函数图象的对称性
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函数奇偶性推广的教学
位育中学 周宇
高一数学在学习了函数奇偶性后
对学有余力的学生进行函数奇偶性推广的教学
即函数图象对称性的研究
是非常有益的
通过对函数图象对称性的数量特征的探讨
加深对数量特征与图象特征之间关系的理解
函数解析式与函数的图象
是函数的两种表现形式
解析表示精确但抽象
图象表示直观而易于理解
这两者有机结合
相辅相成
就函数解析式与其对应的图象来说
解析式具有的特点
图象上必有所表现；图象上具有的特点
解析式中也必有所反映
因此
我认为
对函数图象对称性的研究的教学
能培养学生的数学素养
提高学生理性思维的能力
下面设计如何进行函数图象对称性的教学
一、函数奇偶性推广到函数图像的对称性
我们知道
偶函数f(x)的图象是关于y轴对称图形
f(x)是偶函数 ? f(?x)=f(x)；奇函数的图象是关于原点中心对称图形
f(x)是奇函数 ? f(?x)=?f(x)．
如果函数f(x)既不是偶函数
又不是奇函数
f(x)的图象是否可能是对称图形？我们先来看几个熟悉的函数．
例1、判断下列函数的图象是否是对称图形
如果是
请指出对称轴或对称中心．
(1) y=2x?1 (2) y=x2+2x?3 (3) (4)
(5) y=|x?1|
解：(1) 函数y=2x?1的图象是直线
既是轴对称图形又是中心对称图形
对称轴是与直线垂直的任意一条直线
直线上任意一点是对称中心．例如点(1,1)．
注：我们主要研究对称轴平行于y轴的情况．
(2) 函数y=x2+2x?3的图象是抛物线
是轴对称图形
对称轴为x=?1．
(3) 函数的图象是双曲线
是中心对称图形
对称中心是点(2,1)．
注：双曲线也是轴对称图形
此双曲线的两条对称轴方程分别是x?y?1?0和x?y?3?0
我们以后将在解析几何中作进一步的研究
(4) 函数的图象是双曲线
是中心对称图形
对称中心是点(1,2)．
(5) 函数y=|x?1|的图象是折线
是轴对称图形
对称轴是x=1．
就函数解析式与其对应的图象来说
解析式具有的特点
图象上必有所表现；图象上具有的特点
解析式中也必有所反映
你能用数量关系来说明上述对称性吗？
这里
我们仅对第(2)和(3)两题加以证明．
(2) 在函数y=x2+2x?3的图象上任取一点M(a,a2+2a?3)
则点M关于直线x=?1的对称点N的坐标(?2?a, a2+2a?3)也是函数y=x2+2x?3的一组对应值
所以点N也在函数y=x2+2x?3的图象上
从而函数y=x2+2x?3的图象关于直线x=?1轴对称．
(3) 在函数的图象上任取一点
则点M关于点(2,1)的对称点N的坐标也是函数的一组对应值
所以点N也在函
数的图象上
从而函数的图象关于点(2,1)中心对称．
这是根据对称图形的定义进行的证明
能否通过平移图象所得的函数具有奇偶性来说明？
(2) 将函数y=x2+2x?3的图象向右平移1个单位
得函数y=x2?4的图象
因为函数y=x2?4是偶函数
图象关于y轴对称
所以函数y=x2+2x?3的图象是轴对称图形
对称轴是x=?1．
(3)将函数的图象向左平移2个单位
向下平移1个单位
得函数的图象
因为函数是奇函数
图象关于原点对称
所以函数的图象是中心对称图形
对称中心是(2,1)．
(1)、(4)、(5)三题留给同学们练习．
评析：函数图象对称性的证明方法：①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上．其一般步骤是：图象上任取一点-->求对称点-->证明对称点也在图象上；②证明通过平移后的函数具有奇偶性．
二、数量特征的探索
问题：函数的图象是对称图形吗？三次函数y=ax3?bx2+cx?d(a≠0)的图象是对称图形吗？如果是
对称轴或对称中心是什么？
为此
我们共同来探索函数y=f(x)的图像具有对称性的数量特征
直接的判定方法．
如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称
在函数y=f(x)的图象上任取一点M(x,f(x))
则点M关于直线x=a的对称点N的坐标(2a?x,f(x))也是函数y=f(x)的一组对应值
所以f(x)=f(2a?x)
也可写成f(a+x)=f(a?x)．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的必要条件是f(a+x)=f(a?x)．是否是充分条件呢？
在函数y=f(x)的图象上任取一点M(a+x,f(a+x))
则点M关于直线x=a的对称点N的坐标为(a?x,f(a+x))
因为f(a+x)=f(a?x)
所以N的坐标(a?x,f(a?x))也是函数y=f(x)的一组对应值
因此点N也在函数y=f(x)的图象上
从而函数f(x)的图象关于直线x=a对称．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充分条件是f(a+x)=f(a?x)．
例2、(1) 函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a?x)；
(2) 函数f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是什么？请加以证明
答：函数f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是f(a+x)+f(a?x)=2b．请同学们作为练习加以证明．
评析：设函数f(x)的定义域关于点(a,0)对称
从函数的奇偶性来理解：
f(a+x)=f(a?x) ? 函数f(a+x)是偶函数
再通过平移图象
知函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称；f(a+x)+f(a?x)=2b ? 函数f(a+x)?b是奇函数
再通过平移图象
知函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称．
三、应用
例3、函数是轴对称图形吗？如果是
请写出对称轴方程．
解：假设函数f(x)是轴对称图形
设对称轴方程是x=a
则f(a+x)=f(a?x)．
即恒成立．
化简得
4(a+1)x=0恒成立
所以a=?1．f(x)是轴对称图形
对称轴方程为x=?1．
评析：
存在性问题
一般先假设存在
然后在存在的条件下推导
如果得出矛盾
说明不存在．此题也可通过图象变换来探索
是偶函数．
下面我们探索三次函数y=ax3?bx2+cx?d(a≠0)图象的对称性．先看一个具体的三次函数：
例4、三次函数y=x3?3x2?2的图象是对称图形吗？
解：(1) 假设函数y=x3?3x2?2的图象是轴对称图形
设对称轴为x=a
则f(a+x)=f(a?x)．
即(a+x)3??(a+x)2?2=(a?x)3??(a?x)2?2恒成立．
化简得
x3+3a(a-2)x=0恒成立
但不存在这样的常数a．
函数y=x3?3x2?2的图象不是轴对称图形．
(2) 假设函数y=x3?3x2?2的图象是中心对称图形
设对称中心为(a,b)
则f(a+x)+f(a?x)=2b．
即(a+x)3??(a+x)2?2+(a?x)3??(a?x)2?2=2b恒成立．
化简得
3(a?1)x2+a3?3a2?b?2=0恒成立．
? 解得a=1
b=?4．
函数y=x3?3x2?2的图象是中心对称图形
对称中心是(1,?4)．
能否通过图象平移得到奇函数来找对称中心？
我们来看下列一组三次函数：
例4、下列三次函数的图象都是中心对称图形吗？如果是
请找出对称中心．
(1) y=x3 (2) y=x3?1 (3) y=(x?1)3 (4) y=x3+3x
(5) y=x3+3x??2 (6) y=x3?3x2+3x?2 (7) y=x3?3x2?2
(8) y=ax3?bx2+cx?d(a≠0)
答：都是中心对称图形．对称中心为(1) (0,0)
(2) (0,?1)
(3) (1,0)
(4) (0,0)
(5) (0,?2)
(6) y=(x?1)3?1 对称中心为 (1,?1)
(7) y=(x?1)3?3(x?1)?4对称中心为 (1,?4)
(8)
对称中心为．
评析：通过配立方
转化成f(x)=a(x?b)3+c(x-b)+d的形式
再平移得奇函数g(x)=f(x?b)?d=ax3+cx
从而求出三次函数f(x)图象的对称中心．
四、小结
1．函数图象对称性的证明方法：
①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上．其一般步骤是：
图象上任取一点-->求对称点-->证明对称点也在图象上；
②证明通过平移后的函数具有奇偶性．
2．函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a?x)；
函数f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是f(a+x)+f(a?x)=2b．
3．函数图象的对称性是函数奇偶性的推广
函数奇偶性是函数图象对称性的特例
位育中学 周宇
2005年4月
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