等差数列(第二课时)PPT课件
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等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)
寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
等差数列二 课件
由通项公式得 a12 a1 (12 1) d，
即 110 3311d，
解得 d = 7.
因此， a2 33 7 40
a7 75
a3 40 7 47
a8 82
a4 54
a9 89
a5 61
a10 96
a6 68
a11 103
答：梯子第二级宽40 cm，第三级宽47 cm，第四级 宽54 cm，第五级宽61 cm，第六级宽68 cm，第七级宽 75 cm，第八级宽82 cm，第九级宽89 cm，第十级宽96 cm， 第十一级宽103 cm。
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 )a, ( ab ) , b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
an1
an
an2 2
等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7 6
●
an 2n 4
出x＝？
等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA
b a c 2b= a+c
2
【说明】 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d=
即 110 3311d，
解得 d = 7.
因此， a2 33 7 40
a7 75
a3 40 7 47
a8 82
a4 54
a9 89
a5 61
a10 96
a6 68
a11 103
答：梯子第二级宽40 cm，第三级宽47 cm，第四级 宽54 cm，第五级宽61 cm，第六级宽68 cm，第七级宽 75 cm，第八级宽82 cm，第九级宽89 cm，第十级宽96 cm， 第十一级宽103 cm。
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 )a, ( ab ) , b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
an1
an
an2 2
等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7 6
●
an 2n 4
出x＝？
等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA
b a c 2b= a+c
2
【说明】 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d=
高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第二课时等差数列的性质及其应用课件新人教A版
二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数
列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面 积是多少？
解：(1)设公差为 d(d>0)，BC＝x，则 AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意得xx－ －dd＋ 2＋xx＋2＋x＋x＋dd＝2＝211，79， 解得dx＝＝47， 或dx＝＝－7，4 (舍去)． 所以 AB＝3(cm)，BC＝7(cm)， CD＝11(cm)． (2)正方形的边长组成首项是 3，公差是 4 的等差数列{an}， 所以 a10＝3＋(10－1)×4＝39， a210＝392＝1 521(cm2)． 所求正方形的面积为 1 521 cm2.
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是 常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋
an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数 列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
年12月末人口总数为万，则2019年10月末的人口总数为
等差数列的前n项和公式课件(第二课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
若 a1＞0，d＜0，则 Sn 必有最_大___值，其 n 可用不等式组aann≥＋1≤0，0 来确定； 若 a1＜0，d＞0，则 Sn 必有最_小___值，其 n 可用不等式组aann≤＋1≥0，0 来确定．
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次 函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次 函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an
新课标人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》课件(共14张PPT)
例4、若数列{an}的通项公式为an=42n，求证数列{an}为等差数列。
知识：
1. 概念：等差数列的概念 2. 公式：等差数列的通项公式
数学思想、方法：
特殊到一般的思想、递推思想 、方程思想 等；
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
知识：
1. 概念：等差数列的概念 2. 公式：等差数列的通项公式
数学思想、方法：
特殊到一般的思想、递推思想 、方程思想 等；
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1(第2课时)等差数列的性质及应用 课件
am+an=ap+aq
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习
4.2.2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)
n n1
290 ,解得n 261
10，∴an
29.
∴该数列的项数为210 1 19，数列中间一项是29.
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2 排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
解：由题意可知,该报告厅各排的座位数构成一个等差数列{an }.
和之比为 32∶27，则该数列的公差为________．
解 1：设该等差数列的首项为 a1，公差为 d，由题意可得 12a1＋12×2 11d＝354， 6(a61a＋1＋d)6＋×265×2×52×d2d＝3227， 解得 d＝5.
解 2： 由已知条件，得SS奇 偶＋ ∶SS偶 奇＝ ＝3325∶4，27， 解得SS偶 奇＝ ＝119622，. 又 S 偶－S 奇＝6d，∴ d＝192－6 162 ＝5.
练习：项数是偶数的等差数列{an}的公差为2, 所有奇数项之和是15, 所有
偶数项之和为25,则这个数列的项数是__1_0__.
析 : 设项数为2n项, S偶 S奇 nd,25 15 2n, n 5.
练习：等差数列{an }的前12项和是354, 其中偶数项之和与奇数项之和
的比是32 : 27,则该数列的通项公式an __5_n__－__3______.
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第二课时)
等差数列的判定方法 ①定义法：an1 an d (n N * ) {an}为等差数列
②等差中项法：an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法：an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列
④前n项和公式法：Sn An2 Bn( A, B为常数) {an}为等差数列
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[活学活用]
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝
()
A．14
B．12
C．28
D．36
解析：选C ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4， 又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
.
10
2．已知数列 { a n } 满足
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2.
练习
{a n}
bn
an 2 n1
bn an
a11,an12an2n
数列 an是等差数 ， 列 anp nq(其p中 为公 ) 差
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
等差数列 an 中，若 m n p q, 那么
am
an与 ap
a
间存在什么样的关系？
q
Hale Waihona Puke 等差数列的性质：数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p，则am+an=2ap。
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋
2.2.2等差数列
.
1
知识回顾
定义
A如A果A一AA个A数AA列A从A第AA2项A 起，每一项与
递推公式（定义式）它a前n 一a项n1的差d.(n 等 于N 同).一.个.常. 数. .
等差数列中项公式 通项公式
A ab 2
an=a1+(n-1)d
几何意义
【说明】
等差数列各项对应的点都 在同一条直线上.
a4＋a5＝
()
A．30 B．15 C．5 6 D．10 6
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝
100，则a37＋b37＝
()
A．0 B．37 C．100 D．－37
[解析] (1)∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝
A①公式中 n2,nNdR
②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，
当d=0时，为常函数。
.
2
探究
已知数列{an} 通项公式为an=pn+q (p、q是
常数),那么这个数列一定是等差数列吗？
若把条件和结论互换， 此说法是否仍然成立？
结 论 :数 列 an为 等 差 数 列 anpnq
其 中 p为 公 差 .
判断一个数列是等差数列的常用方法 证明一个数列是等差数列常用的方法有： (1)定义法：利用 an－an－1＝d(常数)(n≥2 且 n∈N＋)等价 于{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N＋)等价于 {an}是等差数列． (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数 列．
.
14
小试牛刀
(1)设 c, b 为常数，若数列{ a n } 为等差数列，则数 列{an b} 及{can b} 为等差数列.
(2) 设 p, q 为常数，若数列 { a n } 、{ b n }均为等差数列， 则数列 {panqbn}为等差数列.
思考：
若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能 看出有什么规律吗？
令bn
1 an
. 2
a1
4,an
4 4 (n2), an1
（1）求证：数列 { b n } 为等差数列； （2）求数列 { a n } 的通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{ b n } 是不是等差数列，
只要看 bnbn1(n2)是不是一个与n 无关的
常数就行了.
【解】 (1)证明：∵bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a14n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12，
5 2
(a2＋a4)＝
5 2
×6＝15.
(2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列， 则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100，即a37＋b37＝100. [答案] (1)B (2)C