达朗贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
数学物理方法-7.4达朗贝尔公式-PPT课件
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为 边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。
衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
降维法推导达朗贝尔公式
降维法推导达朗贝尔公式降维法是一种常用的数据处理方法，在数据分析和机器学习领域具有重要的应用价值。
降维的目的是从高维空间中找到一个低维子空间，能够保留原有数据的主要信息，同时减少数据维度，简化计算复杂度。
在降维法中，达朗贝尔公式是一个重要的定理，它可以帮助我们理解降维过程中数据的变化。
达朗贝尔公式的推导主要基于线性代数的知识，下面我们就一起来推导一下达朗贝尔公式。
假设我们有一个原始数据矩阵X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。
我们的目标是将这个矩阵降维为一个新的矩阵Y，使得Y能够尽可能地保留X中的主要信息。
首先，我们需要找到一个转换矩阵A，将原始数据矩阵X映射到一个新的低维空间。
这个转换矩阵A的列向量是我们感兴趣的特征向量，它们构成了一个正交基。
我们假设A的每一个列向量都是单位向量，即它们的长度为1。
接下来，我们将原始数据矩阵X用转换矩阵A进行线性变换，得到新的矩阵Y：Y=XA矩阵Y的每一列是原始数据矩阵X的每一行在转换矩阵A的基上的投影，它们构成了新的低维子空间。
现在我们来推导达朗贝尔公式。
假设X的协方差矩阵为C，Y的协方差矩阵为D。
我们知道协方差矩阵描述了数据之间的相关性。
首先，我们需要计算C和D之间的关系。
我们知道投影前后的数据具有相同的协方差矩阵，即C和D具有相同的特征值，不同的特征向量。
假设矩阵A的列向量是特征向量，记作a1,a2,...,am，对应的特征值是λ1,λ2,...,λm。
则有：CA=AΛDA=AΛ其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素是特征值。
我们可以将上述等式两边同时左乘A的逆矩阵A^(-1)：C=AΛA^(-1)D=AΛA^(-1)其中A^(-1)是A的逆矩阵。
根据矩阵乘法的性质，我们可以得到：D=AΛA^(-1)=AA^(-1)Λ=Λ我们可以看到，新的协方差矩阵D就是特征值构成的对角矩阵Λ。
这就是达朗贝尔公式的推导过程。
通过达朗贝尔公式，我们可以进一步理解降维的过程。
达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式是用于计算球体表面积的公式，其推导可以分为以下几步：
1. 将球体划分为许多小面片，每个小面片都可以近似看作一个平面三角形。
2. 对于一个小面片，其面积可以使用三角形面积公式计算，即 S = 1/2ab*sin(C)，其中 a、b 分别为两边的长度，C为其夹角。
3. 将每个小面片的面积加起来即可得到整个球体表面积。
由于球体具有对称性，每个小面片的面积都相等，可以用一个代表性的面积 S0 代替。
4. 通过对球体的几何性质，可以推导出小面片边长 a、b 和夹角 C 之间的关系式：cos(C) = cos(a/r)*cos(b/r) +
sin(a/r)*sin(b/r)*cos(θ)，其中 r 为球体半径，θ为两边的夹角。
5. 将第4步得到的关系式代入第2步的公式中，即可得到达朗贝尔公式：S = 4πr^2，其中π为圆周率。
总结起来，达朗贝尔公式的推导主要依赖于球体的几何性质和三角形面积公式，并通过分割小面片、近似处理等方法进行求解。
- 1 -。
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式是一种可以用于计算和比较利息的公式。
它是由18世纪英国经济学家威廉·达朗贝尔（William J. Darby）创造的，用来计算一种名为实际利率的概念。
达朗贝尔公式由两个因素组成，即贴现率（discount rate）和时间价值（time value）。
贴现率表示贷款本息的实际利率，而时间价值表示借款本息的未来价值。
达朗贝尔公式的公式如下：
实际利率＝贴现率－时间价值
达朗贝尔公式用于计算和比较利息，而且它也可以用于计算债务的未来价值，以及未来价值和实际价值之间的差异，以及可以用来估计未来收入的折现率。
达朗贝尔公式对经济学家们来说是一个非常重要的工具，它可以帮助他们更好地了解和分析利率及其对经济的影响。
它也可以帮助投资者更好地理解投资的潜在风险和回报。
达朗贝尔公式是一个非常有用的工具，它可以帮助投资者和经济学家正确地估计和比较利息，以便作出明智的投资决策。
它也可以用来估计未来的收入，有助于投资者作出明智的投资决策。
第4节(达朗贝尔公式-定解问题)
只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0
如图所示：
(x)
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
u0
(x)
2u0
x2 x x2 x1
0
x1
2
x2
x
x2
x1
x2
x1 x2
x
2
达朗贝尔公式给出
x x1 , x x2
u( x, t) 1 ( x at) 1 ( x at)
从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下 求解数学物理方程。但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从 数学的角度来讲，不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解 必条件，须同时考虑方程本身和定解条件来求解！ （和常微分方程不同!）
不管是从物理的角度，还是数学的角度，定解问题都是
一个整体！而不能割裂开。
把初始条件代入通解得到：
f1(x) f2 (x) (x) af1(x) af2(x) (x)
即
f1(x)
f2(x)
解方程 f得1( x)f1f(2x()x)
(x)
1
1
a
(
x x0
x)
(
1
)d
x
(
f1( x0
)d
)
1[
2
2a x0
2
f2( x0 )
f1( x0 )
f2 ( x0 )]
描述了波的传播情况，x=0保持不动，端点的影响反映为
反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反，此所谓
半波损失。
12
u
t8
x
t7
第三章达朗贝尔公式
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
波动方程的达朗贝尔公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是 方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始 函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列 的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是 首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念 的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述 的物理现象更为广泛.
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z +n θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ
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f (x) 即 t =0 时的波形
2
4
6
8
10
f (x at) 即 t 时的波形
2
4
6
8
10
f (x at) 表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，
称为右行波。
同理 g(x at) 表示以速度a沿x轴的左行波。
(2) u f (x at) g(x at) 的物理意义 行波
第三章 行波法
无界区域上偏微分方程的一种求解方法
§3.1 达朗贝尔（ DAlembert ）公式
1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导
对定解问题
utt u
a2uxx 0,
|t0 (x),
x
ut |t0
(x)
方程的特征方程为 (dx)2 a2 (dt)2
t
xa(t )
f ( , )dd
自己验证
2a 0 xa(t )
原问题的解为
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
(s)ds
2
2a xat
1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
例4：求解下列初 值问题：
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=50
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
c
x0
2a
g
(
x)
1
(
x)
1
x
(s)ds
c
2
2a x0
2a
于是原问题的解为
u(x,t) f (x at) g(x at)
(x at) (x at) 1
xat
(s)ds
2
2a x0
1
xat
(s)ds
2a x0
u(x,t) (x at) (x at) 1
)2
e( xat)2 ]
1 2
xat es2 ds2
x at
1 2
[e
(
x
at
)2
e( xat)2
]
1 2
[
es2
xat xat
e ( xat)2
3 依赖区间、决定区域和影响区域
u(x,t) (x at) (x at) 1
utt uxx 2x, x , t 0 u |t0 sin x, ut |t0 x
解：由如上公式，有
u(x,t) sin(x t) sin(x t) 1
xt
sds
2
2 xt
1
t
x(t )
称此区域为 [x1, x2 ] 的决定域。
特征线， 斜率1/a
特征线
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
（3）区间 [x1, x2 ]上的初值都能影响到哪些点处的函数值？
答：过 (x1,0)和 (x2,0)分别作斜率为 a1 和 a1的两条直线，
与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 [x1, x2 ] 上 的初值的影响。
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
解得特征线为 x at C
做变换
x at x at
，则 ux ux ux u u
uxx u u u u u 2u u
代入方程并化简得
utt a2 (u 2u u )
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
-4
-2
t2
-4
-2
2 1
0
2
4
2 1
0
2
4
2
1
2
0
2
4
t3
-4
-2
t4
-4
-2
t5
-4
-2
2 1
0
2
4
2
1
0
2
4
2 1
0
2
4
图形演示： （1）初位移不为零，初速度为零：
ut |t0 (x)
x
, t
0
可分解成如下两个问题
（Ⅰ）vtt v |t
0
a
2vxx ,
( x),
x , t
vt |t0 (x)
0
和
用达朗贝尔公式求解 如何求解？用齐次化原理
（Ⅱ） wtt a2wxx f (x,t), x , t 0 w |t0 0, wt |t0 0
(x)
sin
7
l
x
0
3l x 4l 77 其它
(x) 0
则解为
u(x,t) (x at) (x at)
2
解的动画演示（my1）
0.05 0.04
t=2
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
xat
(s)ds
2
2a xat
这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。
特解
例1 解定解问题
2u x 2
2
2u xy
3 2u y 2
0,
u(x,0)
ex2
,
u(x,0)
0,
y
y 0, x x
解 方程的特征方程为
u(x, 0) ex2 u(x, 0) = 0
y
f1(3x) f2 (x) ex2
f1(-3x) f2(x) = 0
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
(1) f (x at) 的物理意义
-2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
1
0.8
t=1
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
1
0.8
t=2
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10 -8 -6 -4 -2
dy2 2dxdy 3dx2 (dy 3dx)(dy dx) 0
解得特征线为
y
3
x
=
C 1
做变换
y 3x y x
，则
于是方程的通解为
y
x
=
C 2
2u 0
u f1( ) f2 () f1( y 3x) f2 ( y x)
0
2
4
6
8 10
1
0.8
t=4
0.6
0.4
0.
-1
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
1