等差数列的性质第二课时 +
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等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)
寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(3)
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
§2 2.1 第2课时 等差数列的性质
上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系. 上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系.
这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d 这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d是该 直线的斜率，即自变量每增加1 函数值增加d. 直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. >0时 为递增数列（见下图） 当d>0时，{an}为递增数列（见下图）. >0 an
等差数列的性质 思考1 等差数列的公差可以有几种算法？ 思考1：等差数列的公差可以有几种算法？
d = an −an−1 (n ≥ 2, n ∈ N + )
an −a1 d= n−1
an −am d= n−m
(n ≥ 2, n ∈ N + )
(n, m ∈ N + )
思考2 在等差数列{ 思考2：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap 特别地， ＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.你能得到上述 结论吗？ 结论吗？
）
2、 等 数 51 在 差 列 ,47,43 L ， 一 负 项 （ ，中 第 个 数 为 A第 项 . 13 C第 项 . 12 B第 项 . 14 D第 项 . 15
）
3 已 在 差 列 n}中 a4 =−8,a8 =−20,则 列 n}的 、 知 等 数 {a ， 数 {a 通 公 an = 项 式 .
a =1 a3 =5. , 1
由a3 = a1 +2d =1+2d =5,
解 d = 2, 得
于 an = 2n −1. 是
（2）图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如下图所示. 图像是直线y=2x- 上一些等间隔的点，如下图所示. y=2x
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质
∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1.
返回
8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
返回
解：设这四个数依次为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题设知
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
解析：经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2
＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝
39－6＝33.
答案：D
返回
返回
[例 2]
b＋c a＋c a＋b 1 1 1 已知a，b，c成等差数列，求证： a ， b ， c
也成等差数列． [思路点拨] 欲证三个数成等差数列，只需证中间一项是另
返回
[一点通]
a＋c 三数 a， c 成等差数列的条件是 b＝ 2 b，
(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中 项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
返回
4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，(a＋1)2，a＋3，则
该数列的通项公式是
am－an (2)等差数列{an}中，公差 d＝ (m，n∈N*)． m－n
返回
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成 的数列仍成等差数列． (5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的
返回
返回
[例3]
(12分)四个数成递增等差数列，中间两数的
和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] 四个数成等差数列，且中间两数的和
等差数列的性质及简单应用
即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于 ()
(A)14
(B)21
(C)28
(D)35
解析:(1)因为a3+a4+a5=12, 所以3a4=12,则a4=4, 又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864. 答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
因为 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, 2ak=2a1+2(k-1)d=2a1+(m+n-2)d, 所以 am+an=2ak(m,n,k∈N*).
6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首 末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=…. 7.数列{λ an+b}(λ ,b是常数)是公差为λ d的等差数列. 因为λ an+b=λ [a1+(n-1)d]+b=(λ a1+b)+(n-1)λ d, 所以公差为λ d. 8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列.
9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列. 10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构 成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（2）由等差数列的性质，得 ，所以 ，解得 ，故 .（3）令 ，因为 ， 都是等差数列，所以 也是等差数列．设数列 的公差为 ，由已知得 ，由 ，得 ，解得 ，故 .
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
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(4)a 3 a 4 a5 3a 4
必须一样多
(5)a 3 a 4 a5 4a 3
练习1：已知{na}为等差数列， a4 a6 10,求a5
例：等差数列中，a1 a4 a7 19, a2 a5 a8 13,求a3 a6 a9
性质五、
数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是 等差数列吗？公差是多少？ a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列， 公差为3d。
性质六、
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan} 也为等差数列，公差为kd。 2、若数列{an}与{bn}都为等差数列，则{an+bn} 也为等差数列，{an-bn}也为等差数列， {pan+qbn}也为等差数列。
例：等差数列{an}和{bn}中，a1 34, b1 66, a98 85, b98 15, 求a2008 b2008
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
an1
an
an2 2
思考
1 .如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，
那么这个数列是不是等差 数列呢？
2 .在同一坐标系中，作出等差数列 （p,q 是常数）的图像与
函数 f x px q 的图像之间有什么关 系？
性质一、 d=an-an-1 an-am=（n-m）d
性质二、
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a 3 a5 a1 a7
可推广到三项， 四项等
(2)a 1 a 4 a6 a3 a8
注意：等式两
(3)a 1 a5 a6 a 2 a3 a7 边作和的项数
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等 差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a1，a3，a5，……是等差数列 首项为a1，公差为2d
取出的是所有偶数项呢？
a2，a4，a6，……是等差数列 首项为a2，公差为2d
性质五、
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数 列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+a1，公差为d a1，a2，a3，……an
（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列， 是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a7，a14，a21，……是等差数列 首项为a7，公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢？
ak，a2k，a3k，……是等差数列 首项为ak，公差为kd
性质五、
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗 公差是多少？ a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d
复习： 1、等差数列的概念； 2、等差数列的定义式；
d=an-an-1
3、等差数列的通项公式。
an=a1 +(n-1)d
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
( 3 ) a, ( a b ) , b