银川一中2019年第一次模拟考试理科数学试卷

正侧俯视第9题2019年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设集合}{10,8,6,4,2,0=A ，}{432<-=x x B ，则=B AA.}{8,4 B. }{6,2,0 C. }{2,0 D. }{6,4,22．复数12z i =-，则231z z +=- A ．2i B ．-2 C ．2i - D ．23．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是 A ．1x ，2x ，，n x 的平均数 B ．1x ，2x ，，n x 的标准差 C ．1x ，2x ，，n x 的最大值 D ．1x ，2x ，，n x 的中位数4．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =A ．26B ．52C ．78D ．104 5．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上 一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为A ．23B ．25C ．16 D ．346．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远……．执行如图所示的程序框图， 若输入64x =，则输出的结果为 A ．2B ．3C ．4D ．57．双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 和直线135=+y x ，若过C 的左焦点和点（0，-b ）的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A ．45 B ．35 C ．34D ．58．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin g x x =，要得到函数()y g x =的图象，只需将函数()y f x =的图象上的所有点A ．横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位得到 B ．横坐标缩短为原来的12，再向右平移3π个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位得到9．一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图 为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正 方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该 球的表面积为 A ．π B ．π2 C ．π4 D ．π6 10．已知函数)(2)1(2)(2R m e m x x f x∈+++=有两个极值点，则实数m 的取值范围为A ．]0,1[e - B ．)1,11(---eC ．1,(e --∞D ．),0(+∞ 11．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是 ①平面⊥D PB 1平面ACD ；②//1P A 平面1ACD ；③异面直线P A 1与1AD 所成角的取值范围是]3,0(π；④三棱锥APC D -1的体积不变.A ．①②B ．①②④C ．③④D ．①④12．已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于 ．14．已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．15．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆22(2)1x y -+=于点A ，B ，C ，D 四点，则||4||AB CD +的最小值为 ． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，（m R ∈），且12n n a b =.若对任意*n N ∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为 ． 三、解答题： 17在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知6a =，1cos 8A =. (1)若5b =，求sin C 的值； (2)ABC ∆b c +的值.18. 2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.附：临界值表参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .19.如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（1）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（2）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --所成角的余弦值为4？若存在，请找出点F 的位置；若不存在， 请说明理由.20.已知点(1,A 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，O 为坐标原点，直线2:1x l a =的斜率与直线OA的斜率乘积为14-. （1）求椭圆C 的方程；（2）不经过点A的直线:2l y x t =+（0t ≠且t R ∈）与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：AM AN =.21．已知函数()()212ln ,x f x a x x a x-=-+∈R. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222(t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若点P 的极坐标为()2,π，PMPN +=，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()1f x x x <++的解集；（2）若函数()()()2log 32f x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ,求实数a 的取值范围.13.-120 14.(,2)-∞- 15. 13 16. 12三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分)17．解：（Ⅰ）由1cos 8A =，则02A π<<，且 sin A = 由正弦定理sin sin b B A a ==， 因为b a <，所以02B A π<<<，所以9cos 16B =，sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=（Ⅱ）11sin 22ABC S bc A bc ∆===20bc =，2222cos a b c bc A =+-221220368b c =+-⨯⨯=，∴2241b c +=，222()2b c b c bc +=++414081=+=， ∴9b c +=.所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x ，y ，则(x ，y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，则S Ω＝1，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，即图中的阴影部分面积为S A ＝1－12×12×12＝78， 所以P (A )＝S A S Ω＝78，连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为ξ，则)87,3(～B ξ 821)(=ξE 19. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =，∴BC ⊥平面ABE ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -， ∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >， 易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =， ∵33(,0)22BE =-，(0,2,)BF h =-， ∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30220x y y hz -=⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =，6cos ,4||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =.点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --20. 解：（Ⅰ）由题意，2212124OA b k k a ⋅==-=-， 即224a b =① 又221314a b+=②联立①①解得21a b =⎧⎨=⎩所以，椭圆C 的方程为：2214x y +=. （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11(,)R x y --，由2214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 得2210x t +-=，所以240t∆=->，即22t -<<，又因为0t ≠，所以，(2,0)(0,2)t ∈-，12x x +=，2121x x t ⋅=-，解法一：要证明AM AN =，可转化为证明直线AQ ，AR的斜率互为相反数，只需证明0AM AN k k +=，即证明0AQ AR k k +=.12122211AQ AR y y k k x x +=++-122112(1)(1)22(1)(1)y xy x x x -+++=+-∴1221121)1)2222(1)(1)x t x x t x x x +-++++=+-12=120==∴0AM AN k k +=，∴AM AN =.21．解：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，()233(2)122()1x ax x f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. (1)分(i)当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 在()0,2上单调递增； ()2,x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减； ………………2分(ii) 当0a >时，由()0f x '=得，1232,x x x ===去），①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；…3分②当12x x >，即14a >时，x ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x在⎛ ⎝，()2,+∞单调递增；x ⎫∈⎪⎭时，()0f x '<恒成立，()f x在⎫⎪⎭上单调递减；…………4分③当12x x <即104a <<时，x ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x在(0,2),⎫+∞⎪⎭单调递增；x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<恒成立，()f x在⎛ ⎝上单调递减；……………5分综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x单调递增区间为⎛ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为⎫⎪⎭； 当104a <<时，()f x单调递增区间为(0,2),⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛⎝． …………………………………………………6分(2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为()10f a =<， (7)分取01max{,5}x a=-，令1()2ln f x x x =-，21()f x x =，则12'()10f x x=-> 在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln 512(2ln 5)1f x ≥-=+->，0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<，（注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分）所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--，所以1088ln 2a >>--．……………………………………………………………8分当0a =时，21()x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；……9分当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值，1(2)(22ln 2)04f a =-+>，ln f a a a =-，记()ln g x x x x =-， ……………………………10分'()(1ln )1ln g x x x =++-=，令()ln h x x =+，则()3221122h x x x x '=-+=. 当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增．x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =->．……………………11分 又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数a的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭. ………………………………12分 22.解：（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+.由直线l 的参数方程得直线l 的普通方程为2y x =+.（2）将直线l的参数方程222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+，化简并整理，得()2440t t a -++=.因为直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点，所以()()24440a ∆=-+>，解得1a ≠、由一元二次方程根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+. 又因为0a >，所以120t t >.因为点P 的直角坐标为()2,0-，且在直线l 上，所以12PM PN t t +=+==，解得2a =，此时满足0a >，且1a ≠， 故2a =. 23.解：（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >；当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解.综上可得所求不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）要使函数()()()2log 32f x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，只要()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可.又()12232g x x x a a =++--≥-，当且仅当[]1,2x ∈-时取等号.所以只需320a ->，即32a <. 所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。