2019-2020年四川省凉山州中考数学试题(附答案)
2019-2020年凉山州高中阶段教育学校招生统一考试数 学 试 题班级： 姓名： 学号：注意事项：1． 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确。
2． 选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3． 考试结束后，教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回。
本试卷共6页，分为A 卷（100分），B 卷（50分），全卷满分150分，考试时间120分钟。
A 卷又分为第I 卷和第II 卷。
A 卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1． 在在下面四个数中，无理数是（ ）A ．0B ． 3.1415-……C ．227D2． 如右图，AB EF ∥，FD 平分EFC ∠，若50DFC ∠=，则ABC ∠=（ ）A ．50B ．60C ．100 D ．1203． 如图，数轴上点A 对应的数为2，AB OA ⊥于A ，且1AB =，以O 为圆心，OB 为半径作弧，交数轴于点C ，则OC 的长为（ ） A ．3BCD4． 如图，在ABC △中，按以下步骤作图：①分别以A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD 。
若AD =AC ，25B ∠=，则C ∠=（ ）A ．70B ．60C ．50D ．405． 以下四个事件是必然事件的是（ ）①||0a ≥；②01a =；③mn mn a a a =；④1n n a a-=（0a ≠，n 为整数）。
A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6． 多项式236x y y -在实数范围内分解因式正确的是（ ）A．3(y x x + B ．23(2)y x - C ．2(36)y x - D．3(y x x -+7． 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的一个根，则m n +的值是（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-8． 凉山州某校举行“禁毒防艾”知识竞赛，该校八年级（1）班答题情况如图所示，则该班正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．14、15 B ．14、20 C ．20、15 D ．20、16A C DE （第2题图）F ABDCMN（第4题图）（第3题图）9．下列说法正确的是（）①平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②同一物体的三视图中，俯视图与左视图的宽相等；③线段的正投影是一条线段；④主视图是正三角形的圆锥的侧面展开图一定是半圆；⑤图形平移的方向总是水平的，图形旋转后的效果总是不同的。
A．①③B．②④C．③⑤D．②⑤10．无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为70α=，40β=，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（）A．(tan50tan20)h-B．(tan50tan20)h+C．11tan70tan40h⎛⎫-⎪⎝⎭D．11tan70tan40h⎛⎫+⎪⎝⎭11．如图，AB与O相切于点C，OA OB=，O的直径为6cm，AB=，则阴影部分的面积为（）A．2)cmπB．22)cmπC．23)cmπD．24)cmπ12．二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．40a b+=B．0a b+>C．:1:5a c=-D．当15x-≤≤时，0y>第Ⅱ卷（选择题共52分）二、填空题：（共5个小题，每小题4分，共20分）13有意义的条件是。
14．已知两个角的和是6756'，差是1240'，则这两个角的度数分别是、。
15．如图，ABC△外接圆的圆心坐标是。
16．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于E，若CD=8，60D∠=，则O的半径为。
B（第10题图）（第15题图）B（第16题图）A17．方程20x bx c -+=中，系数b 、c 可以是1、2、3、4中任取一值（b 、c 可以取相同的值），则b 、c 所取的值使方程20x bx c -+=有实数根的概率是 。
三、解答题：（共5小题，共32分）18．（5分）计算：101|245|(22018)3-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭。
19．（5分）先化简，再求值：233[(21)(45)2]x x x x x x --++-÷，其中x 是不等式组202113x x -<⎧⎪+⎨≥⎪⎩的整数解。
20．（7分）在ABCD □种，E 、F 分别是AD 、BC 上上的点，将ABCD □沿EF 所在直线翻折，使点B 与点D 重合，且点A 落在A '处。
（1）求证：A ED CFD '△≌△；（2）连接BE ，若60EBF ∠=，3EF =，求四边形BFDE 的面积。
21．（7分）西昌市教科知局从2013年起每年对全市所有中学进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一次），并将抽样调查的数据绘制成图1、如2两幅图统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1） 年抽取的调查人数最少； 奶奶抽取的调查人数中男生、女生人数相等； （2）求图2中“短跑”在扇形图中所说占的圆心角α的度数；（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少任？22．（A B E F C D A ' (B ) （第20题图）（第21题图） 图1 图2男生：女生： 乒乓球 其他 羽毛球短跑 跳绳 10% 35% 25% 15% 每年抽取调查学生中男生、女生人数折线图 2017年抽取的学生中“我最喜欢的阳光大课间”图活动情况扇形统计图 α8分）ABCD □在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线1y kx b =+与双曲线2my x=（0m >）在第一象限的图象相交于A 、E 两点，且A （3，4），E 是BC 的中点。
（1）连接OE ，若ABE △的面积为1S ，OCE △的面积为2S ，则1S 2S （直接填“<”、“>”或“=”）；（2）求1y 和2y 的解析式；（3）请直接写出当x 取何值时12y y >。
B 卷（共50分）四、填空题：（共2小题，每小题5分，共10分）23．当10a -<<= 。
24．AOC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，4OA =，将AOC △绕O点逆时针旋转90得到11A OC △，11A C 交y 轴于点B （0，2），若111C OB C AO △∽△，则点1C 的坐标为 。
五、解答题：（共4小题，共40分）25．（8分）已知：ABC △内接于O ，AB 是O 的直径，弦EG AB ⊥于H ，交BC 于F ，延长GE 交直线MC 于D ，且MCA B ∠=∠。
求证：（1）MC 是O 的切线； （2）DCF △是等腰三角形。
26．（62a b+≤（0a >，0b >），当且仅当a b =时，等号成立。
其中我们把2a b+叫做正数a 、b叫做正数a 、b 的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具。
BD（第25题图）例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1x x+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0x >，∴10x >，∴1x x x x+≥，即是112x xx x +≥，∴12x x+≥。
当且仅当1x x=即1x =时，有最小值，最小值为2.请根据阅读材料解答下列问题： （1）若0x >，函数12y x x =+，当x 为何值时，函数有最值，并求出其最值。
（2）当0x >时，式子221121x x ++≥+成立吗？请说明理由。
27．（14分）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m ，宽60m 的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空地区域为活动场所，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m ，不大于44m ，预计活动区造价是60元2/m ，设绿化区域较长直角边为x m 。
（1）用含x 的代数式表示出口的宽度；（2）求工程总造价y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明原因。
28．（12分）已知直线3y x =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B两点，点M 在线段AB 上，从O 点出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N 在线段AB上，从点A 出发，向点B 个单位的速度匀速运动，连接MN ，设运动时间为t 秒。
（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，AMN △为直角三角形；（3）过N 作NH y ∥轴交抛物线于H ，连接MH ，是否存在点坐标，若不存在，请说明理由。
（第27题图）。
2020年四川省凉山州中考数学试题和答案
2020年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020 2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．（4分）点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3 5．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x ＝﹣26．（4分）下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2 C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝17．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3 8．（4分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm9．（4分）下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．（4分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA 的值为（）A．B．C．2D．211．（4分）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：2 12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．（4分）因式分解：a3﹣ab2＝．15．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB 交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．16．（4分）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．（4分）如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y ＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x﹣＝1+．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD 平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB 的长和sin∠B的值．28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．2020年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．参考答案：解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．参考答案：解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．参考答案：解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．参考答案：解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5．参考答案：解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．6．参考答案：解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．7．参考答案：解：根据题意得，解得﹣＜m≤3．故选：D．8．参考答案：解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．9．参考答案：解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D．10．参考答案：解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故选：A．11．参考答案：解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．12．参考答案：解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．参考答案：解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．14．参考答案：解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．15．参考答案：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．16．参考答案：解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴＝π，∴r＝3，故答案为3．17．参考答案：解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n＝，∴mn＝．把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，∴k＝9mn＝9×＝12．故答案为：12．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．参考答案：解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．参考答案：解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．参考答案：解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．参考答案：解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．22．参考答案：（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．参考答案：解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．24．参考答案：解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．参考答案：解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC 的度数为120°．26．参考答案：解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．27．参考答案：（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．28．参考答案：解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；（3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+），则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）．。
2019年四川省凉山州中考数学试卷(答案)
2019年四川省凉山州中考数学试卷(含答案)一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A．1.533×109B．1.533×1010C．1.533×1011D．1.533×1012 3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°4．（4分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1B．x≥﹣1 C．x≤1D．x≤﹣1 6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人） 3 17 13 7时间（小时）7 8 9 10那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5 7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8 B．6 C．4 D．29．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O 是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 11．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC 绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组的解是．14．（4分）方程+＝1的解是．15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．16．（4分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2，2）．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是．24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B 作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
2019年四川省凉山州中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A．1.533×109B．1.533×1010C．1.533×1011D．1.533×10123．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°4．（4分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣16．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.57．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．29．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC 于E，则BE：EC＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：311．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组的解是．14．（4分）方程+＝1的解是．15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．16．（4分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2，2）．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM ⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E 是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是．24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P 作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM 交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A．2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A．1.533×109B．1.533×1010C．1.533×1011D．1.533×1012【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153 300 000 000＝1.533×1011故选：C．3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，∴∠ACD＝30°+75°＝105°，∵BD∥EF，∴∠E＝∠ACD＝105°．故选：D．4．（4分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、＝|a|，故选项D不合题意．故选：B．5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：1﹣x≥x﹣1，﹣2x≥﹣2∴x≤1．故选：C．6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为＝8.5；故选：D．7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A．8．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．2【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．所以△ABC的面积等于2×|k|＝|k|＝4．故选：C．9．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin B的值．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC 于E，则BE：EC＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出AD：DC＝1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出AD＝DG＝GC，AG：GC＝2：1，AO：OF＝2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：FC的比．【解答】解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，∵AD：DC＝1：2，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，∴故选：B．11．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π【分析】根据旋转的性质可以得到在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a ﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c ＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组的解是．【分析】利用加减消元法解之即可．【解答】解：，②﹣①得：x＝6，把x＝6代入①得：6+y＝10，解得：y＝4，方程组的解为：，故答案为：．14．（4分）方程+＝1的解是x＝﹣2．【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．【解答】解：去分母，得（2x﹣1）（x+1）﹣2＝（x+1）（x﹣1）去括号，得2x2+x﹣3＝x2﹣1移项并整理，得x2+x﹣2＝0所以（x+2）（x﹣1）＝0解得x＝﹣2或x＝1经检验，x＝﹣2是原方程的解．故答案为：x＝﹣2．15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．16．（4分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是4：25或9：25．【分析】分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，故答案为：4：25或9：25．17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，则2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．故答案为：3．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．【解答】解：原式＝1+1﹣4+（2﹣）＝．19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a﹣1）利润平方差公式可化为（a2﹣1），则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．【解答】解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8＝2a+2将a＝﹣代入原式＝2×（﹣）+2＝120．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM ⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE ＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有40人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为90°；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；（2）用360°乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；（4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°×＝90°，故答案为：90°．（3）获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4（人），条形统计图为：（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝．22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E 是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB 知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是﹣3≤a≤1．【分析】直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．【解答】解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1故答案为：﹣3≤a≤124．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P 作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．【分析】有韦达定理得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，将式子+＝1化简代入即可；【解答】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，∵+＝＝＝1，∴a＝﹣1+或a＝﹣1﹣；∵△＝1﹣4a＞0，∴a＜，∴a＝﹣1﹣；26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x＜3．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．由①得，空集，由②得，﹣1＜x＜3，∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．（2）由＜0知①或②，解不等式组①，得：x＞1；解不等式组②，得：x＜﹣4；所以不等式＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM 交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），故可设交点式y＝a（x+1）（x ﹣3），把点C代入即求得a的值，减小计算量．（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有P A＝PB，则C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB，所以当C、P、B在同一直线上时，C△P AC＝AC+CB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．（3）由S△P AM＝S△P AC可得，当两三角形以P A为底时，高相等，即点C和点M到直线P A距离相等．若点M在点P上方，则有CM∥P A．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．若点M在点P下方，则此时M所在的直线到直线P A的距离等于第一种情况时CM到P A的距离，故可用平移的方法来求此时点M所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△P AC的周长最小．如图1，连接PB、BC∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称∴P A＝PB∴C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）∴AC＝，BC＝∴C△P AC＝AC+CB＝最小设直线BC解析式为y＝kx+3把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC：y＝﹣x+3∴y P＝﹣1+3＝2∴点P（1，2）使△P AC的周长最小，最小值为．（3）存在满足条件的点M，使得S△P AM＝S△P AC．∵S△P AM＝S△P AC∴当以P A为底时，两三角形等高∴点C和点M到直线P A距离相等①若点M在点P上方，如图2，∴CM∥P A∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d∴解得：∴直线AP：y＝x+1∴直线CM解析式为：y＝x+3∵解得：（即点C），∴点M坐标为（1，4）②若点M在点P下方，如图3，则点M所在的直线l∥P A，且直线l到P A的距离等于直线y＝x+3到P A的距离∴直线AP：y＝x+1向下平移2个单位得y＝x﹣1即为直线l的解析式∵解得：∵点M在x轴上方∴y＞0∴点M坐标为（，）综上所述，点M坐标为（1，4）或（，）时，S△P AM＝S△P AC．。
中考2019年四川省凉山州中考数学试题(word版含解析)
2019年四川省凉山州中考数学试题（word版含解析）2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A．1.533×109B．1.533×1010C．1.533×1011D．1.533×1012 3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°4．（4分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣16．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.57．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．29．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：311．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组的解是．14．（4分）方程+＝1的解是．15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O 的半径是．16．（4分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2，2）．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是．24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM2019年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（）A．1.533×109B．1.533×1010C．1.533×1011D．1.533×1012【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153 300 000 000＝1.533×1011故选：C．【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，∴∠ACD＝30°+75°＝105°，∵BD∥EF，∴∠E＝∠ACD＝105°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．4．（4分）下列各式正确的是（）A．2a2+3a2＝5a4B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．＝a【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、＝|a|，故选项D不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键．5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：1﹣x≥x﹣1，﹣2x≥﹣2∴x≤1．故选：C．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为＝8.5；故选：D．【点评】本题考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．2【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．所以△ABC的面积等于2×|k|＝|k|＝4．故选：C．【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．9．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin B的值．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出AD：DC＝1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出AD＝DG＝GC，AG：GC＝2：1，AO：OF＝2：1，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：FC的比．【解答】解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，∵AD：DC＝1：2，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，∴故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．11．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组的解是．【分析】利用加减消元法解之即可．【解答】解：，②﹣①得：x＝6，把x＝6代入①得：6+y＝10，解得：y＝4，方程组的解为：，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．14．（4分）方程+＝1的解是x＝﹣2．【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．【解答】解：去分母，得（2x﹣1）（x+1）﹣2＝（x+1）（x﹣1）去括号，得2x2+x﹣3＝x2﹣1移项并整理，得x2+x﹣2＝0所以（x+2）（x﹣1）＝0解得x＝﹣2或x＝1经检验，x＝﹣2是原方程的解．故答案为：x＝﹣2．【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程的解法．掌握分式方程的解法是解决本题的关键．注意验根．15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O 的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．16．（4分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是4：25或9：25．【分析】分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，故答案为：4：25或9：25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，则2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．【解答】解：原式＝1+1﹣2+（2﹣）＝．【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识．19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a﹣1）利润平方差公式可化为（a2﹣1），则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．【解答】解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8＝2a+2将a＝﹣代入原式＝2×（﹣）+2＝1【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有40人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为90°；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；（2）用360°乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；（4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°×＝90°，故答案为：90°．（3）获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4（人），条形统计图为：（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF ＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是﹣3≤a≤1．【分析】直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．【解答】解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1故答案为：﹣3≤a≤1【点评】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP ＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．【分析】有韦达定理得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，将式子+＝1化简代入即可；【解答】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，∵+＝＝＝1，∴a＝﹣1+或a＝﹣1﹣；【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键．26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为﹣1＜x＜3．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．由①得，空集，由②得，﹣1＜x＜3，∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．（2）由＜0知①或②，解不等式组①，得：x＞1；解不等式组②，得：x＜﹣4；所以不等式＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．【点评】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD 和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），故可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），把点C代入即求得a的值，减小计算量．（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有P A＝PB，则C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB，所以当C、P、B在同一直线上时，C△P AC＝AC+CB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．（3）由S△P AM＝S△P AC可得，当两三角形以P A为底时，高相等，即点C和点M到直线P A距离相等．又因为M在x轴上方，故有CM∥P A．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△P AC的周长最小．如图1，连接PB、BC∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称∴P A＝PB∴C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）∴AC＝，BC＝∴C△P AC＝AC+CB＝最小设直线BC解析式为y＝kx+3把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC：y＝﹣x+3∴y P＝﹣1+3＝2∴点P（1，2）使△P AC的周长最小，最小值为．（3）存在满足条件的点M，使得S△P AM＝S△P AC．∵S△P AM＝S△P AC∴当以P A为底时，两三角形等高∴点C和点M到直线P A距离相等∵M在x轴上方∴CM∥P A∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d∴解得：∴直线AP：y＝x+1∴直线CM解析式为：y＝x+3∵解得：（即点C），∴点M坐标为（1，4）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．2019年内蒙古包头市中考数学试题（Word版含解析）2019年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.1．（3分）计算|﹣|+（）﹣1的结果是（）A．0 B．C．D．62．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（）A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（）A．4 B．C．5 D．4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（）A．24 B．24πC．96 D．96π5．（3分）在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 6．（3分）下列说法正确的是（）A．立方根等于它本身的数一定是1和0B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）A．1 B．C．2 D．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．4﹣πC．D．29．（3分）下列命题：①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．其中真命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36 11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（）A．B．C．﹣1 D．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．0二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿用科学记数法表示为．14．（3分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是．15．（3分）化简：1﹣÷＝．16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：。
2019年四川省凉山州中考数学试卷以及解析版
2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）2的相反数是()A ．2B ．2C ．12D ．122．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是()A ．91.53310B ．101.53310C ．111.53310D ．121.533103．（4分）如图，//BD EF ，AE 与BD 交于点C ，30B，75A，则E 的度数为()A ．135B ．125C ．115D ．1054．（4分）下列各式正确的是()A ．224235aaaB ．23a a aC ．235()a aD ．2aa5．（4分）不等式11x x …的解集是()A ．1x …B ．1x …C ．1x,D ．1x,6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人)317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是()A ．17，8.5B ．17，9C ．8，9D ．8，8.57．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．48．（4分）如图，正比例函数y kx与反比例函数4yx的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则ABC的面积等于() A．8B．6C．4D．29．（4分）如图，在ABC中，4CA CB，1cos4C，则sin B的值为()A．102B．153C．64D．10410．（4分）如图，在ABC中，D在AC边上，:1:2AD DC，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC于E，则:(BE EC)A．1:2B．1:3C．1:4D．2:311．（4分）如图，在AOC中，3OA cm，1OC cm，将AOC绕点O顺时针旋转90后得到BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(2)cm．A ．2B ．2C ．178D ．19812．（4分）二次函数2y ax bxc 的部分图象如图所示，有以下结论：①30ab；②240bac ；③520a bc；④430b c，其中错误结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组10216x y xy 的解是．14．（4分）方程2212111x x x的解是．15．（4分）如图所示，AB 是O 的直径，弦CDAB 于H ，30A ，23CD，则O的半径是．16．（4分）在ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2:3的两部分，连接BE 、AC相交于F ，则:AEFCBFSS是．17．（4分）将抛物线2(3)2y x 向左平移个单位后经过点(2,2)A ．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：021tan 45(32)()|32|2．19．（5分）先化简，再求值：2(3)(1)(1)2(24)aa aa，其中12a．20．（6分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB ．过点A 作AMBE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．求证：OEOF ．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有14来自七年级，12来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．22．（8分）如图，点D 是以AB 为直径的O 上一点，过点B 作O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若OB BF ，4EF ，求AD 的长．四、B 卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当03x 剟时，直线y a 与抛物线2(1)3y x 有交点，则a 的取值范围是．24．（5分）如图，正方形ABCD 中，12AB ，14AE AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQEP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数2yxxa 的图象与x 轴交于1(A x ，0)、2(B x ，0)两点，且2212111xx，求a 的值．26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若0ab（或0)a b ，则00a b 或00a b ；②若0ab （或0)a b，则00a b或00a b ．根据上述知识，求不等式(2)(3)0x x 的解集解：原不等式可化为：（1）203x x或（2）203x x．由（1）得，2x ，由（2）得，3x，原不等式的解集为：3x或2x．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式2230x x 的解集为．（2）求不等式401x x的解集（要求写出解答过程）27．（10分）如图，90ABD BCD，DB 平分ADC ，过点B 作//BM CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD ；（2）若6CD，8AD，求MN 的长．28．（12分）如图，抛物线2y axbxc 的图象过点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAMPACS S？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省凉山州中考数学试卷答案与解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置1．（4分）【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，2的相反数是2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（4分）【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153 300 000 11000 1.53310故选：C．【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式,，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．a(1103．（4分）【分析】直接利用三角形的外角性质得出ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．A，B，75【解答】解：30ACD，3075105BD EF，//E ACD．105故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．4．（4分）【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．【解答】解：A、222a a a，故选项A不合题意；235B、23a a a，故选项B符合题意；C 、236()a a ，故选项C 不合题意；D 、2||aa ，故选项D 不合题意．故选：B ．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键．5．（4分）【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：11x x …，22x …1x,．故选：C ．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．6．（4分）【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，这组数据的中位数为898.52；故选：D ．【点评】本题考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．7．（4分）【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A ．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．（4分）【分析】由于点A 、C 位于反比例函数图象上且关于原点对称，则OBAOBCSS，再根据反比例函数系数k 的几何意义作答即可．【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即1||2S k ．所以ABC 的面积等于12||||42k k ．故选：C ．【点评】主要考查了反比例函数k yx中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为||k ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即1||2Sk ．9．（4分）【分析】过点A 作AD BC ，垂足为D ，在Rt ACD 中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sin B 的值．【解答】解：过点A 作AD BC ，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD 中，cos 1CD CA C ，2215ADADCD；在Rt ABD 中，3BD CBCD，15AD，2226AB BD AD ，10sin 4AD BAB．故选：D ．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．10．（4分）【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出:1:2AD DC，根据已知和平行线分线段成比例得出ADDGGC ，:2:1AG GC，:2:1AO OF ，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出:BF FC 的比．【解答】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，O 是BD 的中点，G 是DC 的中点．又:1:2AD DC ，ADDGGC ，:2:1AG GC ，:2:1AO OE，:2AOBBOES S 设BOES S ，2AOB S S ，又BO OD ，2AOD SS ，4ABDSS ，:1:2AD DC ，28BDCABDS SS ，7CDOES S 四边形，9AECSS ，3ABES S ，3193ABE AECS BE S ECSS故选：B ．【点评】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．11．（4分）如图，在AOC中，3OA cm，1OC cm，将AOC绕点O顺时针旋转90后得到BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(2)cm．A．2B．2C．178D．198【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：AOC BOD，阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积22 9039012 360360，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积是解题关键．12．（4分）二次函数2y ax bx c的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b；②240b ac；③520a b c；④430b c，其中错误结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①对称轴为32x，得3ba ；②函数图象与x 轴有两个不同的交点，得△240bac ；③当1x时，0abc，当3x时，930abc，得520ab c；④由对称性可知1x 时对应的y 值与4x 时对应的y 值相等，当1x 时0a bc，43333333()0bcbbcba c abc ；【解答】解：由图象可知0a，0c，对称轴为32x，322b x a，3ba ，①正确；函数图象与x 轴有两个不同的交点，△240bac ，②正确；当1x 时，0a b c ，当3x 时，930a b c ，10420a b c ，520abc，③正确；由对称性可知1x 时对应的y 值与4x 时对应的y 值相等，当1x 时0a bc，3b a ，43333333()0b c b b c b a c a b c ，430bc，④错误；故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）方程组10216x y xy 的解是64x y．【分析】利用加减消元法解之即可．【解答】解：10216x y xy①②，②①得：6x，把6x 代入①得：610y，解得：4y，方程组的解为：64x y ，故答案为：64x y．【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．14．（4分）方程2212111x x x的解是2x ．【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．【解答】解：21211(1)(1)x x x x 去分母，得(21)(1)2(1)(1)x x x x 去括号，得22231x x x 移项并整理，得22x x所以(2)(1)0x x解得2x或1x经检验，2x 是原方程的解．故答案为：2x ．【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程的解法．掌握分式方程的解法是解决本题的关键．注意验根．15．（4分）如图所示，AB 是O 的直径，弦CD AB 于H ，30A ，23CD ，则O的半径是2．【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出90ACB ，132CH DHCD ，由直角三角形的性质得出223ACCH，323ACBC，2ABBC ，得出2BC，4AB ，求出2OA 即可．【解答】解：连接BC ，如图所示：AB 是O 的直径，弦CD AB 于H ，90ACB ，132CHDHCD，30A ，223ACCH，在Rt ABC 中，30A，323AC BC ，2ABBC ，2BC ，4AB ，2OA ，即O 的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．16．（4分）在ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2:3的两部分，连接BE 、AC相交于F ，则:AEFCBFSS是4:25或9:25．【分析】分:2:3AE ED 、:3:2AE ED两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：①当:2:3AE ED时，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ，:2:5AE BC ，AEF CBF ∽，22:()4:255AEFCBFSS；②当:3:2AE ED 时，同理可得，23:()9:255AEFCBFSS，故答案为：4:25或9:25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．17．（4分）将抛物线2(3)2yx向左平移3个单位后经过点(2,2)A ．【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．【解答】解：将抛物线2(3)2yx向左平移后经过点(2,2)A ，设平移后解析式为：2(3)2yx a ，则22(23)2a ，解得：3a 或1a（不合题意舍去），故将抛物线2(3)2y x向左平移3个单位后经过点(2,2)A ．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）计算：021tan 45(32)()|32|2．【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．【解答】解：原式112(23)23．【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识．19．（5分）先化简，再求值：2(3)(1)(1)2(24)a a a a ，其中12a．【分析】注意到2(3)a 可以利用完全平方公式进行展开，(1)(1)a a 利润平方差公式可化为2(1)a，则将各项合并即可化简，最后代入12a进行计算．【解答】解：原式2269(1)48aa aa 22a 将12a代入原式12()212【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变20．（6分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB ．过点A 作AMBE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．求证：OEOF ．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA ，根据AM BE ，即可得出90MEAMAEAFOMAE ，从而证出Rt BOE Rt AOF ，得到OEOF ．【解答】证明：四边形ABCD 是正方形．90BOEAOF，OBOA ．又AM BE，90MEA MAE AFO MAE，MEA AFO．()BOE AOF AAS．OE OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有40人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有14来自七年级，12来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；（2）用360乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；（4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有1845%40（人)，故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为103609040，故答案为：90．（3）获二等奖的人数4020%8，一等奖的人数为40810184（人)，条形统计图为：（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率41 123．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．22．（8分）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是O的切线；（2）若OB BF，4EF，求AD的长．【分析】（1）连接OD，由AB为O的直径得90BDC，根据BE EC知13、由OD OB知24，根据BC是O的切线得3490，即1290，得证；（2）根据直角三角形的性质得到30F，12 2BE EF，求得2DE BE，得到6DF，根据三角形的内角和得到OD OA，求得1302A ADO BOD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，AB为O的直径，90ADB BDC，在Rt BDC中，BE EC，DE EC BE，13，BC是O的切线，3490，1490，又24，1290，DF为O的切线；（2）OB BF，2OF OD，30F，90FBE，122BE EF，2DE BE，6DF，30F，90ODF，60FOD，OD OA，1302A ADO BOD，A F，6AD DF．【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．四、B 卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）当03x 剟时，直线y a 与抛物线2(1)3y x 有交点，则a 的取值范围是31a 剟．【分析】直线y a 与抛物线2(1)3yx 有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．【解答】解：法一：y a 与抛物线2(1)3yx 有交点则有2(1)3a x，整理得222x xa△2444(2)0baca …解得3a …，03x 剟，对称轴1x 2(31)31y1a,法二：由题意可知，抛物线的顶点为(1,3)，而03x 剟抛物线y 的取值为31y 剟y a ，则直线y 与x 轴平行，要使直线ya 与抛物线2(1)3yx 有交点，抛物线y 的取值为31y 剟，即为a 的取值范围，31a 剟故答案为：31a 剟【点评】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．24．（5分）如图，正方形ABCD 中，12AB ，14AEAB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQEP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为4．【分析】先证明BPE CQP ∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQy ，BP x ，则12CP x ，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【解答】解：90BEPBPE，90QPCBPE，BEP CPQ ．又90BC，BPE CQP ∽．BE BP PC CQ．设CQy ，BP x ，则12CPx ．912x x y，化简得21(12)9y xx ，整理得21(6)49y x，所以当6x时，y 有最大值为4．故答案为4．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）已知二次函数2yxxa 的图象与x 轴交于1(A x ，0)、2(B x ，0)两点，且2212111xx，求a 的值．【分析】有韦达定理得121x x ，12x x a ，将式子2212111x x化简代入即可；【解答】解：2y xxa 的图象与x 轴交于1(A x ，0)、2(B x ，0)两点，121x x ，12x x a ，222121212222222121212()211121()x xx x x x a x x x x x x a，12a或12a；【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键．26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若0ab（或0)a b ，则00a b 或00a b ；②若0ab （或0)a b，则00a b或00a b ．根据上述知识，求不等式(2)(3)0x x 的解集解：原不等式可化为：（1）203x x或（2）203x x．由（1）得，2x ，由（2）得，3x，原不等式的解集为：3x或2x．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式2230x x 的解集为13x ．（2）求不等式401x x的解集（要求写出解答过程）【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）原不等式可化为：①3010xx 或②301x x ．由①得，空集，由②得，13x，原不等式的解集为：13x，故答案为：13x．（2）由401xx知①4010x x 或②401x x，解不等式组①，得：1x ；解不等式组②，得：4x ；所以不等式401x x的解集为1x 或4x ．【点评】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．27．（10分）如图，90ABD BCD ，DB 平分ADC ，过点B 作//BM CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD ；（2）若6CD，8AD，求MN 的长．【分析】（1）通过证明ABD BCD ∽，可得AD BD BDCD，可得结论；（2）由平行线的性质可证MBDBDC ，即可证4AM MDMB，由2BDAD CD和勾股定理可求MC 的长，通过证明MNB CND ∽，可得23BM MN CDCN，即可求MN 的长．【解答】证明：（1）DB 平分ADC ，ADBCDB ，且90ABDBCD，ABD BCD ∽AD BD BDCD2BD AD CD （2）//BM CDMBDBDCADB MBD ，且90ABD BM MD ，MAB MBA4BMMDAM2BD AD CD ，且6CD ，8AD ，248BD ，22212BC BDCD22228MC MB BC 27MC//BM CD MNB CND ∽23BM MN CD CN ，且27MC475MN【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC 的长度是本题的关键．28．（12分）如图，抛物线2yaxbx c 的图象过点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAMPACS S？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点(1,0)A 、(3,0)B ，故可设交点式(1)(3)ya xx，把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x 对称，故有P AP B ，则PACCAC PC PA AC PCPB ，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PACCACCB最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x 代入即求得点P 纵坐标．（3）由PA MP AC SS 可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标．【解答】解：（1）抛物线与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B 可设交点式(1)(3)ya x x 把点(0,3)C 代入得：33a1a 2(1)(3)23yxxxx抛物线解析式为223yx x（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC 的周长最小．如图1，连接PB 、BC 点P 在抛物线对称轴直线1x上，点A 、B 关于对称轴对称PA PBPACCAC PC PA AC PC PB 当C 、P 、B 在同一直线上时，PCPBCB 最小(1,0)A 、(3,0)B 、(0,3)C 221310AC ，223332BC 1032PACCACCB最小设直线BC 解析式为3y kx把点B 代入得：330k ，解得：1k直线:3BC y x132Py 点(1,2)P 使PAC 的周长最小，最小值为1032．（3）存在满足条件的点M ，使得PAMPACS S．PAM PACSS当以PA 为底时，两三角形等高点C 和点M 到直线PA 距离相等M 在x 轴上方//CM PA(1,0)A ，(1,2)P ，设直线AP 解析式为y pxd2p d pd 解得：11p d直线:1AP y x 直线CM 解析式为：3y x2323y x yxx解得：1103x y （即点)C ，2214x y 点M 坐标为(1,4)【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单。
2020年四川省凉山州中考数学试卷(含解析)
2020年四川省凉山州中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．﹣12020＝（）A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣20202．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和35．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣26．下列等式成立的是（）A．＝±9 B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝17．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤38．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．B．C．2 D．211．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：212．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．因式分解：a3﹣ab2＝．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（共32分）18．（5分）解方程：x﹣＝1+．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．B卷（50分）一、填空题（每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．二、解答题（本大题共4小题，共40分）25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5．【解答】解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．6．【解答】解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．7．【解答】解：根据题意得，解得﹣＜m≤3．故选：D．8．【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．9．【解答】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D．10．【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故选：A．11．【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．12．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．二、填空题13．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．14．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．16．【解答】解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴＝π，∴r＝3，故答案为3．17．【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n＝，∴mn＝．把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，∴k＝9mn＝9×＝12．故答案为12．三、解答题18．【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．22．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．B卷一、填空题23．【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．24．【解答】解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．二、解答题25．【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．27．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．28．【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；（3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+），则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）。
2019年四川省凉山州中考数学试卷附分析答案
28．（12 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M（不与 C 点重合），使得 S △PAM＝S△PAC？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
故选：C．
3．（4 分）如图，BD∥EF，AE 与 BD 交于点 C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E 的度数为
（）
A．135°
B．125°
C．115°
【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
4．（4 分）下列各式正确的是（ ）
21．（8 分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了 如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有
人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为
；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有 来自七年级， 来自九年级，其余的来自八年级，学校决 定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方 法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率． 22．（8 分）如图，点 D 是以 AB 为直径的⊙O 上一点，过点 B 作⊙O 的切线，交 AD 的延 长线于点 C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若 OB＝BF，EF＝4，求 AD 的长．
2019年四川省凉山州市中考数学试卷及答案(解析版)
四川省凉山州市2019年中考数学试卷数 学(考试时间:120分钟 满分:150分) 本试卷分为A 卷(100分)、B 卷(50分)A 卷(共100分) 第Ⅰ卷(选择题 共48分)一、选择题(共12个小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. 1.2-的相反数是( )A .2B .2-C .12D .12-2.2018年凉山州生产总值约为153 300 000 000,用科学记数法表示数153 300 000 000是( )A .91.53310⨯B .101.53310⨯C .111.53310⨯D .121.53310⨯3.如图,BD EF ∥,AE 与BD 交于点C ,B 30∠=︒,A 75∠=︒,则E ∠的度数为( )第3题图A .135︒B .125︒C .115︒D .105︒ 4.下列各式正确的是( )A .224235a a a +=B .23a a a =gC .()325a a =Da5.不等式11x x --≥的解集是( )A .1x ≥B .1x -≥C .1x ≤D .1x -≤6那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( ) A .17,8.5B .17,9C .8,9D .8,8.57.下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .48.如图,正比例函数y kx =与反比例函数4y x=的图象相交于A 、C 两点,过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ,连接BC ,则ABC △的面积等于( ) A .8B .6C .4D .2第8题图第9题图第10题图9.如图,在ABC △中,AC CB 4==,1cosC 4=,则sinB 的值为( )A.2B.3C.4D.410.如图,在ABC △中,D 在AC 边上,AD:DC 1:2=,O 是BD 的中点,连接AO 并延长交BC 于E ,则BE:EC =( )A .1:2B .1:3C .1:4D .2:311.如图,在AOC △中,OA 3cm =,OC 1cm =,将AOC △绕点O 顺时针旋转90︒后得到BOD △,则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )2cm . A .π2B .2πC .17π8D .19π8第11题图第12题图12.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示,有以下结论：①30a b -=；②240b ac -＞；③520a b c -+＞；④430b c +＞,其中错误结论的个数是 ( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(非选择题 共52分)二、填空题(共5个小题,每小题4分,共20分) 13.方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是 .14.方程212111x x x-+=--的解是 . 15.如图所示,AB 是O e 的直径,弦CD AB ⊥于H ,30A ∠=︒,CD =,则O e 的半径是 .第15题图16.在□ABCD 中,E 是AD 上一点,且点E 将AD 分为2:3的两部分,连接BE 、AC 相交于F ,则AEF CBF :S S △△是 .17.将抛物线()232y x =--向左平移 个单位后经过点()A 2,2).三、解答题(共5小题,共32分) 18.(5分)计算：21tan 4522-⎛⎫︒+--+ ⎪⎝⎭.19.(5分)先化简,再求值：()()()()2311224a a a a +-+--+,其中12a =-.20.(6分)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM BE⊥,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证：OE OF=.21.(8分)某校初中部举行诗词大会预选赛,学校对参赛同学获奖情况进行统计,绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合图中相关数据解答下列问题：(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；(2)在扇形统计图中,“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；(3)将条形统计图补充完整；(4)若获得一等奖的同学中有14来自七年级,12来自九年级,其余的来自八年级,学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛,请通过列表或树状图方法求所选两名同学中,恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率.22.(8分)如图,点D 是以AB 为直径的O e 上一点,过点B 作O e 的切线,交AD 的延长线于点C ,E 是BC 的中点,连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F . (1)求证：DF 是O e 的切线； (2)若OB BF =,EF 4=,求AD 的长.B 卷(共50分)四、填空题(共2小题,每小题5分,共10分)23.当03x ≤≤时,直线y a =与抛物线()213y x =--有交点,则a 的取值范围是 .24.如图,正方形ABCD 中,AB 12=,1AE AB 4=,点P 在BC 上运动(不与B 、C 重合),过点P 作PQ EP ⊥,交CD 于点Q ,则CQ 的最大值为 .五、解答题(共4小题,共40分)25.(8分)已知二次函数2y x x a =++的图象与x 轴交于()1,0A x 、()2,0B x 两点,且2212111x x +=,求a 的值.26.(10分)根据有理数乘法(除法)法则可知： ①若0ab ＞(或0b a＞),则00a b ⎧⎨⎩＞＞或00a b ⎧⎨⎩＜＜ ②若0ab ＜(或0b a ＜),则00a b ⎧⎨⎩＞＜或00a b ⎧⎨⎩＜＞ 根据上述知识,求不等式()()230x x -+＞的解集. 解：原不等式可化为：(1) 2030x x -⎧⎨+⎩＞＞或(2) 2030x x -⎧⎨+⎩＜＜，由(1)得,2x ＞, 由(2)得,3x -＜,∴原不等式的解集为：3x -＜或2x ＞.请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题： (1)不等式2230x x --＜的解集为 . (2)求不等式401x x+-＜的解集(要求写出解答过程).27.(10分)如图,ABD BCD 90∠=∠=︒,DB 平分ADC ∠,过点B 作BM CD ∥交AD 于M .连接CM 交DB 于N . (1)求证：2BD AD CD =g ； (2)若CD 6=,AD 8=,求MN 的长.28.(12分)如图,抛物线2y ax bx c =++的图象过点()A 1,0-、()B 3,0、()C 0,3. (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使得PAC △的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标及PAC △的周长；若不存在,请说明理由；(3)在(2)的条件下,在x 轴上方的抛物线上是否存在点M (不与C 点重合),使得PAM PAC S S =△△？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.四川省凉山州市2019年中考数学试卷数学答案解析A 卷 第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】A【解析】根据相反数的定义，2-的相反数是2． 故选：A ．【考点】相反数的意义 2．【答案】C【解析】科学记数法表示：11153 300 000 000 1.53310=⨯． 故选：C ．【考点】科学记数法的表示3．【答案】D【解析】30B ∠=︒Q ，75A ∠=︒，3075105ACD ∴∠=︒+︒=︒，BD EF Q ∥，105E ACD ∴∠=∠=︒．故选：D ．【考点】平行线的性质以及三角形的外角 4．【答案】B【解析】A 、222235a a a +=，故选项A 不合题意； B 、23a a a =g ，故选项B 符合题意； C 、()632a a =，故选项C 不合题意；Da ，故选项D 不合题意． 故选：B ．【考点】合并同类项的法则，幂的运算法则以及二次根式的性质 5．【答案】C 【解析】11x x --≥，22x --≥ 1x ∴≤．故选：C ．【考点】解简单不等式 6．【答案】D【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数，即8； 由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为898.52+=； 故选：D ．【考点】中位数、众数的概念，众数与中位数的意义 7．【答案】A【解析】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题； ②两点之间线段最短；真命题； ③相等的圆心角所对的弧相等；假命题； ④平分弦的直径垂直于弦；假命题； 真命题的个数是1个； 故选：A ．【考点】命题与定理 8．【答案】C【解析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值， 即12S k =． 所以ABC △的面积等于1242k k ⨯==． 故选：C ．【考点】反比例函数ky x=中k 的几何意义 9．【答案】D【解析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图所示． 在Rt ACD △中，cos 1CD CA C ==g ，AD ∴=；在Rt ABD △中，3BD CB CD =-=，AD =AB ∴==sin AD B AB ∴==． 故选：D ．【考点】解直角三角形以及勾股定理 10．【答案】B【解析】如图，过O 作OG BC ∥，交AC 于G ，O Q 是BD 的中点， G ∴是DC 的中点．又:1:2AD DC =，AD DG GC ∴==，:2:1AG GC ∴=，:2:1AO OE =， 2:AOB BOE S S ∴=△△设BOE S S =△，2AOB S S =△，又BO OD =，2AOD S S ∴=△，4ABD S S =△，:1:2AD DC =Q ，28BDC ABD S S S ∴==△△，7CDOE S S =四边形， 9AEC S S ∴=△，3ABE S S =△， 3193ABE AEC S BE S EC S S ∴===△△ 故选：B ．【考点】平行线分线段成比例及三角形的中位线 11．【答案】B故选：B ．【考点】旋转的性质以及扇形的面积公式 12．【答案】A【解析】由图象可知0a ＜，0c ＞，对称轴为32x =-，322bx a ∴=-=-，3b a ∴=，①正确；Q 函数图象与x 轴有两个不同的交点，240b ac ∴∆=-＞，②正确；当1x =-时，0a b c -+＞， 当3x =-时，930a b c -+＞，10420a b c ∴-+＞， 520a b c ∴-+＞，③正确；由对称性可知1x =时对应的y 值与4x =-时对应的y 值相等，∴当1x =时0a b c ++＜，3b a =Q ，()433333330b c b b c b a c a b c ∴+=++=++=++＜，430b c ∴+＜，④错误；故选：A ． 【考点】二次函数的图象及性质第Ⅱ卷二、填空题13．【答案】64x y =⎧⎨=⎩ 【解析】10216x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， -②①得：6x =，把6x =代入①得：610y +=，解得：4y =，方程组的解为：64x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：64x y =⎧⎨=⎩． 【考点】解二元一次方程组14．【答案】2x =-【解析】()()2121111x x x x --=-+- 去分母，得()()()()211211x x x x -+-=+-去括号，得22231x x x -+=-移项并整理，得220x x +-=所以()()210x x +-=解得2x =-或1x =经检验，2x =-是原方程的解．故答案为：2x =-．【考点】分式方程、一元二次方程的解法15．【答案】2【解析】连接BC ，如图所示：AB Q 是O e 的直径，弦CD AB ⊥于H ，90ACB ∴∠=︒，12CH DH CD === 30A ∠=︒Q ，2AC CH ∴==在Rt ABC △中，30A ∠=︒，AC ∴==2AB BC =，2BC ∴=，4AB =，2OA ∴=，即O e 的半径是2；故答案为：2．【考点】垂径定理，圆周角定理，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理16．【答案】4:25或9:25【解析】①当:2:3AE ED =时，Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，:2:5AE BC =，AEF CBF ∴△∽△，22:54:25AEF CBF S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴△△； ②当:3:2AE ED =时， 同理可得，23:59:25AEF CBF S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， 故答案为：4:25或9:25．【考点】相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质17．【答案】3【解析】Q 将抛物线()232y x =--向左平移后经过点()22A ，， ∴设平移后解析式为：()232y x a =-+-， 则()22232a =-+-，解得：3a =或1a =-（不合题意舍去），故将抛物线()232y x =--向左平移3个单位后经过点()22A ，． 故答案为：3．【考点】二次函数图象与几何变换三、解答题18．【答案】2-【解析】原式(11222=+-+=【考点】实数的运算法则19．【答案】1【解析】原式()2269148a a a a =---++-22a =+ 将12a =-代入原式12212⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭． 【考点】整式的混合运算20．【答案】证明：Q 四边形ABCD 是正方形．90BOE AOF ∴∠=∠=︒，OB OA =．又AM BE ⊥Q ，90MEA MAE AFO MAE ∴∠+∠=︒=∠+∠，MEA AFO ∴∠=∠．BOE AOF ∴△≌△（AAS ）． OE OF ∴=．【解析】证明：Q 四边形ABCD 是正方形．90BOE AOF ∴∠=∠=︒，OB OA =．又AM BE ⊥Q ，90MEA MAE AFO MAE ∴∠+∠=︒=∠+∠，MEA AFO ∴∠=∠．BOE AOF ∴△≌△（AAS ）． OE OF ∴=．【考点】正方形的性质，三角形全等的性质和判定21．【答案】（1）40（2）90︒（3）（4）1 3【解析】（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有1845%40÷=（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为103609040︒⨯=︒，故答案为：90︒．（3）获二等奖的人数4020%8=⨯=，一等奖的人数为40810184---=（人），条形统计图为：（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率41 123=．【考点】列表法与树状图法22．【答案】（1）证明：如图，连接OD，BD，Q AB为Oe的直径，90ADB BDC∴∠=∠=︒，在Rt BDC△中，BE EC=Q，DE EC BE ∴==，13∴∠=∠，Q BC 是O e 的切线，3490∴∠+∠=︒，1490∴∠+∠=︒，又24∠=∠Q ，1290∴∠+∠=︒，∴DF 为O e 的切线；（2）OB BF =Q ，2OF OD ∴=，30F ∴∠=︒，90FBE ∠=︒Q ，122BE EF ∴==， 2DE BE ∴==，6DF ∴=，30F ∠=︒Q ，90ODF ∠=︒，60FOD ∴∠=︒，OD OA =Q ，1302A ADO BOD ∴∠=∠=∠=︒， A F ∴∠=∠，6AD DF ∴==．【解析】（1）如图，连接OD ，BD ，Q AB 为O e 的直径，90ADB BDC ∴∠=∠=︒，在Rt BDC △中，BE EC =Q ，DE EC BE ∴==，13∴∠=∠，Q BC 是O e 的切线，3490∴∠+∠=︒，1490∴∠+∠=︒，又24∠=∠Q ，1290∴∠+∠=︒，∴DF 为O e 的切线；（2）OB BF =Q ，2OF OD ∴=，30F ∴∠=︒，90FBE ∠=︒Q ，122BE EF ∴==， 2DE BE ∴==，6DF ∴=，30F ∠=︒Q ，90ODF ∠=︒，60FOD ∴∠=︒，OD OA =Q ，1302A ADO BOD ∴∠=∠=∠=︒， A F ∴∠=∠，6AD DF ∴==．【考点】切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质B 卷四、填空题23．【答案】31a -≤≤【解析】法一：y a =与抛物线()213y x =--有交点则有()213a x =--，整理得2220x x a ---=()244420b ac a ∴∆=-=++≥解得3a -≥， 03x Q ≤≤，对称轴1x =，()23131y ∴=--=， 1a ∴≤．法二：由题意可知，Q 抛物线的顶点为()13-，，而03x ≤≤， ∴抛物线y 的取值为31y ﹣≤≤y a =Q ，则直线y 与x 轴平行，∴要使直线y a =与抛物线()213y x =--有交点， ∴抛物线y 的取值为31y -≤≤，即为a 的取值范围，31a ∴-≤≤．故答案为：31a -≤≤．【考点】二次函数图象的性质及交点的问题24．【答案】4【解析】90BEP BPE ∠+∠=︒Q ，90QPC BPE ∠+∠=︒，BEP CPQ ∴∠=∠．又90B C ∠=∠=︒，BPE CQP ∴△∽△．BE BP PC CQ∴=． 设CQ y =，BP x =，则12CP x =-．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x -=-， 整理得()21649y x --+=， 所以当6x =时，y 有最大值为4．故答案为4．【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数最值问题五、解答题25．【答案】1a =-1a =-【解析】2y x x a =++的图象与x 轴交于()10A x ，、()20B x ，两点， 121x x ∴=+-，12x x a =g ，()()222121212222222121212211121x x x x x x a x x x x a x x +-+-+====Q ，1a ∴=-或1a =-【考点】二次函数的性质26．【答案】（1）13x -＜＜（2）1x ＞或4x -＜【解析】（1）原不等式可化为：①3010x x -⎧⎨+⎩＞＜或②3010x x -⎧⎨+⎩＜＞． 由①得，空集，由②得，13x -＜＜，∴原不等式的解集为：13x -＜＜， 故答案为：13x -＜＜．（2）由401x x +-＜知①4010x x +⎧⎨-⎩＞＜或②4010x x +⎧⎨-⎩＜＞， 解不等式组①，得：1x ＞；解不等式组②，得：4x -＜； 所以不等式401x x+-＜的解集为1x ＞或4x -＜． 【考点】解不等式、不等式组27．【答案】（1）证明：Q DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，且90ABD BCD ∠=∠=︒，ABD BCD ∴△∽△AD BD BD CD∴= 2BD AD CD ∴=g（2）BM CD Q ∥MBD BDC ∴∠=∠ADB MBD ∴∠=∠，且90ABD ∠=︒BM MD ∴=，MAB MBA ∠=∠4BM M D AM ∴===2BD AD CD =Q g ，且6CD =，8AD =，248BD ∴=，22212BC BD CD ∴=-=22228MC MB BC +∴==MC ∴=BM CD Q ∥MNB CND ∴△∽△23BM MN CD CN ∴==，且MC =MN ∴【解析】（1）证明：Q DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，且90ABD BCD ∠=∠=︒，ABD BCD ∴△∽△AD BD BD CD∴= 2BD AD CD ∴=g（2）BM CD Q ∥MBD BDC ∴∠=∠ADB MBD ∴∠=∠，且90ABD ∠=︒BM MD ∴=，MAB MBA ∠=∠4BM M D AM ∴===2BD AD CD =Q g ，且6CD =，8AD =，248BD ∴=，22212BC BD CD ∴=-=22228MC MB BC +∴==MC ∴=BM CD Q ∥MNB CND ∴△∽△23BM MN CD CN ∴==，且MC =MN ∴【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质28．【答案】（1）Q 抛物线与x 轴交于点()10A -，、()30B ， ∴可设交点式()()13y a x x =+-把点()03C ，代入得：33a -= 1a ∴=-()()21323y x x x x ∴=-+-=-++∴抛物线解析式为223y x x =-++（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC △的周长最小． 如图1，连接PB 、BCQ 点P 在抛物线对称轴直线1x =上，点A 、B 关于对称轴对称 PA PB ∴=PAC C AC PC PA AC PC PB ∴++=++=△Q 当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +=最小()10A -Q ，、()30B ，、()03C ，AC ∴==BC =PAC C AC CB ∴+==△最小设直线BC 解析式为3y kx =+把点B 代入得：330k +=，解得：1k =-∴直线BC ：3y x =-+132P y ∴+-==∴点()12P ，使PAC △+ （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S =△△．PAM PAC S S =Q △△∴当以P A 为底时，两三角形等高∴点C 和点M 到直线P A 距离相等Q M 在x 轴上方CM PA ∴∥()10A -Q ，，()12P ，，设直线AP 解析式为y px d =+02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩解得：11p d =⎧∴⎨=⎩∴直线AP ：1y x =+∴直线CM 解析式为：3y x =+2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩Q 解得：1100x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为()14，．【解析】（1）Q 抛物线与x 轴交于点()10A -，、()30B ， ∴可设交点式()()13y a x x =+-把点()03C ，代入得：33a -= 1a ∴=-()()21323y x x x x ∴=-+-=-++∴抛物线解析式为223y x x =-++．（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC △的周长最小．如图1，连接PB 、BCQ 点P 在抛物线对称轴直线1x =上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴=PAC C AC PC PA AC PC PB ∴++=++=△Q 当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +=最小()10A -Q ，、()30B ，、()03C ，AC ∴==BC =PAC C AC CB ∴+==△最小设直线BC 解析式为3y kx =+把点B 代入得：330k +=，解得：1k =-∴直线BC ：3y x =-+132P y ∴+-==∴点()12P ，使PAC △+ （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S =△△．PAM PAC S S =Q △△∴当以P A 为底时，两三角形等高∴点C 和点M 到直线P A 距离相等Q M 在x 轴上方CM PA ∴∥()10A -Q ，，()12P ，，设直线AP 解析式为y px d =+02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩解得：11p d =⎧∴⎨=⎩∴直线AP ：1y x =+∴直线CM 解析式为：3y x =+2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩Q 解得：1100x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为()14，．【考点】待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法。
2019年四川凉山中考数学真题--含解析
2019年四川省凉山市初中毕业、升学考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中只有一项是 正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．（2019四川省凉山市，1，4） 1.-2的相反数是（ ▲ ）A.2B.-2C.21 D .21-【答案】A【解析】-2的相反数是2，故选A. 【知识点】相反数 2．（2019四川省凉山市，2，4）2018年凉山州生产总值约为153 300 000 000元，用科学记数法表示数153 300 000 000是 （ ▲ ）A.1.533×109B.1.533×1010C.1.533×1011D.1.533×1012 【答案】C【解析】153 300 000 000用科学记数表示成111.5310⨯，故选C.【知识点】科学记数法 3．（2019四川省凉山市，3，4） 如图，BD ∥EF , AE 与 BD 交于点 C ，∠B =30°，∠A =75°，则 ∠E 的度数为（ ▲ ）A. 135°B.125° C . 115° D .105°第3题图 【答案】D【解析】∵∠ACD =∠A +∠B =30°+75°=105°，BD ∥EF ，∴∠E =∠ACD =105°，故选D. 【知识点】三角形的外角；平行线的性质 4．（2019四川省凉山市，4，4）下列各式正确的是（ ▲ ） A. 2a 2 + 3a 2 =5a 4 B.a 2 •a = a 3 C .( a 2)3 = a 5 D . a a =2【答案】B【解析】∵222235a a a +=；23a a a ⋅=；236()a a =2a a = ，故选B.【知识点】整式的加减；同底数幂的乘法；同底数幂的乘方；二次根式的性质 5．（2019四川省凉山市，5，4） 不等式1–x ≥x -1的解集是（ ▲ ） A.x ≥1 B.x ≥-1 C .x ≤1 D .x ≤-1【答案】C【解析】∵11x x -≥-，∴22x ≥ ，∴1x ≤，故选C. 【知识点】一元一次不等式的解法 6．（2019四川省凉山市，6，:人数（人） 3 17 13 7时间（小时） 78910那么该班40 ▲ ）A.17, 8.5B.17, 9 C . 8, 9 D .8, 8.5 【答案】D【解析】由于8出现了17次，故这组数据的众数为8，而第20，21位数分别为8和9，这组数的中位为8.5.故选D.【知识点】众数；中位数7．（2019四川省凉山市，7，4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论8．（2019四川省凉山市，8，4）如图，正比例函数y =kx 与反比例函数y =x4的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ▲ ） A.8 B.6 C.4 D .2第8题图【答案】C【思路分析】根据点A 在反比例函数图像上假设点A 坐标，利用对称性求出C 的坐标，最后求得△ABC 的面积.【解题过程】设A 点的坐标为（m ，4m），则C 点的坐标为（-m ，-4m），∴1414422ABC OBC OAB S S S m mm m∆∆∆=+=⨯+-⨯-=，故选C.【知识点】正比例函数与反比例函数图像的对称性；三角形的面积9．（2019四川省凉山市，9，4） 如图，在△A B C 中，CA = CB = 4，cos C =14，则 sin B 的值为（ ▲ ） A ．102B ．153C ．64D ．104第9题图【答案】D 【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，先利用cos C 求CD ，再借助勾股定理求AD 、AB ，最后求sin B ． 【解题过程】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cos C =14，AC =4，∴CD =1，∴BD =3，AD 224115-，在Rt △ABD 中，AB 22(15)326+=sin B =151026AD AB ==，故选D.B第9题答图【知识点】锐角三角函数；勾股定理10．（2019四川省凉山市，10，4）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC 于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ） A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3 【答案】B【思路分析】过点D 作DF ∥AE ，利用平行线分线段成比例定理求BE ∶EF , EF ∶FC ，再求BE ∶EC .【解题过程】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .【知识点】平行线分线段成比例定理 11．（2019四川省凉山市，11，4） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2A ．2π B ．2π C ．178π D ．198π第11题图 【答案】B【思路分析】先用三角形与扇形的面积和差表示AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积，再借助全等转化为扇环的面积，最后求出扇环的面积.【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式= S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .第11题答图【知识点】旋转性质；扇形面积12．（2019四川省凉山市，12，4）二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b =0；②b 2-4ac ＞0；③5a -2b +c ＞0； ④4b +3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B . 2 C . 3 D . 4第12题图【答案】A【思路分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.【知识点】二次函数图象与系数的关系二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 13．（2019四川省凉山市，13，4） 方程10216x y x y +=⎧⎨+=⎩，的解是 ．【答案】64x y =⎧⎨=⎩，【解析】由方程②减去方程①，得x =6，把x =6 代入x +y =10，得y =4，∴⎩⎨⎧==46y x .故答案为64x y =⎧⎨=⎩，.【知识点】二元一次方程组的解法14．（2019四川省凉山市，14，4）方程1121122=-+--x x x 解是 ▲ . 【答案】x =-2【解析】解析：原方程可化为1)1)(1(2112=-+---x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2.【知识点】分式方程的解法15．（2019四川省凉山市，15，4）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A =30°，CD =23，则⊙O的半径是．第15题图【答案】2【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=23，∴CH=3，∴OH=1，∴OC=2.第15题答图【知识点】等腰三角形性质；三角形外角性质；垂径定理；勾股定理16．（2019四川省凉山市，16，4）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲ .【答案】4：25或9∶25【思路分析】分AE∶DE=2∶3与AE∶DE=3∶2两种情况讨论，借助相似三角形的性质求出面积比. 【解题过程】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5, ∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5, ∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1）（第16题图答图2）【知识点】三角形相似的判定与性质；分类讨论思想17．（2019四川省凉山市，17，4）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位后经过点A(2，2)．【答案】3【思路分析】先假设平移后抛物线解析式，再代入A (2，2)求参数m .【解题过程】设抛物线向左平移m 个单位，则平移后的解析式为y =（x -3+m ）2-2，将A （2，2）代入，有2=（2-3+m ）2-2，解得：m 1=-1（舍去），m 2=3，∴m =3.故答案为3. 【知识点】抛物线的平移规律；待定系数法三、解答题（本大题共5小题，满分32分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（2019四川省凉山市，18，5）计算：tan45° + （3-2）0-（-21）-2 + ︱3-2︱.【答案】-3【思路分析】先化简绝对值、求特殊角的三角函数值及实数的零指数幂、负指数幂的运算，把各个结果相加即可【解题过程】解：原式=1+1-(-2)2+2-3=2-4+2-3=-3.【知识点】绝对值；特殊角的三角函数值；实数的零指数幂；实数的负指数幂19．（2019四川省凉山市，19，5）先化简，再求值：(a +3)2- (a +1)（a -l ）-2(2a +4)，其中a =-12． 【思路分析】先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式去括号化简，合并同类项；最后将a =-12代入化简后的式子即可得到结果.【解题过程】原式=a 2+6a +9-a 2+1-4a -8=2a +2，当a =-21时，原式==2×（-21）+2=-1+2=1. 【知识点】完全平方公式；平方差公式；单项式乘以多项式；代数式的值 20．（2019四川省凉山市，20，6）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0，E 是OC 上一点，连接EB .过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F .求证：OE = OF .【思路分析】先根据垂直定义以及正方形性质证明∠FAO =∠EBO ，OA =OB ，再证△AOF ≌△BOE 得出结论.【解题过程】证明：在正方形ABCD 中，∵AC ⊥BD ，AM ⊥BE ，∴∠AOF =∠BOE =∠AME =90°，∴∠FAO +∠AEB =∠EBO +∠AEB =90°，∴∠FAO =∠EBO ，∵AC =BD ，OA =21AC ，OB =21BD ，∴OA =OB ，∴△AOF ≌△BOE （AAS ），∴OE = OF .【知识点】正方形性质；三角形全等的判定与性质； 21．（2019四川省凉山市，21，8）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题.第21题图（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 ▲ 人； （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ▲ ； （3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有14来自七年级，12来自九年级，其余的来自八年级.学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛．请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率． 【思路分析】（1）根据样本容量=鼓励奖人数÷鼓励奖百分率为求样本容量； （2）根据三等奖所对应的圆心角=样本数10÷样本容量×360°求圆心角； （3）先求二等奖人数，再得一等奖人数，最后画出条形图；（4）求出七年级、八年级、九年级的人数，画出树状图，再根据树状图求出概率. 【解题过程】（1）鼓励奖人数为18，百分率为45%，所以样本容量为：18÷45%=40（人）（2）三等奖所对应的圆心角=4010×360°=90°；（3）二等奖人数为：20%×40=8（人），一等奖人数为：40-8-10-18=4（人），条形统计图如下：第21题答图①（4）一等奖有4人，则七年级有1人，八年级1人，九年级2人，用树状图表示如下：第21题答图②由树状图可得，总共有12种结果，符合条件的有4种，故所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率是4÷12=13．【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法 22．（2019四川省凉山市，22，8）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若OB =BF ，EF =4，求 AD 的长.【思路分析】（1）连接OD .先根据直径所对圆周角为直角证∠CDB =90°，再证ED =EB 得出∠EDB =∠EBD ，转化得到∠ODF =90°从而得出结论；（2）先利用锐角三角函数求∠F ，再证△ODB 是等边三角形，得出AD 、BD 的关系，最后借助锐角三角函数与勾股定理求得DB 的长从而得出结论. 【解题过程】（1）证明：连接OD .∵⊙O 的切线，∴BC ⊥OB ，∴∠OBC =90°.∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∵∠ADB +∠CDB =180°，∴∠CDB =90°.∵E 是BC 的中点，∴ED =EB =21BC ，∴∠EDB =∠EBD .∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∴∠ODF =∠OBC =90°,∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）由（1）知∠ODB =90°，∵OD =OB =BF ，∴sin ∠F =21=OF OD ,∴∠F =30°，∵∠DOB +∠F =90°，∴∠DOB =60°，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =60°，∴tan ∠OBD =BDAD=3，∴AD =3BD .∵BC⊥AF ，∴=BF BE sin ∠F =21,∵EF =4，∴BE =2，∴BF =22BE EF -=23=OB =DB ，∴AD =3BD =6.【知识点】B 卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（2019四川省凉山市，23，5）当0≤x ≤3时，直线y =a 与抛物线y =(x -l)2-3有交点，则a 的取值范围是 ． 【答案】-3≤a ≤-2【解题过程】 抛物线y =(x -1)2-3的顶点坐标为（1，-3），当x =0时，y =-2，当x =3时，y =1，∴当0≤x ≤3时，-3≤y ≤-2，∴直线y =a 与抛物线有交点时，a 的取值范围为-3≤a ≤-2. 【知识点】二次函数的最值；数形结合思想24．（2019四川省凉山市，24，5）如图，正方形ABCD 中，AB =12, AE =41AB ，点P 在BC 上运动 （不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 ▲ .第24题图【思路分析】根据正方形形的性质得到∠B ＝∠C ＝90°，根据余角的性质得到∠BEP =∠CPQ ，根据相似三角形的性质得到CQ =4)6(912+--x ，根据二次函数的性质即可得到结论．【解题过程】在正方形ABCD 中，∵AB =12, AE =41AB =3，∴BC =AB =12，BE =9，设BP =x ，则CP =12-x .∵PQ ⊥EP ，∴∠EPQ =∠B =∠C =90°，∴∠BEP +∠BPE =∠CPQ +∠BPE =90°，∴∠BEP =∠CPQ ，∴△EBP∽△PCQ ，∴BE PC BP CQ =，∴912x x CQ -=，整理得CQ =4)6(912+--x ，∴当x =6时，CQ 取得最大值为4.故答案为4.【知识点】相似三角形的性质；正方形的性质；二次函数的最值五、解答题（共4小题，共40分） 25．（2019四川省凉山市，25，8）已知二次函数y =x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且221211x x +=1，求a 的值．【思路分析】根据抛物线与x 轴的交点得出x 1+x 2与x 1x 2，再将222111x x +用x 1+x 2与x 1x 2表示，最后列方程求a 的值并检验是否符合题意.【解题过程】解：对于抛物线y =x 2+x +a ，令y =0，∴x 2+x +a =0,∵抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），（x 2，0），∴x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，∵222111x x +=22212221x x x x +=1，∴x 12+x 22=x 12x 22，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2==x 12x 22，代入x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，有：1-2a =a 2，解得a =-1 2±，∵方程有两个实数根，则△=1-4a ＞0，解得a ＜41，∴a =-1-2.【知识点】抛物线与x 轴的交点问题；根与系数的关系；一元二次方程的解法；根的判别式． 26．（2019四川省凉山市，26，10）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab ＞0（或b a＞0），则⎩⎨⎧>>00b a 或⎩⎨⎧<<00b a ；②若ab ＜0（或b a＜0），则⎩⎨⎧<>00b a 或⎩⎨⎧><00b a .根据上述知识，求不等式（x -2）（x +3）＞0的解集.解：原不等式可化为：（1）⎩⎨⎧>+>-0302x x 或（2）⎩⎨⎧<+<-0302x x ，由（1）得，x ＞2，由（2）得，x ＜-3，∴原不等式的解集为：x ＜ -3或x ＞2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： （1）不等式0322<--x x 的解集为 ▲ ..（2）求不等式xx -+14＜0的解集（要求写出解答过程）. 【思路分析】（1）将二次三项式因式分解，根据“异号得负”并将问题转化为两个不等式组来解决；（2）根据“异号得负”xx -+14＜0转化成两个不等式组来解决问题.【解题过程】（1）-1＜x ＜3，解析：原不等式可化为（x -3）（x +1）＜0，从而可化为①⎩⎨⎧<+>-0103x x 或②⎩⎨⎧>+<-0103x x ，由①得不等式组无解；由②得-1＜x ＜3，∴原不等式的解集为：-1＜x ＜3.故答案为：-1＜x ＜3.（2）原不等式可化为①⎩⎨⎧<->+0104x x 或②⎩⎨⎧>-<+0104x x ，由①得x ＞1；由②得x ＜-4，∴原不等式的解集为x ＞1或x ＜-4.【知识点】十字相乘法；不等式组的解法；转化思想 27．（2019四川省凉山市，27，10）如图，∠ABD =∠BCD =90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ． （1）求证：BD 2 =AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．第27题图【思路分析】（1）利用两角分别相等证△DAB ∽△DBC ，再由相似性质得到结论；(2)先利用相似性质与勾股定理求 BD 、AB 的长，再借助角的关系得到△ABM 是等边三角形求得BM 的长，最后利用相似和勾股定理求BC 、CM 、MN 的长. 【解题过程】（1）证明：∵BD 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠BDC ，∵∠ABD =∠BCD =90°，∴△DAB ∽△DBC ，∴CD BD =BDAD,∴BD 2=AD CD .(2)由（1）可知：BD 2=ADCD .∵CD =6,AD =8，∴BD =43,又AD =8，∴AB 4=，∴AB =12AD ，∴∠ADB =30°，∠BDC =∠ABD =30°，又∠ABD =∠BCD =90°，∴∠A =∠DBC =60°，∵BM ∥CD ，∴∠BDC =∠MBD =30°，∠ABM =∠ABD -∠MBD =60°，∴△ABM 是等边三角形，故BM =AB =4，∵△ABD ∽△BCD ，∴AB DBBC CD =，∴=AB CD BC DB ⨯，∵BM ∥CD ，∴∠CBM =180°-∠BCD=90°，∴CM =BM ∥CD ，∴△BMN ∽△DCN ，∴4263MN MB CN CD ===，∴CN =1.5MN ，又CN +MN =CM =MN【知识点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等边三角形的判定与性质；转化思想 28．（2019四川省凉山市，28，12）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △PAM =S △PAC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路分析】（1）把A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组解答问题；（2）在抛物线对称轴上存在一点P ，使得△PAC 周长最小，由题意可知A 和B 关于对称轴x =1对称，连接BC 交直线x =1于P ，此时PA +PC 的值最小，即△PAC 的周长的值最小，由待定系数法求得直线BC 的解析式，把x =1即可求得点P 的纵坐标，最后借助垂直平分线性质与勾股定理求△PAC 的周长；（3）存在.先求 S △PAC ，再求AP 解析式，最后分类讨论求M :①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，求M 坐标；②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △PAC =21×2×2=2= S △PAC .过点E作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，求M 坐标.【解题过程】解：（1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△PAC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA =PB ，∴△PAC 的周长=AC +PC +PA = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△PAC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △PAC = S △ABC - S △PAB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则⎩⎨⎧=+=+-20n m n m ，解得⎩⎨⎧==11n m ，∴AP :y =x +1.①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y 解得⎩⎨⎧==3011y x ，⎩⎨⎧==4122y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △PAC =21×2×2=2= S △PAC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由⎩⎨⎧++-=-=3212x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=2171217111y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+-）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+-）.【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积的求法；数形结合。
2020年四川省凉山中考数学试卷-答案
， ，
点 、点 以相同的速度，同时从点 、点 出发，
，
在 与 中，
．
（2）角度不变， ，理由如下：
，
在 中， ，
，
故 的度数不变，度数为 ．
（3）角度不变， ，理由如下：
当点 、 在 、 的延长线上运动时，
有 ，
，
，
，
，
，
故 的度数不变，度数为 ．
21.【答案】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为 套，
C班的作品数量为 套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
（2） C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）依题意可得到树状图：
（抽取的作品在两个不同班级） ．
【解析】具体解题过程参照答案.
【考点】统计调查与概率的求解
22.【答案】解：（1）连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）过点 作 于 ，由（1）知，四边形 是矩形，
，
在 中，
， ，
，
，
半圆的直径长为12．
【解析】具体解题过程参照答案.
【考点】切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形
B卷
四、
23.【答案】解：
解不等式①得， ；
解不等式②得， ；பைடு நூலகம்
不等式组的解集为 .
不等式组有4个整数解，
，
【解析】具体解题过程参照答案.
24.【答案】
【解析】解：如图1，连接
则 ＞ ，