(图形的分割与组合)
中班图形分割与组合教案
中班图形分割与组合教案第一章：认识图形教学目标：1. 让学生认识和了解各种基本的二维图形，如圆形、正方形、长方形、三角形等。
2. 培养学生对图形的观察和描述能力。
教学内容：1. 导入新课，向学生介绍各种基本的二维图形。
2. 让学生观察和描述这些图形的特征，如边长、角度、曲直等。
3. 通过实物展示、图片观察等方式，帮助学生理解和记忆图形的名称和特征。
教学活动：1. 准备一些图形卡片，让学生观察并说出图形的名称。
2. 让学生分组，每组选择一种图形，观察和描述该图形的特征。
3. 进行小组讨论，让学生分享各自的观察结果。
评价方法：1. 观察学生在观察和描述图形时的表现，看他们是否能准确地表达图形的特征。
2. 让学生进行小组讨论，看他们是否能有效地与他人交流和分享自己的想法。
第二章：图形分割教学目标：1. 让学生掌握图形的分割方法，提高他们的空间想象力。
2. 培养学生动手操作能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生思考如何将一个图形分割成几个部分。
2. 让学生动手操作，实际尝试将图形分割成不同的形状。
3. 通过实际操作，让学生理解和掌握图形的分割方法。
教学活动：1. 准备一些图形卡片，让学生尝试将卡片上的图形分割成不同的形状。
2. 让学生分组，每组选择一种图形，尝试分割成不同的形状，并展示给其他小组。
3. 进行小组讨论，让学生分享分割图形的方法和经验。
评价方法：1. 观察学生在分割图形时的表现，看他们是否能准确地分割出不同的形状。
2. 让学生进行小组讨论，看他们是否能有效地与他人交流和分享自己的想法。
第三章：图形组合教学目标：1. 让学生掌握图形的组合方法，提高他们的空间想象力。
2. 培养学生动手操作能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生思考如何将几个图形组合成一个大的图形。
2. 让学生动手操作，实际尝试将几个图形组合成一个大的图形。
3. 通过实际操作，让学生理解和掌握图形的组合方法。
教学活动：1. 准备一些图形卡片，让学生尝试将卡片上的几个图形组合成一个大的图形。
中班数学教案图形分割与组合
中班数学教案图形分割与组合【篇一】中班数学教案图形分割与组合活动目标：1、尝试对正方形、长方形等几何图形进行分割。
2、探索图形分割的不同形式，能用语言表达和交流探索的过程和结果。
活动准备：1、知识经验准备：幼儿已经认识各种简单的几何图形，如：正方形、长方形、三角形、圆形等，了解图形拼合的方法。
2、物质准备：房子图、正方形、长方形、三角形、半圆形的图形、剪刀、固体胶。
活动过程：一、以“老师的新家安装玻璃”引入活动，引发幼儿参与活动的兴趣。
师：老师最近要搬新家，但是太忙了还没装修完，瞧，窗户的玻璃还没有安装好，所以想请你们来帮忙，愿意吗?二、幼儿操作，尝试分割几何图形。
(一)、第一次操作1、引导幼儿根据观察窗户的不同形状，尝试用自己的方法安装玻璃。
师：我们一起来看看这些窗户都是什么形状的?找一找有没有合适的玻璃?这该怎么办?怎样才能剪得刚刚好又不浪费材料?你们都说很多的方法，我们一起来试一试吧!(1)、观察比较窗户与玻璃的不同。
(2)、发现问题：想想怎样才能让每块窗户都安上合适的玻璃。
2、幼儿操作，师观察指导。
3、交流分享。
(1)、师：是怎么安装玻璃的?这个图形是怎么来的?你来试试，先折一下然后比一下，合不合适，好的合适了，我们就剪下来。
(2)、你把什么图形分割成什么图形?分割成几块?(3)、这个窗户还没有安装上玻璃，谁来试一试?正方形变成几个三角形?两个三角形合在一起又变回什么形状?(4)、你用什么方法来制作玻璃的，直接剪这种方法好用吗?为什么?那折了再剪和直接剪哪种方法比较不浪费材料呀?(5)、原来我们要对角或者对边折一折、压一压、然后打开沿着直线剪下来。
4、发现图形分割的简单关系小朋友真能干，原来正方形能分割成两个长方形也能分割成两个三角形，圆形能分割成两个半圆形，无论这些形状怎样分割，合起来都能变回原来的大图形，这回帮老师解决了大难题。
活动延伸区域活动中鼓励幼儿用图形分割或者拼合的方式制作自己喜欢的`玻璃安装窗户。
大班数学详案教案及教学反思《图形的分割与组合》
大班数学详案教案及教学反思《图形的分割与组合》一、教学目标知识目标1.了解图形的分割与组合的概念；2.掌握图形的分割与组合的方法；3.运用图形的分割与组合的方法解决问题。
能力目标1.能够通过观察、找规律的方式进行图形的分割与组合；2.能够根据图形分割的部分计算面积。
情感目标1.培养学生对数学的探索兴趣；2.培养学生对合作学习的认识。
二、教学重点1.图形的分割；2.图形的组合；3.面积的计算。
三、教学难点1.组合图形的面积计算；2.提高学生对图形分割的观察能力。
四、教学过程1. 导入（10分钟）1.教师播放一些有趣的图形分割的视频，引起学生的兴趣；2.教师出示已经分割好的一些图形，让学生分别观察，然后询问学生这些图形是如何分割得到的。
2. 讲解图形分割的方法（10分钟）1.教师向学生介绍图形的分割方法和技巧；2.教师出示几个具体的图形，让学生尝试分割。
3. 组合图形（15分钟）1.教师出示几个分割好的图形，提醒学生这些图形是否可以组合成新的图形；2.学生与同桌合作尝试组合图形。
4. 面积计算（20分钟）1.教师出示一个已分割好的图形，引导学生按照分割的部分计算面积；2.教师出示更复杂的图形，让学生运用所学知识进行面积计算。
5. 小结（5分钟）教师向学生总结本节课所学内容。
五、教学反思该课的难点在于如何提高学生的图形分割能力和面积计算能力。
教师利用视频和具体例子来引导学生探究图形分割方法，使学生在观察图形时，能够发现其中的规律。
在组合图形环节中，采用小组合作学习方式，使学生彼此交流想法，加深了对图形组合的理解。
在面积计算环节中，让学生运用所学知识进行实际计算，达到了培养学生计算能力的目的。
在教学过程中，也需要注意学生的情感目标，尤其是对于不喜欢学习的学生，需要教师做好激发学生学习兴趣的工作。
同时也需要真正关心学生的学习、生活以及情感体验，让学生感知到老师对他们的关注和关怀，提高学生的学习热情和学习主动性。
图形的拆分和组合
图形的拆分和组合
汇报人：XXX
目录
CONTENTS
01 图形的拆分
02 图形的组合
03 图形的拆分与组合 的应用
04 图形的拆分与组合 的技巧
05 图形的拆分与组合 的注意事项
图形的拆分
拆分定义
拆分：将图形分解 成多个部分或元素
目的：便于理解和 处理图形
方法：使用几何工 具或算法进行分解
拆分实例
圆形拆分：将圆形 分为两个半圆
正方形拆分：将正 方形分为四个等边 三角形
长方形拆分：将长 方形分为两个矩形
三角形拆分：将三 角形分为三个等边 三角形
提高图形的灵活性和可塑性
拆分意义
便于对图形进行修改和优化
增强图形的视觉效果和表现力
便于对图形进行复制和粘贴，提高工作效率
图形的组合
图形的拆分与组合的技 巧
色彩搭配
色彩对比：使用对比色来突出重点，如红绿、蓝黄等 色彩协调：使用相近色或同色系来保持整体和谐，如蓝绿、红橙等 色彩平衡：注意色彩的分布和比例，避免过于单调或杂乱 色彩渐变：使用渐变色来增加层次感和立体感，如从浅到深、从冷到暖等
旋转：将图形围绕某个点 旋转一定角度
形状变化
基本概念：点、 线、面、体、颜 色、纹理等
技术方法：几何建 模、光照模型、纹 理映射、动画技术 等
艺术创作
抽象画：通过图形的拆分与组合， 创造出独特的艺术风格
拼贴画：将不同的图形进行拆分 与组合，形成独特的视觉效果
插画设计：利用图形的拆分与组 合，设计出独特的插画作品
海报设计：通过图形的拆分与组 合，设计出独特的海报作品
遵循美学原则
保持图形的简洁性和统一性 注意图形的比例和布局 避免过度装饰和复杂化 考虑图形的色彩搭配和视觉效果
数学领域图形分割与组合
内
容
中班数学活动：ห้องสมุดไป่ตู้形的分割与组合
活
动
目
标
1.初步了解平面图形之间的简单关系。
2.能对各种图形进行简单的分割与组合，感知整体与部分的关系。
活
动
准
备
每组一份长方形、正方形、圆形等图片
活
动
过
程
一、复习已经认识过的几何图形
你们能找出我们班上的几何图形吗？它们都在哪里？
二、出示正方形纸，尝试理解图形分割
调整策略：
1.给幼儿提供的剪刀应该及时更换。
2.区域活动中，尝试投放相应地操作材料，帮助幼儿巩固概念。
6.分享交流：你刚才是怎么分割的？上来演示给大家看好吗？
三、幼儿操作，尝试理解图形组合
师：分割的图形要拼成原来的大长方形图形怎么拼，组合后的图形和分割前的图形一样大吗？
1.引导幼儿将分割的图形还原。
教师小结：将一个图形分割后在组合起来的图形和原来的一样大，分割后的部分图形小于原来的图形。
四、分组操作，教师指导。
2.结构时引导幼儿利用各种形状的积木拼搭各种建筑物，进一步感知整体与部分的关系。
反馈
观察分析：本次活动是让幼儿在一次又一次的动手操作过程中理解图形分割和组合的概念，所用的材料并不多，当却是一物多用。幼儿对同一图形进行反复多次的操作，对于这两个概念的形成，我觉得作用还是相当大的，既关顾了守恒，在守恒概念的基础上，进行地分割和组合，避免了无端的干扰，我觉得效果还是相当好的。
启发提问：刚才陈老师是用什么办法，把正方形分割成了两个长方形？
5.幼儿操作
那现在，陈老师想得到两个三角形，你们有什么办法吗？你们来试试看好吗？
（1）幼儿操作。
大班数学详案教案及教学反思《图形的分割与组合》
大班数学详案教案及教学反思《图形的分割与组合》一、教学目标1.让学生掌握折叠正方形纸张的方法；2.培养学生观察、分析和思考的能力；3.培养学生合作学习和交流的能力；4.引导学生对图形的分割和组合进行思考和探索。
二、教学内容1.复习正方形的定义和性质；2.学习折叠正方形纸张的方法；3.探究不同形状的图形的分割和组合方式。
三、教学过程1. 导入新课教师出示一张正方形的纸张，并向学生介绍正方形的定义和性质。
让学生回忆正方形的特点，并提醒学生正方形的对称性。
2. 学习折叠正方形纸张的方法教师向学生示范折叠正方形纸张的方法，并引导学生一起操作。
让学生注意观察纸张折叠后的形状变化，并思考折叠前后的关系。
3. 探究图形的分割和组合方式3.1 分组讨论将学生分成小组，每组将会分配一张正方形纸张和剪刀。
教师提供不同的图形模板给学生，让学生将纸张按照模板要求进行剪裁，并将剪下的部分进行图形拼合。
3.2 组内合作在小组内，学生根据图形模板和剪裁下来的图案，进行合作拼贴。
鼓励学生提出自己的创意和想法，并进行讨论和交流。
教师可以提供必要的指导和提示。
3.3 结果展示每个小组完成后，教师组织学生进行展示。
学生可以分享自己的作品和心得体会，并向其他小组提出问题和建议。
四、教学反思本次课程的教学目标达到了预期效果。
学生通过折叠和剪裁纸张，探索了图形的分割和组合方式，培养了观察、分析和思考的能力。
在小组合作过程中，学生也锻炼了合作学习和交流的能力。
教学过程中，我发现有些学生在剪裁纸张和图形拼合的过程中遇到了困难。
下一次教学中，我计划增加一些练习环节，让学生在纸张上进行简单的练习，以提高他们的剪裁和拼贴技能。
此外，教学过程中我还发现有些学生对于图形的分割和组合缺乏想象力和创造力。
下一次课程中，我会引导学生观察和思考更多的图形，培养他们的想象力和创造力。
总体而言，本次课程教学效果良好，学生对图形的分割和组合有了更深入的理解。
我将持续优化教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。
图形的分割与组合
再考虑形状．如果能将图12—4先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其中的一个再分成两个面积相等、形状相同的图形,那么达到目的了．
图形的分割与组合
图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割与组合问题不仅可以增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学的思维能力，而且还有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设计都有一定的用处．
例1将图12—1所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形．
除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。所以对
余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。对6=2+4而言，可先从原三角形
分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。
解法1将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见图10-1。
第一种，将图10-4中不规则的那块图形，按图10-5中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-6。
第二种，将图10-4中的长方形图形，按图10-7中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-8。
例3有一块长24米、宽15米的长方形地毯，现在要把它移到长20米、宽18米的新房间里去。问是否可以找到一种剪裁法，把长方形地毯分成形状与面积都一样的两块，拼合后正好能铺满新房间的地面？
解：按图12—9中的粗线将长方形分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的长方形，见图12—10．
例4图12—11是一块正中间开有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示（单位：厘米）．把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的桌面，如何切分．
第23讲_图形的分割与拼接(含答案)
“图形的分割与拼接”专项复习本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【典型例题】板块一图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 1 4 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．AB C C B AABC【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．AB CC B ABA【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．→【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DCB A 1FE 221D C BA【解析】 直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？2060402020【解析】 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．【例 7】 下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】 分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例 8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【例 9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是5 4个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【解析】 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例 11】 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．666555444333222111【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥 【解析】 图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．本读数奥答案不唯一．【例 15】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【解析】 如下图所示：图1答案不唯一．【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学 （5）（4）（3）（2）（1）【解析】 看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角22⨯的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉． 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：考思习学考思学习学考思习学考思习学习思考考思习学考思习学考思习学【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1 图2【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位．即每一块都由9个小正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”．②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心点旋转90、180、270得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线．③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转180后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号(横线阴影)，如图．对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一块都有9个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图．④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“⨯”．那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分．于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分．空白部分是另外两块． 下就是最后分得的结果．【例 19】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【解析】采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【巩固】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FE D CB AFE D CBA【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例 20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有1553÷=(个)小正方形，如图．⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822-=(厘米)．图1【例 21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．【例 22】(2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【解析】分割的方法不唯一，如图所示．【例 23】(2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【解析】分割的方法不唯一，如右图所示．板块二图形的拼合【例 24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：→→→【例 27】 有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【解析】 利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成．→→【例 28】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A ) (B ) (C )已有A 型板30块，要购买B 、C 两种型号板若干，拼成55⨯正方形10个，B 型板每块价格5元，C 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B 、C 两种板要花多少元？【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有30个A 型板最好能用上，而价格较贵的B 型板尽可能少用，因为A 型与B 型的面积都为3，所以在拼成的55⨯的正方形中，除了C 型外，余下的面积应能被3整除．有25449-⨯=或254121-⨯=能被3整除知，只能用4块C 型板或1块C 型板，考虑尽可能多地使用A 型板，有如下图1、图2 的拼法：BC CCC B AAAAAA BCA图1 图2图1的拼法要花445226⨯+⨯=(元)，图2的拼法要花459+=(元)，因为只有30块A 型板，所以在10快55⨯的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：94266192⨯+⨯=(元)【例 29】 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．【解析】 把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三 图形的剪拼【例 30】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】 要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 31】 把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】 因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的。
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• 练习.将下图分割成形状相同，大 小相等的两块，并且每一块中都包 含A.B.C.D四个字母，该如何分？
C A B B
C D D
A
C B B
C D D
A
总结
• 1.将一个方格分成形状相同，大小相等的 两块，那么这两块在方格中心是中心对称 的。（即其中一块已正方形中心点位圆心 旋转180°之后与另一块重合。） • 2.将这两块分割开的分割线只有一条，并 且不会出现交叉，并且也是中心对称的。
思考
• 例题中的正方形还可以分成怎样的两块， 使得两块图形的形状和大小都相同，并且 每一块中都含有A.B.C.D.E五个字母？（和 例题的分法不能相同）
•谢谢
图形的分割与组合
• 杨静
你能将它剪成形状相同，大小相等的两块图形吗？
将一个图形分成形状相同，大小相等的两块时，那么 这两块图形在原图形中是中心对称的。（其中一块以 原图形中心旋转180°后与另一块完全重合）。
• 第一步：给相邻的同样的字母之间画线， 把它们分开，因为它们必定在两块上。
• 第二步：因为分割线是中心对称的，所以 将对称位置的分割线补齐。
• 第三步：将所给字母分成两类，分别为 A.B.C.D.E，把这一组字母连接到一起。
E
B D A A E B C C D
• 第四步：填充颜色。（空白部分可有 多种选择，只要保证能够对称即可）
步骤 • 第一步：给相邻的同样的字母之间画线， 把它们分开，因为它们必定在两块上。 • 第二步：因为分割线是中心对称的，所以 将对称位置的分割线补齐。 • 第三步：将所给字母分成两类，分别为 A.B.C.D.E，把这一组字母连接到一起。 • 第四步：填充颜色。（空白部分可有多种 选择，只要保证能够对称即可）