(完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习
1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-
+-+Q
1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+- sin(2)6
x π
=-
2T 2
π
π=
=周期∴ 由2(),()6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈-Q 因为()sin(2)6
f x x π
=-
在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调
递减，
所以 当3
x π=
时，()f x 取最大值 1
又 1()()12
22f f π
π-
=<=Q ，当12
x π
=-时，()f x 取最小值-
所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[
2．已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω??
=+ ??
?
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
??????
，上的取值范围．
解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=
+11sin 2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤， 因此π130sin 2622x ?
?-
+ ??
?≤≤，即()f x 的取值范围为302??????
，．
3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
解：（Ⅰ） 由题意得cos 1,m n A A =-=g 1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得 ,6
6
3
A A π
π
π
-
=
=
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1
cos ,2
A =
所以2
2
1
3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-????
，
4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点
π132M ?? ???，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ??∈ ???
，，，且3()5f α=，12()13f β=，
求()f αβ-的值．
【解析】（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ?=+，将点1
(,)32M π代入得1
sin()32
π?+=，而0?π<<，536π
?π∴+=，2π?∴=，故()sin()cos 2
f x x x π
=+=； （
2
）
依
题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)
2
π
αβ∈，
45
sin ,sin 513
αβ∴====，
3124556
()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=
。
5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12
f t
g x x f x x f x x π
π=
=?+?∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =
cos sin x x =1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x x x x
--=+g g
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π??
∈π∴=-=- ???
Q 1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x
--∴=+--g g
sin cos 2x x =+-
2.4x π??+
- ???
（Ⅱ）由1712x ππ≤
＜，得55.443
x πππ
+≤＜ sin t Q 在53,42ππ?? ???上为减函数，在35,23ππ??
???
上为增函数，
又5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π??
∈π ??
?），
即1sin()2)23424
x x ππ
-≤+
-≤+--＜，＜， 故g (x )
的值域为)
2,3.?-?
6．（本小题满分12分）
在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c
，a =tan
tan 4,22
A B C
++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c
解：由
tan
tan 422A B C ++=得cot tan 422
C C
+= ∴cos sin
224sin cos
22
C C C C
+= ∴14sin cos 22C C = ∴1
sin 2C =，又(0,)C π∈
∴566
C C ππ==，或
由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =
6
B C π
==
2()3A B C π
π=-+=
由正弦定理sin sin sin a b c
A B C ==得
1
sin 2sin 2
B
b c a A ====
7.在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3
c C π
==.
⑴若ABC △
求,a b ;
⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.
说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=， 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =． ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，
，
解得2a =，2b =． ·············································· 6分
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=
，6
B π
=
，a =
b =，
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?
，，
解得3a =
3b =．
所以ABC △
的面积1sin 2S ab C =
= ····················································· 12分 1.已知函数()sin()sin()cos (,)66
f x x x x a a R a π
π
=+
+-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)若函数()f x 在[-
2π，2π
]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6
f x x x a π
=+
+cos x x a =++
2sin 6x a π?
?=++ ??
?
……………………5分
∴函数()f x 的最小正周期2T π=
………………………7分
(Ⅱ)∵,22x ππ??
∈-
????
，∴2363x πππ-≤+≤
(
)min 2f x f a π??
=-= ???……9分
()max 23f x f a π??
==+ ???
……11分
由题意，有()(2)a a ++=
∴1a =
……12分
2.（本小题12分）已知函数.2
1
)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-
+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调增区间；
解：（1）由????
??
?
==2
1)4
(23)0(πf f 得??
???==1
23
b a …………3分
)3
2sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-
+=x x x x x x x f ……6分 故最小正周期π=T （2）由)(2
23
22
2Z k k x k ∈+
≤+
≤-π
ππ
π
π
得 )(12
125Z k k x k ∈+≤≤-
π
πππ 故)(x f 的单调增区间为)](12
,125[Z k k k ∈+-π
πππ …………12分
3．已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2
+-=，将)(x f 的图象按向量)2,4
(π
-=→
b 平移后，
图象关于直线12
π
=
x 对称．
（Ⅰ）求实数a 的值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．
解：（Ⅰ）22cos 22sin 32)(--=x x a x f ，将)(x f 的图象按向量)2,4
(π
-=→
b 平移后
的解析式为2)4
()(++
=π
x f x g x a x 2cos 322sin 2+=．……………………………3分
)(x g Θ的图象关于直线12
π
=
x 对称，
∴有)6
()0(π
g g =，即a a 3332+=，解得1=a ． ……………………………5分
则2)6
2sin(422cos 22sin 32)(--=--=π
x x x x f ．
……………………………6分 当2
26
2π
ππ
+
=-
k x ，即3
π
π+
=k x 时，)(x f 取得最大值2．………………………7分
因此，)(x f 取得最大值时x 的集合是},3
{Z k k x x ∈+=π
π．…………………………8分
（Ⅱ）由2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ，解得3
6
π
ππ
π+
≤≤-
k x k ．
因此，)(x f 的单调递增区间是]3
,6[π
πππ+-
k k )(Z k ∈．……………………………12分
4.已知向量=m (θθsin ,cos ) 和n =(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．
(1) 求||+的最大值；(2)当||+=
528时，求cos 28θπ??
+ ???
的值．
4．解：(1) ()
cos sin sin m n θθθθ+=-++u r r
(2分)
m n +=
u r r
(4分)
∵θ∈［π，2π］，∴
49445ππθπ≤+≤，∴)4
cos(π
θ+≤1 ||n m +max =22． (6分)
(2) 由已知5m n +=u r r ,得7cos 425πθ?
?+= ??
? (8分) 又2cos 2cos ()1428πθπθ?
?
+
=+- ?
?
? ∴216cos ()2825
θπ+= (10分) ∵θ∈［π，2π］∴
898285π
πθπ≤
+≤，∴4cos 285θπ??+=- ???
． (12分) 。5.。已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），
).23,2(π
πα∈ （I ）若|,|||=求角α的值；
（II ）若α
α
αtan 12sin sin 2,12++-=?求的值.
5、解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααΘ，
αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴，
||BC ==u u u u r
由||||BC AC =得ααcos sin =. 又4
5),23,
2(
π
απ
πα=
∴∈Θ. （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=?αααα得BC AC
.3
2
cos sin =+∴αα①
又
.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222ααα
αα
ααααα=+
+=++ 由①式两边平方得,9
4cos sin 21=
+αα .9
5tan 12sin sin 2.
9
5
cos sin 22-=++∴-=∴ααααα
6.在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边，设2
2
2
2
2
()()4f x a x a b x c =---， （1）若(1)0f =，且B －C=
3
π
，求角C.（2）若(2)0f =，求角C 的取值范围. 6．解；（1）由f （1）=0，得a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c …………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分）
∵B －C=3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3π
+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （3π）cosC + cos 3
π
sinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分）
∴tanC=
3
3
……………（5分） ∵角C 是三角形的内角，∴C=
6
π
…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2+2b 2－4c 2=0，即a 2+b 2－2c 2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC=ab
c b a 22
22-+……………………（8分）
=ab
b a b a 222
22
2
+-
+ ∴cosC=ab b a 422+2
1
42=≥ab ab （当且仅当a=b 时取等号）…………（10分）
∴cosC ≥
2
1， ∠C 是锐角，又∵余弦函数在（0，
2π）上递减，∴.0 π ………………（12分） 7． A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c. 若m u r ＝(－cos A 2，sin A 2 )，n r ＝(cos A 2，sin A 2)，且m u r ·n r ＝12 .（1）求A ； （2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值. 7.解：（1）∵m u r ＝(－cos A 2，sin A 2)，n r ＝(cos A 2，sin A 2)，且m u r ·n r ＝12 ， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝1 2 ，………………………………………………2分 即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2 3π………………………………5分 （2）S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12b ·c ·sin 2 3π＝3，∴bc ＝4 …………………7分 又由余弦定理得：a 2=b 2+c 2－2bc ·cos120°＝b 2+c 2+bc ………………10分 ∴16＝(b +c )2，故b +c ＝4.……………………………………………12分 8.已知向量m →=（sin B ，1－cos B )，且与向量n →=(2，0)所成角为π 3 ，其中A, B, C 是△ABC 的内角． (1)求角Ｂ的大小； (2)求sinA+sinC 的取值范围．(本题满分12分) 8.解：（1）∵m →=（sinB ，1-cosB) ,与向量n →=（2，0）所成角为 ,3 π ∴ ,3sin cos 1=-B B ……………………………………………………………3分 ∴tan ,3 ,32,32032π πππβ=+==∴<<=C A B B B 即又 …………………6分 （2）：由（1）可得∴)3 sin(cos 23sin 21)3 sin( sin sin sin π π +=+= -+=+A A A A A C A ……………………………………8分 ∵3 0π < ∴ 3 23 3 π π π < + ∴sin(A+π3 )∈( 3 2 ,1],∴sinA+sinC ∈( 3 2 ,1]. 当且仅当1sin sin ,6 =+= =C A C A 时π …………………………………12分 9.(本题满分12分)在△ABC 中，已知(a +b +c )(a +b －c )=3ab ，且2c osAsinB=sinC ，求证：△ABC 为等边三角形 9.解 由已知得：2 2 ()3a b c ab +-=，即222 a b c ab +-= ∴2221 cos 22 a b c C ab +-= = 即 ∠C=60? (1) 又 C=180?－(A+B) ∴sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosA sinB 由已知：sinC=2cosA sinB ∴sinA cosB －cosA sinB=0即sin(A －B)=0 A 、B 为三角形内角，A －B ∈(－180?，180?) ∴A －B=0? 即A=B (2) ∴由(1)(2)可知：ΔABC 为等边三角形 10.（12分）已知ABC ?中?=?+?-)(2 ,边AB 、BC 中点分别 为D 、E （1）判断ABC ?的形状 （2）若0=?，求B 2sin 10解：（1）由已知化简得CB CA BC AC AB AB ?=+-)( 即0=?CB CA 得；ABC ?为直角三角形------------6分 （2）设A(a,0)B(0,b)则E(0, 2b ),D(2 ,2b a ) 04222=+-=? b a sinB=33 22= +b a a ∴3222sin =B ----------------12分 11．已知△ABC 内接于单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2， （1） 求证：内角C 为定值； （2） 求△ABC 面积的最大值. 11. 本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识. （1） 证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2?tanA ＋tanB ＝1－tanAtanB ?tan （A ＋B ）＝1. …………………… 3/ ∵A 、B 为△ABC 内角， ∴A ＋B ＝ 4 π . 则 C ＝43π（定值）. …… 6/ （2） 解：已知△ABC 内接于单位圆， ∴△ABC 外接圆半径R=1. ∴由正弦定理得：2sin 2==C R c ，A a sin 2=，B b sin 2=.…… 8/ 则△ABC 面积S ＝ B ac sin 21＝B A sin sin 2＝B B sin )4 sin(2-π ＝B B B sin )sin (cos -＝B B B 2 sin sin cos - ＝)2cos 1(2 1 2sin 21B B --＝21)42sin(22-+πB …… 10/ ∵ 0 4 π ， ∴43424πππ<+ 故 当8 π = B 时，△AB C 面积S 的最大值为 2 1 2-. …………………… 12/ 12.设函数f （x ）=m ·n ，其中向量m =（2cosx,1）,n =（cos x ,3sin2x ），x ∈R. （1）求f （x ）的最小正周期； （2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=2，a =3，b+c=3 （b ＞c ），求b 、c 的长. 12．（1）f (x )=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x + )6 π ∴f (x )的最小正周期为π. （2）∵f (A)=2，即1+2sin(2A ＋ )6π =2，∴sin(2A+)6π=2 1 ∵6π＜2A+6π＜π613 ∴2A+6π=π65 . 3 π=∴A 由cosA=2 1= ,22 22bc a c b -+即(b+c)2-a 2=3bc, ∴bc =2.又b +c =3(b ＞c ), ∴?? ?==1 2 c b 13.已知△ABC 的面积为1，tanB= 2 1 ，tanC=－2，求△ABC 的边长及tanA ． 13．tanA =tan ［π－（B+C ）］=－tan （B+C ）， =－4 3112 21 tan tan 1tan tan =+-=-+C B C B ． 2分 ∵tanB= 21，0 π ， ∴sinB=55，cosB=552， 又tanC=－2， 2 π ∴sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC= 55（－55）+552·552=5 3 6分 ∵ ,sin sin B b A a =∴a= b B A b 5 3sin sin =， 8分 又S △ABC = 21absinC=21 ·53b 2·552=1， 解得b= 3 15 ，于是a=3， 10分 ∴c= 3 15 2sin sin =A C a ． 12分 14．（12分）已知函数 ) 4 sin(sin ) 2sin( 22cos 1)(2π π + ++-+= x a x x x x f (1)求函数y = f （x ）的单调递增区间； (2)若函数 y = f （x ）的最小值为 4，试确定常数a 的值． 14．（12分）解： ) 4 sin(sin ) 2 sin(21cos 21)(22π π +++--+= x a x x x x f )4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x …3分 ) 4sin()2()4 sin()4 sin(222π π π + +=+ ++ =x a x a x …………………6分 （1）由x + 4π ∈［2k π－2π，2k π＋2 π］（k ∈Z ）得 x ∈［2k π－34π，2k π＋4 π ］（k ∈Z ） ∵sin()cos 02x x π-=≠ ∴()2 x k k z π π≠+ ∈ ∴ 函数y = f （x ）的单调递增区间是 [2k π－34π，2k π－2π], ( 2k π－2 π，2k π＋4π］（k ∈Z ）．…9分 （2 ）由已知得2 )4a -=， ∴ a = ±2 ．………………………12分 锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B C ．25 D 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，，求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α， tan α的值． 《锐角三角函数》A 姓名_____________ 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ， 2．在Rt △ABC 中，sin A =5 4 ，AB =10，则BC =______，cos B =_______． 3．在△ABC 中，∠C =90°，若cos A =2 1，则sin A =__________． 4． 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______． 5、=???45cos 2 260sin 2 1 . 6、∠B 为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B ＝ . 7、等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 . 8、如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60，已知测角仪AB 的高为1.5米，则旗杆CE 的高等于 米． 三、选择题 9、在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 10．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 11． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 12、 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 D E 60 1 锐角三角函数专项练习题 在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： ) 正切的邻边的对边Atan??baA?tan0tan?A (∠A为锐角) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 30°、45°、60°特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° ?cos232221 ?tan33 1 3 基础练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD等于( ) A．43； B．34； C．53； D．54 2．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( ) A． sinA=135； B．cosA=1312； C． tanA=1213； D．tanB=125 )90cot(tanAA???)90tan(cotAA??? BAcottan? BAtancot?)90cos(sinAA???)90sin(cosAA??? BAcossin?BAsincos?A90B90??????????得由BA 对边 邻边斜边 A C B b a c A90B90??????????得由BA D C A B 2 3 ..在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=4,BC=3,则sinA=（）. A. 43; B. 34; C. 53; D. 54. 4 在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=22,则cosB的值是( ). A. 21; B. 23; C.1; D. 22. 5. 4sintan5????若为锐角,且，则为( ) 933425543ABCD． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式 是（） A． c =sinaA B． c =cosaA C．c = a·tanA D． c = tan aA 7、??45cos45sin?的值等于（） A.2 B. 213? C. 3 D. 1 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，2sin3A?，则边AC的长是（） A5 B．3 C43 D13 9．如图，两条宽度均为40m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图 中阴影部分)的路面面积是（） A.?sin1600(m2) B.?cos1600(m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝31，则 tanA＝（） 锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2 锐角三角函数练习题 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D） A.30米 B.10米 C. 米 D. 米 2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为 （C） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A） Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C） Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3 （第2题）（第3题）（第4题） 5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A） A. B. C. D. 7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B） A．150 B．C．9 D．7 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A） A．B．3 C．D． 9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ） A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C） A.1 B. C. D. （第9题）（第10题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。 13．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米 （答案可保留根号）。 14．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为，旗杆底部 《 锐角三角函数》 A 姓名_____________ 一、 填空 二、 练习 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ， 2．在Rt △ABC 中，sin A =5 4，AB =10，则BC =______，cos B =_______． 3．在△ABC 中，∠C =90°，若cos A =21，则sin A =__________． 4． 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______． 5、=???45cos 2 260sin 21 . 6、∠B 为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B ＝ . 7、等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 . 8、如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60o ，已知测角仪AB 的高为1.5米，则旗 杆CE 的高等于 米． 三、选择题 9、在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 10．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 11 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ． c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 12、οο45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 213+ C. 3 D. 1 锐角三角函数 一、选择题 1． sin30°的值为（ ） A ． 3 B ． 2 C ． 12 D ． 3 2．如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ． 3sin 2A = B ．1 tan 2 A = C ．3cos 2 B = D ．tan 3B = 3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 4 B ． 43 C ．35 D ．45 4．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m 5．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==° ，，则点B 的坐标为 （ ） A ．(21)， B ．(12)， C ．(211) +， D ．(121)+， 6．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为（ ） A ．43 B ．4 C ．23．2 7．图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ） A 8 33 m B ．4 m C ．3．8 m 8)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得 60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ． 1003 3 D ．253+ 1．已知cos α＜，锐角α的取值范围是（）A ．60°＜a ＜90B ．0°＜a ＜60°C ．30°＜a ＜90°D0°＜a ＜30° 2．2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）A 、 3 .B C ．0 3．等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 B C ．l 4．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90°，则a 3 cosA+b 3 cosB 等于（ ） A ．abc B ．（a+b ）c 3 C ．c 3 D (). abc a b c + 5．点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ）1 111.(); ); ) .()2222 A B C D -- 6．在△ABC 中，∠C ＝90 °，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c2－4ac+4a 2 = 0，则sinA+ cosA 的值为（ ） B C D 7．在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）sin(90°－B ），则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 8．sin35°·cos55°十cos35°·sin55°＝_______ 9. 已知0°＜a ＜45 10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，斜边上的高是 3 ，则a=____, b=______，c ＝______． 11 .在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos ∠OAB 等于__________ 12.计算|2|4sin 60--+o 1 ||451)2O O -- ×(－12 )-3+(4)tan 60πO O -+ 1301()16(2)(2004)60 3 3 π-O +÷-+- ()0 12sin 60-?+-（结果保留根号．．．．．．） ____= 1 tan 60|2|2-+-+o sin 30tan 45sin 60 -o o o 13 已知：如图 l －1－2，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°， 求BC 边上的高AD. 14如图1－l －3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°，AD=l ，求BD 、DC 的长． 典型锐角三角函数题 一、选择题 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ） Ａ． 34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 2．一人乘雪橇沿如图2所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．米 Ｄ．6米 3．下列计算错误的是（ ） A ．sin60sin30sin30?-?=? B ．2 2 sin 45cos 451?+?= C ．sin 60cos60cos60??= ? D ．cos30cos30sin 30? ?=? 4．如图3，在ABC ?中30A ∠=? ,tan 2 B = , AC =则AB 的长是( ) A ．3 B ．2+ C ．5 D ．92 5．如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点 处．已知8AB =， 10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 6．如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（ ） Ａ．32? ??? ?， Ｂ．3? ???? Ｃ．32? ?? Ｄ．12? ?? ， 7．已知正三角形ABC ，一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为( ) A ． B ． 3 C D ． 3 a 图3 α 图1 图2 A D E C B F 图4 图5 8． 点()sin60,cos60M -??关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ． 12????? B ． 12??- ? ??? C ．12?? ? ??? D ． 12?- ?? 9．在ABC ?中，A ∠、B ∠都是锐角， 且1 sin 2 A = ，cos B =则ABC ?的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 10．如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =， D 为AC 上一点，若1 tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A B ．2 C ．1 D ．（中考深圳市 11 ，3分）、小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影 长为4米，已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A. (6米 B. 12米 C ( )+423米 D. 10米 二、填空题 11．如图7，在坡度为1﹕2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米， 斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米． 12．如图8，Rt ABC ?中，90C ∠=?,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==, 15A ∠=? ，则BC 边的长为 ． 13．如图9，在ABC ?中，90C ∠=,2BC =,1 sin 3 A = ， 则AB =______．． 14．如图10，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 图7 图9 图8 图6 图3 2 1 图3-1 D C A B 九年级锐角三角函数练习题 一、 填空题： 1． 若α为锐角，则0______ sin α_______ 1； 0_____ cos α_______ 1． 2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a=1，b=2，则cosA=________ ，tanA=_________． 3． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________ ，tanA=_________． 4． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A=30°，b=4，则a=__________，c=__________． 5． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA=5 3，则cosB=_________． 6． 已知cosA=2 3，且∠B=90°-∠A ，则sinB=__________． 7． ∠A 为锐角，已知sinA= 135，那么cos (900-A)=___________ ． 8． 已知sinA=2 1(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 9． 若α为锐角，αtan =3 3，则α=__________ ，αcot =_______． 10． 若0°<α<90°，sin α=cos60°，则tan α=_________． 11． 计算： 2sin45°-21cos60°=____________． 12． 计算： 2sin45°-3tan60°=____________． 13． 计算： (sin30°+tan45°)·cos60° =______________． 14． 计算： tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°+6cot60°=__________． 15． 计算： tan 230°+2sin60°-tan45°·sin90°-tan60°+cos 230°=____________． 二、选择题 1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ） A ． 43； B ． 34； C ． 53； D ． 5 4． 2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=2 2，则cosB 的值是( ) A ．21； B ．23； C ．1； D ．22 3． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A=30°，则sinA+sinB=( ) A ．1； B ．231+； C ．221+； D ．41 4． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( ) A ．43； B ．34； C ．53； D ．5 4 5． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( ) 锐角三角函数计算题（1） 1.计算：(1)tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°⑵ 0.25tan 2450+1／sin 2300-3cos 2300- cos500／sin400 （3）22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-?+?o o o o （4）22sin 45cos30tan 45+-o o o （5）sin 266°－tan54°tan36°＋sin 224° （6）104cos30sin 60(2)(20092008)-?? +--- (7)（-2）2+tan45°-2cos60° （8）2cos600-（2009-π）0 +9 （9）30-3tan600-2)1(-+38 （10）3－1+(2π－1)0－3 3cos30°－tan45° 2.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为600，求高楼的高度 3.如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为300，旗杆底部B 点的俯角为450．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶点A 离地面的高度（结果保留根号） 4.如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，414.12≈） P A B E F 30o 45o 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆， 圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是 E 的切线； （2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ： ①当1 an 7 t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求 BG CF 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ?? ??? ，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】 【分析】 （1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ??，得1 2 BG CF ≤，从而得解. 【详解】 （1）证明：连接DE ，则： ∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵ EB ED = ∴EBD EDB ∠=∠ ∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为 E 的切线. （2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ?? ∴ 11 NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10 31 x = ∴150531AF x == 15043 33131 OF =-= 即143,031F ?? ??? 如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ?? ∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241 tan 1037 F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25 x = 锐角三角函数专项练习题 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边的对边A A ∠= sin c a A =sin 1sin 0<A (∠A 为锐角) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 30°、45°、60°特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° αcos 23 2 2 2 1 αtan 3 3 1 3 基础练习 1． 如图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，CD⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD 等于( ) A ．43； B ．34 ； C ．53； D ．5 4 2． Rt△ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( ) A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=12 13 ； D ．tanB=125 ) 90cot(tan A A -?=)90tan(cot A A -?= B A cot tan = B A tan cot = )90cos(sin A A -?=) 90sin(cos A A -?= B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 斜边 A C B b a c A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A D C A B 九年级下册《锐角三角函数》单元测试 一、选择题 1. 4 sin tan 5 ααα= 若为锐角,且，则为 ( ) 933425543 A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．22 C ．10或27 D ．无法确定 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 5、ο ο 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( ) A. 3 B. 300 C. 50 3 D. 15 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于 12 B ．小于12 C ．大于3 D ．小于3 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ． 23 9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ） 83 10．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．32 3 C ．10 D ．12 二、填空题 11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________． 13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 锐角三角函数的技巧及练习题含答案 一、选择题 1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ） A ．3 B ．23 C ．32 D ．233 【答案】A 【解析】 连接OC ， ∵OA=OC ，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3， ∴OC=PC ?tan30°=3， 故选A 2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA ． ∵AE EB =， ∴CD AB ⊥， ∴??AD BD =， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ， ∴60AOB ∠=o ， ∵OA OB =， ∴AOB ?是等边三角形， ∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12 MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） 28.1锐角三角函数 第2课时 一、基础训练 1.如图所示，某斜坡AB 上有一点B ′，B ′C ′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B ′C ′∶AB ′=______________,B ′C ′∶AC ′=______________. 2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( ) A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA= 5 3 ，则sinB 等于( ) A. 52 B.53 C.54 D.4 3 二、强化训练 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB= 2 5 ，则cosA 等于( ) A. 25 B.35 C.552 D.3 2 2.如果α是锐角,且sin α= 5 4 ,那么cos(90°-α)的值为( ) A. 54 B.4 3 C.53 D.51 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( ) A. 210 B.510 C.5 15 D.5153 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 13 5 ,BC=15,则AC=______________. 5.如图,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值. 三、巩固训练 1.如图,已知菱形ABCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 2 A 等于( ) A. 53 B.54 C.343 D.34 5 2.如果sin 2 α+cos 2 30°=1,那么锐角α的度数是( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB= 2 2 ，则Rt △ABC 的面积是___________. 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c. 7.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA= 5 3 ，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长. 8.如图，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4. 求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长. 9.如图,某人从山脚下的点A 沿着斜坡走了1 000米到达山顶B 点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度. 人教版初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5 α=，则AC 的长为（ ） A ．3 B ．163 C ．203 D ．165 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ． 【详解】 解：∵DE ⊥AC ， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ACD ， ∵cos α= 35，35AB AC ∴=， ∴AC=520433 ?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键． 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA=AC AB = 2 3 ，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值 cosA= A ∠的邻边 斜边 ，然后带入数值即可求解. 3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（） A．πB．2πC．3πD．31)π 【答案】C 【解析】 【分析】 3 为2，据此即可得出表面积． 【详解】 3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 ==． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 4．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（） 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC ∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=， ∴ ∴AC=5， ∴AB=AC=5， 设AF=x，则CF=5﹣x， 在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2， 在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2， ∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2， ∴x=3， ∴BF2=25﹣32=16， ∴BF=4， 即点B到AC的距离为4． 考点：切线的判定 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC． （1）求证：∠AEC=90°； （2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH的长． 《锐角三角函数》A 12、sin 45 cos45 的值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 30° 45° sin cos tan 二、 练习 ： 1、在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AB = 13, BC = 5,求 si nA, cosA , ta nA , 4 2. 在 Rt A ABC 中，sinA 二一,AB=10，则 BC= , cosB= 5 1 3. 在△ ABC 中，/ C=90°，若 cosA=—，贝U sinA= ______ 2 4. ________________________________________________ 已知在△ ABC,/ C=90° ,且 2BC=AC,那么 sinA= _________ . 1 ；2 5. 丄 sin 60 cos45、 7、等腰三角形中，腰长为 5,底边长8,则底角的正切值是 ________________ 8、如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端 C 的仰角为60 ,已知测角仪AB 的 高为 1.5米，则旗杆CE 的高等于 ___________________ 米. 三、选择题 9. 在Rt △ ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（） A.不变 B .扩大5倍 C .缩小5倍 D .不能确定 10. 在Rt △ ABC 中,/ C = 90。，下列式子不一定成立的是（ ） A . si nA = sin B B . cosA=si nB C . si nA=cosB D . / A+/ B=90° a sin A a cosA C . c = a ? tanA D a tanA 填空 初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案 一、选择题 1．如图，从点A 看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P 的仰角是45?，向前走6m 到达B 点， 测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60?和30°，则该电线杆PQ 的高度（ ） A ．623+ B ．63+ C ．103- D ．83+ 【答案】A 【解析】 【分析】 延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长，则问题求解． 【详解】 解：延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x ． 在直角△APE 中，∠A=45°， AE=PE=x ； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE 中，33x ， ∵AB=AE-BE=6米， 则3， 解得：3 则3． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=3+3． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23． 答：电线杆PQ的高度是（6+23）米． 故选：A． 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题. 2．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴10（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）最新锐角三角函数练习题及答案
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