新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)

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北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题专题训练 (含答案)

(2)∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝ AC＝，∴BD＝BE－DE＝－1
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

最新九年级北师大动态运动专项专练及答案

最新九年级北师大动态知识专练一、解答题（本大题共15小题，共120.0分）1.如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，设时间为x秒．(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？(2)经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的1？122.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，以此同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB 边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于4cm2?(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，PQ的长度等于2√10cm?(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．4.如图所示，AO=BO=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB于点O，一只甲虫由点A以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只甲虫由点O以3cm/s的速度沿OC方向爬行.是否存在这样的时刻，使两只甲虫与点O构成的三角形的面积为450cm2?若存在，请说明在什么时刻；若不存在，请说明理由．5.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t．(1)问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？(2)是否存在t，使△PDQ的面积等于26cm2？6.在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s．(1)填空：BQ=2t cm，PB=____________cm(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．7.如图，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2？8.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=5√5厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2√10厘米？9.如图△ABC，∠B=90∘，AB=6，BC=8.点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以1.5cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：(1)经过几秒，△PBQ的面积等于6cm2？(2)△PBQ的面积会等于11cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．10.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．(1)求出S关于t的函数关系式；(2)当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．11.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．(2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12.如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P．(1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；(2)再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．13.如图所示，△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm．(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发.①经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2?②线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分⋅若能，求出运动时间；若不能说明理由．(2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2?14.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP= 2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，(1)当x为何值时，点P、N重合；(2)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．15.综合探究题在之前的学习中，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．(1)当t=3时，①则线段CE的长=___________；②当EP平分∠AEC时，求a的值；(2)若a=1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值；(3)连接DP，直接写出点C与点E关于DP对称时a与t的值．答案和解析1.【答案】解：(1)PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米．根据题意，得12×(6−x)×2x=8，整理，得x2−6x+8=0，解得x1=2，x2=4．故经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米．(2)PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米，根据题意，得12×(6−x)×2x=112×6×12，整理，得x2−6x+6=0，解得x1=3−√3，x2=3+√3．故经过(3−√3)秒或(3+√3)秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112．【解析】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是三角形、矩形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．(1)根据AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，得出PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；(2)根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，然后求解即可．2.【答案】解：设xs后，可使△PBQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PB=(6−x)cm，BQ=(8−2x)cm，则12(6−x)⋅(8−2x)=8，整理，得x2−10x+16=0，解得x1=2，x2=8(不合题意舍去)．所以P、Q同时出发，2s后可使△PBQ的面积为8cm2．【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于根据三角形面积公式找出等量关系列出方程求解．设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PB=(6−x)cm，BQ=(8−2x)cm，此时△PBQ的面积为：12×(8−2x)(6−x)，令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．3.【答案】解：(1)设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得12(5−x)×2x=4，整理得：x2−5x+4=0，解得：x=1或x=4(舍去)，答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；(2)PQ=2√10，则PQ2=BP2+BQ2，即40=(5−t)2+(2t)2，解得：t=−1(舍去)或3．则3秒后，PQ的长度为2√10cm．(3)令S△PQB=7，即BP×BQ2=7，(5−t)×2t2=7，整理得：t2−5t+7=0，由于b2−4ac=25−28=−3<0，则原方程没有实数根，∴在(1)中，△PQB的面积不能等于7cm2．【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”“PQ的长度等于2√10cm”，得出等量关系是解决问题的关键．(1)经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ 的长可列方程求解；(2)利用勾股定理列出方程求解即可；(3)令S△PQB=7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2−4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．4.【答案】解：有两种情况：(1)如图1，当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，由题意，得12×3x×(50−2x)=450，整理，得x2−25x+150=0，解得x1=15，x2=10．(2)如图2，当蚂蚁在OB上运动时，设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，×3x(2x−50)=450，由题意，得12整理，得x2−25x−150=0，解得x1=30，x2=−5(舍去)．答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物．分两种情况进行讨论是难点．分两种情况进行讨论：(1)当蚂蚁在AO上运动；(2)当蚂蚁在OB上运动；根据三角形的面积公式即可列方程求解．5.【答案】解：(1)设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，∵AP=x，QB=2x．∴PB=6−x．×(6−x)2x=8，∴12解得x1=2，x2=4，答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；(2)假设存在t使得△PDQ面积为26cm2，则72−6t−t(6−t)−3(12−2t)=26，整理得，t2−6t+10=0，∵△=36−4×1×10=−4<0，∴原方程无解，所以不存在t，能够使△PDQ的面积等于26cm2．【解析】本题考查一元二次方程的应用；表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半，矩形的面积=长×宽．(1)设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用△PBQ的面积等于8列式求值即可；(2)假设存在t使得△PDQ面积为26cm2，根据△PDQ的面积等于26cm2列式计算即可．6.【答案】解：(1)(5−t)；(2)根据题意得：(5−t)2+(2t)2=52，解得：t1=0(舍去)，t2=2，∴经过2秒时，PQ的长为5cm；(3)存在，×(5−t)×2t=26，根据题意得：5×6−12解得t=1，答：经过1秒，五边形APQCD的面积等于26cm2．【解析】【分析】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据点P，Q两点运动的速度，找出BQ，PB的值；(2)利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程；(3)利用三角形的面积公式，找出关于t的一元二次方程．(1)由点P，Q的运动速度，可用含t的代数式表示出BQ，PB的值；(2)根据勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；(3)根据五边形APQCD的面积可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：(1)根据题意得：BQ=2t，AP=t，∵AB=5，∴PB=5−t．故答案为(5−t)；(2)见答案；(3)见答案．7.【答案】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x(6−x)÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积等于8cm2”，找到等量关系是解决问题的关键．本题中根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可．8.【答案】解：设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是2√10厘米．在△ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=5√5厘米，∴AC=√AB2−BC2=√(5√5)2−52=10(厘米)，∴AP=2x厘米CQ=x厘米CP=(10−2x)厘米，在Rt△CPQ内有PC2+CQ2=PQ2，∴(10−2x)2+x2=(2√10)2，整理得：x2−8x+12=0，解得：x=2或x=6，当x=6时CP=10−2x=−2<0，∴x=6不合题意舍去．∴P、Q两点运动2秒时，P、Q两点间的距离是2√10厘米．【解析】首先表示出PC和CQ的长，然后利用勾股定理列出有关时间t的方程求解即可．本题考查了一元二次方程的解法和应用，解决第二题的关键是设出运动时间并用运动时间表示出有关线段的长．9.【答案】解：(1)设经过x秒，△PBQ的面积等于6cm2．∵AP=1·x=x，BQ=1.5x，∴BP=AB−AP=6−x，∴S△PBQ=12×BP×BQ=12×(6−x)×1.5x=6，∴x2−6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于6cm2；(2)设经过y秒，△PBQ的面积等于11cm2，则S△PBQ=12×(6−y)×1.5y=11，即3y2−18y+44=0，因为Δ=b2−4ac=−204<0，所以△PBQ的面积不会等于11cm2．【解析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP 和BQ 的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．(1)设经过x 秒，△PBQ 的面积等于6cm 2.先用含x 的代数式分别表示BP 和BQ 的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出； (2)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于11cm 2.根据三角形的面积公式，列出关于y 的一元二次方程，根据Δ=b 2−4ac 进行判断． 10.【答案】解：(1)当0≤t ≤10秒时，P 在线段AB 上，此时CQ =t ，PB =10−t ， ∴S =12×t ×(10−t)=12(10t −t 2)；当t >10秒时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ =t ，PB =t −10，∴S =12×t ×(t −10)=12(t 2−10t)，综上，S 关于t 的函数关系式为S ={12(10t −t 2),(0≤t ≤10)12(t 2−10t),(t >10); (2)∵S △ABC =12AB ⋅BC =12×10×10=50 cm 2，∴当0≤t ≤10秒时，S △PCQ =12(10t −t 2)=50，整理得t 2−10t +100=0，无解；当t >10秒时，S △PCQ =12(t 2−10t)=50，整理得t 2−10t −100=0，解得t =5±5√5(舍去负值)，∴当点P 运动(5+5√5)秒时，S △PCQ =S △ABC ；(3)当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．证明：过Q 作QM ⊥AC ，交直线AC 于点M ，易证△APE≌△QCM(AAS)，∴AE =PE =CM =QM =√22t ， ∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半．又∵EM =AC =10√2，∴DE=5√2，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5√2，综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【解析】本题考查动点函数问题，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=12QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能需要分情况讨论，这时我们应分情况回答．(1)分情况讨论：当0≤t≤10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10−t；当t>10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t−10；根据三角形面积公式列出函数表达式即可；(2)同样分两种情况，分别利用S△PCQ=S△ABC列式计算即可；(3)同样分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求出DE长，即可得出结论．11.【答案】解：(1)设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6−x，∴12(6−x)⋅2x=12×12×6×8，∴x2−6x+12=0，，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；(2)设t秒后，△PBQ的面积为1．①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时，由题意知：12(6−t)(8−2t)=1，整理得：t2−10t+23=0，解得：t1=5+√2(不合题意，应舍去)，t2=5−√2；②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时，由题意知：12(6−t)(2t−8)=1，整理得：t2−10t+25=0，解得：t1=t2=5；③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t>6，由题意知：12(t−6)(2t−8)=1，整理得：t2−10t+23=0，解得：t1=5+√2，t2=5−√2(不合题意，应舍去)．综上所述，经过(5−√2)秒、5秒或(5+√2)秒后，△PBQ的面积为1．【解析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．(1)设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；(2)分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(0<t≤4)；②点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上(4<t≤6)；③当点P在线段AB的延长线上，点Q 在线段CB的延长线上(t>6)；进行讨论即可求解．12.【答案】解：(1)设AP=xcm，则PD=(10−x)cm，因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，所以∠DPC=∠ABP，所以△ABP∽△DPC，则ABPD =APDC，即AB⋅DC=PD⋅AP，所以4×4=x(10−x)，即x2−10x+16=0，解得x1=2，x2=8，所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C，AP=2cm或8cm；(2)能．设AP=xcm，CQ=ycm．∵ABCD是矩形，∠HPF=90°，∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，∴APCQ =ABCE，APDQ=ABPD，∴AP⋅CE=AB⋅CQ，AP⋅PD=AB⋅DQ，∴2x=4y，即y=x2，∴x(10−x)=4(4+y)，∵y=x2，即x2−8x+16=0，解得x1=x2=4，∴AP=4cm，即在AP=4cm时，CE=2cm．【解析】(1)可根据相似三角形的性质，判定△ABP∽△DPQ列出方程求解；(2)能根据矩形的性质，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．本题考查主要对一元二次方程的应用，而且还得知道矩形的性质，知道相似三角形的性质，可以正确判定相似三角形．13.【答案】解：(1)①设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有12(6−x)⋅2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；②设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=12×6×8=24，12(6−y)⋅2y=24，y2−6y+24=0，∵△=b2−4ac=36−4×24=−60<0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；(2)①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(0<x<4)，设经过m秒，依题意有12(6−m)(8−2x)=1，m2−10m+23=0，解得m1=5+√2，m2=5−√2，经检验，m1=5+√2不符合题意，舍去，∴m=5−√2，②点P在线段AB上，点Q在线段CB上(4<x<6)，设经过n秒，依题意有1(6−n)(2n−8)=1，2m2−10n+25=0，解得n1=n2=5，经检验，n=5符合题意，③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(x>6)，设经过k秒，依题意有1(k−6)(2k−8)=1，2k2−10k+23=0，解得k1=5+√2，k2=5−√2，经检验，k1=5−√2不符合题意，舍去，∴k=5+√2，综上所述，经过(5−√2)秒，5秒，(5+√2)秒后，△PBQ的面积为1．【解析】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．同时注意分类思想的运用．(1)①设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；②设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；(2)分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(0<x<4)；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上(4<x<6)；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(x>6)；进行讨论即可求解．14.【答案】解：(1)∵P，N重合，∴2x+x2=20，∴x1=√21−1，x2=−√21−1(舍去)，∴当x=√21−1时，P，N重合；(2)因为当N点到达A点时，x=2√5，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，依题意得20−(x+3x)=20−(2x+x2)，解得x1=0(舍去)，x2=2，当x=2时四边形PQMN是平行四边形；②当点P在点N的右侧时，依题意得20−(x+3x)=(2x+x2)−20，解得x1=−10(舍去)，x2=4，当x=4时四边形NQMP是平行四边形，所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．【解析】(1)由于若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2=20，解这个方程即可求出x的值；(2)由于当N点到达A点时，x=2√5，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧．以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可．此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的熟练关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．15.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，∴AD//BC，BC=AD=9，CD=AB=4，当t=3时，由运动知，BP=at=3a，DE=t=3，∴CP=BC−BP=9−3a，①5；②∵AD//BC，∴∠AEP=∠CPE，∵EP平分∠AEC，∴∠AEP=∠CEP，第23页，共23页∴∠CPE=∠CEP，∴CP=CE=5，9−3a=5，∴a=4；3(2)当a=1时，由运动知，DE=t，BP=t，∴CP=9−t，在Rt△CDE中，CE=√16+t2，∵△CEP是以CE为腰的等腰三角形，∴①CE=CP，∴16+t2=(9−t)2，∴t=65；18②CE=PE，CP=DE，∴12∴9−t=2t，∴t=3，即：t的值为3或65；18(3)如图，由运动知，BP=at，DE=t，∴CP=BC−BP=9−at，∵点C与点E关于DP对称，∴DE=CD，PE=PC，∴t=4，∴BP=4a，CP=9−4a，过点P作PF⊥AD于F，∴四边形CDFP是长方形，∴PF=CD=4，DF=CP，在Rt△PEF中，PF=4，EF=DF−DE=5−4a，根据勾股定理得，PE2=(5−4a)2+16，∴(5−4a)2+16=(9−4a)2，∴a=5．4第12页，共23页【解析】【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解(1)的关键是判断出CE=CP，解(2)的关键是分两种讨论，解(3)得关键是构造直角三角形，解本题的重点是用方程的思想解决问题．(1)先得出BP=at=3a，DE=t=3，∴CP=BC−BP=9−3a①在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=5，②先判断出∠CPE=∠CEP，得出CP=CE=5，进而建立方程即可得出结论；(2)先得出DE=t，BP=t，CP=9−t，再分两种情况①CE=CP，②CE=PE，建立方程即可得出结论；(3)先判断出DE=CD，PE=PC，进而求出t=t，再构造出直角三角形，得出PE2=(5−4a)2+16，进而建立方程即可得出结论．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，∴AD//BC，BC=AD=9，CD=AB=4，当t=3时，由运动知，BP=at=3a，DE=t=3，∴CP=BC−BP=9−3a①在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=√32+42=5．故答案为5；②见答案；(2)见答案；(3)见答案．第23页，共23页。

第四章图形的相似动点问题专练1 2021—2022学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上期第四章图形的相似动点问题专练11.如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/ s的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿DA方向以2 cm/ s的速度向点A匀速运动．？（1）经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19（2）是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2.如图所示，边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，F为BC边上的一动点（不与B、C重合）连接DF, AG⊥DF, FM⊥AD,垂足分别为G,M.FM与AG相交与点H,连接HE.(1) 求证：△AMH～△FMD(2) 当F为BC的中点时，HM+HE=_________(3) 当F在边BC上运动时，HM+HE的值是否发生改变？为什么？3.如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=3，点P为AD边上的一动点（异于A、D），Q为BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ 交DQ于F．（1）求证：△APE∽△PDF；（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积y关于x的函数关系式．4.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/s ，点E运动的速度为2cm/s ，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与▵ABC相似时，求运动的时间.5.如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝4，BC ＝3，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿BA向点A匀速运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动，设P，Q两点运动t秒（0＜t＜2）．（1）求AP的长（用含t的代数式表示）；（2）在P，Q两点运动的过程中，若△APQ与△ABC相似，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B 移动，设P、Q两点移动t秒（0< t<5）后，若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求t的值？8.如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE // BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t>0）．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．（1）连接DP，t为何值时，四边形EQDP能够成为平行四边形？（2）t>1.6时，设△EDQ的面积为y，求y与t的函数关系式；是否存在某一时刻t 使△EDQ的面积与△AEP的面积相等？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△EDQ为直角三角形？10.已知在△ABC中,∠ABC=90∘,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图(1))或线段AB的延长线(如图(2)于点P.(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∼△ABC;(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.11.如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G ,连结DE，DF．（1）求证：△BEF∽△CEG（2）试说明，当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和为定值。

动点问题(综合测试)(北师版)(含答案)

动点问题（综合测试）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=16厘米，BC=8厘米．动点P自点C 沿线段CA以2厘米/秒的速度向点A运动，同时动点Q自点B沿线段BA以1厘米/秒的速度向点A运动，当P运动到点A时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）点P和点Q运动的时间范围是( )A.0≤t≤4B.0≤t≤8C.0≤t≤12D.0≤t≤16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）线段PQ的长可用含t的式子表示为( )A.PQ=8-tB.当0≦t≦8时，PQ=8-t；当8<t≦12时，PQ=t-8C.当0≦t≦8时，PQ=t-8；当8<t≦12时，PQ=8-tD.当0≦t≦8时，PQ=8-t；当8<t≦16时，PQ=t-8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第1，2题）（3）若某一时刻PQ=6厘米，则此时t的值为( )A.2B.14C.12D.2或14答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，动点P从点A出发沿AB-BC方向以每秒1个单位的速度运动，运动到点C时停止运动．连接AP，CP．设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）当点P在线段BC上运动时，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤6B.6≤t≤12C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）当点P运动到线段BC上时，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.t-6；12-tB.t；6-tC.t；t-6D.12-t；t-6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第4，5题）（3）若某一时刻△ACP的面积是△ABC面积的，则此时t的值为( )A.2B.4或8C.2或10D.4或14答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤4B.0≤t≤6C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）根据点P的运动，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.at；3tB.3t；atC.12-3t；3tD.3t；12-3t答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( )A.t=2，CQ=9B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第7，8，9题）（4）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( )A. B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

北师大版九年级下册第四章相似三角形动点问题解答题专题(含解析)

2019-2020相似三角形动点问题解答题专题（含解析）一、解答题1．（2018·江苏初三月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？（3）是否存在某一时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．2．如图1，已知在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC cm =，3BC cm =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1/cm s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2/cm s ；连结PQ .若设运动的时间为()()02t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ？（2）设AQP ∆的面积为()2y cm ，求y 与t 之间的函数关系式.（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.（4）如图2，连结PC ，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形'PQP C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形'PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.3．（2018·江苏初三期末）如图，直线AB 分别与两坐标轴交于点A （6，0），B （0，12），点C 的坐标为（3，0）（1）求直线AB 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P ．①过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为点E ，F ，若矩形OEPF 的面积为16，求点P 的坐标． ②连结CP ，是否存在点P ，使△ACP 与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2018·江西初二期末）如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y＝﹣34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出BEAE的值，不存在请说明理由；(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．5．（2018·山东初三期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，▱AQPD 为矩形．（2）当t 为何值时，▱AQPD 为菱形．（3）是否存在某一时刻t ，使四边形AQPD 的面积等于四边形PQCB 的面积，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．6．（2019·广东初三期末）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P 从点A 出发在线段AO 上以每秒2cm 的速度向原点O 运动，动直线EF 从x 轴开始以每秒lcm 的速度向上平行移动（即EF ∥x 轴），分别与y 轴、线段AB 交于点E 、F ，连接EP 、FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒．（1）求t=9时，△PEF 的面积；（2）直线EF 、点P 在运动过程中，是否存在这样的t 使得△PEF 的面积等于40cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，△EOP 与△BOA 相似．7．（2018·全国初三期中）如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连接PC ，过点P 作PE PC ⊥交AB 于E ．()1在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC QE ⊥？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；()2当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．8．（2019·福建初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：142y x =-+ 与x 轴.y 轴交于B ，A 两点，点D ，C 分别为线段AB ，OB 的中点，连结CD ，如图，将△DCB 绕点B 按顺时针方向旋转角α，如图．(1)连结OC ，AD ，求证OBC V ∽ABD △；(2)当0°<α<180°时，若△DCB 旋转至A ，C ，D 三点共线时，求线段OD 的长；(3)试探索：180°<α<360°时，是否还有可能存在A ，C ，D 三点共线的情况，若存在，求出此直线的表达式；若不存在，请说明理由．9．（2019·四川初三月考）如图，在ABC ∆中，20BA BC cm ==，30AC cm =，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当x 为何值时，//PQ BC ；（2）是否存在某一时刻，使APQ CQB ∆∆？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说理由；（3）当10CQ =时，求APQABQ S S ∆∆的值．10．（2018·浙江初三期中）如图，在△ABC 中，BA =BC =20cm ，AC =30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当CQ =10时，求 △△ 的值．（2）当x 为何值时，PQ ∥BC ；（3）是否存在某一时刻，使△APQ ∽△CQB ？若存在，求出此时AP 的长，若不存在，请说明理由．11．（2018·河南初三期末）如图，已知矩形OABC ，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C （0，3），点P 以每秒1个单位的速度从点C 出发在射线CO 上运动，连接BP ，作BE ⊥PB 交x 轴于点E ，连接PE 交AB 于点F ，设运动时间为t 秒．（1）当t=2时，求点E 的坐标；（2）若AB 平分∠EBP 时，求t 的值.（3）在运动的过程中，是否存在以P 、O 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·四川初三期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），34BC AC =．（1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m 使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB CD cm ==，6AD BC cm ==，3AE DE cm ==，点P 从点E 出发，沿EB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（02t <<），解答下列问题：PQ BC？（1）当t为何值时，//（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.14．（2019·河南初二期末）如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．15．（2018·江苏初三期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C 是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．（1）求FEOE的值；（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14．则在DB上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与P、B、A为顶点的三角形相似，如果存在求出DP的长，如果不存在，说明理由．17．（2018·重庆初三期末）如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；18．（2019·陕西省宝鸡市第一中学初三期中）如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．19．（2018·山东初三期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．20．（2019·西安交通大学附属中学初三月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC （1）求过点A ，B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．21．（2019·重庆初三期末）已知，把Rt ABC 和Rt DEF 按图1摆放，点C 与E 点重合，点B 、C 、E 、F 始终在同一条直线上，ACB EDF 90∠∠==，DEF 45∠=，AC 8=，BC 6=，EF 10=，如图2，DEF 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB 方向匀速移动，同时，点P 从A 出发，沿AB 以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC 与DEF 的直角边相交于Q ，当P 到达终点B 时，DEF 同时停止运动连接PQ ，设移动的时间为()s 解答下列问题：()1DEF 在平移的过程中，当点D 在Rt ABC 的AC 边上时，求AB 和t 的值；()2在移动的过程中，是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（2019·山东中考模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4cm ，AD ＝3cm ，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，都以1cm/秒的速度运动，点M 沿DA 向点终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连接MP ，已知运动的时间为t 秒（0＜t ＜3）．（1）当t ＝1秒时，求出PN 的长；（2）若四边形CDMP 的面积为s ，试求s 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t 使四边形CDMP 的面积与四边形ABCD 的面积比为3：8，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在点M 、N 运动过程中，△MPA 能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t 的可能值；若不能，试说明理由．23．（2018·山东初三期中）如图，已知Rt ABC 中，C 90∠=，AB 10cm =，AC 8cm =．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）(0t 4)<≤．解答下列问题：()1当t为何值时PQ平行于BC；()2当t为何值时，APQ与ABC相似？()3是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．()4是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．24．（2019·江苏初三期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.(1) 当△BDE是直角三角形时，求t的值；(2)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.25．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC 边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）当PQ ∥CD 时，求t 的值；（2）设四边形PQEC 的面积为S （cm 2），求S 与t 之间的函数关系式；（3）当P ，Q 两点运动到使∠PQE ＝60°时，求四边形PQEC 的面积；（4）是否存在某一时刻t ，使PQ +QE 的值最小？若存在，请求t 的值，并求出此时PQ +QE 的值；若不存在，请说明理由．26．（2019·昆山市第二中学初二期末）如图，已知Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 向A 方向运动，Q 到达A 点后，P 点也停止运动，设点,P Q 运动的时间为t 秒. (1)求P 点停止运动时，BP 的长;(2) ,P Q 两点在运动过程中，点E 是Q 点关于直线AC 的对称点，是否存在时间t ，使四边形PQCE 为菱形?若存在，求出此时t 的值;若不存在，请说明理由.(3) ,P Q 两点在运动过程中，求使APQ ∆与ABC ∆相似的时间t 的值.27．（2018·福建初三期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=33cm，点P 由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为3cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．28．（2018·榆树市第四小学校初三期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．(1)如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝____．(2)如图2，折叠△ABC 使点A 落在BC 边上的点M 处，折痕交AC 、AB 分别于E 、F ．若FM ∥AC ，求证：四边形AEMF 是菱形；(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ 上是否存在点P ，使得△CMP 和△HQP 相似？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．29．（2018·全国初三期中）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=，2AB AC ==，点D 为BC 边上的动点（D 不与B 、C 重合），AD ∠45E =，DE 交AC 于点E ．（1）BAD ∠与CDE ∠的大小关系为________．请证明你的结论；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（4）是否存在x ，使DCE 的面积是ABD 面积的2倍？若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由．30．（2018·山东初三期中）如图，菱形ABCD 的边长为5 厘米，对角线BD 长8厘米．点P 从点A 出发沿AB 方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q 从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的3 10？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．31．（2019·广东初三期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝，BP＝；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．32．（2018·四川初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB=43 OA．(1)求点A、点C的坐标；(2)求直线CD的解析式；(3)在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．33．（2018·四川初三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P 从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）CD＝245；（2）t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）不存在，见解析.【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，进利用面积法求出CD；（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△CEQ∽△CDA，得出QE CQAD AC=，进而表示出QE＝45t，再分当S△CPQ＝25S△ACD时，和当S△CPD＝35S△ACD时，利用面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB ＝22AC BC+＝2286+＝10，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CD，∴CD＝AC BCAB⋅＝8610⨯＝245，（2）由（1）知，CD＝245，由运动知，CQ＝t，DP＝t，∴CP＝CD﹣DP＝245﹣t，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，1∴∠ACD＝∠B，∵△CPQ与△ABC相似，∴①△CPQ∽△BCA，∴CP CQ BC AB=，∴245610t t-=，∴t＝3②△CPQ∽△BAC，∴CP CQ AB BC=，∴245106t t-=∴t＝95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）假设存在，如图，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD ＝22AC CD-＝222485⎛⎫- ⎪⎝⎭＝325，过点Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴QE CQ AD AC=，∴3258QEt ， ∴QE ＝45t ， ∵S △CPQ ＝12CP•QE ＝12（245﹣t ）•45t ，∴S △ACD ＝12AD•CD ＝12×325×245， ∵PQ 分△ACD 的面积为2：3，∴①当S △CPQ ＝25S △ACD 时， ∴12（245﹣t ）•45t ＝25×12×325×245，∴25t 2﹣120t+384＝0，而△＝1202﹣4×25×384＝14400﹣38400＜0，此方程无解，即：此种情况不存在，②当S △CPD ＝35S △ACD 时，12（245﹣t ）•45t ＝35×12×325×245， ∴25t 2﹣120t+576＝0，而△＝1202﹣4×25×576＝14400﹣57600＜0，此方程无解，即：此种情况不存在，即：不存在某时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（1）107t =；（2）2335y t t =-+；（3）不存在，见解析；（4）存在，边长为5059. 【解析】【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出三角形APQ 和三角形ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC ，根据P ，Q 的速度，可以用时间t 表示出AQ ，BP 的长，而AB 可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP ，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t 的值．（2）求三角形APQ 的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ 可以根据Q 的速度和时间t 表示出来．关键是高，可以用AP 和∠A 的正弦值来求．AP 的长可以用AB-BP 求得，而sinA 就是BC ：AB 的值，因此表示出AQ 和AQ 边上的高后，就可以得出y 与t 的函数关系式．（3）如果将三角形ABC 的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ ，那么可以用t 表示出CQ ，AQ ，AP ，BP 的长，那么可以求出此时t 的值，我们可将t 的值代入（2）的面积与t 的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC 面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，那么PNCM 就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN 和三角形ABC 相似，得出关于BP ，PN ，AB ，AC 的比例关系，即可用t 表示出PN 的长，也就表示出了MC 的长，要想使四边形PQP′C 是菱形，PQ=PC ，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC ，这样有用t 表示出的AQ ，QM ，MC 三条线段和AC 的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC 来求出t 的值．求出了t 就可以得出QM ，CM 和PM 的长，也就能求出菱形的边长了．【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，先求得5AB =.由题意知：5AP t =-，2AQ t =，若PQBC ，则APQ ABC ∆∆，由AQ AP AC AB =，可求得107t =.（2）如图3，过点P 作PH AC ⊥于H ，由APH ABC ∆∆，得PH AP BC AB =，可求得335PH t =-， ∴11323225y AQ PH t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭2335t t =-+.（3）若PQ 把ABC ∆的周长平分，则AP AQ BP BC CQ +=++.∴()()52342t t t t -+=++-，解得：1t =.若PQ 把ABC ∆的面积平分，则12APQ ABC S S ∆∆=，即23335t t -+=.把1t =代入上面的方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分.（4）如图4，过点P 作PM AC ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，若四边形'PQP C 是菱形，则PQ PC =. ∵PM AC ⊥于M ， ∴QM CM =.∵PN BC ⊥于N ，易知PBN ABC ∆∆.∴PN BPAC AB=， ∴45PN t=， ∴45tPN =， ∴45t QM CM ==， ∴442455t t t ++=，解得：109t =. ∴当109t =时，四边形'PQP C 是菱形.此时37353PM t =-=，4859CM t ==，在Rt PMC ∆中，2249645059819PC PM CM =+=+=， ∴菱形'PQP C 的边长为5059.【点睛】本题考查相似形，解题关键在于熟练掌握计算法则.3．（1）y=﹣2x+12；（2）①点P （2，8）或（4，4）；②存在，点P 的坐标为（3，6）或点P （275，65）【解析】试题分析：（1）由于A （6，0），B （0，12），利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）①可以设动点P （x ，﹣2x +12），由此得到PE =x ，PF =﹣2x +12，再利用矩形OEPF 的面积为16即可求出点P 的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP ∥OB 得△ACP ∽△AOB ，由此即可求出P 的坐标；第二种CP ⊥AB ，根据已知条件可以证明APC ∽△AOB ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出P A ，再过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，由此得到PH ∥OB ，进一步得到△APH ∽△ABO ，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P 的坐标．解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，如图1：依题意，，∴，∴y=﹣2x+12；（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+12）=16，∴x1=2，x2=4；经检验x1=2，x2=4都符合题意，∴点P（2，8）或（4，4）；②存在，分两种情况∵A（6，0），B（0，12），∴OA=6，OB=12，AB=6第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（3，0），∴点P（3，6）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴，∴，∴AP=，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，∴PH∥OB，∴△APH∽△ABO，∴，∴，∴PH=，AH=，∴OH=OA﹣AH=6﹣=，∴点P（，）．∴点P的坐标为（3，6）或点P（，）．点睛：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，熟练运用相似三角形的性质与判定以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．4．(1)A(87，157)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，BEAE=14；(3)点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【解析】【分析】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立求得方程组的解可得到点A的坐标，然后将y＝0代入函数解析式求得对应的x的值可得到点B、C的横坐标；(2)当OE∥AD时，存在四边形EODA为平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理可得到BE AE=OB OC；(3)当DB＝DC时，点D在BC的垂直平分线上可先求得点D的横坐标；即AC与y轴的交点为F，可求得CF＝BC＝F，当点D与点F重合或点D与点F关于点C对称时，三角形BCD为等腰三角形，当BD＝BC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，从而可求得点D的横坐标．【详解】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立得：1334y xy x=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：x＝87，y＝157，∴A(87，157)．把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，∴B(﹣1，0)．把y＝0代入y＝﹣34x+3得：﹣34x+3＝0，解得：x＝4，∴C(4，0)．(2)如图，存在点E使EODA为平行四边形．∵EO∥AC，∴BEAE=OBOC=14．(3)当点BD＝DC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为32，将x＝32代入直线AC的解析式得：y＝158，∴此时点D的坐标为(32，158)．如图所示：FC＝22OF OC＝5，∴BC＝CF，∴当点D与点F重合时，△BCD为等腰三角形，∴此时点D的坐标为(0，3)；当点D与点F关于点C对称时，CD＝CB，∴此时点D的坐标为(8，﹣3)，当BD＝DC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，解得x＝4(舍去)或x＝﹣125，将x＝﹣125代入y＝﹣34x+3得y＝245，∴此时点D的坐标为(﹣125，245)．综上所述点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，利用平行线分线段成比例定理求解是解答问题(2)的关键；分类讨论是解答问题(3)的关键．5．(1) 当t=时，▱AQPD是矩形；(2) 当t=时，□AQPD是菱形；(3)【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；（3）过点P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面积和S四边形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，进而建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图2，当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC∴=，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，=,即，t-t解之t=，∴当t=时，▱AQPD是矩形；（2）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，AE=AP则cos∠BAC==，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，∴t=t解之t=，所以当t=时，□AQPD是菱形；（3）存在时间t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积．在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=4，如图3，过点P作PM⊥AC于M．则=，=，即t故PM=（12﹣t）．∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），∴S=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），四边形PQCB∵四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），∴t=（舍）或t=.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．6．（1）36cm2；（2）不存在；（3）t=6或t=80 11.【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=•EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则EF OA =BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．【详解】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA=BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF=20615=8，∴S△PEF=12EF•OE=12×8×9=36（cm2）；（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE OABO⋅=()15t2015-⋅=43（15-t），∴12×43（15-t）×t=40，整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OEOB，即202t20-=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OEOA，即202t15-=t20，解得t=80 11．∴当t=6或t=8011时，△EOP与△BOA相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．7．（1）当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=；（2）BE 的取值范围是728BE ≤<．【解析】【分析】（1）假设存在符合条件的Q 点，由于PE ⊥PC ，且四边形ABCD 是矩形，易证得△APE ∽△DCP ，可得AP•PD=AE•CD ，同理可通过△AQE ∽△DCQ 得到AQ•QD=AE•DC ，则AP•PD=AQ•QD ，分别用PD 、QD 表示出AP 、AQ ，将所得等式进行适当变形即可求得AP 、AQ 的数量关系．（2）由于BE 的最大值为AB 的长即2，因此只需求得BE 的最小值即可；设AP=x ，AE=y ，在（1）题中已经证得AP•PD=AE•CD ，用x 、y 表示出其中的线段，即可得到关于x 、y 的函数关系式，根据函数的性质即可求得y 的最大值，由此可求得BE 的最小值，即可得到BE 的取值范围．【详解】()1假设存在这样的点Q ；∵PE PC ⊥，∴90APE DPC ∠+∠=，∵90D ∠=，∴90DPC DCP ∠+∠=， ∴APE DCP ∠=∠，又∵90A D ∠=∠=， ∴APE DCP ∽， ∴AP AEDC DP=， ∴AP DP AE DC ⋅=⋅；同理可得AQ DQ AE DC ⋅=⋅；∴AQ DQ AP DP ⋅=⋅，即()()33AQ AQ AP AP ⋅-=⋅-，∴2233AQ AQ AP AP -=-，∴2233AP AQ AP AQ -=-，∴()()()3AP AQ AP AQ AP AQ +-=-；∵AP AQ ≠，∴3AP AQ +=∵AP AQ ≠，∴32AP ≠，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=．()2设AP x =，AE y =，由AP DP AE DC ⋅=⋅可得()32x x y -=，∴()221131393()222228y x x x x x =-=-+=--+， ∴当32x =（在03x <<范围内）时，98y =最大值；而此时BE 最小为78，又∵E在AB上运动，且2AB=，∴BE的取值范围是72 8BE≤<．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用；（1）题中，通过两步相似得到与所求相关的乘积式，并能正确地进行化简变形是解决此题的关键．8．（1）详见解析；（2）229.（3）存在，44.3y x=-+【解析】【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出BC，CD，即可判断出△OBC∽△ABD；（2）先确定出△ACB≌△BOA，进而判断出平行四边形AOBC是矩形，利用勾股定理即可得出结论；（3）先求出1255OC=，进而利用勾股定理求出点C的坐标（245，125-），最后用待定系数法即可得出结论．【详解】解：(1)由142y x=-+得A(0，4),B(8，0)，则OA=4，OB=8，∵AD=BD,OC=BC∴122CD OA==，BC=4，1.2BD AB=∵∠ABO=∠DBC,∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC. ∴∠OBC=∠ABD，。

专题09 线段上动点问题的两种考法(解析版)(北师大版)

（3）分 N 在线段 AB 上和点 N 在线段 AB 的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵ CM 2 1 2 ， BD 23 6 ，
又∵点 A 表示 3 ，点 B 表示 7，
∴ AM 3 ， BM 7
∴ MD BM BD 7 6 1
∴ CD CM MD 2 1 3 ．
①当点 E 是线段 BC 的中点时，求 AD 的长；
②当点 C 是线段 DE 的三等分点时，求 AD 的长；
(2)若
AB
2DE
，点
E
在线段
AB
上移动，且满足关系式
AD EC BE
3 2
，则
CD AB
（直接写
出结果）．
【答案】(1)①4，② 32 ；(2) 17
3
42
【分析】（1）根据已知条件得到 BC 8，AC = 16 ，①由线段中点的定义得到 CE 4 ，求得
∴ AD AC CD 16 12 4 ；
②∵点 C 是线段 DE 的三等分点，DE＝16，
∴ CE 1 DE 16 或 CE 2 DE 32 8 BC （不合题意，舍去），
3
3
3
3
∴ CD DE CE 16 32 16 ， 33
∴ AD AC CD 16 16 32 ； 33
4
AB
【答案】(1) CD 3
(2)当
t
6 5
时点
D
是线段
BC
的中点
(3) MN 1 或 1 AB 2
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出 C、D 运行的路程，进而求出 MD 的值，根据
CD CM MD 可求；
（2）先表示出 BD 和 CD，再根据点 D 是线段 BC 的中点，列方程求解；

专题2.3 几何动点问题(压轴题专项讲练)(北师大版)(解析版)

专题2.3 几何动点问题【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm /s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cm s的速度移动．（1）经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．（3）若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cm s 的速度移动，经过多少秒后△PBQ的面积为1cm2？（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB 上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．（1）解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm2．根据题意得：AP=x cm,BQ=2x cm，∴BP=(6−x)cm，∴1(6−x)⋅2x=8，解得x1=2，x2=4，2故经过2秒或4秒后，△PBQ的面积为8cm2；（2）解∶设经过t秒后，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．×6×8=24，∵S△ABC=12∴S △PBQ =12(6−t )⋅2t =12×24，即t 2−6t +12=0．∵Δ=b 2−4ac =(−6)2−4×12=−12<0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分．（3）解：设y 秒后，△PBQ 的面积为1cm 2；分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上(0<t <4)，如图所示，依题意得：12(6−y )(8−2y )=1 ，即y 2−10y +23=0，解得y 1=5+y 2=经检验，y 1=5不符合题意，舍去，∴y = ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上(4<t <6)，如图所示，依题意得：12(6−y )(2y−8)=1，即y 2−10y +25=0，解得y 1=y 2=5，经检验，y =5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(t>6)，如图所示，依题意得：1(y−6)(2y−8)=1，2即y2−10y+23=0，解得y1=5+y2=经检验，y2=∴y=5综上所述，经过(秒或5秒或(5+秒后，△PBQ的面积等于1cm2．1．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．【思路点拨】过点Q作QE⊥PB于点E，设时间t，根据面积列方程即可求出答案．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于点E，则∠QEB=90°，∵∠ABC =30°，∴2QE =QB ，设经过t 秒后ΔPBQ 的面积等于4cm 2，则AP =t cm ，QB =2t(cm)，QE =t(cm)，当点P 在线段AB 上运动时，BP =(6−t)cm(0<t <6)，根据题意：12×(6−t)⋅t =4，∴t 1=2，t 2=4，当点P 在AB 的延长线上运动时，BP =(6−t)cm (t >6)，根据题意：12×(t−6)⋅t =4，∴t 1=3+t 2=)，故经过2秒或4秒或3+ΔPBQ 的面积等于4cm 2．故答案为：2秒或4秒或32．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =6厘米，BC =3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，则经过______秒后，P ，Q 两点间距离为【思路点拨】设经过t 秒后，P ，Q 两点间距离为t 的取值范围，再分0<t <32、32≤t <6和t =6三种情况，然后分别在Rt △BPQ 中，利用勾股定理建立关于t 的一元二次方程，解方程即可得出答案．【解题过程】解：设经过t 秒后，P ，Q 两点间距离为由题意得：点P 从点A 开始沿AB 边运动到点B 所需时间为AB 1=6秒，点Q 从点B 开始沿BC 边运动到点C 所需时间为BC 2=32秒，因此，分以下三种情况：（1）当点Q 到达点C 之前，即0<t <32时，则AP =t 厘米，BQ =2t 厘米，∵ AB =6厘米，∴BP =AB−AP =(6−t )厘米，则在Rt △BPQ 中，BP 2+BQ 2=PQ 2，即(6−t )2+(2t )2=2，整理得：5t 2−12t +4=0，解得t =25或t =2>32（不符题设，舍去）；（2）当点Q 到达点C ，点P 继续向点B 移动，即32≤t <6时，则BQ =BC =3厘米，由BP 2+BQ 2=PQ 2得：(6−t )2+32=2，整理得：t 2−12t +13=0，解得t =66或t =<32（均不符题设，舍去）；（3）当点Q 到达点C ，点P 到达点B ，即t =6时，则PQ =BC =3厘米，不符题意；综上，经过25秒后，P ，Q 两点间距离为故答案为：25．3．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，长方形ABCD 中，AB =6cm ，AD =2cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t 秒，当t =________时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．【思路点拨】分情况讨论，如图1，当PQ ＝DQ 时，如图2，当PD ＝PQ 时，如图3，当PD ＝QD 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解题过程】解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t如图2，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，DQ，∠PED＝90°．∴DE＝QE＝12∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．∵DQ＝6﹣t，．∴DE＝6−t2∴2t＝6−t，2；解得：t＝65如图3，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1t2，综上所述：t，65，，654．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm s的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为t(s)．（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值？（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC 面积为：12×4×8=16，△PCQ 的面积为12t (8−2t )，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S △PCQ =12S △ABC 列方程求出t 的值，但方程无解．【解题过程】解：（1）∵ S △PCQ =12t (8−2t )，S △ABC =12×4×8=16，∴ 12t (8−2t )=14×16，∴ t 2−4t +4=0，解得：t =2．答：当t =2s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14．（2）△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半．理由如下：当S △PCQ =12S △ABC 时，12t (8−2t )=12×16，整理得：t 2−4t +8=0，∵ Δ=b 2−4ac =(−4)2−4×1×8=−16<0，∴此方程没有实数根，∴ △PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过2秒钟后，S △QPC ＝ cm 2；（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，问点Q 移动几秒钟后S △QPC ＝4cm 2？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？【思路点拨】本题可设P 出发xs 后，S ΔQPC 符合已知条件：在（1）中，AP =xm ，PC =(6−x)m ，QC =2xm ，得出S ΔQPC =12(6−x)·2x ，即可求出经过2秒钟后的面积；在（2）中，AP =xm ，PC =(6−x)m ，QC =2(x−2)m ，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，PC =(6−x)m ，QC =2xm ，BQ =8−2x ，利用勾股定理和PQ =BQ 列出方程，求出答案．【解题过程】解：（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，S ΔQPC =12(6−x)·2x ，当x =2，S ΔQPC =12(6−x)·2x =12×4×4=8，故答案是：8．（2）设P 出发ts 时S ΔQPC =4cm 2，则Q 运动的时间为(x−2)秒，由题意得：12(6−x)·2(x−2)=4，∴x 2−8x +16=0，解得：x 1=x 2=4因此经4秒点P 离A 点1×4=4cm ，点Q 离C 点2×(4−2)=4cm ，符合题意．答：P 先出发2s ，Q 再从C 出发2s 后，S ΔQPC =4cm 2．（3）设经过x 秒钟后PQ =BQ ，则PC =(6−x)m ，QC =2xm ，BQ =8−2x ，(6−x)2+(2x)2=(8−2x)2，解得x 1=−10+x 2=答：经过−10+PQ =BQ ．6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．【思路点拨】（1）根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=−11<0，可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；（2）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，结合当t=4时，C，Q点重合，即可得出结论．【解题过程】（1）解：△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：∵5÷1=5s，8÷2=4s，∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，根据题意可得：AP=t cm，BP=(5−t)cm，BQ=2t cm，假设△PQB的面积等于9cm2，则1(5−t)×2t=9，2整理得：t2−5t+9=0，∵Δ=(−5)2−4×1×9=−11<0，∴所列方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于9cm2；（2）解：由（1）得：AP=t cm，BP=(5−t)cm，BQ=2t cm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，∵四边形APQC的面积等于16cm2，∴12×5×8−12(5−t)×2t=16，整理得：t2−5t+4=0，解得t1=1，t2=4，当当t=4时，C，Q点重合，不符合题意，舍去，∴t=1，答：1s后，四边形APQC的面积等于16cm2．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为t秒．当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为______cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的16．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）利用勾股定理求出AC=6cm，然后根据AP=2t即可得出答案；（2）分两种情况：①当点P在线段AC上，即0≤t≤3时，②当点P在线段AC的延长线上，即3<t≤8时，分别根据△PQC的面积是△ABC面积的16列方程求解即可．【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=6cm，∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，∴AP=2t，∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为(6−2t)cm，故答案为：(6−2t)；（2）解：S △ABC =12×6×8=24cm 2，①当点P 在线段AC 上，即0≤t ≤3时，∵PC =6−2t ，QC =t ，∴S △PQC =12PC ⋅QC =12(6−2t )⋅t =16×24，整理得：t 2−3t +4=0，∵Δ=b 2−4ac =9−16=−7<0，∴该一元二次方程无实数根，∴此情况不存在；②当点P 在线段AC 的延长线上，即3<t ≤8时，∵PC =2t−6，QC =t ，∴S △PQC =12PC ⋅QC =12(2t−6)⋅t =16×24，整理得：t 2−3t−4=0，解得：t =4或−1（舍去），综上所述，存在，当t =4时，△PQC 的面积是△ABC 面积的16．8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm ，BC=16 cm ．点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P 、 Q 分别从 A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等？（3）若点 P ，Q 的速度保持不变，点 P 在到达点 B 后返回点 A ，点 Q 在到达点 C 后返回点 B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t 为何值时，△PCQ 的面积等于 32cm 2？【思路点拨】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，0≺t≤8，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，8≺t≤12，P 不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，12≺t≤16，两点都返回，表示好PB，CQ 的长，用面积公式列方程即可得到答案．【解题过程】解：（1）BP=AB−AP=12−t,BQ=2t，.PB•BQ=35，根据三角形的面积公式，得12(12−t)•2t=35，即12整理，得t2−12t+35=0，解得t1=5,t2=7，.故当t为5或7时，ΔPBQ的面积等于35cm2．.（2）根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2=(12−t)2+(2t)2=2，整理，得5t2−24t+16=0，,t2=4解得t1=45或4时，PQ的长度等于．故当t为45（3）①当0≺t≤8时，PB=12−t,CQ=16−2t，(16−2t)(12−t)=32，由题意，得12解得：t1=4,t2=16（舍去）.②当8≺t≤12时，PB=12−t,CQ=2t−16，(2t−16)(12−t)=32，此时方程无解.由题意，得12③当12≺t≤16时，PB=t−12,CQ=2t−16，(2t−16)(t−12)=32，由题意，得12解得：t1=16,t2=4（舍去），.综上所述，当t为4或16时，ΔPCQ的面积等于32cm2．9．（2022秋·广东东莞·九年级统考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后△PCQ的面积等于8 cm2（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1cm2？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设t(0<t<4)s后△PCQ的面积等于8cm2，根据题意设CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，利用三角形面积公式可得1(6−t)(8−2t)=8，解出t的值即可；2（2）根据题意分类讨论：当运动时间为t(0<t<4)s时，CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，利用三角形面积公式可得1(6−t)(8−2t)=1，解出t的值即可；当运动时间为t(4≤t<6)s时，CP=(6−t)cm，CQ=2(6−t)(2t−8)=1，解出t的值即可．(2t−8)cm，利用三角形面积公式可得12【解题过程】（1）解：6÷1=6(s)，8÷2=4(s)，设t(0<t<4)s后△PCQ的面积等于8cm2，则CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，∴根据题意，得1(6−t)(8−2t)=8，2∴整理，得t2−10t+16=0，解得t1=2，t2=8（不合题意，舍去），∴2s后△PCQ的面积为8cm2．（2）解：存在．当运动时间为t(0<t<4)s时，CP=(6−t)cm，CQ=(8−2t)cm，∴根据题意，得1(6−t)(8−2t)=1，2∴整理，得t2−10t+23=0，解得t1=t2=5当运动时间为t(4≤t<6)s时，CP=(6−t)cm，CQ=(2t−8)cm，∴根据题意，得1(6−t)(2t−8)=1，2∴整理，得t2−10t+25=0，解得t3=t4=5，∴当运动时间为(s或5s时，△PCQ的面积等于1cm2．10．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s 的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2=4PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+(2t)2=4[(10−2t)2+t2]，再解即可；（2）设x秒后ΔDPQ的面积是24cm2，利用矩形面积−ΔDPQ的面积=周围三个三角形面积和列方程即可．【解题过程】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD=2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，∵PD2=4PQ2，①0<t≤5时，∴82+(2t)2=4(10−2t)2+t2，解得：t1=3，t2=7；∵t=7时10−2t<0，∴t=3，②5<t≤8时，PD=∵PD=2PQ，∴PQ=∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t答：3P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后ΔDPQ的面积是22cm2，∵SΔDPQ=S四边形ABCD−SΔADP−SΔBQP−SΔDCQ．∴12×8×2x+12(10−2x)⋅x+12(8−x)×10=80−22，整理得x2−8x+18=0，∵该方程无解，∴不存在时间t使得ΔDPQ的面积是22cm2．11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P 从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【思路点拨】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP=4cm，AQ=4cm，利用面积公式求解；（2）设经过t秒ΔAPQ的面积是ΔABC面积的一半，则BP=2t cm，CQ=2t cm，进而表示出AP=(12−2t)cm，AQ=(8−t)cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解题过程】解：（1）∵点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ ＝t ＝4cm ，∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，∴S △APQ =12×4×4＝8．（2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半．根据题意得：12S △ABC =12×12×12×8＝24cm 2，当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ =12（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24，整理得t 2﹣14t+24＝0，解得t ＝12（舍去）或t ＝2．当6＜t ＜8时如图2：S △APQ =12（2t ﹣12）（8﹣t ）＝24，整理得t 2﹣14x+72＝0，△＜0，无解．当t ＞8时如图3：S△APQ=1（2t﹣12）（t﹣8）＝24，2整理得t2﹣14x+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【思路点拨】（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上时；③当点P在CD边上时，分别求解即可．【解题过程】解：（1）过点P 作PE ⊥CD 于E ．则根据题意，得EQ =16-2×3-2×2=6（cm ），PE =AD =6cm ；在Rt △PEQ 中，根据勾股定理，得PE 2+EQ 2=PQ 2，即36+36=PQ 2，∴PQ ；∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．（16-2x -3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64，∴16-5x =±8，∴x 1=85，x 2=245；∴经过85s 或245s P 、Q 两点之间的距离是10cm ；（3）连接BQ ．设经过y s 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当点P 在AB 上时， 0≤y ≤163，则PB =16-3y ，∴12PB •BC =12，即12×（16-3y ）×6=12，解得y =4；②当点P 在BC 边上时，163＜y ≤223，则BP =3y -AB =3y -16，QC =2y ，∴12BP •CQ =12（3y -16）×2y =12，解得y 1=6，y 2=-23（舍去）；③当点P 在CD 边上时，223＜y ≤8，则QP =CQ -PQ =22-y ，∴12QP •CB =12（22-y ）×6=12，解得y =18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．13．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形ABCO 位于直角坐标系中，O 为坐标原点，点A(−8,0)，点C (3,4)BC 交y 轴于点D. 动点E 从点D 出发，沿DB 方向以每秒1个单位长度的速度终点B 运动，同时动点F 从点O 出发，沿射线OA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E 运动到点B 时，点F 随之停止运动，运动时间为 t （秒）．（1）用t 的代数式表示： BE = ________， OF = ________（2）若以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．（3）当△BEF 恰好是等腰三角形时，求t 的值．【思路点拨】（1）根据题意，可得点B 的坐标为(−5，4)，即可求得BE =5−t ，OF =2t ；（2）分两种情况讨论：①当F 在A 点右侧，四边形ABEF 为平行四边形，BE =AF ；②当F 在A 点左侧，四边形BEAF 为平行四边形，BE =AF ，列方程求解即可；（3）分三种情况讨论：①当BF =EF 时；②当EB =FB 时；③当BE =FE 时，分别列方程求解即可．【解题过程】解：（1）如图根据题意，可得点B 的坐标为(−5，4)，点A(−8,0)，C(3,4)∴BD=BC-CD=8-3=5，BE=BD-DE=5－t；OF＝2t故答案为BE=5-t，OF=2t．（2）解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF，即8−2t=5−t，解得t=3，②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，BE=AF，即5−t=2t−8，；解得t=133（3）解：当△BEF恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，BE=5-t，EFBF 有以下三种情况：①当BF =EF 5−2t =t ，解得t =53；②当EB =FB 时，有(5−t)2=16+(5−2t)2，△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；③当BE =FE 时，有(5−t)2=16+t 2，解得t =910；所以，当t =53或t =910时，△BEF 恰好是等腰三角形．14．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动（到达点B 即停止运动），点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动（到达点C 即停止运动）．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一？（2）如果P 、Q 两点分别从A 、B 两点同时出发，而且动点P 从A 点出发，沿AB 移动（到达点B 即停止运动），动点Q 从B 出发，沿BC 移动（到达点C 即停止运动），几秒钟后，P 、Q 相距6厘米？（3）如果P 、Q 两点分别从A 、C 两点同时出发，而且动点P 从A 点出发，沿AB 移动（到达点B 即停止运动），动点Q 从C 出发，沿CB 移动（到达点B 即停止运动），是否存在一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．【思路点拨】（1）设经过t 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一，根据题意得：AP=t ，BP=6-t ，BQ=2t ，由，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一列式可得求出t 的值；（2）在Rt △PQB 中，根据勾股定理列方程即可；（3）分两种情况：①当PQ 平分△ABC 面积时，计算出这时的PQ 所截△ABC 的周长是否平分；②当PQ 平分△ABC 周长时，计算出这时的t=23，此时△PBQ 的面积是否为12S △ABC ，计算即可．也可以直接计算平分面积的时间，平分周长的时间，看这两个时间是否一样，若两个时间一样则存在，若不一样则不存在．【解题过程】解：（1）设经过t 秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一，由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ，12×2t×（6﹣t ）=13×12×6×8，解得：t=2或4，∵0≤t≤4，∴t=2或4符合题意，答：经过2或4秒钟，△PBQ 的面积等于是△ABC 的三分之一．（2）在Rt △PQB 中，PQ 2=BQ 2+PB 2，∴62=（2t ）2+（6﹣t ）2，解得：t 1=0（舍），t 2=125，答：125秒钟后，P 、Q 相距6厘米．（3）由题意得：PB=6﹣t ，BQ=8﹣2t ，分两种情况：①当PQ 平分△ABC 面积时，S △PBQ =12S △ABC ，12（6﹣t ）（8﹣2t ）=12×12×8×6，解得：t 1t 2=5∵Q 从C 到B ，一共需要8÷2=4秒，4，∴t 1当t 2=5AP=5BP=6﹣（5BQ=8﹣2（52，CQ=2（5=10﹣PQ 将△ABC 的周长分为两部分：一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣﹣另一部分：1，25﹣1，②当PQ 平分△ABC 周长时，AP+AC+CQ=PB+BQ ，10+2t+t=6﹣t+8﹣2t ，t=23，当t=23时，PB=6﹣23=163，BQ=8﹣2×23=203，∴S △PBQ =12×163×203=1603≠12，综上所述，不存在这样一个时刻，PQ 同时平分△ABC 的周长与面积．15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，矩形ABCD ，AB =6cm ，AD =2cm ，点P 以2cm/s 的速度从顶点A 出发沿折线A －B －C 向点C 运动，同时点Q 以lcm/s 的速度从顶点C 出发向点D 运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49；（2）问两动点经过多长时间使得点P 与点Q 请说明理由．【思路点拨】（1）要使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49，此时点P 应在AB 上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t 表示BP 、CQ 的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．【解题过程】（1）解：设两动点运动t 秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49CQ =t ，PB =AB−AP =6−2t ，S 四边形PBCQ =12(CQ +PB)⋅BC =12(t +6−2t)×2=12×49，解得：t =23∴两动点运动23秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49．（2）设两动点经过t 秒运动后，使点P 与点Q ①当0＜t ≤3时，当点P 在点Q 上方时，则6−2t ＞t ，即0＜t ＜2，过Q 点作QE ⊥AB 于点E ，则AP =2t ，PB =6−2t ，CQ =t ，∴PE =6−3t ，在Rt △PEQ 中，∵PE =6−3t ，EQ =2，PQ =∴PE 2+EQ 2=PQ 2，∴(6−3t)2+4=5，解得t 1=73（舍），t 2=53．当点P 在点Q 下方时，则6−2t ＜t ，即2＜t ＜3，过P 点作PF ⊥CD 于点F ，则AP =2t ，PB =6−2t ，CQ =t ，∴FQ =3t−6，在Rt △PFQ 中，∵FQ =3t−6，PF =2，PQ ∴PF 2+FQ 2=PQ 2，∴(3t−6)2+4=5，解得t 3=73，t 4=53（舍）．②当3＜t ≤4时，则∵AB =6，AB +BP =2t ，∴BP =2t−6，∴CP =2−(2t−6)=8−2t ，在Rt △PCQ 中，∵CP =2−(2t−6)=8−2t ，CQ =t ，PQ =∴PC 2+CQ 2=PQ 2有(8−2t)2+t 2=5，得方程：5t 2−32t +59=0，Δ=322−4×5×59=−156＜0，此方程无实根．综上所述，当点P 运动73s 或53s 时，点P 与点Q 16．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝16cm ，AB ＝12cm ，BC ＝21cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动到C 点返回，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动，点P ，Q 分别从点B ，A 同时出发，当点Q 运动到点D 时，点P 随之停止运动，设运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PQDC 是平行四边形；（2）当t 为何值时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的四边形面积等于60cm 2？（3）当0<t <10.5时，是否存在点P ，使△PQD 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；（3）当0<t<10.5时，点P向点C运动，使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．【解题过程】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣21，∴16﹣t＝2t﹣21，，解得：t＝373秒时，四边形PQDC是平行四边形；∴当t＝5或373（2）若点P 、Q 分别沿AD 、BC 运动时，12（DQ ＋CP ）•AB ＝60，即12（16﹣t ＋21﹣2t ）×12＝60，解得：t ＝9（秒），若点P 返回时，CP ＝2t ﹣2，则12（16﹣t ＋2t ﹣21））×12＝60，解得：t ＝15（秒）．故当t ＝9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ ＝PD 时，作PH ⊥AD 于H ，则HQ ＝HD ，∵QH ＝HD ＝12QD ＝12（16﹣t ），∵AH ＝BP ，∴2t ＝12（16﹣t ）＋t ，∴t ＝163秒；当PQ ＝QD 时，QH ＝AH ﹣AQ ＝BP ﹣AQ ＝2t ﹣t ＝t ，QD ＝16﹣t ，∵QD 2＝PQ 2＝t 2＋122，∴（16﹣t ）2＝122＋t 2，解得t ＝72（秒）；当QD ＝PD 时，DH ＝AD ﹣AH ＝AD ﹣BP ＝16﹣2t ，∵QD 2＝PD 2＝PH 2＋HD 2＝122＋（16﹣2t ）2，∴（16﹣t ）2＝122＋（16﹣2t ）2，即3t 2﹣32t ＋144＝0，∵△<0，∴方程无实根，综上可知，当t ＝163秒或72秒时，△PQD 是等腰三角形．17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝，∠ABC ＝30°．点P 从点B 出发，沿B →A →C 以每秒3cm 的速度向终点C 运动，同时点Q 从点B 的速度向终点C 运动，其中一点到达终点即停止．设点P 的运动时间为t ．（1）当t ＝2秒时，求△BPQ 的面积；（2）PQ 能否与△ABC 的一条边平行，如果能，求出此时t 的值；如不能，说明理由；（3）△BPQ 的面积能否为△ABC 面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）过点P 作PE ⊥BC 于E ，由含30度角的直角三角形的性质可求PE 的长，即可求解；（2）分三种情况讨论，由平行线的判定可求解；（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【解题过程】（1）解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当t ＝2秒时，PB ＝6cm ，BQ ＝，∵∠ABC ＝30°，PE ⊥BC ，∴PE =12PB ＝3cm ，∴S △BPQ =12×BQ ×PE =12×3＝cm 2）；（2）PQ 不与△ABC 的一条边平行，理由如下：∵点Q 始终在BC 上运动，∴PQ 与BC 不平行，当PQ ∥AC 时，∴∠PQB ＝∠ACB ＝90°，∵∠B ＝30°，∴PQ =12PB =32t （cm ），BQ =（cm ），又∵点Q 从点B 的速度向终点C 运动，∴QB （cm ），∴PQ 与AC 不平行，当PQ ∥AB 时，则点P 在AC 上，∵∠C ＝90°，BC ＝，∠ABC ＝30°．∴AC ＝4cm ，AB ＝8cm ，∵PQ ∥AB ，∴∠ABC ＝∠PQC ＝30°，∴CQ =，∴＝12﹣3t ，∴t ＝4，当t ＝4时，BQ ＝12，即点Q 与点C 重合，∴PQ 与AB 不平行，综上所述：PQ 不与△ABC 的一条边平行；（3）△BPQ 的面积能为△ABC 面积的三分之一，理由如下：当点P 在AB 上时，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵S △PBQ =12×BQ ×PE =13×12×AC ×BC ，×32t =13×∴t 当点P 在AC 上时，∵S △PBQ =12×BQ ×PC =13×12×AC ×BC ，×（12﹣3t ）=13×∵t ＞83，∴t综上所述：当t =△BPQ 的面积为△ABC 面积的三分之一．18．（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 及点A (0,2)、C (6,0)作矩形OABC ，∠AOC 的平分线交AB 于点D ．点P 从点O 沿射线OD 方向移动；同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向移动．设移动时间为t 秒．（1）填空：OP =_______，OQ =_______（用含t 的代数式表示）（2）设△OPQ 的面积为S 1，△BQC 的面积为S 2，当t 为何值时，S 1+S 2的值为30．（3）求当t 为何值时，△PQB 为直角三角形．【思路点拨】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达OP ，OQ ；（2）连接PQ ，过点P 作PM⊥OQ 于点M ，根据∠POQ =45°，得PM =OM ，又根据OQ =2t ，则MQ =t ，根据勾股定理得PQ ，推出△OPQ 是等腰直角三角形，得S 1=t 2；△BCQ 是直角三角形，当Q 在C 左侧时CQ =CO−OQ =6−2t ，根据三角形面积公式得：S 2=6−2t ；当Q 在C 右侧时CQ =OQ−CO =2t−6，面积为：S 2=2t−6，分类讨论S 1+S 2，即可求出S 1+S 2=30时t 的值；（3）当△PQB为直角三角形时，∠PQB=90°或∠PBQ=90°或∠QPB=90°，根据△OPQ是等腰直角三角形，则∠QPB+∠BPD=90°；根据勾股定理，即可求出t的值．【解题过程】解：（1）∵点P从点O OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动∴OP；OQ=2t．（2）连接PQ，过点P作PM⊥OQ于点M∵四边形OABC是矩形，点A(0,2)，点C(6,0)∴OA=BC=2，AB=OC=6∵∠POQ=45°∴PM=OM∴在直角三角形△PMO中，OM2+PM2=OP2∴PM=OM=t∵OQ=2t∴MQ=t∴在直角三角形△PMQ中，PM2+MQ2=PQ2∴PQ∴△OPQ是等腰直角三角形×OP×PQ t2∴S△OPQ=S1=12∵①当Q在C左侧时，即t≤3时，CQ=CO−OQ=6−2t×CQ×BC=6−2t∴S△BQC=S2=12∴S1+S2=t2+6−2t∴当t2+6−2t=30时∴解得t1=6，t2=−4（舍）不满足t≤3；②Q在C右侧时，t>3时，CQ=OQ−CO=2t−6×CQ×BC=2t−6∴S△BQC=S2=12∴S1+S2=t2+2t−6∴当t2+2t−6=30时，解得t1，t2=（舍）∴当t1，S1+S2=30．（3）连接PB，PQ，BQ由（2）得PQ，QC=6−2t∵△BQC是直角三角形，QC2+BC2=BQ2∴BQ2=4+(6−2t)2∵OM=PM=t∴PH=2−t，BH=6−t∴在△PDB，PH2+BH2=BP2∴BP2=(2−t)2+(6−t)2∵△PQB为直角三角形时∴∠PQB=90°或∠PBQ=90°或∠QPB=90°∵△OPQ是等腰直角三角形，则∠QPB+∠BPD=90°∴∠PQB=90°或∠PBQ=90°①∠PQB=90°时，PQ2+BQ2=PB2∴)2+4+(6−2t)2=(2−t)2+(6−t)2整理得：4t2−8t=0解得：t1=0（舍），t2=2∴t=2②∠PBQ=90°时，PB2+BQ2=PQ2∴(2−t)2+(6−t)2+4+(6−2t)2)2解得：t1t2=∴t t=∴综上所述，当t=2或t=t△PQB为直角三角形时．。

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动点问题专题练习关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想1、直线y=-43x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ⇒B ⇒A 运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当S=548时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形第四个顶点M 的坐标．2..如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）．（1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．3. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持 AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．A B CDE F OD MAB C N4. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。

已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t 秒，问：（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？（3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？5.如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长。

（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．6.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O为坐标原点建立坐标系，设P 、 Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm /秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）求AB 的长，过点P 做PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值.C动点练习题参考答案1（1）y=0，x=0，求得A （8，0），B （0，6），（2）∵OA=8，OB=6， ∴AB=10．∵点Q 由O 到A 的时间是8（秒）， ∴点P 的速度是(6+10)÷8=2（单位长度/秒）．当P 在线段OB 上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t ，OP=2t ，S=t 2．当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，如图，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，由ABAPBO PD =，得PD=5648t -． ∴S=21OQ•PD=t t 524532+-（3）当S=548时，∵6321548⨯⨯>，∴点P 在AB 上当S=548时，548524532=+-t t ∴t=4∴PD=524，AP=16-2×4=8 AD=532)524(822=- ∴OD=8-532=58 ∴P （524,58） M 1（528，524），M 2（512-，524），M 3（512，524-）2. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ．∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴FD EDFC BC=． ∴2428t tt -=．解得t =4． ∴当t =4时，两点同时停止运动；（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF =12×8×4+12×2t ×t =16+ t 2．即S =16+ t 2．（0 ≤t ≤4）；（3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上， ∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+，EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=216t +．∴t =4或t=0（舍去）；②若EC=FC 时，∵EC 2=222416t t +=+，FC 2=4t 2，∴216t +=4t 2．∴t = ③若EF=FC 时，∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+，FC 2=4t 2，∴251616t t -+=4t 2．∴t 1=16+t 2=16-图2ABCDEF∴当t 的值为416-时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，2BC CFCD ED==，∴Rt △BCF ∽Rt △CED ．∴∠BFC =∠CED ．∵AD ∥BC ，∴∠BCE =∠CED ．若∠BEC =∠BFC ，则∠BEC =∠BCE ．即BE =BC ．∵BE 2=21680t t -+，∴21680t t -+=64．∴t 1=16+t 2=16-t=16-BEC =∠BFC ． 3. 解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°，在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，，244x x CN -+∴=， ()222141144282102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·，当2x =时，y 取最大值，最大值为10．（3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=，由（1）知AM ABMN MC=，BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =． 5..解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== 在Rt CDH △中，由勾股定理得，HC =∴43310BC BK KH HC =++=++=（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△ ∴CN CM CD CG = 即10257t t-=解得，5017t =（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =NDACBM（图①）C H（图②）A DCB G MN②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△ ∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t == ∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC △∽△∴FC MC HC DC = 即1102235tt-=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形6（1）∵∠AOB=90°，PM ⊥OA,∴PM ∥OB ，∴AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB ， ∵OA=3cm ，OB=4cm ， ∴在Rt △OAB 中，AB=5432222=+=+OB OA cm ，∵AP=t ， ∴543t PM AM ==， ∴PM=54t ，OM=OA-AM=3-53t ， ∴点P 的坐标为（54t ，3-53t ）；（2）∵OQ=t ， ∴S △OPQ =21×t×（3-53t ）=-103t 2+23t =-103（t-25）2+815，∴当t=25时，S 有最大值，最大值为815；（3）作PN ⊥OB 于N ，∵△OPQ 为直角三角形，∴△PON ∽△QPN ， ∴PNON QN PN =，∴（3-53t ）2=54t （t-54t ），解得t 1=3，t 2=15（舍去）；（4）∵ON=54t ，OQ=t ，∴0Q≠2ON ，∴无论t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形；要使△OPQ 为正三角形，则0Q=2ON=58t ， ∴Q 点的速度为58cm/s ，此时3-53t=58t•23，解得t=1315320-（图⑤）A DCBH N MF。