天津市南开区2018-2019学年度第一学期期末考试试卷高二数学(含精品解析)
+ ‒
1 1
=‒
1
3，
当������
=
2时，有������3
=‒
������2 ������2
+ ‒
1 1
=
1
2，
当������
=
3时，有������4
=‒
������3 ������3
+ ‒
1 1
=
3 ，
当������
=
4时，有������5
=‒
������4 ������4
+ ‒
1 1
=‒
2 ，
2018-2019 学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）
1. 命题“∀������ ∈ ������，������2 ≥ 0”的lt; 0
B. ∀������ ∈ ������，������2 ≤ 0
则数列{������������}是周期为
4
的数列，则������2018
=
������2
=‒
1
3；
故答案为：
‒
1
3．
根据题意，将������������
+
1������������
‒
������������
+
1
+
������������
+
1
=
0变形可得������������
+
1
=‒
������������ + 1
C. 88 辆
D. 95 辆
【解析】解：根据频率分布直方图得，时速超过60������������/ℎ的频率是 (0.028 + 0.010) × 10 = 0.38， 所求的汽车数量为200 × 0.38 = 76(辆)．
故选：B． 根据频率分布直方图求出时速超过60������������/ℎ的频率，再计算频数即可．
【解析】解：双曲线������2
‒
������2 ������2
=
1(������
>
0,������
>
0)的焦点(������,0)到渐近线������������
+
������������
=
0的距离为
������������ ������2 + ������2
=
������ ，
顶点到渐近线距离：
������������ ������2 + ������2
故选：C． 根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可
本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题
2. 设 a，������ ∈ ������，若������ ‒ |������| > 0，则下列不等式中正确的是( )
A. ������ ‒ ������ > 0
B. ������3 + ������3 < 0
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】解：要使������ ‒ 1 = ������ ‒ 1成立，则������ ‒ 1 ≥ 0且(������ ‒ 1)2 = ������ ‒ 1，解得������ = 1或������ = 2．
∴ ������是 q 的充分不必要条件．
=
������������
������2
������ ，双曲线������2
‒
������2 ������2
=
1(������
>
0,������
>
0) 的焦点到渐近线的距离是其顶点到
渐近线距离的 3 倍，
可得：������
=
3
×
������������
������ ，可得������
=
3������，可得9������2
=
1
2时取等号．
故选：A．
利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出．
熟练掌握“乘 1 法”和基本不等式的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）
11. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是______．
7
【答案】8
【解析】解：先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率为(12)3
C. ������ + ������ > 0
D. ������2 ‒ ������2 < 0
【答案】C 【解析】解：因为������ ‒ |������| > 0， ∴ ������ > |������| 当������ = 2，������ =‒ 1时，������ ‒ ������ =‒ 3 < 0，排除 A；������3 + ������3 = 23 ‒ 1 = 7 > 0，排除 B； ������2 ‒ ������2 = 22 ‒ 1 = 3 > 0，排除 D 故选：C． 取������ = 2，������ =‒ 1代入计算可排除 A，B，D 本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
【答案】A
【解析】解：由题意可知茎叶图共有 30 个数值，所以中位数为第 15 和 16
45
个数的平均值：
+ 2
47
=
46．
众数是 45，极差为：68 ‒ 12 = 56．
故选：A．
直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．
������2 ‒ ������2 = 1(������ > 0,������ > 0)
故答案为：390
根据所给的线性回归方程，把 x 的值代入线性回归方程，得到对应的 y 的值，这里所得的 y 的值是
一个估计值．
本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是理解用线性回归方程得到的 y 的值是一个预报值
而不是准确值．
14. 在数列{������������}中，������1 =‒ 2，������������ + 1������������ ‒ ������������ + 1 + ������������ + 1 = 0，则������2018 = ______．
解得
‒
1 2
<
������
<
1，
∴ 不等式的解集是( ‒ 12,1)．
故选：D． 把不等式化为(2������ + 1)(������ ‒ 1) < 0，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
4. 命题������：������ = 1,������：������ ‒ 1 = ������ ‒ 1，则 p 是 q 的( )
3. 不等式2������2 ‒ ������ ‒ 1 < 0的解集是( )
A.
(
‒
∞,
‒
1)
2
∪
(1,
+
∞)
C. ( ‒ ∞, ‒ 1) ∪ (2, + ∞)
【答案】D
B. (1, + ∞)
D.
(
‒
1,1)
2
【解析】解：不等式2������2 ‒ ������ ‒ 1 < 0可化为(2������ + 1)(������ ‒ 1) < 0，
������������ ‒ 1，求出该数列的前
5
项，分析可得
数列{������������}是周期为 4 的数列，则������2018 = ������2，即可得答案．
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比
较基础．
5. 200 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60������������/ℎ的汽车数
量为( )
A. 65 辆
【答案】B
B. 76 辆
C. ∃������0 ∈ ������，������20 < 0
D. ∃������0 ∈ ������，������20 ≥ 0
【答案】C 【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“∀������ ∈ ������，������2 ≥ 0”的否定是“∃������0 ∈ ������， ������20 < 0“，
的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
10.
设������
>
0，������
>
0，若������
+
������
=
1
1，则������
+
1
������的最小值为( )
1
A. 4
B. 8
C. 1
D. 4
【答案】A 【解析】解： ∵ ������ > 0，������ > 0，������ + ������ = 1，
9. 已知双曲线������2 ������2
的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的 3 倍，则双
曲线的渐近线方程是( )
A.
������
=±
2������
4
B. ������ =± 2������
C. ������ =± 2 2������
D. ������ =± 3������
南开区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
南开区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）A ．1B ．C ．2D ．42． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）3． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则A B （ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（1，2）5． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣或﹣6． 奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣1）=0，则不等式f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）7． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）A ．B ．8C ．D ．8． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 9． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）10．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ）A ．15 B ．16 C ．314 D ．1311．已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．12．设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x|f （x ﹣2）＜0}=（ ） A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|0＜x ＜4}二、填空题13．不等式的解集为R ，则实数m 的范围是．14．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC 的最小值为3③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．16．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．17．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.18．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．三、解答题19．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．20．（本小题满分12分）已知圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切.（1）求F E D 、、；（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .21．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．22．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值．23．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；24．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．南开区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：设圆柱的高为h，则V圆柱=π×12×h=h，V球==，∴h=．故选：B．2．【答案】B【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k≥﹣1．∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．3．【答案】C【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，所以共有4×6=24个，而在8个点中选3个点的有C83=56，所以所求概率为=故选：C【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．4．【答案】A【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）则A∪B=（0，+∞）故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．5． 【答案】B【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；故选：B6． 【答案】A【解析】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f （x ）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A ．7． 【答案】C【解析】【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为：=4，另一个侧面的面积为： =4，四个面中面积的最大值为4；故选C ． 8． 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]9． 【答案】D【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．10．【答案】D 【解析】考点：等差数列．11．【答案】D第Ⅱ卷（共90分）12．【答案】D【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象关于y轴对称，且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个单位得到的，故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，故选：D．【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．二、填空题13．【答案】．【解析】解：不等式，x2﹣8x+20＞0恒成立可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，解得：m＜﹣或m＞所以m＜﹣故答案为：14．【答案】V【解析】【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：故答案为：15．【答案】①④⑤【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，此时sin2C=，sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣cos2A=sin（2A﹣30°）≤，则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；故答案为：①④⑤【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．16．【答案】．【解析】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．17．【答案】5 12【解析】18．【答案】．【解析】解：已知∴∴为所求；故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C 的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），… 设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，…由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．20．【答案】（1） 22=D ，24-=E ，8=F ;（2）2=AB . 【解析】试题解析：（1）由题意，圆C 方程为2)()(22=-+-b y a x ，且0,0><b a ，∵圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切，∴2-=a ，25|43|=+b a ，∴22=b ， ∴圆C 方程为2)22()2(22=-++y x ， 化为一般方程为08242222=+-++y x y x ，∴22=D ，24-=E ，8=F .（2）圆心)22,2(-C 到直线022=+-y x 的距离为12|22222|=+--=d ，∴21222||22=-=-=d r AB . 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.1 21．【答案】【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，由正弦定理得，则，∴，得cosA=，由余弦定理得，cosA==，∴=，化简得，n=4，∴a=4、b=5、c=6，cosA=，又0＜A＜π，∴sinA==，∴△ABC的面积S===．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．23．【答案】【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．假设存在实数b ，使()(]()ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，11()bx f x b x x-'=-=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e 13,f x f be b e==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴2min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件．……………………………10分③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e e 13,ef xg b b ==-==（舍去），………11分综上，存在实数2e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()f x 最小值是3．……………………………12分24．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得…（2分）解得：a 1=1，d=2a n =2n ﹣1…（2）由①得…（7分）∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．。
南开区第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
南开区第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．D ．2． 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 4． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 5． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．±2C ．或3D ．1或26． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z <<7． 已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a 8． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ9． 若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =+的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B.C. D. 11．（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）C ．D ．12．若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．2D ．613．集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N == 14．函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）15．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．二、填空题16．椭圆的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．17．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅ ,{}|52A B x x =-<≤ ,求实数a =__________.18．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为__________.19．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.三、解答题20．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设g （x ）=﹣x （x ﹣t ﹣）（t ∈R ），若g （x ）≥f （x ）对x ∈[0，1]恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=（1+）a n ，求证：当n ≥2，n ∈N 时 f（）+f（）+L+f（）＜n •（）（e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．21．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. （1）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．22．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．23．已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．A 1B 1C 1DD 1 C BA E F24．如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠=== 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为 BD 的中点. （1）证明: AD ⊥平面 PAC ；（2）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值.25．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.南开区第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x 2的方程化为标准形式，是解题的关键．2． 【答案】D【解析】解：∵f （x ）=y=2x 2﹣e |x|，∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e 2∈（0，1），故排除A ，B ；当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x， ∴f ′（x ）=4x ﹣e x=0有解，故函数y=2x 2﹣e |x|在[0，2]不是单调的，故排除C ，故选：D3． 【答案】C 【解析】考点：茎叶图，频率分布直方图． 4． 【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?1123+22622创创?15=，故选C ．4646101011326E VD CBA5． 【答案】D【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|． 当1≤x ＜2时，2≤2x ＜4，则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x﹣3|）， 此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x ≤4时， f （x ）=1﹣|x ﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1； 当4＜x ≤8时，2＜≤4，则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c ．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上， 即点（，），（3，1），（6，c ）共线，∴=，解得c=1或2． 故选D ．【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f （x ）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．6． 【答案】A 【解析】考点：对数函数，指数函数性质．7．【答案】A【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，∴b＞c＞a，故选：A．8．【答案】D【解析】考点：球的表面积和体积．9．【答案】D【解析】考点：函数的零点．【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.10．【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 11．【答案】C【解析】解：不等式（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立，即（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则解得a ．故选C ．【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．12．【答案】A【解析】解：因为向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，所以﹣3=2m ，解得m=﹣． 故选：A ．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．13．【答案】A 【解析】试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±± ，所以M P N =⊆. 考点：两个集合相等、子集．1 14．【答案】C【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30+0=1＞0，∴f （﹣1）f （0）＜0，可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．15．【答案】D二、填空题16．【答案】 20 ．【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ． ∴△PQF 2的周长=20．， 故答案为20．【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．17．【答案】7,32a b =-= 【解析】考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 18．【答案】871-<<-d 【解析】试题分析：当且仅当8=n 时，等差数列}{n a 的前项和n S 取得最大值，则0,098<>a a ，即077>+d ，087<+d ，解得：871-<<-d .故本题正确答案为871-<<-d . 考点：数列与不等式综合. 19．【答案】2016-三、解答题20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ），∴f ′（x ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ）+e ﹣x （2x+a ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ﹣2x ﹣a ）；则由题意得f ′（0）=﹣（﹣a ）=2， 故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=e ﹣x （x 2+2x ），由g （x ）≥f （x ）得，﹣x （x ﹣t ﹣）≥e ﹣x （x 2+2x ），x ∈[0，1]；当x=0时，该不等式成立；当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x•e﹣x＞0，∴h′（x）在（0，1]单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]单调递增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，∴=，又a1=1，∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；对n=1也成立，∴a n=n．∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx．又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴f（x）dx≤g（x）dx=+，∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．21．【答案】解：（1）设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG ．∵E 为DD 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG =θ．设正方体的棱长为a ，∴a GE =，a BG 25=，a GE BG BE 2322=+=， ∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：=θsin 32=BE GE ；……6分 （2）证明：连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH ． ∵H 为AB 1的中点，且B 1H =21C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF =21C 1D ，EF ∥C 1D ， ∴B 1H ∥EF 且B 1H =EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE 且EH ⊆平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE ． ……12分 22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，∴所求概率为2244225516125C C P C C =-⋅=（6分）（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，22251(2)10C P C ξ===，（9分） 故的分布列为：（10分）∴3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯= （12分） 23．【答案】【解析】解：若p 为真，则0＜a ＜1； 若q 为真，则△=4a 2﹣1≤0，得，又a＞0，a≠1，∴．因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．①当p为真，q为假时，由；②当p为假，q为真时，无解．综上，a的取值范围是．【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．．24．【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】111]考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、直线与平面所成角的求解，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理、直线与平面所成角的求解等知识点综合考查，解答中熟记直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的定义，找出线面角是解答的关键，注重考查了学生的空间想象能力和推理与论证能力，属于中档试题. 25．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ=⋅+- （2）2a =【解析】试题解析：（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：22212cos x ax ax θ=+-，所以22112cos x a a θ=+-，所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θθθ=⋅⋅=⋅+-，（2）因为()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθθ+--⋅=+-'⋅， ()()2222cos 121212cos a a aa a θθ+-=⋅+-， 令0S '=，得022cos ,1aaθ=+ 且当0θθ<时，022cos 1aa θ>+，0S '>，当0θθ>时，022cos 1aaθ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以22112a a =+，解得2a = 因为1a >，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。
天津市南开区2018-2019学年度第一学期期末考试试卷高二数学(解析版)
2018-2019学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“，”的否定是“，“，故选：C．根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题2. 设a，，若，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，当，时，，排除A；，排除B；，排除D故选：C．取，代入计算可排除A，B，D本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3. 不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：不等式可化为，解得，不等式的解集是．故选：D．把不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4. 命题：：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：要使成立，则且，解得或．是q的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．5. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过的汽车数量为A. 65辆B. 76辆C. 88 辆D. 95辆【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图得，时速超过的频率是，所求的汽车数量为辆．故选：B．根据频率分布直方图求出时速超过的频率，再计算频数即可．本题考查了频率分布直方图与频率、频数的计算问题，是基础题目．6. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积，则对应概率，故选：B．根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．7. 已知等差数列中，，则该数列前9项和等于A. 4B. 8C. 36D. 72【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可得：，则该数列前9项和．故选：C．利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A【解析】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：．众数是45，极差为：．故选：A．直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的焦点到渐近线的距离为，顶点到渐近线距离：，双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，可得：，可得，可得，，则C的渐近线方程为：故选：C．利用双曲线的焦点到渐近线的距离是顶点到渐近线距离的3倍，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 设，，若，则的最小值为A. 4B. 8C. 1D.【答案】A【解析】解：，，，，当且仅当时取等号．故选：A．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是______．【答案】【解析】解：先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率为，故至少出现一次正面的概率是，故答案为．先求出先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率，再用1减去此概率，即得所求．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．12. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体600名学生中抽50名学生做生涯规划调查，现将600名学生从1到600进行编号，已知从～这12个数中取得数是31，则在第1小组～中随机抽到的数是______．【答案】7【解析】解：样本间隔为，从～这12个数中取得数是31，从～这12个数中取得数是第7个数，第1小组～中随机抽到的数是7，故答案为：7．根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13. 对于回归直线方程，当时，y的估计值为______．【答案】390【解析】解：回归方程．当时，y的估计值是故答案为：390根据所给的线性回归方程，把x的值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里所得的y的值是一个估计值．本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是理解用线性回归方程得到的y的值是一个预报值而不是准确值．14. 在数列中，，，则______．【答案】【解析】解：根据题意，，，当时，有，当时，有，当时，有，当时，有，则数列是周期为4的数列，则；故答案为：．根据题意，将变形可得，求出该数列的前5项，分析可得数列是周期为4的数列，则，即可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列的变化规律，属于基础题．15. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为______．【答案】．【解析】解：设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则，又，得，，有，设，则，而，，由直线AB：，代入抛物线的方程可得，，即有，，得．故答案为：．根据过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据，且，和抛物线的定义，可得，设，，，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在等差数列中，已知求数列的通项公式；设，求数列的前10项和．【答案】解：等差数列的公差设为d，，可得，解得，则；，则前10项和．【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．Ⅰ求双曲线方程；Ⅱ求的值；Ⅲ求的面积．【答案】解：Ⅰ，可设双曲线方程为．过点，，即，双曲线方程为；Ⅱ证明：，，，，，点在双曲线上，，即，；Ⅲ的底，由知．的高，．【解析】Ⅰ双曲线方程为，点代入求出参数的值，从而求出双曲线方程；Ⅱ先求出的解析式，把点M的坐标代入双曲线，可得出；Ⅲ求出三角形的高，即的值，可得其面积．本题考查双曲线的标准方程和向量的数量积的坐标表示、双曲线的性质，属于中档题．18. 如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ设PD的中点为M，求证：平面PBC；Ⅱ求PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ求二面角的正弦值．【答案】Ⅰ证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则0，，，2，，0，，0，．，，设平面PBC的一个法向量为y，，则，令，得1，，而0，，，即，又平面PBC，故A平面PBC；Ⅱ解：0，，设PA与平面PBC所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有；Ⅲ解：平面PBC的一个法向量为1，，由题意可知，平面PCD的一个法向量为，．可得二面角的正弦值为．【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，设，结合已知求出平面PBC的一个法向量，再求出，由即可证明平面PBC；Ⅱ求出，利用向量夹角公式，即可求得PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ由Ⅰ中求得的平面PBC的一个法向量，再由平面PDC的法向量为0，，利用向量夹角公式，即可求二面角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，点到平面距离的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且，，．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】解：为公差为d的等差数列，是首项为2，公比为q的等比数列，，，，可得，，，解得，，即有；；，前n项和为．【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项；求得，由裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20. 椭圆C：经过点，且A到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点，且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、均异于点，设直线AP与AQ的斜率分别为，，证明：．【答案】解：Ⅰ椭圆C：经过点，到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率，即．椭圆C的方程为：；Ⅱ证明：Ⅱ由题设可设直线PQ的方程为，，化简，得，代入，得，由已知，设，，，则，，分从而直线AP，AQ的斜率之和，【解析】Ⅰ可得，，即即可得椭圆C的方程Ⅱ设直线PQ的方程为，，代入椭圆C的方程，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AP与AQ斜率之和为定值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用属于中档题．。
天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷
天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正 确答案填在下表中.1．双曲线2212x y -=的焦点坐标为 （A ）(3,0)-，(3,0)（B ）(0,3)-，(0,3) （C）(，0)（D）(0,，2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex <”的否定是（A ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x e x > （B ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex ≥（C ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x > （D ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x ≥ 3．复数1ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为 （A ）1i -- （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +4．已知a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．设公比为2-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5112S =，则4a 等于 （A ）8 （B ）4（C ）4-（D ）8-6．已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x （A ）有极小值，无极大值（B ）无极小值，有极大值 （C ）既有极小值，又有极大值（D ）既无极小值，又无极大值7．在数列{}n a 中，13a =，121n n a a +=-()n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（A ）21n a n =+（B ）41n a n =-（C ）21nn a =+（D ）122n n a -=+8．在空间四边形ABCD 中，向量(0,2,1)AB =-，(1,2,0)AC =-，(0,2,0)AD =-，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（A ）13 （B ）3（C ）13-（D ）3-9．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线28y x =的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN ∆为正三角形，则双曲线的方程为（A ）221824x y -= （B ）2211648x y -= （C ）2212472x y -=（D ）22164192x y -= 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+<，设()()xg x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +<对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是 （A ）(),0(1,)-∞+∞（B ）()0,1 （C ）(),2(2,)-∞-+∞（D ）()2,2-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为__________________． 12．已知向量(2,1,3)a =-与9(3,,)2b λ=平行，则实数λ的值为_____________．13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a b +的最小值为__________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，986S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项的和为_____________．15．已知离心率为322221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，且12PF F ∆的面积为4，则椭圆的方程为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知复数22(2)(23)z m m m m i =++--，m ∈R （i 为虚数单位）． （Ⅰ）当1m =时，求复数1zi+的值； （Ⅱ）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n nS -=()n ∈*N ，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCA B C 中，1AA ，1BB ，1CC 均垂直于平面ABC ，AB AC ⊥，14AA =，11CC =，12AB AC BB ===．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求二面角111B A B C --的余弦值．得 分 评卷人19．（本小题满分12分）已知椭圆C：221 2xy+=．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y x m =+（m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．（本小题满分12分）已知函数3222()32a f x x x x +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值； （Ⅱ）若()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0m <时，试判断函数2()(2)1()ln 1f x a x mxg x x x x '++-=--（其中()f x '是()f x 的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13． 14．51215．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分） 解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴34171122z i i i i -==--++. ………….……………6分 （Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩…………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分 ∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =.∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= …………………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅122213(32)212n n n --⨯=+⨯--⋅- ………………………11分 ∴5(35)2nn T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-，(2,0,0)AB = ∵110440BC AC ⋅=+-=， 10000AB AC ⋅=++=， 所以11BC AC ⊥,1AB A C ⊥. ∵1ABBC B =,∴1AC ⊥平面1ABC ..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC 又∵AB AC ⊥，1ABAA A =,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =. .……………………7分∵11(2,0,2)A B =-，11(0,2,3)AC =-, 设平面111A B C 的一个法向量为n (,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n (2,3,2)=， .……………………9分∴317cos ,17AC n AC n AC n⋅==.……………………11分 显然二面角111B A BC --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =,∴2221c a b =-=,∴2c e a ==. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480mm m =--=->.∴m << ① .……………………5分则1243mx x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. .…………………………7分又∵23OA OB ⋅=.∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴m =满足①式,∴AB == 43=. ∴线段AB 的长为43. …………………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分 （Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++ ∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x+≤+.∵1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当且仅当2x =时，12x x+≥.∴2a ≤ . ……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln 1x mx g x x x =-- (0,1)(1,)x ∈+∞ 2()ln 1mx x x x =--. ……………………8分 要判断()g x 是否存在零点，只需判断方程20ln 1mxx x -=-在(0,1)(1,)+∞内是否有解，即要判断方程2(1)ln 0x m x x --=在(0,1)(1,)+∞内是否有解.设2(1)()ln x h x m x x-=-, ………………10分2222()m mx h x x x x -'=-=(0,1)(1,)x ∈+∞, 可见，当0m <时，()0h x '<在(0,1)(1,)+∞上恒成立.∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减.∵(1)0h =,∴()h x 在(0,1)和(1,)+∞内均无零点. …………………12分。
南开区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
南开区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=02． 设函数，则有（ ）A ．f （x ）是奇函数，B ．f （x ）是奇函数， y=b xC ．f （x ）是偶函数D ．f （x ）是偶函数，3． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数的取值范围是（ ）111]A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(4． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-5． 设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）A ．y 2=4x 或y 2=8xB ．y 2=2x 或y 2=8xC ．y 2=4x 或y 2=16xD ．y 2=2x 或y 2=16x6． 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）A ．B ．C ．2015D ．7． 如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M ③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．A ．①②B ．①②③C ．③④D ．②③④8． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ） A ．2个 B ．3 个 C ．4 个 D ．8个10．在△ABC 中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（ ） A ．60° B ．120° C ．120°或60°D ．45°11．下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）A ．()()4f x x =g B ．()()24=,22x f x g x x x -=-+C ．()()1,01,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g12．把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．二、填空题13．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若m=，则a5=2；②若a3=3，则m可以取3个不同的值；③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是．14．数列{ a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋c（c为常数），{a n}的前10项和为S10＝200，则c＝________．15．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．16．给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）17．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）间的关系为0e ktP P-=（P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.18．已知sinα+cosα=，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为．三、解答题19．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．20．（本题12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .21．已知f （）=﹣x ﹣1．（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间[2，6]上的最大值和最小值．22．已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f （x ）的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求m 的取值范围．23．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．24．设不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，∈，试比较与的大小。
2018-2019学年天津市南开区高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题工10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)命题“∀x∈R，x 2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2＜0B．∀x∈R，x2≤0C．∃x0∈R，x02＜0D．∃x0∈R，x02≥02．(★)设a，b∈R，若a-|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b-a＞0B．a3+b3＜0C．b+a＞0D．a2-b2＜03．(★)不等式2x 2-x-1＜0的解集是（）A．（-∞，-）∪（1，+∞）B．（1，+∞）C．（-∞，-1）∪（2，+∞）D．（）4．(★)命题，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(★★)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为（）A．65辆B．76辆C．88 辆D．95辆6．(★)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．7．(★)已知等差数列{a n}中，a 3+a 7=8，则该数列前9项和S 9等于（）A．4B．8C．36D．728．(★)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，539．(★★)已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=B．y=C．y=D．y=±3x10．(★)设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值为（）A．4B．8C．1D．二、填空题：本大题工5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上．11．(★★)先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是．12．(★)某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体600名学生中抽50名学生做生涯规划调查，现将600名学生从1到600进行编号，已知从25～36这12个数中取得数是31，则在第1小组1～12中随机抽到的数是．13．(★★)对于回归直线方程=4.75x+257，当x=28时，y的估计值为．14．(★)在数列{a n}中，a 1=-2，a n+1a n-a n+1+a n+1=0，则a 2018= ．15．(★★★)如图，过抛物线y 2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．三、解答题：（本大题工5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．(★★)在等差数列{a n}中，已知a 1+a 3=a 4=4（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=2 ，求数列{b n}的前10项和S 10．17．(★★★)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为，且过点（3，-1），点M（3 ，m）在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求△F 1MF 2的面积．18．(★★★)如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2AD=2，AD⊥DC，∠BCD=45°．（Ⅰ）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；（Ⅱ）求PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B-PC-D的正弦值．19．(★★★)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且b 1+b 2=6，b 4=a 2+2a 3，S 5=5b 3-10．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{ }的前n项和．20．(★★)椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且A到右焦点F的距离为A到直线x=2的距离之比为离心率．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、Q（均异于点A），设直线AP与AQ的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1+k 2=a 2．。
南开区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
南开区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在△ABC 中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（ ）A ．60°B ．120°C ．120°或60°D ．45°2． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A ．14 B ．12C ．D ． 3． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72C ．D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．4． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．﹣a ＞﹣bB ．a+c ＜b+cC ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2D ．5． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．（4+π）C ．D ．6． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。
A3 B4 C5D67． 已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在方向上的投影为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣8． 已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长||PQ 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.9． 如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）A ．B ．1C ．D ．10．奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞ ，， C ．()1-∞-，D ．()1+∞，11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16B ．6C ．4D ．812．棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）A ．=B ．0S =C ．0122S S S =+D ．20122S S S =二、填空题13．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．14．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．15．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．16．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是17．函数的单调递增区间是 ．18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，则12x x +的值为__________． 三、解答题19．已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）﹣log 2（a 2﹣3a ）＞2恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2分别在x 轴上，离心率为，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1，过A 、F 1作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由．（Ⅲ）当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD 的形状，并求出其最大值．21．已知cos （+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．22．（本题满分13分）已知函数x x ax x f ln 221)(2-+=. （1）当0=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在区间]2,31[上是增函数，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.23．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥EF．南开区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C 【解析】解：∵a=2，b=6，A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵B ∈（0°，180°）， ∴B=120°或60°． 故选：C ．2． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'222()x x a f x x++=，因为函数2()2ln 2f x a x x x=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒成立，10,4a ∴∆≤∴≥，故选A. 1考点：导数与函数的单调性． 3． 【答案】B【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为12PC ==可得34243316ππ=，解得72PA =，故选B ．4． 【答案】C 【解析】解：∵a ＞b ＞0，∴﹣a ＜﹣b ＜0，∴（﹣a ）2＞（﹣b ）2，故选C ．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．5． 【答案】 D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D ．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．6． 【答案】B【解析】由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B 7． 【答案】D【解析】解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D ．【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．8． 【答案】A【解析】过M 作MN 垂直于x 轴于N ，设),(00y x M ，则)0,(0x N ，在MNQ Rt ∆中，0||y MN =，MQ 为圆的半径，NQ 为PQ 的一半，因此2222222200000||4||4(||||)4[(1)]4(21)PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点M 在抛物线上，∴0202y x =，∴2200||4(21)4PQ x y =-+=，∴2||=PQ .9． 【答案】D【解析】解：∵Rt △O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D ．10．【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()()212102102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞ ，，．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 11．【答案】D【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，∴S △ABC=absinC==8．故选：D ．12．【答案】A 【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：220()2()a S a hS a S a hS '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩，解得=A ．考点：棱台的结构特征．二、填空题13．【答案】12【解析】考点：球的体积与表面积．【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．14．【答案】．【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列∴2b=a+c∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题15．【答案】①②④．【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2k x）=2k f（x）．①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x ∈（2，4]时，则x ∈（1，2]，∴f （x ）=2f （）=4﹣x ≥0．若x ∈（4，8]时，则x ∈（2，4]，∴f （x ）=2f （）=8﹣x ≥0． …一般地当x ∈（2m ，2m+1），则∈（1，2]，f （x ）=2m+1﹣x ≥0，从而f （x ）∈[0，+∞），故正确；③由②知当x ∈（2m ，2m+1），f （x ）=2m+1﹣x ≥0，∴f （2n +1）=2n+1﹣2n ﹣1=2n ﹣1，假设存在n 使f （2n+1）=9， 即2n ﹣1=9，∴2n=10，∵n ∈Z ，∴2n=10不成立，故错误；④由②知当x ∈（2k ，2k+1）时，f （x ）=2k+1﹣x 单调递减，为减函数， ∴若（a ，b ）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．16．【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.17．【答案】[2，3）．【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），故答案为：[2，3）．18．【答案】56 27【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．20．【答案】【解析】解：（I）由题意可得：，解得c=1，a=2，b2=3．∴椭圆E的方程为=1．（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=﹣1．①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：=1，解得y=，取A，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴k OA•k OB=====，假设=﹣1，化为k2=﹣，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．|AB|==．点O到直线AB的距离d=．∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB==2××=．则S2==＜36，∴S＜6．因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．21．【答案】【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），∵cos （+θ）=﹣，∴sin （+θ）=﹣=﹣，∴sin （+θ）=sin θcos+cos θsin=（cos θ+sin θ）=﹣，∴sin θ+cos θ=﹣，①cos （+θ）=coscos θ﹣sin sin θ=（cos θ﹣cos β）=﹣，∴cos θ﹣sin θ=﹣，②联立①②，得cos θ=﹣，sin θ=﹣，∴====．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．22．【答案】【解析】（1）函数的定义域为),0(+∞，因为x x ax x f ln 221)(2-+=，当0=a 时，x x x f ln 2)(-=，则x x f 12)('-=.令012)('=-=x x f ，得21=x .…………2分所以当2=x 时，)(x f 的极小值为2ln 1)21(+=f ，函数无极大值.………………5分23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），则即=，∴M=．又det（M）=﹣3，∴M﹣1=；（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），则=M﹣1=，即，∴代入4x+y﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．24．【答案】【解析】（1）证明：如图，∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．∵EF⊂平面PDC，∴AF⊥EF．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．。
2018-2019学年天津市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年天津市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P 的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P 的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M （1，2，1），N（2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…（3分）所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）。
天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷
天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上3．.考试结束后保留试卷方便讲解，只交答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正 确答案填在下表中.1．双曲线2212x y -=的焦点坐标为 （A ）(3,0)-，(3,0)（B ）(0,3)-，(0,3)（C ）(，（D ）(0,，2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，使得00xe x <”的否定是（A ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00xe x > （B ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00xe x ≥ （C ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x > （D ）(0,)x ∀∈+∞，均有x e x ≥ 3．复数1ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为 （A ）1i -- （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +4．已知a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．设公比为2-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5112S =，则4a 等于 （A ）8 （B ）4（C ）4-（D ）8-6．已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x （A ）有极小值，无极大值（B ）无极小值，有极大值 （C ）既有极小值，又有极大值（D ）既无极小值，又无极大值7．在数列{}n a 中，13a =，121n n a a +=-()n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（A ）21n a n =+（B ）41n a n =- （C ）21n n a =+（D ）122n n a -=+8．在空间四边形ABCD 中，向量(0,2,1)AB =-u u u r，(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,2,0)AD =-u u u r ，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（A ）13 （B ）3（C ）13-（D ）3-9．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线28y x =的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN ∆为正三角形，则双曲线的方程为（A ）221824x y -= （B ）2211648x y -= （C ）2212472x y -=（D ）22164192x y -= 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+<，设()()xg x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +<对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（A ）(),0(1,)-∞+∞U（B ）()0,1 （C ）(),2(2,)-∞-+∞U（D ）()2,2-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为__________________． 12．已知向量(2,1,3)a =-r 与9(3,,)2b λ=r 平行，则实数λ的值为_____________．13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a b +的最小值为__________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，986S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项的和为_____________．15．已知离心率为322221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=uuu r uuu r，且12PF F ∆的面积为4，则椭圆的方程为__________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知复数22(2)(23)z m m m m i =++--，m ∈R （i 为虚数单位）． （Ⅰ）当1m =时，求复数1zi+的值； （Ⅱ）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n nS -=()n ∈*N ，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCA B C 中，1AA ，1BB ，1CC 均垂直于平面ABC ，AB AC ⊥，14AA =，11CC =，12AB AC BB ===．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求二面角111B A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2212x y +=． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y x m =+（m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB ⋅=uu r uu u r ，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．（本小题满分12分）已知函数3222()32a f x x x x +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值； （Ⅱ）若()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0m <时，试判断函数2()(2)1()ln 1f x a x mxg x x x x '++-=--（其中()f x '是()f x 的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13． 14．512 15．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分） 解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴34171122z i i i i -==--++. ………….……………6分 （Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩…………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分 ∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =.∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= …………………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++L 22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ②， ……9分 由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅L122213(32)212n n n --⨯=+⨯--⋅- ………………………11分∴5(35)2n n T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-uuu r ，(2,0,0)AB =u u u r∵110440BC AC ⋅=+-=uuu r uuur ， 10000AB AC ⋅=++=uu u r uuur ， 所以11BC AC ⊥,1AB AC ⊥.∵1AB BC B =I ,∴1AC ⊥平面1ABC ..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC又∵A B A C ⊥，1AB AA A =I ,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =u u u r. .……………………7分∵11(2,0,2)A B =-uuu u r ，11(0,2,3)AC =-uuu u r , 设平面111A B C 的一个法向量为n r(,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩uuu u r r uuu u r r ，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n r(2,3,2)=， .……………………9分∴cos ,AC n AC n AC n⋅==uuu r ruuu r r uuu r r .……………………11分 显然二面角111B A B C --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =, ∴2221c a b =-=,∴2c e a ==. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480m m m =--=->V .∴m << ① .……………………5分则1243m x x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. .…………………………7分又∵23OA OB ⋅=uu r uu u r .∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴m =满足①式,∴AB == 43=. ∴线段AB 的长为43. …………………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分（Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++ ∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数, ∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x+≤+.∵1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当且仅当2x =时，12x x +≥.∴2a ≤ . ……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln 1x mx g x x x =-- (0,1)(1,)x ∈+∞U 2()ln 1mx x x x =--. ……………………8分 要判断()g x 是否存在零点，只需判断方程20ln 1mx x x -=-在(0,1)(1,)+∞U 内是否有解，即要判断方程2(1)ln 0x m x x --=在(0,1)(1,)+∞U 内是否有解. 设2(1)()ln x h x m x x-=-, ………………10分2222()m mx h x x x x -'=-= (0,1)(1,)x ∈+∞U ,可见，当0m <时，()0h x '<在(0,1)(1,)+∞U 上恒成立. ∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减.∵(1)0h =,∴()h x 在(0,1)和(1,)+∞内均无零点. …………………12分。
南开区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
南开区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列式子中成立的是（ ）A ．log 0.44＜log 0.46B ．1.013.4＞1.013.5C ．3.50.3＜3.40.3D ．log 76＜log 672． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43． 下列说法中正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．两条直线确定一个平面C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内4． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2C.1±或2D ．2±或-15． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案6． 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．D ．7． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（）A ．3B ．4C ．D ．138． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（﹣1，0）9． 已知α∈（0，π），且sin α+cos α=，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．10．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）A ．8πcm 2B ．12πcm 2C ．16πcm 2D ．20πcm 211．下列判断正确的是（ ）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台12．若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（）A ．a ＞0B ．﹣1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1二、填空题13．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ．14．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ． 15．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则a b c ABC ∆A B C 、、C a A c cos sin -=的取值范围是___________．3cos(4A B π-+【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．16．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则= ．17．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ． 18．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．三、解答题19．已知双曲线过点P （﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x ．（1）求双曲线的标准方程；（2）设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1||PF 2|=41，求∠F 1PF 2的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数（）.2()(21)ln f x x a x a x =-++a R ∈ （I ）若，求的单调区间；12a >)(x f y = （II ）函数，若使得成立，求实数的取值范围.()(1)g x a x =-0[1,]x e ∃∈00()()f x g x ≥a21．圆锥底面半径为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．1cm 22．已知集合A={x|a ﹣1＜x ＜2a+1}，B={x|0＜x ＜1}（1）若a=，求A ∩B ．（2）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围．23．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：BC1∥平面ACD1．（2）当时，求三棱锥E﹣ACD1的体积．24．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．南开区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：对于A ：设函数y=log 0.4x ，则此函数单调递减∴log 0.44＞log 0.46∴A 选项不成立对于B ：设函数y=1.01x ，则此函数单调递增∴1.013.4＜1.013.5 ∴B 选项不成立对于C ：设函数y=x 0.3，则此函数单调递增∴3.50.3＞3.40.3 ∴C 选项不成立对于D ：设函数f （x ）=log 7x ，g （x ）=log 6x ，则这两个函数都单调递增∴log 76＜log 77=1＜log 67∴D 选项成立故选D 2． 【答案】B【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}，∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素．∵M ⊆{1，2，3，4}，∴M={1，4}或M={1，3，4}．故选：B ． 3． 【答案】D【解析】解：对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误；对B ，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B 错误；对C ，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C 错误；对D ，由C 可知D 正确．故选：D ． 4． 【答案】D 【解析】试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以42224==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.考点：等比数列的性质.5． 【答案】D【解析】【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x ，y ，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。