控制系统仿真及MATLAB语言 连续系统的离散化方法
实验二-基于Matlab的离散控制系统仿真
实验二基于Matlab的离散控制系统仿真一、实验目的1)学习使用Matlab命令对离散控制系统进行仿真的方法。
2)学习使用Simulink工具箱对离散控制系统进行仿真的方法。
二、实验原理1. 控制系统命令行仿真一阶系统闭环传递函数为3()G ss+3请转换为离散系统脉冲传递函数并仿真。
根据要求实验有实验数据和所得图形如下：连续零极点图函数：离散函数零极点图：连续函数根轨迹图:离散函数根轨迹图：连续函数单位脉冲响应曲线：离散函数单位脉冲响应曲线：连续函数单位阶跃响应：离散函数单位阶跃响应：连续函数波特图：离散函数波特图：连续函数艾奎斯特曲线：离散函数艾奎斯特曲线：连续函数尼科尔斯曲线：离散函数尼科尔斯曲线：2. 控制系统simulink 仿真按图建立系统的Simulink 模型，对不同的输入信号进行仿真，改变参数，观察不同的仿真结果。
图1 控制系统Simulink 仿真图解答于实验内容第二问三、实验内容1) 二阶系统传递函数为225()4+25G s s s =+，请转换为零极点模型，离散系统模型（采样时间为1），以及离散零极点模型，并进行基于matlab 命令的仿真研究（求连续和离散系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、零极点分布图、根轨迹、波特图、奈奎斯特曲线、尼科尓斯曲线等）。
根据题意实验所得有：连续单位脉冲响应离散单位脉冲响应连续单位阶跃响应离散单位阶跃响应连续零极点分布图离散零极点分布图连续根轨迹离散根轨迹连续波特图离散波特图连续奈奎斯特曲线离散奈奎斯特曲线连续尼科尓斯曲线离散尼科尓斯曲线2)按图1建立系统的Simulink模型，对不同的输入信号进行仿真。
改变模型参数，观察不同的仿真结果。
Step输入：Ramp输入:当函数分子分别为1，10，100，500时有：经过实验可以看出分子越大超调越大，调整时间越大。
3)将上述系统离散化并基于Simulink仿真，观察仿真结果。
根据题意实验有：Step输入：Ramp输入：分子为1时：Step输入：Ramp输入：分子为250时：Step输入：Ramp输入：四、实验报告1)按照实验报告所要求的统一格式，填写实验报告；2)记录实验过程、实验结果和图表。
计算机仿真技术与CAD——基于MATLAB的控制系统(第2版)[李国勇]第4章连续系统按环节离散化的数字仿真
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u(kT 1)T
) ]
u[(k T
1)T ] (k
(t T
k t
T) (k
1)T
(4-5)
)
当t=(k+1)T时
uh[(k 1)T ] u(kT)
u[(k
1)T ]
u(kT)
u[(k T
1)T ]
(4-6)
13
今对典型环节中系数a,b,c,d的不同情况，求离散
状态变量式输出量的解。
1．当a≠0,b=0(相应有比例、微分和比例微分等环节) 时，由式（4-4）可得
A a 0, B c
b
b
（4-13）
代入式（4-10）后可得
z[(k 1)] z(kT) cT u(kT) cT u[(k 1)T ]
2b
2b
同样由式（4-8）和式（4-6）两式可得
x[(k 1)T ] z[(k 1)T ] d u(kT) （4-14）
b
17
今将以上三种情况下的典型环节的仿真模 型归纳为一个统一公式
2
4.1 连续系统的离散化
设连续系统的状态空间表达式为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t
)
Cx(t)
Du(t)
其状态方程的解为
(4-1)
t
x(t) e At x(0) e A(t ) Bu ( )d
0
3
对于kT及（k＋1）T两个相邻的采样时 刻，状态变量的值分别为
kT
x(kT) e A(kT ) x(0) e A(kT ) Bu ( )d
if (u>u1)
if ((u-s)>=x1) x=u-s;else x=x1;end
控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法46页PPT
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁ห้องสมุดไป่ตู้
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
MATLAB与控制系统仿真
用tf（ ）命令可以建立一个传递函数模型，或将零极点增益模型和 状态空间模型转换为传递函数模型。 tf（ ）命令调用格式如下： Sys=tf(num,den): 用于生成S传递函数。
传递函数的部分分式展开 传递函数有时需要进行有理分式的分式展开。所谓部分 分式展开，就是将高阶的有理分式化为若干个一阶有理 分式之和的形式。如果传递函数G(s)不包含多重极点， 那么，将G(s)用部分分式展开后即可得到： n r
其中，k是常数项，对于真分式来说 k=0； r是各分式的系数，p是系统的极点。 MATLAB提供了一条函数residue( )可以求解有理分式的 部分分式展开，其基本调用格式为：(R,P,K)=residue(B,A) 其中B和A分别是降幂排列的该有理分式的分子和分母多 项式系数：R是求得的部分分式展开的各分式系数，P是 系统极点，K是常数项。
G1 ( s ) s5 ( s 1)(s 3 )
G2 ( s ) s 2 4s 4 )
系统输入信号为r(t)=sin(t),用Simulink求系统输出响应。
5.3.2 时域响应性能指标求取
调用单位阶跃响应函数step()，可以获得系统的单位阶跃 响应，当采用[y,t]=step(G)的调用格式时，通过对y,t的计 算，可以得到时域性能指标。 1. 峰值时间(timetopeak) [Y,k]=max(y) %求出y的峰值及相应的时间 timetopeak=t(k) %获得峰值时间 2 . 超调量(percentovershoot) C=dcgain(G) %求取系统的终值 [Y,k]=max(y) %求出y的峰值及相应的时间 percentovershoot=100*(Y-C)/C %计算超调量
基于MATLAB控制系统的仿真与应用
毕业设计（论文）题目基于MATLAB控制系统仿真应用研究系别信息工程系专业名称电子信息工程班级学号088205227学生姓名蔚道祥指导教师罗艳芬二O一二年五月毕业设计（论文）任务书I、毕业设计(论文)题目：基于MATLAB的控制系统仿真应用研究II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求：原始资料：（1）MATLAB语言。
（2）控制系统基本理论。
设计技术要求：（1）采用MATLAB仿真软件建立控制系统的仿真模型，进行计算机模拟，分析整个统的构建，比较各种控制算法的性能。
（2）利用MATLAB完善的控制系统工具箱和强大的Simulink动态仿真环境，提供方框图进行建模的图形接口，分别介绍离散和连续系统的MATLAB和Simulink仿真。
I I I、毕业设计(论文)工作内容及完成时间：第01～03周：查找课题相关资料，完成开题报告，英文资料翻译。
第04～11周：掌握MATLAB语言，熟悉控制系统基本理论。
第12～15周：完成对控制系统基本模块MATLAB仿真。
第16～18周：撰写毕业论文，答辩。
Ⅳ、主要参考资料：[1] 《MATLAB在控制系统中的应用》，张静编著，电子工业出版社。
[2]《MATLAB在控制系统应用与实例》，樊京，刘叔军编著，清华大学出版社。
[3]《智能控制》，刘金琨编著，电子工业出版社。
[4]《MATLAB控制系统仿真与设计》，赵景波编著，机械工业出版社。
[5]The Mathworks,Inc.MATLAB-Mathemmatics(Cer.7).2005.信息工程系电子信息工程专业类0882052 班学生（签名）：填写日期：年月日指导教师（签名）：助理指导教师(并指出所负责的部分)：信息工程系（室）主任（签名）：学士学位论文原创性声明本人声明，所呈交的论文是本人在导师的指导下独立完成的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含法律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成果。
(整理)利用MATLAB进行离散控制系统模拟.
实验利用MATLAB进行离散控制系统模拟本试验的目的主要是让学生初步掌握MATLAB软件在离散控制系统分析和设计中的应用。
1．连续系统的离散化。
在MATLAB软件中，对连续系统的离散化主要是利用函数c2dm( )函数来实现的，c2dm( )函数的一般格式为C2dm( num, den, T, method)，可以通过MATLAB的帮助文件进行查询。
其中：Num：传递函数分子多项式系数；Den：传递函数分母多项式系数；T：采样周期；Method：转换方法；允许用户采用的转换方法有：零阶保持器（ZOH）等五种。
2．求离散系统的相应：在MATLAB中，求采样系统的响应可运用dstep( )，dimpulse( )，dlsim( )来实现的。
分别用于求取采样系统的阶跃，脉冲，零输入及任意输入时的响应，其中dstep( )的一般格式如下：dstep( num, den, n)，可以通过MATLAB的帮助文件进行查询。
其中：Num：传递函数分子多项式系数；Den：传递函数分母多项式系数；N：采样点数；3．此外，离散控制系统也可以用simulink工具箱进行仿真，仿真界面如下图（采样周期可以在对应模块中进行设定）。
1．编制程序实现上面三个仿真程序。
2．把得到的图形和结果拷贝在试验报告上。
3．在第1个例子中，改变采样周期为0.25，重新运行程序，把结果和原来结果进行比较，并说明为什么？4．在第2个例子中，改变采样点数为70，重新运行程序，把结果和原来结果进行比较，并说明为什么？同样，改变采样周期T，观察不同周期下系统阶跃响应的动态性能，分析采样周期对系统动态性能的影响。
1.1）num=10;den=[1,7,10];t=0.1[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh');printsys(numz,denz,'z')得出结果：t =0.1000num/den =0.039803 z + 0.031521------------------------z^2 - 1.4253 z + 0.49659若t改为0.25:num=10;den=[1,7,10];t=0.25[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); printsys(numz,denz,'z')得出结果为：t =0.2500num/den =0.18012 z + 0.10062-------------------------z^2 - 0.89304 z + 0.173772）num=10;den=[1,7,10];t=0.25;i=[0:35];time=i*t;[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); yc=step(num,den,time);y_zoh=dstep(numz,denz,36);[xx,yy]=stairs(time,y_zoh);plot(time,yc,'r'),holdplot(xx,yy,'r'),hold;grid采样点数改为70：num=10;den=[1,7,10];t=0.1;i=[0:70];time=i*t;[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); yc=step(num,den,time);y_zoh=dstep(numz,denz,71);[xx,yy]=stairs(time,y_zoh);plot(time,yc,'r'),hold周期改为0.25：3num=[0.008,0.072];den=[1,-1.905,0.905];t=0.1;i=[0:35];time=i*t;[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); yc=step(num,den,time);y_zoh=dstep(numz,denz,36);[xx,yy]=stairs(time,y_zoh);plot(time,yc,'r'),holdplot(xx,yy,'r'),hold;gridSimulink 实现：仿真时间：10仿真时间700：3(3) 采样周期不同，得出的Z变换也不同，说明Z变换的结果随采样周期的变化而变化。
连续系统离散化分析
1实验一 离散系统的分析一 实验目的1．学习利用采样控制理论；2．使用MATLAB 理论进行分析；3. 学习利用z 变换与反变换分析离散控制系统；二、实验步骤1．开机执行程序C ：＼matlab ＼bin ＼matlab.exe (或用鼠标双击图标)进人MATLAB 命令窗口;2．运用所学自动控制理论z 变换与反变换，使用MATLAB 的基本知识分析离散控制系统的基本性质及进行控制系统的设计。
3. MATLAB 离散系统基本命令模型转换1）连续系统离散化sysd=c2d(sys,T) T 为采样时间sysd=c2d(sys,T,method)method 有四种模式：a. ‘zoh’---采用零阶保持器，b. ‘foh’---采用一阶保持器，c. ‘tustin’---采用双线性逼近（tustin ）方法，d. ‘preqarp’---采用改进的（tustin ）方法，2）离散系统连续化sys=d2c(sysd,T,method) T 为采样时间例 设)1(1)(+=s s s g ， T=0.1s , 求G(z) 键入命令：sys=tf([1],[1 1 0]);c2d(sys,0.1) %采样时间0.1s得到离散传递函数：当采样时间取T=1s 时：0.004837 z + 0.004679 G （z ）= ---------------------------- z^2 - 1.905 z + 0.9048 0.3679 z + 0.2642 G （z ）= ---------------------------- z^2 - 1.368 z + 0.36792例 系统脉冲传递函数为6322.02644.03678.0)()(2+−+=z z z z R z C ，求离散单位阶跃响应。
解. 在MATLAB 窗口键入以下程序num=[0.3678 0.2644];den=[1 -1 0.6322];dstep(num,den)结果件下图：三、实验内容有系统1）其中K ＝10，T ＝0.25s,求单位阶跃函数r(t)=1 (t)作用下的响应。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
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K
2
A(xk
h 2
K1) Bu(tk
h) 2
K
3
A(xk
h 2
K2)
Bu(tk
h) 2
K4 A(xk hK3) Bu(tk h)
yk+1 Cxk+1
RK法的特点：
1 需要存储的数据少，占用的存储空间少； 2 只需知道初值，即可启动递推公式进行计
算，可自启动； 3 容易实现变步长运算。 4 每积分一步需要计算多次右函数，计算量
j 1
1)当r=1时：
xk1 xk ha1k1,
k1 f (tk , xk ),
与Taloy展开式相比较，可得a1=1,则上式成为
xk1 xk hk1 xk hf (tk , xk ),
欧拉递推公式
2)当r=2时：
k2
k1 f tk ,xk f tk b1h, xk hb2k1
t10 1.0, y10 y910.1y9 0.4628
已知方程的解析解为
y 1 1 t
精确解和解析解作比较：
t
0
精确解 1
数值解 1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 …… 1.0
0.909 0.833 0.769 0.666 0.625 …… 0.5
0.9 0.819 0.752 0.659 0.647
h
xk 1
xk
( 6
K1
2K2
2K3
K4
)
K1 f tk ,xk
K2
K3
f f
tk
tk
h 2
,
xk
h 2 , xk
h
2 h
2
K1
K
2
K4 f tk h,xk hK3
仿真中遇到的大多数工程实际问题，四阶龙格库塔法以能 满足精度要求，其截断误差o(h5) 与h5同数量级。该法可以 自启动。
4)、状态空间四阶龙格-库塔递推式 若单输入单输出系统的状态空间表达式为：
X& AX BU Y CX DU
在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程
x&i ai1x1 ai2x2 L ain xn biu fi (t, x1, x2, x3,L , xn )(i 1, 2,L , n)
例 设系统方程为
g
x x2, x0 1
用Euler法求其数值解（取步长 h0.1, 0 t 1 )
递推公式为
xn1 xn hf tn , xn xn 1 0.1xn
则
t0 0, y0 1
t1 0.1, y1 y010.1y0 0.9 t2 0.2, y2 y110.1y1 0.90.91 0.819 t3 0.3, y3 y210.1y2 0.81910.10.819 0.7519
xnk ]T
K1 [k11
k21 L kn1]T , K2 [k12
k22 L kn2 ]T
K3 [k13
k23 L kn3 ]T , K4 [k14
k24 L kn4 ]T
状态方程的四阶龙格-库塔公式如下：
xk +1
xk
h 6
(K1
2K 2
2K 3
K4)
K1 Axk Bu(tk )
第四章 连续系统的离散化方法
4.1 常微分方程的数值解法
一. 数值求解的基本概念
设微分方程为
dx
dt
f
(t,
x)
x(t0 ) x0
则求解方程中函数x(t)问题的常微分方程初值问题
所谓数值求解就是要在时间区间[a, b]中取若干离散点
a t0 t1 L tN b hn tn1 tn
0.463
误差在 10 2 数量级， 精度较差。
2. 龙格库塔法※
基本思想：取Taylor级数展开式前三项
近似求解，并利用线性组合代替导数的 求解。
既可避免计算高阶导数，又可提高
数值积分的精度，这就是Runge-Kutta
法的基本思想。
2.
龙格库塔法※
x(t0 h) x(t0 )
xk1 xk h fk
h 2
ki1 )
biu(tk
h) 2
ki3
ai1 ( x1k
h 2
ki2 )
L
ain (xnk
h 2
ki2 )
biu(tk
h) 2
ki4 ai1(x1k hki3 ) L ain (xnk hki3 ) biu(tk h)
另 xk+1 [x1k1
xk 1 2
L
xnk1]T , xk [x1k x2k L
求出微分方程在这些时刻的近似值 x0 x1 x2 L xN
x(t0
h)
x(t0
)
h
g
x(t0 )
h2 2!
x(2) (t0
)
L
hk k!
x(k)
(t0 )
1. 欧拉法
矩形面积
取前两项近似： xk1 hf (tk , xk ) xk
取k=0,1,2,…N,从t0开始，逐点递推求解t1时的y1， t2时的 y2…,直至tn时的yn，称之为欧拉递推公式。
这种方法的几何意义就是把f(t,x)在 区间[tk,tk+1]内的曲边面积用矩形面 积近似代替。计算简单，计算量小，
而且可以自启动。当h很小时，造成
的误差是允许的。该算法具有一阶 精度。
欧拉法的特点：导出简单，几何意
义明显，便于理解，能说明构造数 值解法一般计算公式的基本思想。 通常用它来说明有关的基本概念。
g
h x(t0 )
h2
' fxk ' fk )
)
f 'tk f 'xk 等各阶导数不易计算，用下式中 ki的线性组合代替
r
xk1 xk h aiki
线性组合
i 1
r为精度阶次，ai为待定系数，由精度确定；ki用下 式表示
i 1
ki f (tk b1h, xk hb2 k j ) , i 2, 3L , r
根据四阶龙格-库塔公式,有
T=tk+h时刻的xi值
T=tk时刻的xi值
xk 1 i
xik
h 6
(ki1
2ki 2
2ki3
ki4 )
(i 1, 2,L , n)
ki1 ki 2
ai1x1k ai2 x2k L ain xnk biu(tk )
ai1 ( x1k
h 2
ki1 )
L
ain (xnk
大。
3.常微分方程Matlab求解
基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解 的函数，一般调用格式为：
将 f tk b1h,xk hb2k1 在点 tk ,xk 展成Taylor级数
k2 fk b1hftk b2hk1 fxk
与台劳公式的二阶展开近似公式相比，可得以下关系：
ba12
a2
a2
1 12
a2b1 1 2
三个方程，四个未知数，解不唯一
各个系数的几种取法——见书上。
3) r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：