高等数学中值定理的题型与解题方法

高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.

全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。

题型一：证明：()0n f ξ=

基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()(

)02

a b

f a f +<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.

分析：由()()0f a f b >>，()(

)02

a b

f a f +<，容易想到零点定理。证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2

a b

x a +∈，使得1()0f x =，

又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02

a b

f b f +<，

∴存在2(,)2

a b

x b +∈，使得2()0f x =，

∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.

例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =，证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）

()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，

∴根据介值性定理(0)(1)(2)

f f f m M ++≤

≤，即1m M ≤≤

∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，

（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈?，

使得'()0f ξ=.

例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x =

证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）

(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，

（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，

∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，

（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==，

∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈?，使得'''()0F ξ=，

例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22

f =，(1)2f =

证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：

(0)1f =，11

()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，

又

()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=

题型二：证明：含ξ，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。''()

[ln ()]()

f x f x f x =

能够化成这种形式例1. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)可导，(1)0f =，

证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()3()0f f ξξξ+=.

分析：由3'()3

'()3()00[ln ()]'(ln )'0()f x xf x f x f x x f x x

+=?

+=?+=，证明：令 3()()x x f x ?=，(0)(1)1??==

存在(0,1)ξ∴∈，使得'()0?ξ=，而23'()3()'()0f f ?ξξξξξ=+= 存在(0,1)ξ∈，使得'()3()0f f ξξξ+=

例2. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b ==，

证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()2()0f f ξξ-=.

分析：由2'()

'()2()020[ln ()]'(ln )'0()

x f x f x f x f x e f x --=?

-=?+=，

证明：令 2()()x x f x e ?-=，()()0f a f b ==，()()0a b ??∴==

存在(,)a b ξ∴∈，使得'()0?ξ=，而即存在(,)a b ξ∈，使得'()2()0f f ξξ-=

例3. ()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)f f =，

证明：存在(0,1)ξ∈，使得2'()

''()1f f ξξξ

-. 分析：由22'()''()2

''()0[ln '()]'[ln(1)]'01'()1

f x f x f x f x x x f x x =

?+=?+-=--，证明：令 2()'()(1)x f x x ?=-，(0)(1)(0,1)f f c =??∈，使得'()0f c =，

所以2()'()(1)0c f c c ?=-=，又因为(1)0?=()(1)0c ??∴==

∴由罗尔定理知，存在(0,1)ξ∈，使得2'()

''()1f f ξξξ

-. 记：① '()()kx f kf x e f x ?+?=

② '()()k f kf x x f x ξ?+?= （2）分组构造法。

① ''()()f f ξξ=

② ''()()10f f ξξ-+=（还原法行不通）

例1. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，11(0)0,()1,(1)2

f f f ===，

证明：①存在(0,1)c ∈，使得()f c c =，

②存在(0,1)c ∈，使得'()2[()]1f f ξξξ--=.

证明：① 令 ()()x f x x ?=-，111(0)0,(),(1)2

???∴===-

1()(1)02

??<，1(,1)(0,1)2

c ∴?∈?使得()0c ?=，即()f c c =

② （分析）'()2[()]1[()]'2[()]0f x f x x f x x f x x --=?---=

令 2()[()]x h x e f x x -=-，(0)()0h h c ∴==

∴存在(0,1)c ∈，使得'()2[()]1f f ξξξ--=.

题型三：证明：含,ξη.

分几种情形：情形1：结论中只有'(),'()()f f ξη??

?找三句次La gr a nge

点

两话两

例1. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1f f ==，

证明：①存在(0,1)c ∈，使得()1f c c =-，

②存在,(0,1)ξη∈，使得'()'()1f f ξη=.

证明：① 令 ()()1x f x x ?=-+，(0)1,(1)1??∴=-=(0)(1)0??< (0,1)c ∴?∈使得()1f c c =- ②(0,),(,1)c c ξη?∈∈,使得()(0)1'()f c f c

f c c

ξ--=

(1)()'()11f f c c

f c c

η-=

--，所以存在,(0,1)ξη∈，使得'()'()1f f ξη= 例2. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1f f ==，

证明：①存在(0,1)c ∈，使得1()2

f c =，

②存在,(0,1)ξη∈，使得

2'()'()

f f ξη+=. 证明：① 令 1

()()2

x f x ?=-，11(0),(1)22

??∴=-=，(0)(1)0??<

(0,1)c ∴?∈，使得1()2

f c =

②(0,),(,1)c c ξη?∈∈,使得()(0)1

'()2f c f f c c

ξ-=

=， (1)()1'()12(1)f f c f c c η-=

=--，所以存在,(0,1)ξη∈，使得

2'()'()

f f ξη+= 情形2：结论中含有,ξη，但是两者复杂度不同。例1. ()[,]f x C a b ∈，在(,)(0)a b a >内可导

证明：存在,(,)a b ξη∈，使得'()

'()()

2f f a b ηξη

=+. 证明：① 令 2()F x x =，'()20F x x =≠由柯西中值定理

(,)a b η∴?∈使得

22()()'()2f b f a f b a ηη-=-，所以()()'()

()2f b f a f a b b a ηη

-=+-

(,)a b ξ∴?∈使得()()

'()f b f a f b a

ξ-=

-，得证。

例2. ()[,]f x C a b ∈，在(,)(0)a b a >内可导

证明：存在,(,)a b ξη∈，使得2'()'()abf f ξηη=. 证明：① 令 1()F x x =-，2

'()0F x x =-

≠由柯西中值定理 (,)a b η∴?∈使得

2()()'()111f b f a f b a ηη

-=-+，所以2()()

'()f b f a ab f b a ηη-=-

(,)a b ξ∴?∈使得()()

'()f b f a f b a

ξ-=

-，得证。

例3. ()[,]f x C a b ∈，在(,)a b 内可导, ()()1f a f b ==

证明：存在,(,)a b ξη∈，使得['()()]1e f f ηξηη-+=. (分析：“留复杂”['()()]e f f ηηη+)

证明：① 令 ()()x x e f x ?=，由拉格朗日中值定理

(,)a b η∴?∈使得

()()['()()]b a e f b e f a e f f b a

ηη-=+-， ['()()],(,)b a e e e e f f a b b a

ξηηηξ-∴==+∈-，即['()()]1e f f ηξηη-+=. 题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。 ()f x 可导

①()()'()f b f a f b a ξ-=-

②见到3点两次使用拉格朗日中值定理。

例1. lim '()x f x e →∞

=，且lim[()(1)]lim(

),x

x x x c f x f x x c

→∞

+--=-则 c = 解：()(1)'()(1)f x f x f x x ξξ--=-<<，

lim '()x f x e →∞

又因为2lim 2222lim(

)lim[(1)]x x c c x x x c c c x c x c

x x x c c e e x c x c

→∞---→∞→∞+=+==-- 例2. '()0,''()0f x f x >>，且000'(),()(),0dy f x x y f x x f x x =??=+?-?>，则

,,0dy y ?的大小关系。

解：由拉格朗日中值定理知000'(),()y f x x x x x ξ?=?<<+?，

''()0,'()f x f x >∴单调递增

又00,'()'()x f x f ξξ<∴<

又因为00,'()'(),0x f x x f x dy y ξ?>∴?

例3. ()f x 在(,)a b 内可导，且'()f x M ≤，()f x 在(,)a b 内至少有一个零点。

证明：()()()f a f b M b a +≤-

证明：1）因为()f x 在(,)a b 内至少有一个零点，所以(,),()0c a b f c ?∈=

2）下边用两次拉格朗日中值定理

11()()'()(),(,)f c f a f c a a c ξξ-=-∈，

所以11()'()(),(,)f a f c a a c ξξ-=-∈

'()f x M ≤，1()(),(,)f a M c a a c ξ∴≤-∈

2()(),(,)f b M b c c b ξ≤-∈，()()()f a f b M b a ∴+≤- 例4. ()f x 在(,)a b 内二阶可导，有一条曲线()y f x =，如图证明：(,)a b ξ?∈，使得''()0f ξ=

证明：1）12(,),(,)a c c b ξξ?∈∈使得12()()()()

'(),'()f c f a f b f c f f c a b c

ξξ--=

-- 因为,,A C B 共线，所以12'()'()f f ξξ=，所以由罗尔定理知12(,)(,)a b ξξξ?∈?，使得''()0f ξ= 题型五：Taylor 公式的常规证明。

例1. '''()[1,1]f x C ∈-，(1)0,'(0)0,(1)1f f f -===

证明：存在(1,1)ξ∈-，使得'''()3f ξ=.

（题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！

()()(2)n f n ξ≥时考虑，但是()()0n f ξ=为题型一，考虑罗尔定理

2n =时比较尴尬，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢，

分情况：

(),(),()''()'(),'(),'()'(),'(),'()f a f b f c lagrange

f f a f b f c lagrange f a f b f c taylor ξ????

????

次拉格朗日中值定理解两决）

证明： 2311'''()''(0)

(1)(0)(10)(10),(1,0)2!3!

f f f f ξξ-=+

--+--∈-，两个式子相减得：12'''()'''()6f f ξξ∴+=

12'''()[,]f x C ξξ∈，'''()f x ∴在12[,]ξξ上有,m M ，则122'''()'''()2m f f M ξξ∴≤+≤

12'''()'''()

f f m M m M ξξ+∴≤

≤?≤≤，所以根据介值定理得：

存在12[,](1,1)ξξξ∈?-，使得'''()3f ξ=

例2. ()f x ，在[0,1]二阶可导，(0)(1)0f f ==，01

min ()1x f x ≤≤=-，

证明：存在(0,1)ξ∈，使得''()8f ξ≥.

证明：由01

min ()1x f x ≤≤=-知，存在(0,1)c ∈，使得()1f c =-且'()0f c =

由泰勒公式：211''()

(0)()(0),(0,)2!

f f f c c c ξξ=+

-∈， ①111(0,]''()8,2

c f ξξξ∈?≥=

②221(,1)''()8,2

c f ξξξ∈?≥=

例3. ()f x 在[,]a b 上二阶可导，''()f x M ≤，()f x 在(,)a b 内取最大值。证明：存在'()'()()f a f b M b a +≤-.

证明：由()f x 在(,)a b 内取最大值知，存在(0,1)c ∈，使得'()0f c =

所以存在'()'()()f a f b M b a +≤-.

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

高等数学证明方法

（3）反证法这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。例如，证明不是的多项式. 事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式. 又如，证明不存在（为自然数）. 事实上，利用反证法，假设存在且设，则有又因为所以有故这与产生矛盾，因此不存在. （2）分析法这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，……，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于因此就归结为证明. 利用拉格朗日中值定理及已知条件，有单调递增因此在时是单调递增的. 又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下：，欲使不等式成立，由所以只需，即成立. 取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立. 综合以上分析，就有，当时，，根据极限定义，有

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全) 一导数公式：二基本积分表：三三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

考研高数各章重点总结

一、一元函数微分学求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。二、一元函数积分学计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。三、函数、极限与连续求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。四、向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。五、多元函数的微分学判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。六、多元函数的积分学二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。七、无穷级数判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

微积分基本定理的证明

理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学指导老师：杨志林

摘要微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明

ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof

高数中值定理

第三章中值定理与导数的应用

中值定理与导数的应用的结构洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理常用的泰勒公式型 0,1,0∞∞型 21∞-∞型 ∞?0型00型∞ ∞Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 x x F =)() ()(b f a f =0 =n g f g f 1= ?2 11 2 21111∞∞∞-∞=∞-∞取对数令g f y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法. 导数的应用

第三章中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题

1. 中值定理泰勒中值定理设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在 ξ ,使（柯西中值公式） ) () ()()()()('' ξξg f b g a g b f a f =--（拉氏中值公式） )()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使罗尔中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=0 1 0)1(0 00)() ()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n n k n n x x n f x x n x f x f ξ拉氏中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导, 那末),(b a ∈?ξ,使

2017考研：高数常考的四大定理证明

2017考研：高数常考的四大定理证明一、求导公式的证明 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2. f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x) -f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同

高等数学定理及性质集锦

专升本高数定理及性质集锦 1、数列极限的存在准则定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：（1），（2），则定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理（1）（2）（3）当时，推论：（1）（2），（3） 3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 4、函数极限的定理定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）

满足条件：（1），（2），则有。 5、无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。 7、重要极限Ⅰ 8、重要极限Ⅱ是指下面的公式： 9、（2）（3） 10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） 11、闭区间上连续函数的性质在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理3（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C. 12、零点定理如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a， b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0. 13、初等函数的连续性定理初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 14、可导与连续的关系定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。 16、导数的计算 a、导数的四则运算法则设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有（1）（u±v）'=u'±v' （2）（u·v）'=u'·v+u·v' （3）（cu）'=c·u' （4）（5）（6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'

高数重要知识点汇总

高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二求极限的方法 1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=

高等数学公式定理整理

高等数学公式定理整理 1.01版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。蓝色为定理红色为公式三角函数恒等公式：两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α

积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数函数的特性： 1.有界性：假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1x2,那么就是单调减少函数。 3.奇偶性

高等数学中值定理的题型与解题方法

高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含： 1.罗尔中值定理 (rolle); 2. 拉格朗日中值定理 (lagrange); 3. 柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式 (taylor), 其中 (a,b) ，一定是开区间 . 全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明： f n ( ) 0 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理 (rolle) ，还要考虑极值的问题。例 1. f ( x) C[ a, b] 在 ( a, b) 可导， f (a) f (b) 0， f ( ) f (a b ) 0 ， a 2 证明：存在 (a,b) ，使得 f '( ) 0 . 分析：由 f ( a) f (b) 0 ， f (a) f ( a b ) 0 ，容易想到零点定理。 2 证明： f (a) f ( a b ) 0，存在 x 1 (a, a b ) ，使得 f (x 1 ) 0 ， 2 2 f (b) f ( a b ) 又 f (a) f (b) 0 ， f ( a), f (b) 同号， 0 ， ( a b , b) ，使得 f ( x 2 ) 2 存在 x 2 0 ， 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0，所以根据罗尔中值定理：存在 (a,b) ，使得 f '( ) 0 . 例 2. f ( x) C[0,3] 在 (0,3) 内可导， f (0) f (1) f (2) 3 ， f (3) 1 ，证明：存在 (0,3) ，使得 f '( ) 0 证明：（ 1） f ( x) C[0,3] ， f ( x) 在 [0,3] 使得上有最大值和最小值 M , m ，根据介值性定理 f (0) f (1) f (2) M ，即 m 1 M m 3 存在 c [0,3] ，使得 f (c) 1 ，（ 2） f (c) f (3) 1，所以根据罗尔中值定理：存在 (c,3) (0,3) ，使得 f '( ) 0 . 例 3. f ( x) 在 (0,3) 三阶可导， x [0,1] ， f (1) 0 ， F (x) x 3 f ( x) 证明：存在 (0,1) ，使得 F '''( ) 0 证明：（ 1） F (0) F(1) 0，存在 1 (0,1)，使得 F '( 1 ) 0 ，

关于高等数学常用公式大全

高数常用公式平方立方：三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina c os(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式

总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

高等数学同济第七版上册知识点总结归纳

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法

1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x

证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ；（2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。引理（微分中值定理）设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：