实数题型总结解析
实数题型总结
一、填空题
1、 .平方根
（1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的________.0
的算术平方根是_____。
（2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。
（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是
_____；负数_____平方根。
（4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。
2、.立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。
（2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；
负数的立方根是_____。
（3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。
3、实数
（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。
（2）实数的定义： _____和_____统称实数。
（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。
（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。
（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。
4、已知实数x ，y 满足2=0，则x-y 等于
5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是
6、若2
a =25,
b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是
7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是
8、若 a a -=2，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。
10、当x 时，式子21
--x x 有意义.
11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简=
x 1-
12、若x x =3，则=x ；若x x =3，则=x
13、已知52-=a ,则a 的相反数是 ； a 的倒数是 ；若在数轴上表示a ,它在原点的 侧(填“左”或“右”)；且到原点的距离是
14、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ，则代数式
a c
b -的值是 。 15、 10在两个连续整数a 和b 之间, a ﹤10﹤b ,那么a 、b 的值分别是
16、有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为 cm 。
17、 已知的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2-b 2的值.
18、若∣2a-5∣与
互为相反数，则a=______，b=_____。 19、
52-的相反数是 ；绝对值是 。 20、若x x +-有意义，则1x += ，绝对值小于7的整数有____________．
21、、绝对值小于18的所有整数是
22、一个正整数的算术平方根为a ，则比这个正整数大3的数的算术平方根是 23、-27 的立方根与的平方根之和是
24、4的立方根是 ；
的算术平方根是______ 25、已知x 、y 都是实数，且334y x x =--，则x y 的平方根是 。
26、已知16)2(2=x ，y 是2)5(-的正的平方根，则代数式y
x x y x x
-++的值是 .
27、若m 80是一个正整数，则正整数m 的最小值是_______；若3120n 是一个正整数，则正整数n 的最小值是_____
28、已知242+=-+-m m m ，则m 的值是_________.
29、代数式21-+-+a a a 的最小值是__________
30、有四个无理数：8,7,6,5，其中在1312++与之间的数有____个.
31、，，，，已知：
24
552455154415448338333223222222?=+?=+?=+?=+ …，若符合前面式子的规律，则。10102+=?+=b a b a a b 二、选择题
1、下列语句中，正确的是（ ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
2、下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，
④()4832±=±。其中正确的有
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、下列说法中正确的是（ ）
A ．9的平方根是3
B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±2
4、下列结论正确的是（ ）
A 6)6(2-=--
B 9)3(2=-
C 16)16(2±=-
D 251625162
=???? ??-- 5、下列语句中正确的是（ ）
A 、任意算术平方根是正数
B 、只有正数才有算术平方根
C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D 、1-是1的平方根
6、下列说法
⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数
⑷两个无理数的和还是无理数 。其中错误的有（ ）个
A 、 3
B 、 1
C 、 4
D 、 2
7、如果x x -=2成立的条件是（）
A 、x ≥0
B 、x ≤0
C 、x >0
D 、x <0
8、下列说法错误的是（）
A 、2a 与2)(a -相等
B 、a 与a -互为相反数
C 、3a 与3a -是互为相反数
D 、a 与a -互为相反数
9、若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )
A. －a 2
B. －( a +1)2
C.－2a
D.－(a -+1）
10、 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）
A.
5－2 B. 2－5 C. 5－3 D.3－5
11、若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ）
A.－ a
B. －3a
C. a
D. 3a
12、给出下列说法：①6-是36的平方根；②16的平方根是4；③3
322--=；④327是无理数；⑤一个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（ ）
Ａ．①③⑤ Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．①
13、 以下四个命题
①若a 是无理数，则a 是实数；②若a 是有理数，则a 是无理数；③若a 是整数，则a 是有理数；④若a 是自然数，则a 是实数．其中，真命题的是（ ）
Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③
Ｄ．④ 14、已知实数a 满足19921993a a a -+-=，则21992a -的值是（ ） Ａ．1991 Ｂ．1992 Ｃ．1993 Ｄ．1994
15、下列说法中正确的是（ ）
A 、的平方根是±3
B 、1的立方根是±1
C 、=±1
D 、是5的平方根的相反数
16、下列各数中，与3 ）
Ａ．23+ Ｂ．23 Ｃ．23-+317、
（江西省）已知：n 24是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
18、下列计算错误的是( )
A ．27714=?
B ．32560=÷
C ．a a a 8259=+
D.3223=- 19、下列计算中，正确的是（ ）
A.23+32=55
B.（3+7）·10=10·10=10
C.（3+23）（3－23）=－3
D.（b a +2）(b a +2)=2a +b
20、下列计算正确的是（ ）
A 16 4
B ．22
C ．24÷6
D 23·6=2
21、 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图1），即“以数轴的单位线段为边
做一个正方形，然后以O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴上于一
点A”。则OA 的长就是2个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？
A.数轴上的点和有理数一一对应
B.数轴上的点和无理数一一对应
C.数轴上的点和实数一一对应
D.不能说明什么
三、计算
(1)、计算：(1)103124932012-?+--?-
(2)2
020121425+1+3π-??+---- ???（）（）
（3）化简：
四、解答题 1、已知
05)25(22
2=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
2、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 、y 满足04422=+++-y y x ，求
2008220092()()()2a b x cd y a b cd y xy +-+++-的值．
3、如图，数轴上表示1和2的点分别为A 和B ，点B 关于点A
的对称点为C ．设C 点所表示的数为x ，求(x+1)(x-1)的值．
实数章节常见题型归纳
实数章节常见题型 一、实数的有关概念及分类 1. 实数3 2-，0，π- ,3.1415926，73，3，33-中无理数有m 个，则=m ---（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2. 下列各数中，不是无理数的是 （ ） A 7 B 0.5 C 2π D 0.151151115…）个之间依次多两个115( 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 32 是分数 4、下列语句中正确的是【 】 (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 5． -的相反数是________，-的相反数是____________。 6．以下说法错误的是( ) A. 是无理数 B. 是无限不循环小数 C. 是实数 D. 是无限循环小数 7．若a 是1- 的相反数，则a 的值为（ ） A.1+ B.—1— C.—1+ D.以上都不是 8．边长为2的正方形的对角线长是（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 9 _________的相反数等于它本身； _________的绝对值等于它本身； _________的倒数等于它本身； _________的平方等于它本身； _________的立方等于它本身； _________的平方根等于它本身； _________的立方根等于它本身； _________的偶次方根等于它本身； _________的奇次方根等于它本身； 10、 5、7分别介于哪两个正整数间？ 请写出3个大小在3和4之间的无理数。
实数题型总结
实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的 ________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是 _____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____； 负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2 =0，则x-y 等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 6、若2 a =25, b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是 7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 8、若 a a -=2 ，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。 10、当x 时，式子21 --x x 有意义. 11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简 = 12、若x x =3 ，则=x ；若x x =3，则=x x 1-
实数知识点+题型归纳
第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为 1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 a | |a
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。 数a 的立方根用3a表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 四、实数的运算 有理数的加法法则： a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零． b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则：
七下实数提高题与常考题型压轴题(含解析)-
实数提高题与常考题型压轴题(含解析) 一．选择题（共15小题） 1．的平方根是（） A．4 B．±4 C．2 D．±2 2．已知a=，b=，则=（） A．2a B．ab C．a2b D．ab2 3．实数的相反数是（） A．﹣B．C．﹣D． 4．实数﹣π，﹣，0，四个数中，最小的是（） % A．﹣πB．﹣C．D．0 5．下列语句中，正确的是（） A．正整数、负整数统称整数 B．正数、0、负数统称有理数 C．开方开不尽的数和π统称无理数 D．有理数、无理数统称实数 6．下列说法中：（1）是实数；（2）是无限不循环小数；（3）是无理数；（4）的值等于，正确的说法有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（） A．2 B．C．﹣2 D．﹣ * 8．的算术平方根是（） A．2 B．±2 C．D． 9．下列实数中的无理数是（） A． B．C．πD．﹣8 10．关于的叙述，错误的是（）
A ．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C ．=2 D ．在数轴上可以找到表示的点 11．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）] A．a?b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 12．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（） A．p B．q C．m D．n 13．估计+1的值（） A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间14．估计的值在（） A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间 15．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： @ 指数 运算 21=222=423=8…31=332=933=27… 新运算 、 log22=1 log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3… 根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log 2=﹣1．其中正确的是（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ }
实数知识点及典型例题练习题总结
（4）《实数》知识点总结及典型例题练习题 第一节、平方根 1. 平方根与算数平方根的含义 平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。 ２.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 0<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)() ) 0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 典型习题： （1）求算数平方根与平方根 1:求下列数的平方根 36 （-4）2 0 10
2:求eg1中各数的平方根 （2）解简单的二次方程 3:2 81250x -= 4 :4(x+1)2=8 （3）被开方数的意义 5:若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1) 6:实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a （4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 考点： 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x 8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义 9: x -11 10.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-x D 、11≥-≤或x (5)非负性 知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
实数题型总结解析
实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的________.0 的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是 _____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____； 负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x ，y 满足2=0，则x-y 等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 6、若2 a =25, b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是 7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 8、若 a a -=2，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。 10、当x 时，式子21 --x x 有意义. 11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简= x 1-
新人教版七年级数学下册《实数》题型分类归纳
班级： 姓名： 《实数》知识点比较： 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4）0.0025 （5）0 （6） 2 （7）()26- 例2、求下列各数的平方根。
（1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4）0.0025 （5）0 （6） 2 （7）()26- 例3、求下列各数的立方根。 （1）1000 （2）278 （3）27 10 2 （4）0.001 （5）0 （6）2 （7）()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22= （2）256 169 - = （3）0196.0= （4）2224-25-= （5）327--= （6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+ （2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性? ??≥≥00 a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 2 1 6- 6- 2)6(- 6- a 2a a 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________ （2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。
（2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。 例5、若031x 2=+++y ，求2 y x ）（+的值。 例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2 ）（y x -的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空： ______ 52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则 ①________00236.0_______;236== ②若__________,04858x ==x ③若153610a 6=?，求a 的值。 例3、若b ==337,a 15，则 ____37000____,15.03==。 类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。 例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？ 例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根 类型六、解方程。 例1、求下列各式中的x 的值： （1）2x =196； （2）010x 52=-； （3）025336 2 =--）（x 。
第六章实数知识点归纳典型例题
第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于a ，即 ，那么这个正数x 叫 做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”，a 叫做 ． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x ≥0)中，规定a x = 。 理解： a x =2 (x ≥0) a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 2. a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)； 4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法： ） 二、平方根 1. 平方根的定义：如果 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的 ．即：如果 ， 那么x 叫做a 的 ． 理解： a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 ．开平方运算的被开方数必须是 才 有意义。
3. 平方与开平方 ：±3的平方等于9，9的平方根是±3 4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算 5. 符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果 的 等于a ，这个数叫做a 的 （也叫 做 ），即如果 ，那么x 叫做a 的立方根。 2. 一个数a “三次根号a ”， 其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 理解： a x =3 <—> 3a x = a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即) 0a =>。 四、实数 1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
《实数》题型分类归纳
《实数》知识点比较： 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2） 6449 （3）16 9 1 （4）0.0025 （5）0 （6） 2 （7）()26- 例2、求下列各数的平方根。 （1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4）0.0025 （5）0 （6） 2 （7）()26-
例3、求下列各数的立方根。 （1）1000 （2） 27 8 （3）27102 （4）0.001 （5）0 （6）2 （7）()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22= （2）256 169 -= （3）0196.0= （4）2224-25-= （5）327--= （6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+ （2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性? ??≥≥00 a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 2 1 6- 6- 2)6(- 6- a 2a a 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________ （2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。
（2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。 例5、若031x 2=+++y ，求2 y x ）（+的值。 例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2 ）（y x -的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空： ______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则 ①________00236.0_______;236== ②若__________,04858x ==x ③若153610a 6=?，求a 的值。 例3、若b ==337,a 15，则 ____37000____,15.03==。 类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。 例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？ 例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根 类型六、解方程。 例1、求下列各式中的x 的值： （1）2x =196； （2）010x 52=-； （3）025336 2 =--）（x 。
实数题型总结
实数题型总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分： ________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x，y满足2=0，则x-y等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方根等于它本身，这个数
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结
一、知识归纳 （一）平方根与开平方 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。 即X2二a , X叫做a的平方根。 2. 平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a的平方根用一，a表示，叫做正平方根，也称为算术平方 根，-'七叫做a的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：-、a（根指数2省略） ■ 0有一个平方根，为0,记作= ° ;负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a的平方根的运算。 l ,a a^o _ 卞a = a 「a a c0 W a $ = a a 王0 ⑷'a的双重非负性 a_0且a-0（应用较广） 例：、.x-4「4-x =y 得知x=4, y =0 ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相 应地向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为-------- 4的平方根为------ -4二—— 完全平方类 *非完全平方类 3计算ja的方法精确到某位小数*若a nb〉0,贝＞v'b （二）立方根和开立方 1 .立方根的定义 如果一个数的立方等于a,呢么这个数叫做a的立方根,记作3 a. 2.立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0 . 3. 开立方与立方求一个数的立方根的运算。 a 写a3 = a a = -Va 0的平方根和立方根都是0本身。 （三）推广：n次方根 1 .如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a,这个数就叫做a的n 次方根。 当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。 当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。 2 .正数的偶次方根有两个：-殳a；0的偶次方根为0： 有偶次方根。 北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结4丄 ■. 9 3 、仁、 开立方: （需i（a取任何数）
新人教版七年级数学下册实数题型分类归纳
新人教版七年级数学下 册实数题型分类归纳 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
班级： 姓名： 《实数》知识点比较： 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4） （5）0 （6） 2 （7）()26- 例2、求下列各数的平方根。 （1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4） （5）0 （6） 2 （7）()26- 例3、求下列各数的立方根。
（1）1000 （2） 278 （3）27 10 2 （4） （5）0 （6）2 （7）()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22= （2）256 169 -= （3）0196.0= （4）2224-25-= （5）327--= （6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+ （2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性? ??≥≥00a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________ （2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。 （2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。 例5、若031x 2=+++y ，求2 y x ）（+的值。 例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2 ）（y x -的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空： ______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则
(完整版)《实数》题型分类归纳
《 实数》知识点比较： 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2） 6449（3）16 9 1（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。 （1）100（2） 6449（3）16 9 1（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26-
例3、求下列各数的立方根。 （1）1000（2）27 8 （3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22=（2）256 169 -=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+（2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性? ??≥≥00a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________（2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。 （2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。 例5、若031x 2=+++y ，求2y x ）（+的值。 例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2 ）（y x -的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空：______52170______05217.0==
七下实数提高题与常考题型压轴题(含解析)-
实数提高题与常考题型压轴题(含解析) 一.选择题(共1５小题) １.的平方根是（） A.4? B.±４? C.2?D．±2 ２．已知ａ＝,b=，则=（） A.2ａ?Ｂ．aｂ?C．a2b?D.ab２ 3．实数的相反数是( ) A．﹣B． C.﹣?D． 4．实数﹣π,﹣3.１４,0，四个数中,最小的是( ） A.﹣πB．﹣3.1４C.Ｄ.0 5.下列语句中,正确的是（) Ａ.正整数、负整数统称整数 B．正数、０、负数统称有理数 C.开方开不尽的数和π统称无理数 D．有理数、无理数统称实数 6.下列说法中：（1)是实数;(2)是无限不循环小数；（3）是无理数;（4)的值等于2.236，正确的说法有（) A.4个?B．3个C．2个?D．１个 7.实数a、b满足+4ａ2+4ab+b2=0,则b a的值为（) A．２B．?C．﹣２Ｄ．﹣ ８.的算术平方根是() Ａ.2?Ｂ.±2?C．?D. 9.下列实数中的无理数是（） A.0．7 B. C.π?D．﹣8 10．关于的叙述，错误的是（) A.是有理数 Ｂ．面积为12的正方形边长是
C ．=2 D.在数轴上可以找到表示的点 １1．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是( ) A．ａ?b>０Ｂ.a＋b<0?C.|a|＜|ｂ|Ｄ．ａ﹣b＞０ １2.如图,四个实数m,n,ｐ,ｑ在数轴上对应的点分别为M，N，Ｐ，Q,若n+q=0，则m,n，p,q四个实数中,绝对值最大的一个是（） A.p B.ｑ?C．m?D．n 13.估计+1的值（) A．在1和２之间B．在2和3之间C．在3和4之间Ｄ.在4和５之间 １4．估计的值在( ） A．2和3之间?B.３和４之间 C.4和5之间?D．5和6之间 １５.我们根据指数运算，得出了一种新的运算,如表是两种运算对应关系的一组实例: 指数 运算 21=222=42３=8…３1=３32=93３=2７… 新运算log２2= １ log24= ２ ｌog ２ ８ =３ …ｌｏg３ 3=1 lｏg39＝ ２ log327= ３ … 根据上表规律，某同学写出了三个式子:①log216＝4，②lｏｇ525=5,③log 2=﹣1.其中正确的是（) A.①②? B.①③? C.②③D．①②③ 二.填空题(共１0小题） １6.﹣2的绝对值是． 17．在﹣4，,0，π，1,﹣，１.这些数中,是无理数的是． １８.能够说明“=x不成立”的x的值是(写出一个即可). 19．若实数x,y满足（2x+3）2+|9﹣４y|=0,则xy的立方根为.
实数复习题型总结
【例1】 若正数m ，n 满足43m n += 【例2】 1 ()2x y z =++，求x 、y 、z 的值． 【巩固】 设32 a b c +++=，求代数式222a b c ++的值． 【巩固】 设,,a b c 是实数，若14a b c ++=，则2bc =________. 【例3】 的值. 【巩固】 化． 【例4】 练习 1． 2-=的值为__________． 2.2=的值为__________． 练习 2． 【例5】 1的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b a b ++的值. 【例6】 99-a 和b ，求348ab a b -++的值. 【例7】 x ，小数部分为y ，试求1 x y y ++的值= . m 的值. 【例8】 已知1x =222111 x x x x x ++- --的值 【例9】 已知x =，求6543234x x x x ---+-+的值。 【例10】 当 a =，求代数式2963a a a -++-的值. 【例11】 先化简，再求值：22 111 1121 x x x x x +-÷+--+，其中1x =． 【例12】 比较大小：
【例13】 实数-3-的大小关系是 .（用“＞”表示） 【例14】 比较大小：a ，b ______a b 【例15】 已知M =N M 与N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N < C. M N = D. M N ≤ 【例16】 M N =M 与N 的大小关系. 【例17】 已知1c >，x =y =z x ，y ，z 的大小. 【例18】 比 【例19】 比 【例20】 比. 【例21】 下列分母有理化计算. ==， …从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： 1) 2002++. 【例22】 计 2003++ 【例23】 设... M +， 123456...19931994N =-+-+-++-，则 () 2 1N M =+_________． 【例24】 化 10099+ + 【例25】 计 2025+ + = 【例26】 计 2007+
实数题型分类归纳
《实数》知识点比较 类型一：求值 例1求下列各数的算术平方根。 49 9 小2 （1）100 （2）（3）1三（4）0.0025（5）0（6）2（7）-6 64 16 例2、求下列各数的平方根。 49 9 2 （1）100（2）（3）1—（4）0.0025（5）0（6）2（7）-6 64 16 例3、求下列各数的立方根。 10 3
（1）1000（2）—（3）2 —（4）0.001 （5）0（6）2（7）-6 27 27 类型二：化简求值
例1、求下列各式的值。 (1) .22 = (2) - 169= (3) .0.0196 = V256 (4) - ,252 -242 = (5) -3- 27 = (6) 3729 3512 = 例2、求下列各式的值 (1)、.25-,42(-2)2(2) . 0.0001 104.(-6)2 .0.22 a 0 类型三：算术平方根的双重非负性苗0 一、被开方数的非负性a 0 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x的取值范围。 (1) J x __________ (2) j5-x _____________ 例3、若x、y都是实数，且y . x 3 3x8，求x 3y的立方根。二、算术平方根的非负性a 0 例4、(1) UT丐2的最小值是 __________ ，此时a的取值是_____ 。 (2) 2- 的最大值是_______ ，此时a的取值是_______ 。例5、若|y 3 0，求(x y)的值。 例6、已知2(x 2)23、.3y227 0，求(x y)2的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右位。立方根：被开方数的小数点向右(左)每移动三位，立方根的小数点向右(左)移动 例1、观察：已知5.217 2.284,521.7 22.84 填空：J0.05217 _________ <52170 _________ 例2、令V2E6 1.536,23.6 4.858 贝y ① ^/236 _______ ; J0.00236 _________ ②若04858, x ________________ ③若.a 1061536，求a的值。 例3、若靳5 a, V37 b，贝贝丿0.15 ___ , 空37000 ____ 。 类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。 例1、一个非负数的两个平方根是2a 1和a-5，这个非负数是多少？ 移动一位。
七年级数学实数各种题型总结
题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3≥0有意义的条件是a ≥0。 456 50=. （1）（2x-1）2 -169=0； （2）4（3x+1）2 -1=0； 17、若a 、b 、c 满足01)5(32 =-+++-c b a ，求代数式a c b -的值。
18、已知0525 22=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 19、若,622=--- -y x x 求y x 的立方根. 练习：已知,21221+-+ -=x x y 求y x 的值. 20已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 21解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。 ②已知 互为相反数，求a ，b 的值。 22、实数大小比较的方法 平方法 比较 2 3 和3的大小 移动因式法 比较32和23的大小 求差法 比较 2 1 5-和1的大小 求商法 比较 53 4 和11的大小 练习：比较下列各组数的大小： ①2- 和3-；②3和23-；③15和5 4 3；④7-和－2.45。 23大家都知道 是一个无理数，那么 －1在哪两个整数之间？ 2415的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
实数考点及题型
实数 知识网络结构图 ， \ 一、知识性专题 专题1 无理数与有理数的有关问题 例1 在－2，0，2，1，4 3，－中，正数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 / 例2 请写出两个你喜欢的无理数，使它们的和为有理数，你写的两个无理数是 ． 专题2 平方根、立方根的概念 例 3 要到玻璃店配一块面积为1．21 m 2的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 m ． 例4 计算1 021)32010(8-??? ??--+．
: 例5 已知b ＝a 3＋2c ，其中b 的算术平方根为19，c 的平方根是±3，求a 的值． 专题3 实数的有关概念及计算 例6 把下列各数分别填入相应的集合里：38，3，－，3π，722，32-，87-，0，－0.??02，，7-，…(每两个相邻的2中间依次多1个1)． / (1)正有理数集合：{ …}； (2)有理数集合：{ …}； (3)无理数集合：{ …}； (4)实数集合：{ …}． 例7 如图13－13所示，在数轴上点A 和B 之间的整数点有 __ 个． 例8 已知a ，b 为数轴上的点，如图13－14所示，求 b a b a ++的值． ? 专题4 非负数的性质及其应用 例9 若2)3(a -与1-b 互为相反数，则b a -2的值为 ． 例10 已知a ， b ， c 都是实数，且满足(2－a )2＋82++++c c b a ＝0，且ax ２＋bx ＋c ＝0，求代数式3x 2＋6x ＋1的值．
） 例11 已知实数x ，y 满足022132=+-+--y x y x ，求y x 5 42- 的平方根． — 例12 若a ，b 为实数，且1 1122++-+-=a a a a b ，求3-+-b a 的值． 、 二、规律方法专题 专题5 实数比较大小的方法 1．平方法 当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a ＞?． 例13 比较32和23的大小． 2．移动因数法 … 利用a ＝2 a (a ≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． 例14 比较34和25的大小．
北师大版数学[中考总复习：实数--知识点整理及重点题型梳理](基础)
北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：实数—知识讲解（基础） 【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与 开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的分类 1.按定义分类：
?????????? ????????????? ??????? ???????? ???????????? 正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类： ?????? ??? ?? ??? ?? ????????????? 正整数 正有理数正实数正分数正无理数实数零 负整数负有理数负实数负分数 负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π是无理数， 24 ππ 、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； （3 …都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二、实数的相关概念 1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数?a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：?? ? ??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8 等； （3）有特定结构的数，如…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的 绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。