数学思想讲座-数学方法的优美
中考数学复习专题讲座五数学思想方法(含详细参考答案)
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1 10．（2012•德州）已知
A．3 B．，则a+b等于（）C．2 D．1
考点：解二元一次方程组。810360
专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．
解答：解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故选A．
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．
数学思想与数学文化——第三讲_数学思想方法介绍(1,2)
◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中学数学中几种常用的具体方法
◆ 待定系数法
◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
三. 几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构 造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体 与系统等。
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
数学解题的思维方法
◆ 数学推理方法（演绎法、
归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换 元法、初等变换方法）
☆精彩范例：
力学：牛顿万有引力定律； 电磁学：麦克斯韦方程组； 化学：门捷列夫元素周期表； 生物学：孟德尔遗传定律…
☆数学模型应用日益广泛的原因：
a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条 捷径。
附：
参考文献
[1] 王子兴．数学方法论．中南工业大学出版社．2002 [2] 徐利治．数学方法论选讲（第三版）．华中理工大学 出版社．2000 [3] 姜启源等．数学模型（第三版）．高等教育出版 社．2003
高二数学 数学学习方法讲座
祝愿同学们: 天天进步!
谢谢大家!
第八项：关注新教材更新的数学内容
第九项：用导数作为研究问题的方法上升为重要地位。
第十项：近年来高考命题改革的一个方向是试题切入容 易，深入困难。
第十一项：加强原理复习
第十二项：加强不等式复习
第十三项：高考将仍然“坚持多角度，多层次考查”的 命题思路。要求完全掌握定义法、分析法、反证法、 数学归纳法、构造法。
三、 怎样学习数学
（一）学习知识方面，狠抓联系 形成知识结构，以少胜多，以不 变应万变。 （二）重过程轻结果
（三）探究“字母代式”实质
（四）重视复习时培养规范简洁 的表达，这样既省时间又准确
四、 怎样解题
数学是应用性很强的学科，学习数学 就是学习解题。搞题海战术的方式、方法 固然是不对的，但离开解题来学习数学同 样也是错误的。其中的关键在于对待题目 的态度和处理解题的方式上。
36. 处理直线与圆的位置关系有两种方法： （1）点到直线的距离； （2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
37. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半 径 之间的关系.
38. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成 的直角三角形. 39.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否 会联想到这两个定义？
3．所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何 的、函数的、示意的）或数学式子（对文字题）将问题
表示出来？能否在图上加上适当的记号？
别 4．有什么隐含条件？
1．这个题以前见过吗？在哪里见过？ 以前做过吗？见过类似的问题吗？当 联 时是怎样想的？ 2．题中的一部分（条件，或结论，或 想 式子，或图形）以前见过吗？在什么 问题中见过？
23. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？ （若 ，其中 是等差数列， 是等比数列，求 的前n 项的和）
浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想
浅论初中数学课堂中如何体现数学美的思想初中数学作为数学教育的重要阶段，是培养学生数学思维能力和创新意识的关键时期。
在数学教学中，体现数学美的思想是非常重要的，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能提高学生的数学素养和解决问题的能力。
所以，如何在初中数学课堂中体现数学美的思想，是每一个数学教师都需要思考和实践的问题。
一、培养学生的审美能力数学美是一种独特的审美体验，它不仅仅是外表的美感，更是内在结构的美感。
因此，在数学教学中，应该培养学生对数学问题的审美能力，使他们能够从数学问题中感受到美的存在。
1.注重培养学生对问题本身的兴趣。
直观的问题会引起学生的兴趣，激发他们的学习热情。
而深入的问题会引发学生思考，培养他们的批判性思维能力。
通过这些问题的讨论和解答，学生可以慢慢理解数学中的美。
2.引导学生去感受数学的美。
数学美不仅仅是计算的结果，还包括数学公式和定理的美。
通过数学实例和例题的讲解，可以让学生体验到数学问题的独特之处，感受到其中的美。
3.从实践中展示数学的美。
数学家或许看到数学的美主要是从抽象的符号和定理中得出的，但学生往往无法从中体会到。
因此，数学教师应该尽量用实际的例子来揭示数学的美。
例如，通过建模和数据分析，让学生从实际问题中感受到数学的应用之美。
二、培养学生的创新思维数学美和创新思维是相辅相成的。
数学美需要学生拥有创新思维，而创新思维也可以进一步提升数学美的表达。
1.培养学生的观察力。
观察力是培养学生创新思维能力的基础，通过观察问题的特点和规律，可以帮助学生找到解决问题的方法和思路。
因此，数学教师在课堂上要引导学生多观察，积累问题的经验，并注意培养学生的审美观察力。
2.培养学生的思辨能力。
思辨能力是创新思维的核心，它能够让学生通过推理和思考来解决问题。
因此，数学教师应该在课堂上注重培养学生的逻辑思维能力，通过提出问题和引导学生找到解决问题的方法，锻炼学生的思考能力。
3.给学生提供创新的机会。
高中数学思想专题讲座--整体的思想方法
高中数学思想专题讲座---整体的思想方法一、知识要点概述解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．但思考方法并非对所有题目都适用，它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法．在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。
它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。
运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。
高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。
二、解题方法指导1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。
2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。
3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。
三、整体的思想方法主要表现形式1、整体补形【例1】甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都相等．若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a ，求碳原子到各个氢原子的距离．思路：透过局部→整体补形→构建方程 解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上．如图，将此四面体ABCD 补成正方体BD’，其中A’，B’，D’也在球面上．设碳原子到每个氢原子的距离为x ，则2x= BD’，BD’、AB （a ）、AA’之间的关系是a=AB=2AA’，2x=BD’=3AA’，因此，2x=，23a ⋅a x 46=∴．即碳原子到各个氢原子的距离为a 46． 评注：这里，我们将一个正四面体补成一个正方体，则正四面体的中心与各顶点的距离与正四面体棱长通过正方体的棱长搭桥立即建立联系，局部问题便在正方体这个整体内快速获解，体现了整体补形较高的思维价值．在立几中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六四面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体）补成长方体、四棱锥补成平行六面体，等等．近几年的高考题或高考模拟题中，经常出现这类问题，试题常常以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性．复习中大家要注意总结这种问题的补形规律，力争在高考中速战速决．【例2】、如图2，已知三棱锥子P —ABC ，10,PA BC PB AC PC AB ======P —ABC的体积为（ ）。
中学数学思想方法讲座讲稿
数学思想与数学方法简介临汾学院科研部李建堂1．1、什么是数学思想数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是人们对数学内容和数学方法的本质认识，是对数学知识、方法的进一步抽象和概括，是对数学规律的理性认识，是指导人们学习数学、解决数学问题的观点（如函数观点、统计观点、集合观点等）、原则。
然而，我们所谈的中学数学思想指的是基本、常见、较浅显的数学思想，如定义、定理、公式、法则等；人们常用数学思想来泛指某些具有重要意义的、丰富内容的、体系相当完整的数学成果，如：集合思想、函数思想、方程思想、统计思想、公理化思想等等。
1．2、什么是数学方法一般地，方法是指人们为了实现某种目的而采取的行为手段、方式、措施、策略等，它是一种实践活动，人们在实践活动中为实现这一目标，可以创设情境，有效地选择各种手段、方式、技巧、程序、措施、途径、策略等加以实现。
我们把讲授数学、学习数学、探究数学、应用数学等活动均称之为数学活动。
数学方法就是人们从事这种数学活动时所用的方法，是指某一数学活动过程的程序、手段和途径，是实施有关数学思想的策略。
1．3、数学思想与数学方法的联系数学思想是数学方法的灵魂，是处理问题的基本观点，是数学基础知识和基本方法的本质概括，是精神实质和理论的依据，是创造性地发展数学的指导思想，它来源于基础知识和基本方法，高于知识与方法，指导知识和方法的运用，能使知识向深、高层次发展；数学方法则是处理、探索、解决数学问题，实现数学思想的技巧手段和有效策略，是数学思想的表现形式。
当我们用同一个数学成果去解决某个问题时，可称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，可称之为思想。
一般地，数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想的指导下，运用相应的数学技能手段、策略实现的。
数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。
“数学思想方法”暂时没有严格的定义，它是在数学科学的发展中逐步形成起来的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂，是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的。
数学的思想方法
数学的思想方法数学是一门古老而又深邃的学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式。
数学的思想方法贯穿于我们日常生活的方方面面，无论是解决实际问题还是推理论证，都需要数学的思维方式来帮助我们进行思考和分析。
在数学的思想方法中，有许多重要的原则和技巧，它们对于我们理解和运用数学知识具有重要的指导意义。
首先，数学的思想方法强调逻辑性和严谨性。
数学是一门严谨的学科，它要求我们在思考和推理时要严格地遵循逻辑规律，不能出现逻辑混乱或者矛盾的情况。
在数学证明中，逻辑性和严谨性是至关重要的，只有通过严密的逻辑推理，才能得出正确的结论。
因此，数学的思想方法教会我们在思考和推理时要善于运用逻辑规律，严格地进行推理和论证。
其次，数学的思想方法注重抽象和概括。
数学是一门抽象的学科，它通过抽象和概括来揭示事物的本质和规律。
在数学中，我们经常需要将具体的问题抽象成数学模型，然后通过对模型的分析和推理来解决实际问题。
因此，数学的思想方法教会我们在思考和分析问题时要善于进行抽象和概括，从而能够更好地理解和解决问题。
另外，数学的思想方法注重严密的推理和精确的表达。
在数学中，推理是一种重要的思维方式，它要求我们在推理过程中要严密而精确，不能出现模棱两可或者不严谨的情况。
同时，数学的思想方法还要求我们在表达数学概念和结论时要准确而清晰，不能出现歧义或者模糊的表达。
因此，数学的思想方法教会我们在进行推理和表达时要注重严密性和精确性，从而能够更好地理解和传达数学知识。
最后，数学的思想方法强调创造性和启发性。
数学是一门富有创造性的学科，它要求我们在解决问题和发现规律时要具有创造性的思维。
同时，数学的思想方法还要求我们在教学和学习中要注重启发性，激发学生的兴趣和潜能，培养他们的创造性思维能力。
因此，数学的思想方法教会我们在思考和学习数学时要具有创造性和启发性，从而能够更好地发现和解决问题。
总之，数学的思想方法是一种重要的思维方式，它对于我们理解和运用数学知识具有重要的指导意义。
数学思想方法数学课堂活的灵魂
小学数学教学中渗透数学思想方法的实践与思考困惑数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。
结合数学知识的教学，对学生进行数学思想与方法的引领应当是小学数学教学一项十分重要的任务。
观察我们的小学数学课堂，往往能看到一条明线（数学知识），有时却看不到一条暗线（数学思想和方法）。
看不到暗线的数学课堂趋向于例题教学，教师常照本宣科，重模仿、技巧和记忆，对数学的思想方法缺乏必要的引导，导致学生数学思维能力得不到真正的提高。
如两位教师教学“观察物体”一课，不同的教学定位演绎出不同的教学效果。
甲老师教学片断：出示教学情景图。
师：三个小朋友在观察“小药箱”，能说说你观察到的结果吗？生1：我看到了“小药箱”的正面，是一个长方形，里面有“小药箱”三个字和一条横线。
生2：我看到了“小药箱”的右面，也是一个长方形，里面有“一班”两个字和一条横线。
生3：我看到了“小药箱”的上面，也是一个长方形，中间有一个红十字。
生4：我一次最多只能看到三个面。
师：同学们观察得很仔细，你能把观察的结果画下来吗？有困难的同学可以请教课本。
（学生画观察结果）师：课本上已经表明了“从正面看”的结果，你能写出另外两个观察结果是从什么方向观察的吗？完成后，小组交流。
生5：长方形加一条横线的，是从左面观察的；长方形加中间有一个红十字的，是从上面观察的。
师：真不错，同学们很会观察。
乙老师教学片断：师：现在老师请大家来当一回侦探，你有兴趣吗？（有！）猫博士刚刚研制出一种新药，他把新药放在小药箱里，可是有一天，他发现药不见了，是谁偷了药？“冒险小虎队”找到四只见到过药箱的小老鼠（其中有一只小老鼠一定是偷药的），让他们说出观察到的药箱：A 我看到的那一面上画了个红十字。
B 我看到的那面上写着：小药箱。
C 我看到的是白色的面，没什么标记。
D 药箱有一个面是正方形。
出示小药箱图片：师：偷药的小老鼠因心虚说了谎话，你能找到它吗？生1：我确定D老鼠是偷药的，因为它说了谎。
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10本书，共3类（抽屉），文学类 （x）、史学类（y）和数学类（z）， 证明x,y,z至少有一个大于或等于4。 抽象为一个纯数学问题：
假设 x , y , z是非负整数,且 x + y + z = 10, 则或 x ≥ 4, 或 y ≥ 4, 或 z ≥ 4.此即为不定方 程的非负解的下界估计问题.
假设人类的头发最多为200万根，那 么长春市至少有2人的头发根数一样 多。（长春市人口超过200万） 作业：在任意6人中，一定可以找到 3个相互认识，或3个相互不认识的 人。
RMI：R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它 属于形式逻辑范畴。如“三段式”给 人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思 想的方法。
设q = 2m, 则p = 2m , 于是p也为偶数.矛盾.
2 2
1 是有理数至多7步 7 就可以找到规律.
例2（抽屉原理）
3个苹果放进2个抽屉中，至少有1个 抽屉中有两个苹果。 （反证法易得） 10本书，共3类（抽屉），文学类 （A）、史学类（B）和数学类 （C），证明至少有一类有4本或4 本以上。
R
x3 x5 x7 x 2 n +1 y(x) = x − + − + L + ( − 1) n +L 3 5 7 2n + 1
M,逐项微分
y '( x ) = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + L + ( − 1) n x 2 n + L = 1 1+ x2
I,积分
y ( x) = ∫ 1 π dx = arctan x, y = y (1) = . 1 + x2 4 0
例1
211 = 2 × 210 = 2 × 1024 = 2048 211 = 23 × 24 × 24 = 8 × 16 × 16 = 8 × 256 = 2048
显得容易。
例2 2 等于多少 ?
1 0.3010 很难, 但是 lg 2 = lg 2 ≈ ≈ 0.0273 11 11
1 11
1 11
？ ？
经过一次？
D A B C
A
B
C
D3 A 3 C 3
B 5
1 4 2 2
3
3
1
点线图——拓扑学topology: 不注重数量关系和形状特征，而注重 点与点的连接方式！ 如：建立校园网络系统。从网络中心 到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼， 到各办公室、教室和寝室。你任何设 计呢？你需要建立一个网络的拓扑图 即可。实际上如果两个图的点与连接 方式一致，它们数表得到 : 11 2 ≈ 1.065.
运算
x → lg x → 1 0
lg x
→
x
数值
曲折：化难为易 曲折：创造、发明 曲折：实现的根据是对数 Galileo：给我空间、时间和对数， 我即可创造一个宇宙。 RMI的体现：R：2 I:10
lgx 1/11
，M：lgx ,
例3: 求和
y =1− 1 1 1 1 + − + L + ( − 1) n +L 3 5 7 2n + 1
拓扑学的产生与发展进一步表现了数 学的抽象程度，起抽象的美与实际是 如此的协调，展示了数学的优美！ 拓扑学的产生极大冲击了直观性 原则！ 1 人的认知能力(直观，抽象飞跃) 2 直观与抽象在认识上的统一受年 龄和知识的接受方式的限制. 3 直观可能造成错觉.
思辩的作用越来越大.直观具有较大 的局限性. 物理学、化学、生物学等学 科中许多重大发现和突破是有想象力 开导的。 善于抽象不仅只限于数学，人文科 学、社会科学，更越来越抽象，只不 过给人的感觉不象数学强烈而已。
x
数学上互逆的运算很多:如0的作 用是+项与-项;1的作用是乘项与 除项.
抽象=枯燥乏味? 语言学抽象吗? 美、神、好 文学抽象吗？诗歌 艺术抽象吗？绘画、舞蹈 音乐抽象吗？高山流水、悲 欢离和
数学的抽象美的表现形式不同，它给 人带来的是简洁、明快和高效的美
例1（七桥问题）如图，能否从 某个桥出发，走过所有的桥， D 但每座桥只
观点和方法是数学的两个方 面：既紧密联系，又有所区别。 但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美。
“不能不” 法
反证
通常的证明方法： “对”
矛盾
“不对”
例1
2是无理数.
反证法：假设 2是有理数, 那么存在不可约
的正整数p, q, 使得
q 2 = ⇒ 2 p 2 = q 2 ⇒ q为 偶 数 . p