高数3-6边际与弹性.
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本函数 C (Q )的 导 数 C C (Q Q ) C (Q ) C (Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q
设P为价格， P P (Q)，因此 R(Q) PQ Q P (Q)，R(Q) P(Q) QP (Q)
例3
P 为 设某产品的需求函数为P 20 Q ， 其中
5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率．
第六节
边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数 y f ( x) 在 x0 处可导，则在( x0 , x0 x ) 内的
y 平均变化率为 ；在 x x0 处的瞬时变化率为 x f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) ， x 0 x 经济学中称它为 f ( x) 在 x x0 处的边际函数值.
L(Q ) Q 20 L( 20 ) 50
L(Q) Q25 L(25) 0
解 (1)生产900个单位时的总成本为 9002 C (Q ) Q 900 1100 1775 1200
平均成本为
C (Q)
Q 900
1775 1.99 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q) C (1000 ) C (900) 1993 1775 1.58 Q 1000 900 100
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析 后，得出总利润 L(Q ) (元)与每月产量 Q (吨)的关
2 L L ( Q ) 250 Q 5 Q 系为 ，试确定每月生产 20 吨，
25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释． L(Q) 250 10Q, 则 解 边际利润为
解
销售 15个 单 位 时 总收益 R Q 15
Q2 总收益为 R QP(Q ) 20Q 5
Q2 ( 20Q ) 5
255
Q 15
平均收益 R Q 15
R(Q ) Q
Q 15
255 17 15
边际收益 R(Q ) Q 15
2 ( 20 Q ) 14 5 Q 15
而边际成本则为：
(Q) C(Q) [C0 C1 (Q)] C1
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产 Q 单位的总成本为 Q2 C ( Q ) 1100 1200 ， 求：(1) 生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2) 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3) 生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
定义1 设函数 y f ( x) 在 x 处可导，则称导数 f ( x)
为 f ( x) 的边际函数． f ( x ) 在 x0 处的值 f ( x0 )为边 际函数值．即当 x x0 时， x 改变一个单位， y 改 变 f ( x0 )个单位．
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
Q 2
R(Q ) PQ 10Qe 解 收益函数
Q 2
(0 Q 6)
Q 2
边际收益函数 R (Q) 5(2 Q )e
(0 Q 6)
3. 边际利润 定义：总 利 润 函 数 L(Q )的 导 数
L L(Q Q ) L(Q ) L(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际利润 .
Hale Waihona Puke 边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，总利润函 数L(Q )等于总收益函数 R(Q )与总成本函数 C (Q )之差．即
L(Q ) R(Q ) C (Q ),则 边 际 利 润 为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与 入边 际 成 本 决 定 , C ( Q ) R(Q ) C (Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
当销 售量 从 15个单 位增 加到 20个单 位时 收益的 平均 化率 变 为 R R( 20) R(15) 320 255 13 Q 20 15 5
例4.当某厂家打算生产一批 商品投放市场，已知该 商品 的需求函数为P P (Q ) 10e ，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量 为6．求该商品的收益函数 和边收益际函数．
2Q Q (3)边际 成本函 数 C (Q ) ,当Q 900 1200 600 时的 边际成 本 C (Q ) Q 900 1.5
2. 边际收益
定义：总 收 益 函 数 R(Q )的 导 数
R R(Q Q ) R(Q ) R(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际收益函数 .
2)边际平均成本：
平均成本 C (Q )的 导 数 C (Q ) QC (Q ) C (Q ) C (Q ) 称为平均边际成本 . 2 Q Q
总成本 C (Q )等 于 固 定 成 本 C 0与 可 变 成 本 C 1 (Q )之 和 ， 即 ：C (Q ) C 0 C 1 (Q )
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本函数 C (Q )的 导 数 C C (Q Q ) C (Q ) C (Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q
设P为价格， P P (Q)，因此 R(Q) PQ Q P (Q)，R(Q) P(Q) QP (Q)
例3
P 为 设某产品的需求函数为P 20 Q ， 其中
5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率．
第六节
边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数 y f ( x) 在 x0 处可导，则在( x0 , x0 x ) 内的
y 平均变化率为 ；在 x x0 处的瞬时变化率为 x f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) ， x 0 x 经济学中称它为 f ( x) 在 x x0 处的边际函数值.
L(Q ) Q 20 L( 20 ) 50
L(Q) Q25 L(25) 0
解 (1)生产900个单位时的总成本为 9002 C (Q ) Q 900 1100 1775 1200
平均成本为
C (Q)
Q 900
1775 1.99 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q) C (1000 ) C (900) 1993 1775 1.58 Q 1000 900 100
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析 后，得出总利润 L(Q ) (元)与每月产量 Q (吨)的关
2 L L ( Q ) 250 Q 5 Q 系为 ，试确定每月生产 20 吨，
25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释． L(Q) 250 10Q, 则 解 边际利润为
解
销售 15个 单 位 时 总收益 R Q 15
Q2 总收益为 R QP(Q ) 20Q 5
Q2 ( 20Q ) 5
255
Q 15
平均收益 R Q 15
R(Q ) Q
Q 15
255 17 15
边际收益 R(Q ) Q 15
2 ( 20 Q ) 14 5 Q 15
而边际成本则为：
(Q) C(Q) [C0 C1 (Q)] C1
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产 Q 单位的总成本为 Q2 C ( Q ) 1100 1200 ， 求：(1) 生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2) 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3) 生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
定义1 设函数 y f ( x) 在 x 处可导，则称导数 f ( x)
为 f ( x) 的边际函数． f ( x ) 在 x0 处的值 f ( x0 )为边 际函数值．即当 x x0 时， x 改变一个单位， y 改 变 f ( x0 )个单位．
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
Q 2
R(Q ) PQ 10Qe 解 收益函数
Q 2
(0 Q 6)
Q 2
边际收益函数 R (Q) 5(2 Q )e
(0 Q 6)
3. 边际利润 定义：总 利 润 函 数 L(Q )的 导 数
L L(Q Q ) L(Q ) L(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际利润 .
Hale Waihona Puke 边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，总利润函 数L(Q )等于总收益函数 R(Q )与总成本函数 C (Q )之差．即
L(Q ) R(Q ) C (Q ),则 边 际 利 润 为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与 入边 际 成 本 决 定 , C ( Q ) R(Q ) C (Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
当销 售量 从 15个单 位增 加到 20个单 位时 收益的 平均 化率 变 为 R R( 20) R(15) 320 255 13 Q 20 15 5
例4.当某厂家打算生产一批 商品投放市场，已知该 商品 的需求函数为P P (Q ) 10e ，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量 为6．求该商品的收益函数 和边收益际函数．
2Q Q (3)边际 成本函 数 C (Q ) ,当Q 900 1200 600 时的 边际成 本 C (Q ) Q 900 1.5
2. 边际收益
定义：总 收 益 函 数 R(Q )的 导 数
R R(Q Q ) R(Q ) R(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际收益函数 .
2)边际平均成本：
平均成本 C (Q )的 导 数 C (Q ) QC (Q ) C (Q ) C (Q ) 称为平均边际成本 . 2 Q Q
总成本 C (Q )等 于 固 定 成 本 C 0与 可 变 成 本 C 1 (Q )之 和 ， 即 ：C (Q ) C 0 C 1 (Q )
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高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用
⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
边际和弹性的教案
边际和弹性的教案教案标题：边际和弹性的教案教案目标：1. 理解边际和弹性的概念以及其在经济学中的应用。
2. 掌握计算和解释边际和弹性的方法。
3. 能够应用边际和弹性的概念分析经济问题。
教学重点：1. 边际概念的理解和应用。
2. 弹性概念的理解和应用。
3. 计算和解释边际和弹性的方法。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿。
2. 白板、马克笔和橡皮擦。
3. 经济学教材和练习题。
教学过程：引入：1. 使用一个现实生活中的例子引入边际和弹性的概念，例如购买冰淇淋的决策或汽车公司的定价策略。
2. 引发学生的思考，让他们思考为什么边际和弹性对经济决策和市场分析非常重要。
讲解边际概念：1. 解释边际的含义，即增加或减少一个单位的变化。
2. 通过使用图表和实际例子，说明边际成本、边际效益和边际分析的概念。
3. 强调边际分析在决策制定中的重要性，特别是在资源有限的情况下。
讲解弹性概念：1. 解释弹性的含义，即需求或供应对价格变动的敏感程度。
2. 介绍价格弹性、收入弹性和交叉弹性的概念。
3. 使用实际例子和计算公式，说明如何计算和解释不同类型的弹性。
应用边际和弹性：1. 提供一些实际的经济问题，让学生应用边际和弹性的概念进行分析和解决。
2. 分组讨论，让学生分享他们的分析和结论，并提供反馈和指导。
3. 鼓励学生思考边际和弹性对经济政策和市场决策的影响。
总结和评估：1. 总结边际和弹性的概念及其应用。
2. 给学生提供一些练习题，以评估他们对边际和弹性的理解和应用能力。
3. 回答学生的问题，并提供个别指导和反馈。
扩展活动：1. 鼓励学生进行更多的实际案例研究，以加深对边际和弹性的理解。
2. 组织小组讨论或辩论，让学生就某个经济问题运用边际和弹性的知识进行辩论。
3. 鼓励学生撰写一篇关于边际和弹性在经济学中的应用的短文或报告。
教学延伸：1. 在下一堂课上，引入更复杂的边际和弹性概念，如边际效用和交叉弹性。
2. 鼓励学生进行更深入的研究，了解边际和弹性在其他学科领域的应用，如管理学和市场营销。
第6节 边际与弹性
C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0
经济数学课件 3.6边际与弹性
解: 因为y 3x 2 2, 所以 y x2 14, 即边际函 数值为14。 它表示函数 y在x 2处，当 x 改变一个单位时，函数 y 近
似地改变14个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际成本的定义
设成本函数C C(q) 可导（其中 C表示总成本， q 表示产量）， 则其边际函数 C C(q)称为边际成本函数，简称边际成本。C(q0 ) 称为当产量为 q0时的边际成本。
经济意义：销售量达到 q0时，如果销售量增减一个单位产品，则 收益相应增减 R(q0 )个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际利润的定义 设利润函数 L L(q) 可导，则其边际函数 L L(q) 称为边际
利润。L(q0 ) 称为当产量为 q0 时的边际利润。 经济意义：当产量达到q0 时，如果增减一个单位产品，则利
设函数
f (x) 在点
x
处可导，称极限
lim
x0
x
x 为函数
f (x)
的弹性函数，记为 E(x) ，即
E(x) lim y x f (x) x
x0 x y
f (x)
《经济数学基础》配套课件
在点 x x0处，弹性函数值
E(x0 )
f (x0 )
x0 f (x0 )
称为函数
f (x)
在点
记为 p 。
《经济数学基础》配套课件
例3
某商品的需求函数为 Q 400 100 p ，求：p 1, 2,3 时
的需求价格弹性，并给出经济解释。
解： 由 dQ 100 可得
dp
p
dQ dp
p Q
100 p 400 100 p
当
p
1时，|
3.6 边际与弹性
L(Q0 )的经济意义：
当销售量为Q0时，销售Q0前最后一个 单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C (Q) L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C (Q) 此时，L(Q) R(Q) C (Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
设某商品的需求函数为Q Q( P), 其中Q为 需求量，P为价格，收益函数R PQ( P) 则收益对价格的弹性为：
ER R( P) Q( P) PQ( P) P P EP R( P) PQ( P )
Q( P) EQ 1 P 1 Q( P) EP
EQ ER 当 1时， 0，此时提高价格会增加收益 EP EP EQ ER 当 < 1时， 0，此时提高价格会减少收益 EP EP
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性
设某商品的供给函数为Q Q( P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q( P) EP Q( P)
EQ 一般情况下 0,即供给量会随价格的升高 EP 而升高
(3)收益价格弹性
EQ ER 当 1时， 0，此时收益达到最大 EP EP
P 例7.设某商品需求函数为Q 12 , 求P 6时 2 若价格上涨了1%，总收益增加还是减少，将变化
1 EQ Q P 2 解 P P P P 24 EP Q 12 2 6 1 因为 (6) 1 6 24 3
P 5
(5) 1, 说明当P 5时，价格与需求变动的
幅度相同，为单位弹性
(3) 0.6 1, 说明当P 3时，需求变动的幅度
边际分析与弹性分析幻灯片PPT
它表示 f ( x)在点 x x0处的变化速度．
在点 x x0处， x 从 x0改变一个单位， y 相应 改变的值应为y xx0 ．但当 x 改变的“单位”很小时，
x1
或 x 的“一个单位”与 x0值相对来说很小时，则有
y x x0 dy x x0 f ( x)dx x x0 f ( x0 )
即生产60个单位产品与生产80个单位产品时的总成本 分别为380、520； 平均成本分别为6.33、6.5； 边际成本分别为6、8．
注意：平均成本、平均变化率、边际成本三个概念 虽然都反映一定意义下的平均值，但是又有本质的区别．
平均成本C(Q) 是生产一定数量产品时的成本平均值， Q
它只与产量范围Q 有关．
边际分析与弹性分析幻灯 片PPT
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一、函数变化率—边际函数
设函数 y f ( x)可导，导函数 f ( x)也称为边际函数．
QQQ
边际成本函数C C(Q)
如己知总成本C(Q)，通过除法可求出平均成本
C(Q) C(Q) Q
如已知平均成本C(Q)，通过乘法可求出总成本
C(Q) C(Q) Q；
如已知总成本C(Q)，通过微分法可求出边际成本C(Q)； 如已知边际成本C(Q)，通过积分法可求出总成本
C(Q)
Q 0
C(t
与边际成本类似，边际收益定义为 R(Q )， 即边际收益是总收入函数 R(Q) 关于销售量Q 的导数．
其经济含义是：当销售量为Q 时．再销售一个单位
边际与弹性
湖
南
对
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外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
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分析 边际分析法.
“边际”——“增加的” “边际量”——“增量” 自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际
量.
例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)
的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际
湖
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业
Trade
学
院
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Economic
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抽象归纳
边际分析
问：怎样用数学方法来描述边际呢？
分析 设函数 f ( x) 可导. 根据导数的定义，有
y f ( x) lim . x0 x y . 因此，当| x | 很小时，有 f ( x) 于是 x
湖
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业TΒιβλιοθήκη ade学院Hunan
Economic
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3．边际收益 （x为产量）的导数 R' ( x), 总收益函数 R R( x) 称为产量为x单位时的边际收益． 边际收益 R' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' ( x) 个单位．
College
例1 某公司某产品的总利润Ｌ（元）与日产量x(吨) 的关系为 L( x) 250x 5x , 试求日产量分别为20吨、
南
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分析 边际分析法.
“边际”——“增加的” “边际量”——“增量” 自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际
量.
例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)
的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际
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抽象归纳
边际分析
问：怎样用数学方法来描述边际呢？
分析 设函数 f ( x) 可导. 根据导数的定义，有
y f ( x) lim . x0 x y . 因此，当| x | 很小时，有 f ( x) 于是 x
湖
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3．边际收益 （x为产量）的导数 R' ( x), 总收益函数 R R( x) 称为产量为x单位时的边际收益． 边际收益 R' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' ( x) 个单位．
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例1 某公司某产品的总利润Ｌ（元）与日产量x(吨) 的关系为 L( x) 250x 5x , 试求日产量分别为20吨、
高数3-6边际与弹性学校课件.ppt
Q
1000 900
100
(3)边际成本函数C(Q) 2Q Q ,当Q 900 1200 600
时的边际成本 C(Q) 1.5 Q 900
2. 边际收益
定义：总 收 益 函 数R(Q )的 导 数
R(Q) Lim R Lim R(Q Q) R(Q)
Q0 Q Q0
Q
称 为 边 际 收 益 函 数.
称函数的相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )
y0
f ( x0 )
与自变量的相对改变量 x 之比 y y0 为函数从
x0
x x0
x0到 x0 x两点间的平均相对变化率，或称为 x0与 x0 x两点间的弹性．
当 x 0时，称 y y0 的极限为函数 y f ( x) x x0
乙商品每单位价格200元，也涨价1元；
与原价相比，甲商品涨价20%，乙商品涨价0.5%。
显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大。如果乙 商品的涨价是由甲商品涨价引起的，则若甲涨价1%，乙 会涨价0.025%。
即乙商品相对于甲商品的平均相对变化率 (即弹性)为0.025。
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0处可导，且 x0 0，
dQ P . dP Q
注 因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，
需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方
便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常
用符号 表示。
( p)
Ed
P Q
dQ dP
例1 某需求曲线为：Q 100P 3000，求 当P 20时的弹性．
解 dQ 100
dP 当P 20时，Q 1000
一、 边际的概念
如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
ch3-6导数在经济学中的应用
f ( x0 ) 称为在 x= x0 点的边际函数值。
1、边际成本：成本函数 C(x) 的导函数 C ( x )
2、边际收益：收益函数 R (x) 的导函数 R( x )
3、边际利润：利润函数 L (x) 的导函数 L( x )
L( x ) R( x ) C ( x )
例 某企业产品的市场需求函数为
含义：函数当自变量在 x=2 处改变1%时，函数值从f(2)=22处 改变了
8 %，负号说明改变的方向相反。 11
需求弹性（需求价格弹性）：
需求函数 Q Q
d
( p)
EQ P dQ p , Ep Q dP
p一般为负值：理由Q是P的减函数
经济学中，需求价格弹性指 p
3种弹性
L( x ) 0
例：(1)已知某产品的销价为 P (x)= 200 ,总成本函数
1 2 C ( x ) 50000 60 x x ,求 20
（1）总利润函数 L(x) （2）边际利润 L( x ) （3）产量为多少时，利润最大？ 解：（1） L( x ) R( x ) C ( x ) xP( x ) C ( x )
p
EQ P dQ P P ( 100) EP Q dP 400 100 P 4 P
1 1 当P 1时， p ， p ； 3 3 当P 2时， p -1， p 1； 当P 3时， p -3， p 3；
P ' p f (P) Q
48是函数的唯一极大值点，即最大值点。 当产量是48时利润最大，最大利润为2104。
三、弹性分析
50% 0.1%
1kg大米：元 /斤，元 /斤； 2 3 1kg 金： 100000元 / 斤， 100010元/斤
边际与弹性
例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5