以二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--.。