数学思想讲座-数学美的几种类型
数学之美：通过数学问题的美学呈现,激发学生对数学的兴趣和美的追求
引导学生欣赏数学的美学价值
展示数学的美学元素，如对称、比例、黄金分割等 引导学生发现生活中的数学美，如建筑设计、音乐节奏等 让学生参与数学美的创作，如几何作图、数学游戏等 培养学生的数学审美能力，提高对数学美的敏感度和鉴赏力
培养学生的审美情趣和审美能力
引导学生发现数 学之美：通过展 示数学中的对称、 比例、黄金分割 等美学元素，引 导学生感受数学 的美。
组织数学竞赛活动提高学生的兴趣
竞赛形式：定期组织数学竞赛活动，吸引学生参与 奖励机制：设立奖励和荣誉，激励学生积极参与 团队合作：培养学生团队合作和竞争意识 互动交流：提供学生之间互动交流的平台，促进学习经验的分享
通过实际应用让学生感受到数学的实用性
引入生活实例：将数学问题与日常生活相结合，让学生意识到数学在解决实际问题中的 应用。
数学公式的美感： 简洁的公式中蕴 含着深刻的数学 原理，如圆的面 积公式。
分形几何：具有 自相似性的图形， 如雪花、海岸线 等。
数学中的和谐美
数学中的和谐美是指数学中的各个部分之间的协调与平衡，如几何图形的对称、数列的周期 性等。
数学中的和谐美也可以表现为数学概念之间的相互联系和统一，如代数与几何之间的联系等。
美学教育能够培 养学生的情感和 价值观，使学生 更加热爱数学和 数学学习。
美学教育能够提 高学生的综合素 质，促进学生的 全面发展。
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数学之美的美 学呈现方式
通过数学游戏展示数学之美
数学游戏的特点： 趣味性、互动性、 挑战性
数学游戏的作用： 激发学生对数学 的兴趣、培养数 学思维、提高解 决问题的能力
举例说明：数独、 24点游戏、数学 谜题等
如何在教学中运 用数学游戏：选 择合适的游戏、 设计有针对性的 教学目标、引导 学生积极参与并 思考
第五讲 数学美学
23 6 23 6 2306
a) 简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
b) 十进制与二进制:
十进制:89
89= 1× 2 +0× 2 + 1 × 2 + 1 × 2 +0×2 +0×2 +1×2
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1: 来源于代数 i: 来源于几何
π: 来源于分析
i
1：实数单位
i：虚数单位
0：唯一中性数
3.和谐美
例2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
i
e
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
黄金分割点体现了美与实用，沟通了人 与自然
3.和谐美
例2 e与π
3.14159265358979323846
e 2.71828182845904523536
猜测：
1.每隔10位数就会出现同样的数字; 2. π的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有π的前n位数字。
3.和谐美
例2 e与π
2 1 0 6 5 4 3
二进制:1011001
十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人 工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便机 器运算,但系统简单. ★二进制与最简单的自然现象(信号的 两极)结合,造就了计算机！
鉴赏数学中的美-PPT
创新美
数学在科技发展中的应用，不仅推动了科技 的进步，也展现了数学的实用之美和创新之 美。例如，微积分的创立，为物理学和工程
学的发展提供了重要的工具。
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数学在解决实际问题中的和谐美
工程设计
在工程设计中，数学的应用无处不在。通过精确的数学模型和计算，工程师可以设计出结构稳定、功 能完善的建筑、机械和电子产品。这种和谐美体现在精确性和实用性的完美结合。
金融预测
在金融领域，数学通过对市场数据的分析和预测，帮助投资者做出明智的决策。这种谐美体现在对 不确定性的掌控和未来的预见性。
数学理论的和谐美
公式之美
数学中有许多公式简洁而优美，如欧 拉公式、麦克斯韦方程组等。这些公 式在形式上简单对称，却能深刻揭示 自然规律的内在联系，展现出数学的 独特魅力。
抽象之美
数学的抽象性是其独特之处，通过抽 象的符号和逻辑推理，数学能够探索 现实世界中各种复杂现象的本质和规 律。这种抽象之美体现了人类思维的 创造性和无限可能性。
05
数学中的创新美
数学中的猜想与证明
猜想
数学中的猜想是对于未知数学规律的直 觉和想象，是推动数学发展的强大动力 。例如，费马猜想的提出和解决，推动 了数论的发展。
VS
证明
数学证明是对于猜想的严谨论证，通过严 密的逻辑推理，将猜想转化为确定的数学 定理。例如，欧几里得几何的五条公理和 五条公设，构成了整个平面几何的基础。
03
数学中的简洁美
数学公式的简洁美
公式表达的精炼
数学公式通常以简洁的形式表达 复杂的数学关系，如勾股定理、 欧拉公式等，展示了数学的简洁 美。
公式推导的逻辑性
数学公式的推导过程遵循严格的 逻辑，从已知条件出发，逐步推 导出结论，体现了数学的严谨和 简洁。
数学美的几种类型 (2)
数学在日常生活中的美
数学在金融中的应用美
金融中的投资、保险等领域都需要用 到数学，数学的运用使得金融更加精 确和可靠，如风险评估、资产配置等 。
数学在体育中的应用美
体育中的运动分析、比赛策略等领域 也需要用到数学，数学的运用使得体 育更加科学和高效，如运动轨迹分析 、比赛数据分析等。
数学规律性的特点
数学规律性具有普遍性和必然性，不 受具体情境和条件的限制。通过数学 规律，人们可以更深入地认识和理解 世界的本质和内在规律。
逻辑性
逻辑性
数学中的逻辑性表现为数学推理的严密性和精确性。在数学中，每一个结论都需要经过严格的逻辑推理和证明才 能被接受。这种逻辑性是数学严谨性的重要体现。
数学逻辑性的特点
数学在计算机科学中的应用美
计算机科学中的算法、数据结构、密码学等都离不开数学，数学的运用使得计算机科学更 加精确和高效，如算法优化、网络安全等。
数学在工程学中的应用美
工程学中的建筑设计、机械设计、航空航天等领域都需要用到数学，数学的运用使得工程 设计更加精确和可靠，如结构力学分析、控制系统设计等。
数学在经济学中的应用美
数学逻辑性具有严谨性和精确性，使得数学成为一种可靠的工具，可以用来解决各种实际问题。同时，数学逻辑 性也使得数学成为一种培养逻辑思维能力的有效途径。
严密性
严密性
数学中的严密性表现为数学概念、公式和定理的明确性和无歧义性。在数学中，每一个概念、公式和 定理都有明确的定义和含义，不会出现模糊不清或者歧义的情况。
02
数学在化学中的应用美
化学中的分子结构、化学反应等都需要用到数学，数学的应用使得化学
数学思想中“美”的体现
数学思想中“美”的体现谈及“数学”,你一定会联想到数学理论的演绎推理和数学公式的枯燥。
然而我却认为数学是一门心智的艺术与灵魂的音乐。
在数学教学过程中,如果我们能够在传授学生数学思想与方法的同时把美感渗透给学生,引导学生细心体会,体验数学中这些固有的美,不但能协调学生的情绪,美化他们的心灵,提高学生对美的认识,而且能提高他们对数学学习的兴趣,实现较好的课堂教学效果。
下面就简述一下常用数学思想与美的统一。
数形结合思想简洁美“数无形,少直观,形无数,难入微”,利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。
高中数学中章章都可见其身影,集合中的韦恩图,求交、并、补集时借用数轴,函数图像对其自身性质的直观体现等等,都无不细述了数学中的简洁之美。
分类讨论思想的整体美当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
比如:解不等式中我们常要对系数,判别式,根的大小进行讨论,对直线方程中斜率的存在性进行讨论,对公式的选择进行讨论,正是因为如此多的讨论,才使我们分析问题时更加严谨,处理问题时方法更多样,这不恰是整体美的体现吗?类比思想的统一美挖掘数学教学内容中的统一美,进行类比思维的训练,有助于学生更加准确、快速的理解。
如类比指数函数研究对数函数,类比与正弦函数研究余弦函数,类比与图象的中心对称研究图象的轴对称,类比与平移变换研究放缩变换,类比与用均值定理求最小值研究求最大值,类比与分母有理化研究分母实数化,类比与等差数列研究等比数列,类比平面向量研究空间向量,类比与勾股定理研究长方体对角线的长,类比与将平行四边形转化为三角形求面积研究求四棱柱的体积,类比与椭圆的方程和性质研究双曲线的方程和性质等等。
化归、推理思想的秩序美由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳), 归纳法在科学研究中经常被运用,人们对归纳法有了审美感受, 有人直接把归纳法体现的美感称为“归纳美”,比如对数列中通项公式的猜想,对棱锥、棱柱体积,多边形内角和公式化的猜想。
讲座赏析数学中的美PPT(完整版)
另一方面:是大家对数学的望而却步。学生学习数 学是为了分数，没有乐趣，得不到享受，数学课没 有情感体验和审美愉悦，每次上课之前，大家都会 怀着一种期待得心情，期待着老师会带来一些新得、 有魅力得东西，学生期望数学课能注入一些活力， 能多听到一种声音，能了解一些定义以外的东西。 但往往期望越大失望也越大。
❖在自然界中，大凡美的东西都具 有对称性，
❖比如花卉、叶片、动物、艺术品、 建筑物等。
• 而在数学中，很多曲线和曲面，比如二 次曲线、双纽线、玫瑰线、雪花曲线……
等等，也具有对称性。
（4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰，第二片叶子是希望，第三片叶子是爱情，第四片叶子是幸运。 111·111＝12321 一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形， “两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。 数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲 希伯索思根据勾股定理通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这个发现使古希腊 数学家们感到惊奇不安，这意味着边长为1的正方形的对线长度竟然不能用任何“数”表示出来 98·9＋6＝888 1966年，我国数学家陈景润证明了“每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及一个不超过二个质数之乘积之和”，就是著名的 “1+2”，但离最后还有一步之遥。 987654·9＋2＝8888888 如果一棵树代表一份思念，我送你一片森林。 没有一门学科象数学那样，在大家的心目中 (2) 学数学意味着在题海中沉浮。 孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪” 送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！ 孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪” 出的那道爱情公式，我看还要开平方！ 9999·9999＝99980001 没有一门学科象数学那样，在大家的心目中
浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想
浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想初中数学课堂是培养学生数学思维和兴趣的重要环节，也是让学生感受到数学美的场所。
数学美指的是数学的优雅、简洁、深邃等方面，它是一种抽象思维的艺术。
本文将从数学课堂内容、教学方法和学生参与等方面，探讨如何体现数学美的思想。
一、数学课堂内容的体现1.整体性思维。
数学是一个系统的学科，数学课堂应该展示出数学的整体性。
教师可以通过引导学生解决复杂问题、进行整体思考，让学生从整个数学体系中感受到数学的完整性和美感。
2.抽象思维。
数学课堂强调培养学生的抽象思维能力，教师可以通过举一反三的例子，引导学生从具体的问题中发现普遍规律，从而提高学生的抽象思维水平。
例如，在讲解数列时，教师可以通过一个具体的数列例子，引导学生找到通项公式，并使用通项公式计算其他项。
3.空间思维。
数学课堂也应该体现空间思维，培养学生的几何直觉和想象力。
例如，在讲解三角形的面积时，教师可以引导学生通过剪纸、折纸等活动，感受到几何形状的美感和规律。
4.逻辑思维。
数学是一门基于逻辑的学科，数学课堂的内容应该注重培养学生的逻辑思维能力。
教师可以通过解决数学问题的过程，引导学生形成清晰的逻辑链条，培养学生的逻辑推理和分析能力。
二、数学教学方法的体现1.激发兴趣。
数学美的体现需要学生对数学产生兴趣。
教师可以运用启发性问题、趣味游戏等方式，激发学生的学习兴趣，让他们主动参与到数学活动中。
2.开放性问题。
数学课堂应该注重引导学生进行探究学习，而不是简单地灌输知识。
教师可以提出开放性问题，让学生自由思考，寻找多种解决路径和方法，从而培养学生的创新意识和解决问题的能力。
3.学以致用。
数学是一门应用广泛的学科，数学课堂应该将知识与实际生活相结合。
教师可以通过实际问题的引入，让学生明确数学知识与日常生活和实际问题的联系，培养学生将抽象概念应用于实际的能力。
三、学生参与的体现1.合作学习。
数学课堂可以采用小组合作学习的方式，让学生相互合作、交流，共同解决问题。
浅谈初中数学中数学美
1、对美的理解在提倡素质教育，培养全面发展人才的今天，提到美，人们便会自然而然的联想到音乐、绘画、舞蹈、影视、文艺等视觉艺术和听觉艺术。
而作为研究自然规律的一门学科—数学中，是否存在美？这是历来数学研究者们关注的问题。
古代希腊时期的毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是合谐与比例”的观点。
古代哲学家、数学家普洛克拉斯也断言：“哪里有数，哪里就有美”。
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种泛而严肃的美。
这种美，不是投合我们天性的微弱的一面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。
”量子力学的创始人海森堡说：“自然界把我们引向极其简单而美丽的数学形式……我被自然界向我们显示的数学体系的简单性和美强烈地吸引住了。
”开普勒甚至认为:“数学是这个世界之美的原型。
”从这些论述中，我们可以清楚地看到：数学研究者在其科研活动中深刻感受到了数学美的存在，并以追求数学美来推动数学的不断发展。
2、数学美的几种形式数学美的含义是丰富多彩的，如数学概念的精确，数学定理的概括，数学公式的简捷、齐整，数学图形的和谐、对称，数学结构系统的协调、完备，数学方法的奇妙、多样等等，这就决定了数学美具有简单性、统一性、对称性、奇异性、秩序性等表现形式。
2．1 简单性数学家们常常以简单性作为自己的追求目标，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。
狄德罗曾指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的解答则指一个困难、复杂问题的简单回答。
”高斯在回顾二次互反律的证明过程时也曾说：“去寻找一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。
”最能说明简单性是推动数学发展与创造的美学因素之一的典型例子便是为了避免重复的加法和乘法运算而引进乘法与幂的运算：３＋３＋３＋３＝３×４ａ〃ａ〃ａ……＝a质能公式E=m，如此深刻地揭示了微观、宏观世界的种种质能变化规律，因而其内容极为丰富，但其表述却又如此简单明了。
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推广 : n ≥ 4时不定方程 x + x +L+ x
n 1 n 2 n n −1
=x
n n
是否有非平凡整数解 ?
∞ n
勾股定理 : x + y = z 有非零的正整数解:
2 2 2
3,4,5;5,12,13. 其一般解为: L x = a − b , y = 2ab, z = a + b
2 2 2 3 3 2
其中a > b为一奇一偶的正整数. 那么,3次不定方程:x + y = z 有没有非零的正整数解?
3
δ ，∆是平移和旋转变换下不变的量。
1.∆ ≠ 0, δ > 0, 为椭圆;
δ < 0, 为双曲线; δ =0为抛物线. 2.∆=0,δ > 0, 为椭圆; δ < 0为相交两直线; δ =0平行或重合两直线
奇异：稀罕、出呼意料但有引人入胜！
Hale Waihona Puke 1 = 0.166666666666666666666L 6 1 = 0.142857 142857 142857 142857 L 7 987654321 = 8.00000007290000066339 123456789 000603684905493532699 11470239L
而且 : 987654321 9 = 8+ 123456789 123456789 而 9 9 91 −10 3 = 10 = 9 10 ∑ 10 123456789 10 − 91 n = 0 10
3 ∞ n
所以 987654321 91 3 −10 = 8 + 9 10 ∑ 10 123456789 n = 0 10
平面上过点 平面上过点(x1, y1),(x2, y2)的直线 过点 的直线 方程: 方程
x x1 x2
y 1 y1 1 = 0 y2 1
平面上过点(x 平面上过点 1, y1),(x2, y2), (x3, y3) 的圆方程: 的圆方程 2 2 x +y x y 1
x +y x +y x +y
•数的表示： 所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0 表示.(称为阿拉伯数字,但是由
印度人发明的.由阿拉伯人传 到西方.)形式上和位置上意义 非凡, 绝妙非常.实际上, 0的出 现大约要晚好几百年.
23 • 6 → 23 ∪ 6 → 2306
简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
美的不同表现形式有不同的形容： 壮美、俊美、秀美、柔美、优美 数学美也呈现多样性，我们分为： 简洁美、对称美、和谐美和奇异美。
简洁美是人们最欣赏的一种 美，在艺术、建筑、徽标等的 设计中最为常见。中国画更是 体现了简洁美。数学以简洁而 著称！
•大数和小数的表示： 10
221
，2
86243
，10
-900
此即为著名的费马猜想 : x +y =z
n n n
当n > 2时没有正整数解! 费马在一本书的边上写道, 他已经解决了 这个问题.但是没有留下证明在此后的300 . 年一直是一个悬念.
18世纪最伟大的数学家欧拉(Euler)证明了 n=3,4时费马定理成立； 后来，有人证明当n<10 是定理成立。 20世纪80年代以来，取得了突破性的进展。 1995年英国数学家Andrew Wiles的108页论 文解决了费马定理。他1996年获wolf奖， 1998年获Fielz奖。
十进制:符号多(10),表示上简洁,方 便人工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便 机器运算,但系统简单. 二进制与最简单的自然现象(信号的 二进制与最简单的自然现象 信号的 两极)结合 造就了计算机！ 结合,造就了计算机 两极 结合 造就了计算机！
其它符号的简洁美： 未知量：x,y,z 已知量：π,e, a,b,c 函数关系：f(x) 形状符号：
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3
x1 x2 x3
y1 1 =0 y2 1 y3 1
平面上所有直线一般形式： ax + by + c = 0 平面上所有二次曲线一般形式： ax + 2bxy + cy + dx + ey + f = 0
2 2
其性质和类型取决三个量： h = a + c, δ = a b b c a b d ,∆ = b d c e e f
其它符号的简洁美：
d − × ÷ 运算符号： +， ， ， ， sin,cos, , dx
F 函数与逻辑： 函数与逻辑： = 0 ⇒ v = c,牛 顿 第 一 定 律 d F = ( m v ), 牛 顿 第 二 定 律 dt m1 m 2 ，万有引力定律 F =k 2 r
几何：点对称、线对称、面对称、 球对称。球面被认为最完美！ 代数与函数论：共轭数（共轭复数、 共轭空间）。 运算：交换律、分配律，函数与反 函数运算。
二项式定理的展开式中的系数构成 的杨辉三角形： 的杨辉三角形：
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 1
命题变换中： 命题变换中： 命题 逆命题 否命题 逆否命题
统一与和谐美是数学美的又一侧面， 统一与和谐美是数学美的又一侧面， 它比对称美具有广泛性。 它比对称美具有广泛性。以几何与 代数的和谐与统一的表现为例： 代数的和谐与统一的表现为例：行 列式与矩阵
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
十进制与二进制:十进制:89 89= 1 2 +0 2 + 1 × 2 + 1 1× +0× ×2 +0×2 +0×2 +1×2 二进制:1011001
3 2 1 0 6 5 4