边际函数与弹性函数
合集下载
边际分析与弹性分析
并 说 明 其 经 济 意 义.
（二）弹性分析
1.相对改变量、相对变化率
定义： 设函数y f(x)在x x0处可导， 函数的相对改变量
y f ( x0 x) f ( x0 ) ,与自变量的相对改变量x 之比
y0
f ( x0 )
x0
y x
/ /
y0 x0
称 为f
( x)从x0到x0
x两 点 间 的 平 均 相 对 变 化率 或
L(Q)取最大值必要条件：L'(Q) 0,即R'(Q) C'(Q)
(边际收益＝边际成本）
充分条件：L''(Q) 0,即R''(Q) C''(Q)
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R'(Q) C'(Q) , R''(Q) C''(Q)
略:3、常见函数的弹性：
(1) f ( x) C的弹性EC 0； Ex
ln ax
(6) f ( x) sin x的 弹 性E(sin x) x cot x; Ex
f ( x) cos x的 弹 性E(cos x) x tan x. Ex
4、弹性的四则运算：
1. E( f ( x) g( x))
f ( x) Ef ( x) g( x) Eg( x)
Ex
Ex tan
A
）
o
（
x
在曲线上任一点A处对应的弹性,只要过A点作曲线的 切线与线段OA,它们与x轴夹角的正切值之比即所求。
两 点 间 的 弹 性。
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用
⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
导数在经济分析应用中_边际_与_弹性_的联系与区别_曾小凤
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ 上接第 !/ 页 % 当 -8 （ 7、 9# : ;<=! % > $ +"?@A# : $ 油 BC- % D 2, 液面下降 当 - 2（ ?、 9# : ;<=! % > $ +"?@A# : $ 油 BC- % D8 , 液面上升 <<、 E 固定时， 当 ;<=! & $ 油 B9# : 3 $ 油 BE ) $ +"?@A# : C- % 4 F、 D &, 液面不上升与下降 当 ;<=!8 $ 油 B9# : 3 $ 油 BE ) $ +"?@A# : C- % 4 7、 D 2, 液面下降 当 ;<=! 2$ 油 B9# : 3 $ 油 BE ) $ +"?@A# : C- % 4 G、 D8 , 液面上升 （ 当 ! & ",H时， 则毛细管垂 +） ;<=! & -I 则 E & 9.， 直， 是图例的一种特殊情况。 平衡高度 9 的计算： 如图 + +、 受力点为 J， 受到如图 1- #、 1+ #、 )1 三力作用。 J 点合力 D & 1+ # > )1;<=! ) 1-# 其中 1+ # & $ 油 B9# ) $ 水 B9 & $ 油 B9# ) $ 水 BE;<=! 1-# & $ 油 B9. & $ 油 BE;<=! KE- & 3 $ )1 ) $ 油 BE） ;<=! > $ 油 B9# 4 : $ 水 B;<=! L 3 $ % & +"?@A# : C- ) $ 油 BE 4 : $ 水 B M > （ $ 油 9# : ;<=! %
微积分I课程边际与弹性
lim ( y x) lim ( y x0 )
y x0 0
x0
x0 x y0
=
f
x0 (x0 )
f
(x0 )
Ey Ex
x x0
由极限与无穷小量的关系有
y x Ey ，且 lim 0
y0 x0 Ex xx0
x0
所以 y Ey x y0 Ex xx0 x0
故
Ey Ex
x x0
表示在点x
(6) 1.2 1,说明当P 6时，需求变动的幅度
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性 设某商品的供给函数为Q Q(P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q(P) EP Q(P)
一般情况下 EQ 0,即供给量会随价格的升高 EP
当销售量为Q 时，销售Q 前最后一个
0
0
单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C(Q) 此时，L(Q) R(Q) C(Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
例3.设某商品的需求函数为P 10 Q ,总成本 5
§3.6 边际与弹性 一、边际的概念 二、弹性函数
• 在经济活动中，经常需要考虑一项指标的变化给 其他指标带来的影响，如产量的变化对成本、收 益、利润的影响，价格的变化对需求量、销售量 的影响等。将这些经济指标建立数学模型，利用 导数的特性去研究它们之间的关系，这就是本次 课的内容。
一、边际的概念
x0处，当x产生1%的
改变时，y f (x)相应改变 Ey % Ex xx0
例4.求函数y 100e3x的弹性函数 Ey 及 Ey Ex Ex x2
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
2.边际收益
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
第6节 边际与弹性
C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0
高数上3.7一元函数在经济上的应用(边际与弹性)
发展期
饱和期
时，其图形如图所示
初始期
发展期
饱和期
由图可见戈珀兹曲线当 t > 0 且无限增大时，其无限与直线 y = k 接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。
二、边际与弹性
1. 边际概念
如果函数
在
处可导，则在
内的平均变化率为
成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。
例4. 设某厂的生产函数
，其中 L 表示
劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数
一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数
线性函数：
，其中
幂函数：
，其中
指数函数：
，其中
使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。
例2. 已知某商品的需求函数和供给函数分别为
如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量 Q 便是价格 P 的函数，记
称 f 为需求函数，同时 f（P）的反函数 也称为需求函数。
一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数
线性函数：
的关系；
（2）试分别解出关于价格
的边际收益
，关于需求
的边际收益
饱和期
时，其图形如图所示
初始期
发展期
饱和期
由图可见戈珀兹曲线当 t > 0 且无限增大时，其无限与直线 y = k 接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。
二、边际与弹性
1. 边际概念
如果函数
在
处可导，则在
内的平均变化率为
成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。
例4. 设某厂的生产函数
，其中 L 表示
劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数
一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数
线性函数：
，其中
幂函数：
，其中
指数函数：
，其中
使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。
例2. 已知某商品的需求函数和供给函数分别为
如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量 Q 便是价格 P 的函数，记
称 f 为需求函数，同时 f（P）的反函数 也称为需求函数。
一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。
人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数
线性函数：
的关系；
（2）试分别解出关于价格
的边际收益
，关于需求
的边际收益
46边际分析与弹性分析
定义4.5 设函数 y f ( x)在点 x x0处可导，函数的
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ，与自变量的相对改
y0
f ( x0 )
变量 x 之比 y / y0 ，
x0
x / x0
称为函数 f ( x)从 x x0到 x x0 x两点间的相对变化率，
或称为两点间的弹性．
所以符合最大利润原则．
例7 某工厂生产某种产品，固定成本20 000元，每生产
一单位产品，成本增加100 元．已知总收益 R 是年产量Q 的函数
R
R(Q)
400Q
1 2
Q2
0 Q 400
80 000
Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大?此时总利润是多少?
解 根据题意，总成本函数为C C(Q) 20 000 100Q
x 20%, y 44%
x
y
这表示当 x 10改变到 x 12时， x 产生了20%的改变， y 产生了44%的改变．而
y / y 44% 2.2 x / x 20% 表示在(10,12)内，从 x 10时起， x 改变1%时， 则相应 y 的改变2.2%。我们称它为从 x 10到 x 12， 函数 y x2的平均相对变化率．
即生产60个单位产品与生产80个单位产品时的总成本 分别为380、520； 平均成本分别为6.33、6.5； 边际成本分别为6、8．
注意：平均成本、平均变化率、边际成本三个概念 虽然都反映一定意义下的平均值，但是又有本质的区别．
平均成本C(Q) 是生产一定数量产品时的成本平均值， Q
它只与产量范围Q 有关．
Q Q0
Q0
Q
边际成本是总成本函数C (Q ) 关于产量Q 的导数。 其经济含义是: 当产量为Q时，