高一数学必修一函数单元测试及答案
人教版高一数学必修一第三单元《函数概念与性质》单元练习题(含答案)1
人教版高一数学必修一第三单元《函数概念与性质》单元练习题（含答案）1一、 单选题1.下列函数中，既是偶函数又是在区间(0，+∞)上单调递减的函数是( )A. y=cosxB. y=x² c. y=ln|x| D.y =e −|x|2. 已知函数f(x)={(3−a)x −3,(x ≤7)a x−6(x⟩7).若数列 aₙ满足 aₙ=f (n ),(n ∈N₊),且对任意的正整数m,n,(m≠n)都有(m −n )(aₙ−aₙ)>0成立，那么实数a 的取值范围是() A.[94,3) B.(94,3)C. (1,3) D. (2,3) 3. 下列函数中，与函数y=x(x≥0)有相同图象的 一个是( )A.y =√x 2B. y =√x 2xC.y =√x 33D.y =(√x)24. f (x)=-x²+4x+a, x∈[0,1],若f(x)有最小值-2, 则f (x)的最大值()A. -1B. 0C. 1D. 2A.12B. 1C. 2D.326.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且 f (x )在(0,+∞)上单调递增，则( )A. f(0)>f(log,2)>f(-log ₂3)B. f(log ₃2)>f(0)>f(-log ₂3) c. f(-log ₂3)>f(log,2)>f(0) D. f(-log ₂3)>f(0)>f(log,2)5. 已知函数f (x )={x +1(−1≤x ≤0)cosx(0<x ≤π2) 贝∫ π2−1f (x )dx =7. 已知定义域为R 的奇函数y=f(x)的导函数为 y =f ′(x ),当x≠0时, f ′(x )+f(x)x >0若 a =12f (12),b =−2f (−2),c =(ln 12)f (ln 12),则 a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. c<a<b8. 函数 f (x )=√x 2−2x −3的单调递减区间为( )A. (-∞,-1]B.(-∞,1] c. [1,+∞) D.[3,+∞)9.如图，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于( )A.-4B. -2C. 2D. 410.已知 f(x)={−2x 2+3x,−2≤x <0ln 1x+1,0≤x ≤2,若g(x)=|f(x)|-ax-a 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A.[ln33,12e )B.[ln33,1e )C.(0,1e )D.(0,12e) 11. 设 f(x)={1−√x,x ≥0,2x ,x <0,则f(f(-2))₃ 等于( )A. -1B.14C.12D.3212. 下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上是增函数的是( ) A.y =x 12B. y=ln|x| c.y=x|x| D. y=-x²。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(25)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若函数 f (x )=x 2−3x −4 的定义域为 [0,m ]，值域为 [−254,−4]，则实数 m 的取值范围是( ) A ． (0,4] B ． [−254,−4]C ． [32,3]D ． [32,+∞)2. 已知定义域在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy (x,y ∈R )，若 f (1)=2，则 f (−2) 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 163. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≤0 时，f (x )=2x 2−x ，则 f (1)= ( ) A ． −3 B ． −1 C ． 1 D ． 34. 据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）f (x )=√x x <m√mx ≥m （m ，c 为常数），已知工人组装第 4 件产品所用的时间为 30 分钟，工人组装第 m 件产品所用的时间为 15 分钟，则 m = ( ) A ．49 B ．25 C ．16 D ．95. 设 f (x ) 是定义在 R 上的函数若存在两个不等实数 x 1,x 2∈R ，使得 f (x 1+x 22)=f (x 1)+f (x 2)2，则称函数 f (x ) 具有性质 P ，那么下列函数：①f (x )={1x ,x ≠00,x =0；②f (x )=x 3；③f (x )=∣x 2−1∣；④f (x )=x 2．不具有性质 P 的函数为 ( ) A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④6. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A ． y =(x −1)2 B ． y =x 3 C ． y =1xD ． y =∣x ∣7. 已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 为增函数，且 f (x )⋅f (f (x )+1x )=1，则 f (1) 等于( ) A ． 1+√52B ．1−√52C ．1+√52或 1−√52D ． √58. 已知函数 f (x ) 满足：对任意 x 1,x 2∈R 有 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1，下列说法一定正确的是 ( ) A ． f (x ) 为奇函数 B ． f (x ) 为偶函数 C ． f (x )+1 为奇函数D ． f (x )+1 为偶函数9. 已知 a ∈{−1,2,12,3,13}，若 f (x )=x a 为奇函数，且在 (0,+∞) 上单调递增，则实数 a 的值为( ) A ． −1，3 B ． 13，3C ． −1，13，3D ． 13，12，310. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )={√x x <a√ax ≥a （a ，c为常数）．已知该工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 a 件产品用时 5 分钟，则 c 和 a 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，144 D ． 60，16二、填空题（共6题）11. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 A (a,b )，若函数 y =f (x ) 满足：∀x ∈[a −1,a +1]，都有y ∈[b −1,b +1]，则称这个函数是点 A 的“界函数”．已知点 B (m,n ) 在函数 y =−12x 2 的图象上，若函数 y =−12x 2 是点 B 的“界函数”，则 m 的取值范围是 ．12. 已知 f (x )=ax 7−bx 5+cx 3+2，且 f (−5)=m ，则 f (5)+f (−5) 的值为 ．13. 常见函数模型（1）一次函数模型： (k ≠0)； （2）二次函数模型： (a ≠0)； （3）反比例函数模型： (k ≠0)；（4）分段函数模型：y ={f (x ),x ∈I 1g (x ),x ∈I 2⋯⋯.14. 若 2f (x )+f (1x )=2x +12(x ≠0)，则 f (2)= ．15. 已知定义在区间 [−1,0)∪(0,1] 上的函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则不等式 f (x )>2x +f (−x ) 的解集为 ．16. 已知 f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3+⋯⋯+x+2020x+2021，F (x )=f (x +m )−n ，若函数 y =F (x ) 为奇函数，则 ∣x 2+m ∣+∣x −n ∣ 的最小值为 ．三、解答题（共6题）17. 某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，那么根据对市场的抽样调査发现：每投入 100 万元的广告费，所得的销售额是 1000 万元，问：该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益？18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 国庆期间，某旅行组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票价格为 900元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15000 元． (1) 写出飞机票的价格关于人数的函数；(2) 旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？20.用区间表示下列集合：(1) {x∣ x≥1}；(2) {x∣ x−2x+1≥0}；(3) {x∣ x=1,或2≤x≤8}；(4) {x∣ x<−4,或−1<x≤2}．21.判断下列函数的奇偶性．(1) f(x)=∣x∣⋅(3x−3−x)，x∈R．(2) f(x)=x(12x−1+12)，x∈R，x≠0．22.已知函数f(x)=(x−2)(x+a)，其中a∈R．(1) 若f(x)的图象关于直线x=1对称，求a的值；(2) 求f(x)在区间[0,1]上的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】如图，作出y=x2−3x−4的图象．,3]．由图可知，m∈[32【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的定义域的概念与求法2. 【答案】C【知识点】抽象函数3. 【答案】A【解析】因为当x≤0时，f(x)=2x2−x，所以f(−1)=2(−1)2−(−1)=3，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)=−f(−1)=−3．【知识点】函数的奇偶性4. 【答案】C=15为定值，【解析】由已知条件可知当x=m时，f(x)=√m且当x=4时，f(x)=30≠15，所以4<m．=30，解得c=60．所以f(4)=√4=15中，解得m=16．代入f(m)=√m【知识点】函数模型的综合应用5. 【答案】D【解析】 ① 选择的两点关于原点对称即可，如图（1），A 1(x 1,y 2)，A 2(x 2,y 2) 满足； ② 同 ①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）；③ 如图，y =1 与 f (x ) 的交点满足题意，当然，其他点对也有满足； ④ 没有满足的点对，证明：假设存在 x 1,x 2∈R ，使得：f (x 1+x 22)=f (x 1)+f (x 2)2，即：(x 1+x 22)2=x 12+x 222⇒x 1=x 2，又 x 1≠x 2，故不存在．【知识点】幂函数及其性质6. 【答案】B【知识点】函数的单调性7. 【答案】B【解析】令 x =1，得 f (1)f (f (1)+1)=1， 令 t =f (1)，则 tf (t +1)=1， 所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1，令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1，所以 f (s +12)=1s ，令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1s f (1s +22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2， 所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性8. 【答案】C【解析】方法一：对任意的 x 1,x 2∈R 有 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1， 取 x 1=x 2=0 得 f (0)=−1， 取 x 1=x ，x 2=−x 得， f (0)=f (x )+f (−x )+1，所以 f (x )+1=−f (−x )=−[f (−x )+1]， 所以 f (x )+1 为奇函数． 方法二：由已知 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1， 设 x 1=x 2=0，则 f (0)=2f (0)+1， 解得：f (0)=−1，又设 x 1=x ，x 2=−x ，则 x 1+x 2=x −x =0， 所以 f (0)=f (x )+f (−x )+1，所以 f (x )+f (−x )+1+1=0，所以 [f (x )+1]+[f (−x )+1]=0，由奇函数定义可知，f (x )+1 为奇函数． 【知识点】抽象函数、函数的奇偶性9. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以 a >0，排除选项A ，C ；当 a =12 时，f (x )=x 12=√x 为非奇非偶函数，不满足条件，排除D ，故选B ． 【知识点】幂函数及其性质10. 【答案】C【解析】显然 a >4，则由题意可得 {√4=30,√a=5, 解得 {c =60,a =144,故选C ．【知识点】函数模型的综合应用二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [−12,12]【解析】 B (m,n ) 在 y =−12x 2 上， 所以 n =−12m 2，所以 ∀x ∈[m −1,m +1]， 都有 y ∈[−12m 2−1,12m 2+1]，即都有 y max ≤12m 2+1，y min ≥12m 2−1，所以下面讨论 13x ∈[m −1,m +1] 时，y 的最值， ① m ≤−1 时，m +1≤0， 所以单调减，所以 y max =−12(m +1)2，y min =−12(m −1)2，所以 {−12(m +1)2≤12m 2+1,−12(m −1)2≥12m 2−1,无解．② −1<m ≤0 时，0<m +1≤1，−2<m −1≤−1，所以 y max =0，y min =−12(m −1)2 (取不到)， 所以 {0≤12m 2+1,−12(m −1)2≥12m 2−1,所以 −12≤m ≤0． ③ 0<m ≤1 时，1<m +1≤2，−1<m −1≤0， 所以 y max =0，y min =−12(m +1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 4【解析】由 f (−5)=a (−5)7−b (−5)5+c (−5)3+2=−a ⋅57+b ⋅55−c ⋅53+2=m ， 得 a ⋅57−b ⋅55+c ⋅53=2−m ，则 f (5)=a ⋅57−b ⋅55+c ⋅53+2=2−m +2=4−m ， 所以 f (5)+f (−5)=4−m +m =4． 【知识点】函数的奇偶性13. 【答案】 y =kx +b ； y =ax 2+bx +c ； y =kx【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 52【解析】令 x =2 得，2f (2)+f (12)=92， 令 x =12 得，2f (12)+f (2)=32，消去 f (12) 得，f (2)=52．【知识点】函数的解析式的概念与求法15. 【答案】 [−1,12)∪(0,12)【解析】如图可知 f (x ) 是在区间 [−1,0)∪(0,1] 上的奇函数， f (x )=−f (−x )，不等式 f (x )>2x +f (−x )，f (x )−f (−x )>2x ， 2f (x )>2x ， f (x )>x ，所以解集为 [−1,12)∪(0,12)．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性16. 【答案】 2021−√1011【解析】由已知可得：f (x )=1−1x+1+1−1x+2+⋯+1−1x+2021=2021−(1x+1+1x+2+⋯+1x+2021),所以f =(−2022−x )=2021−(1−2021−x +1−2020−x +⋯+1−x−1), 所以 f (x )+f (−2022−x )=4042，又函数 F (x ) 为奇函数，则 F (−x )=−F (x )， 所以 f (x )+f (2m −x )=2n ， 则 2m =−2022，2n =4042， 所以 m =−1011，n =2021， 令g (x )=∣x 2+m ∣+∣x −n ∣=∣x 2−1011∣+∣x −2021∣={ x 2−x +1010,x <−√1011−x 2−x +3033,−√1011≤x ≤√1011x 2−x +1010,√1011<x <2021x 2+x −3033,2021≤x , 由二次函数的单调性可知：min {g (−√1011,g(√1011))}=g(√1011)=2021−√1011． 【知识点】函数的最大（小）值、函数的奇偶性三、解答题（共6题）17. 【答案】设广告费为 x 万元时，广告效益为 y 万元，销售额为 t 万元．由题意可设 t =k √x (k >0)，则 y =t −x =k √x −x ．因为当 x =100 时，t =1000．故 1000=√100k ，解得 k =100．所以 t =100√x, 所以 y =100√x −x ．令 √x =m ，则 m ≥0，y =100m −m 2=−(m −50)2+2500，所以当 m =50，即 x =2500 时，y 取得最大值，最大值为 2500． 所以该企业投入 2500 万元广告费时，能获得最大的广告效益．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1，所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]，所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)，所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）．因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)，所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)．(3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)． 转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R.即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 设旅行团人数为 x ，飞机票价格为 y 元，则 y ={900,0<x ≤30,x ∈N ∗900−10(x −30),30<x ≤75,x ∈N ∗， 即 y ={900,0<x ≤30,x ∈N ∗1200−10x,30<x ≤75,x ∈N ∗． (2) 设旅行社获利 S 元，则 S ={900x −15000,0<x ≤30,x ∈N ∗x (1200−10x )−15000,30<x ≤75,x ∈N ∗， 即 S ={900x −15000,0<x ≤30,x ∈N ∗−10(x −60)2+21000,30<x ≤75,x ∈N ∗． 因为 S =900x −15000 在区间 (0,30] 上单调递增，当 x =30 时，S 取最大值 12000．又 S =−10(x −60)2+21000 在区间 (30,75] 上的对称轴为 x =60， 当 x =60 时，S 取最大值 21000．故当 x =60 时，旅行社可获得最大利润．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用20. 【答案】(1) {x∣ x ≥1}=[1,+∞)．(2) {x∣ x−2x+1≥0}={x∣ x <−1,或x ≥2}=(−∞,−1)∪[2,+∞)．(3) {x∣ x =1,或2≤x ≤8}={1}∪[2,8]．(4) {x∣ x <−4,或−1<x ≤2}=(−∞,−4)∪(−1,2]．【知识点】函数的相关概念21. 【答案】(1) 由于 f (−x )=∣−x ∣⋅(3−x −3x )=∣x ∣⋅(3−x −3x )=−∣x ∣⋅(3x −3−x )=−f (x )， 且函数的定义域为 (−∞,+∞)，关于原点对称，所以 f (x ) 为奇函数．(2) f (x ) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称．f (x )=x (12x −1+12)=x ⋅1+2x 2(2x −1)， 又 f (−x )=−x ⋅1+2−x 2(2−x −1)=−x ⋅(1+2−x )⋅2x 2(2−x −1)⋅2x =−x (2x +1)2(1−2x )=x ⋅1+2x 2(2x −1)=f (x )，所以 f (x ) 为偶函数．【知识点】函数的奇偶性22. 【答案】(1) 方法一：因为f(x)=(x−2)(x+a)=x2+(a−2)x−2a，所以，f(x)的图象的对称轴方程为x=2−a2，由2−a2=1，得a=0．方法二：因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称，所以必有f(0)=f(2)成立，所以−2a=0，得a=0．(2) 函数f(x)的图象的对称轴方程为x=2−a2，①当2−a2≤0，即a≥2时，因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=−2a，②当0<2−a2<1，即0<a<2时，因为f(x)在区间(0,2−a2)上单调递减，在区间(2−a2,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(2−a2)=−(2+a2)2，③当2−a2≥1，即a≤0时，因为f(x)在区间(0,1)上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=−(1+a)．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的对称性。
高一数学必修一函数各章节测试题4套
函数的性质测试题一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内 （ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根 6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（ ）A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．若 函 数()()2212f x x a x =+-+在区间 (]4,∞-上是减 函 数，则 实 数a 的 取值范 围 （ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则（ ）A )2()1(-<<f c fB )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（ ） A ．(10)(13)(15)f f f << B ．(13)(10)(15)f f f << C ．(15)(10)(13)f f f << D ．(15)(13)(10)f f f <<二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝ 。
高一数学必修1第一章集合与函数的概念单元测试题(含答案)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析M＝{x|x(x＋2)＝0.，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x(x－2)＝0，x∈R}＝{0,2}，所以M ∪N＝{－2,0,2}．答案 D2．设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A＝{－2,0,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{2}C．{0,2} D．{－2,0}解析依题意，得B＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}．答案 C3．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是() A．(3，－2) B．(3,2)C．(－3，－2) D．(2，－3)解析∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．又f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，∴点(3，－2)在函数f(x)的图象上．答案 A4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案 C6．设f(x)＝x＋3(x>10)，f(x＋5)(x≤10)，则f(5)的值为()A．16 B．18C．21 D．24解析f(5)＝f(5＋5)＝f(10)＝f(15)＝15＋3＝18.答案 B7．设T＝{(x，y)|ax＋y－3＝0}，S＝{(x，y)|x－y－b＝0}，若S∩T＝{(2,1)}，则a，b的值为()A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1解析依题意可得方程组2a＋1－3＝0，2－1－b＝0，⇒a＝1，b＝1.答案 C8．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1) B.－1，－12C．(－1,0) D.12，1解析由－1<2x＋1<0，解得－1<x<－12，故函数f(2x＋1)的定义域为－1，－12.答案 B9．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B映射的对应关系，则满足f(0)>f(1)的映射有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析当f(0)＝1时，f(1)的值为0或－1都能满足f(0)>f(1)；当f(0)＝0时，只有f(1)＝－1满足f(0)>f(1)；当f(0)＝－1时，没有f(1)的值满足f(0)>f(1)，故有3个．答案 A10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有()A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)解析由题设知，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为减函数．∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)．又f(－n)＝f(n)，∴f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．答案 C11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值为1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确说法的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析①f(0)＝0正确；②也正确；③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④正确．12．f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)•f(b)且f(1)＝2，则f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋f(6)f(5)＋…＋f(2014)f(2013)＝()A．1006 B．2014C．2012 D．1007解析因为对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)•f(b)且f(1)＝2，由f(2)＝f(1)•f(1)，得f(2)f(1)＝f(1)＝2，由f(4)＝f(3)•f(1)，得f(4)f(3)＝f(1)＝2，……由f(2014)＝f(2013)•f(1)，得f(2014)f(2013)＝f(1)＝2，∴f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋f(6)f(5)＋…＋f(2014)f(2013)＝1007×2＝2014.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数y＝x＋1x的定义域为________．解析由x＋1≥1，x≠0得函数的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．答案{x|x≥－1，且x≠0}14．f(x)＝x2＋1(x≤0)，－2x(x>0)，若f(x)＝10，则x＝________.解析当x≤0时，x2＋1＝10，∴x2＝9，∴x＝－3.当x>0时，－2x＝10，x＝－5(不合题意，舍去)．∴x＝－3.答案－315．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2为偶函数，则2a＋ab＝0，∴a＝0，或b＝－2.又f(x)的值域为(－∞，4]，∴a≠0，b＝－2，∴2a2＝4.∴f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋416．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．解析设一次函数y＝ax＋b(a≠0)，把x＝800，y＝1000，和x＝700，y＝2000，代入求得a＝－10，b＝9000.∴y＝－10x＋9000，于是当y＝400时，x＝860.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，(∁UA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}．∁UA＝{x|x<2，或x>8}．∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝1＋x21－x2.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求证：f1x＋f(x)＝0.解(1)由解析式知，函数应满足1－x2≠0，即x≠±1.∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}．(2)由(1)知定义域关于原点对称，f(－x)＝1＋(－x)21－(－x)2＝1＋x21－x2＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)证明：∵f1x＝1＋1x21－1x2＝x2＋1x2－1，f(x)＝1＋x21－x2，∴f1x＋f(x)＝x2＋1x2－1＋1＋x21－x2＝x2＋1x2－1－x2＋1x2－1＝0.19．(本小题满分12分)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．解(1)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x.(2)由(1)知，f(x)＝x2－2x(x≥0)，x2＋2x(x<0).作出f(x)的图象如图所示：由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]．f(x)的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1x＋1，(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．解(1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1)，∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值f(4)＝95，最小值f(1)＝32.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为增函数，f(x•y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：fxy＝f(x)－f(y)；(2)若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．解(1)证明：∵f(x)＝fxy•y＝fxy＋f(y)，(y≠0)∴fxy＝f(x)－f(y)．(2)∵f(3)＝1，∴f(9)＝f(3•3)＝f(3)＋f(3)＝2.∴f(a)>f(a－1)＋2＝f(a－1)＋f(9)＝f[9(a－1)]．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴a>0，a－1>0，a>9(a－1)，∴1<a<98.22．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：x 30 40 45 50y 60 30 15 0(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解(1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于直线y＝kx＋b，则50k＋b＝0，45k＋b＝15，⇒k＝－3，b＝150.∴y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．∴所求函数解析式为y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)．(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300.∴当x＝40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
高一数学必修1《集合与函数概念》测试卷(含答案)
高一数学必修1《集合与函数概念》测试卷(含答案)第一章（一）《集合与函数概念》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列叙述正确的是（）A.函数的值域就是其定义中的数集BB.函数y=f(x)的图像与直线x=m至少有一个交点C.函数是一种特殊的映射D.映射是一种特殊的函数2.如果A={x|x>-1}，则下列结论正确的是（）A.XXXB.{}⊆AC.{}∈AD.∅∈A3.设f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，则有（）A.a≥1/2B.a≤1/2C.a>1/2D.a<1/24.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有|x1-x2|<π/2，则有（）A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)5.若奇函数f(x)在区间[1,3]上为增函数，且有最小值，则它在区间[-3,-1]上（）A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值06.设f:x→x是集合A到集合B的映射，若A={-2,0,2}，则AB等于（）A.{}B.{2}C.{0,2}D.{-2,0}7.定义两种运算：a⊕b=ab，a⊗b=a²+b²，则函数f(x⊗3-3)为（）A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数8.若函数f(x)是定义域在R上的偶函数，在(-∞,0)上是减函数，且f(-2)=1/4，则使f(x)<1/4的x的取值范围为（）A.(-2,2)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)9.函数f(x)=x+(x|x|)的图像是（）10.设f(x)是定义域在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当|x|<1时，f(x)=x，则f(7.5)的值为（）A.-0.5B.0.5C.-5.5D.7.511.已知f(-2x+1)=x²+1，且-1/2≤x≤1/2，则f(x)的值域为（）A.[1,5/4]B.[1/4,5/4]C.[0,5/4]D.[1/4,2]12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[-2,2]上单调递增，则f(x)在(-∞,-2)∪(2,+∞)上（）A.单调递减B.单调不增也不减C.单调递增D.无法确定第一章（一）《集合与函数概念》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列叙述正确的是（）A。
高一数学函数及其性质测试题及答案
必修1数学章节测试（4）—第一单元（函数的基本性质）杨忠一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．下面说法正确的选项 （ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ） A ．1=yB ．21+-=xxyC ．122---=x x yD ．21x y +=3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围（ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有 （ ） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值 5．函数px x x y +=||，R x ∈是 （ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．与p 有关 6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（ ）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[- 8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ）A ．)2()2()3(f f f <<B ．)2()3()2(f f f <<C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f <<10．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（ ）A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .12．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 . 13．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15．（12分）已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(5)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 D 是含数 1 的有限实数集，f (x ) 是定义在 D 上的函数．若 f (x ) 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1) 的可能取值只能是 ( ) A ． √3B ．√32C ．√33D ． 02. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8123. 定义“函数 y =f (x ) 是 D 上的 a 级类周期函数”如下：函数 y =f (x )，x ∈D ，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有 af (x )=f (x +T ) 恒成立，此时 T 为 f (x ) 的周期．若 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的 a 级类周期函数，且 T =1，当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2x +1，且 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． [56,+∞)B ． [2,+∞)C ． [53,+∞)D ． [10,+∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞) 上单调递增的函数是 ( ) A ． y =cosxB ． y =x 3C ． y =log 12xD ． y =e x +e −x5. 若函数 f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1)=12，f (x +2)=f (x )+f (2)，则 f (5)= ( )A ． 0B ． 1C ． 52D ． 56. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤12x ,x >1，则 f(f (3)) 等于 ( )A ． 15B ． 3C ． 23D ．1397. 已知函数 f (x )={x 2−2ax +2a,x ≤12x −alnx,x >1．若关于 x 的不等式 f (x )≥a 2 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√e] B ． [0,32] C ． [0,2]D ． [0,2√e]8. 函数 f (x )=2x 2+2x x+1是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9. 已知函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则实数 a 的值为 ( ) A ． −12B ． 12C ． −1D ． 110. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AD =DC =2，CB =√2，动点 P 从 A 点出发，按照 A →D →C →B 路径沿边运动，设 P 点运动的路程为 x ，△APB 的面积为 y ，则函数 y =f (x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 记 t =x +y −a(x +2√2xy)，x >0，y >0．已知对任意的 x >0，y >0，恒有 t ≥0，则实数 a 的取值范围为 ．12. 若函数 f (x )=√1−log 2x 的反函数为 f −1(x )，则 f −1(x ) 的值域为 ．13. 已知函数 f (x )={x 2,x ≤0−x 2,x >0，则 f [f (−2)]= ．14. 已知函数 f (x )=sinx +tanx ．项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈(−π2,π2)，且公差 d ≠0，若 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 27)=0，则当 k = 时，f (a k )=0．15. 试写出一个与函数 y =x 2 定义域和值域都相同的函数 ．16. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时，f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 ．三、解答题（共6题）17. 某工厂有一段旧墙长 14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126 m 2 的厂房，工程条件是：（1）建 1 m 新墙的费用为 a 元； （2）修 1 m 旧墙的费用为 a4 元；（3）拆去 1 m 的旧墙，用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为 a2 元． 经讨论有两种方案：①利用旧墙一段 x m (0<x <14) 为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14． 试写出两种方案中总费用关于 x 的函数关系．18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 已知函数 f (x ) 对一切实数 x ，y 都有 f (x +y )=f (x )+f (y )．(1) 求证：f (x ) 是奇函数；(2) 若 f (−3)=a ，试用 a 表示 f (12)．20. 判断函数 f (x )={x 2−2x +3,x >0,0,x =0,−x 2−2x −3,x <0. 的奇偶性．21. 设函数 y =f (x ) 的表达式为 f (x )=x 2+∣x −a ∣，其中 a 为实常数．(1) 判断函数 y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由； (2) 设 a >0，函数 g (x )=f (x )x在区间 (0,a ] 上为严格减函数，求实数 a 的最大值．22. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1)=1，对于任意的 x 1,x 2∈R (x 1≠x 2)，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0．(1) 解关于 x 的不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0；(2) 若 f (x )≤m 2−2am +1 对所有 x ∈[−1,1]，a ∈[−1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】抽象函数2. 【答案】B【解析】当 m =2 时，f (x )=(n −8)x +1，要使其在区间 [12,2] 上单调递减，则 n −8<0⇒n <8，于是 mn <16，则 mn 无最大值．当 m ∈[0,2) 时，f (x ) 的图象开口向下，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≤12，即 2n +m ≤18，又 n ≥0，则 mn ≤m (9−m2)=−12m 2+9m ． 而 g (m )=−12m 2+9m 在 [0,2) 上为增函数，所以 m ∈[0,2) 时，g (m )<g (2)=16，故 m ∈[0,2) 时，mn 无最大值． 当 m >2 时，f (x ) 的图象开口向上，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≥2，即2m +n ≤12，而 2m +n ≥2√2m ⋅n ，所以 mn ≤18，当且仅当 {2m +n =12,2m =n. 即 {m =3,n =6. 时，取“=”，此时满足 m >2． 故 (mn )max =18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性3. 【答案】C【解析】 f (n +1)=af (n )=a (2n +1)≥2(n +1)+1，a ≥1+22n+1 对 n ≥1，n ∈N ∗ 恒成立， 所以 a ≥(1+22n+1)max=1+23=53．【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】 y =cosx 是偶函数，但在 (0,+∞) 不是单调递增，y =x 3 和 y =log 12x 2 不是偶函数，所以只有 y =e x +e −x 满足题意． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性5. 【答案】C【解析】因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (−1)=−f (1)， 又 f (x +2)=f (x )+f (2)，令 x =−1，得 f (1)=f (−1)+f (2)， 于是 f (2)=2f (1)=1；令 x =1，得 f (3)=f (1)+f (2)=32，于是 f (5)=f (3)+f (2)=52． 故选C ．【知识点】函数的奇偶性、抽象函数6. 【答案】D【解析】因为 f (3)=23≤1，所以 f(f (3))=(23)2+1=139．【知识点】分段函数7. 【答案】C【知识点】分段函数、恒成立问题8. 【答案】D【解析】因为 f (x )=2x 2+2x x+1的定义域为 {x∣ x ≠−1}，定义域不关于原点对称，所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数． 【知识点】函数的奇偶性9. 【答案】A【解析】函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，所以当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ， −x <0，即 f (−x )=2x −2−x ， 所以 f (x )=f (−x )，同理当 x <0 时，f (x )=2−x −2x ， 则 −x >0，则 f (−x )=2−x −2x ， 即 f (x )=−f (−x )，综上可知，函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0 为偶函数，当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ，此时 f (x ) 单调递增， 所以由偶函数对称性可知当 x <0 时 f (x ) 单调递减，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则需 ∣2x +1∣≥∣x −a ∣，两边同时平方，移项化简可得3x2+(2a+4)x+1−a2≥0，由二次函数性质，可得Δ=(2a+4)2−4×3×(1−a2)≤0，化简可得(2a+1)2≤0，由平方数性质可知(2a+1)2≥0，所以只能是(2a+1)2=0，解得a=−12．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性、分段函数10. 【答案】A【解析】当x∈[0,2]时，y=f(x)=√2+12，x，y与x成正比，故排除C，D；当x∈(2,4]时，y=f(x)=1+√2，△APB的面积保持不变，排除B．故选A．【知识点】函数图象、函数的表示方法二、填空题（共6题）11. 【答案】{a∣ a≤12}【解析】由t≥0，得x+y≥a(x+2√2xy)．因为x>0，y>0，所以a≤x+2√2xy．因为2√2xy≤x+2y，所以x+2√2xy ≥x+yx+(x+2y)=12，当且仅当x=2y>0时，等号成立，因为a≤12，所以实数a的取值范围是{a∣ a≤12}．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】(0,2]【解析】求原函数定义域即解不等式1−log2x>0．【知识点】函数的值域的概念与求法13. 【答案】−16【解析】f[f(−2)]=f(4)=−16．【知识点】分段函数14. 【答案】14【解析】提示：函数 f (x )=sinx +tanx 为奇函数，a 1+a 27=a 2+a 26=⋯=2a 14=0 时，满足题意．又因为此函数在 (−π2,π2) 上为增函数，所以 k 只能等于 14． 【知识点】函数的奇偶性、等差数列15. 【答案】 y =(x +1)2（答案不唯一）【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 (−5,0)∪(5,+∞)【解析】因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)=0， 又当 x <0 时，−x >0，所以 f (−x )=x 2+4x ． 又 f (x ) 为奇函数，所以 f (−x )=−f (x )， 所以 f (x )=−x 2−4x (x <0)， 所以 f (x )={x 2−4x,x >00,x =0−x 2−4x,x <0①当 x >0 时，由 f (x )>x 得 x 2−4x >x ，解得 x >5； ②当 x =0 时，f (x )>x 无解；③当 x <0 时，由 f (x )>x 得 −x 2−4x >x ，解得 −5<x <0． 综上，不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 (−5,0)∪(5,+∞)． 【知识点】函数的奇偶性、二次不等式的解法三、解答题（共6题）17. 【答案】方案①：修旧墙费用为 x ⋅a4 元，拆旧墙造新墙费用为 (14−x )⋅a2 元，其余建新墙费用为 (2x +2×126x−14)a 元，∴ 总费用 y =7a (x4+36x−1)(0<x <14)．方案②：利用旧墙费用为 14⋅a 4=7a 2（元），建新墙费用为 (2x +252x−14)a （元），总费用 y =2a (x +126x)−212a (x ≥14)．【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1， 所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]， 所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)， 所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）． 因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)， 所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)． (3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数， 所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)．转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R. 即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 由已知 f (x +y )=f (x )+f (y )， 令 y =−x 得 f (0)=f (x )+f (−x )， 令 x =y =0 得 f (0)=2f (0)， 所以 f (0)=0， 所以 f (x )+f (−x )=0， 即 f (−x )=−f (x )， 故 f (x ) 是奇函数．(2) 由（1）知 f (x ) 为奇函数． 所以 f (−3)=−f (3)=a ， 所以 f (3)=−a ．又 f (12)=f (6)+f (6)=2f (3)+2f (3)=4f (3)， 所以 f (12)=−4a ．【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】若 x >0，则 −x <0，f (−x )=−(−x )2−2(−x )−3=−x 2+2x −3=−f (x )； 若 x =0，则 −x =0，f (−x )=f (0)=0=−f (0)；若 x <0，则 −x >0，f (−x )=(−x )2−2(−x )+3=x 2+2x +3=−f (x )． 综上所述 f (−x )={−x 2+2x −3,x >0,0,x =0,x 2+2x +3,x <0.所以 f (−x )=−f (x )，所以 f (x ) 是奇函数．【知识点】函数的奇偶性21. 【答案】(1) 当 a =0 时，y =f (x ) 为偶函数；当 a ≠0 时，y =f (x ) 为非奇非偶函数；(2) a ∈(0,1]．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 因为对于任意 x 1,x 2∈[−1,1]，x 1≠x 2，总有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是递增的奇函数．不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0 变形为不等式 f (x 2−3ax )<−f (2a 2)=f (−2a 2)， 所以 x 2−3ax +2a 2<0⇒(x −2a )(x −a )<0． ①当 a >0 时，不等式解集为 {x∣ a <x <2a }； ②当 a =0 时，不等式解集为 ⌀；③当 a <0 时，不等式解集为 {x∣ 2a <x <a }．(2) 所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是增函数，且 f (x )max =f (1)=1．所以问题转化为 t 2−2αt −1≥f (x )max =f (1)=1 对任意的 α∈[−1,1] 恒成立． 令 g (α)=m 2−2αm +1，α∈[−1,1]，只需 {g (1)=m 2−2m +1≥1,g (−1)=m 2+2m +1≥1, 解得 m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2．所以实数 m 的取值范围为 {m∣ m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2}． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性。
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函数单元测试
一、选择题：
1.将二次函数的顶点移到后，得到的函数的解析式为( )
A、 B、
C、 D、
2.设函数y=f(x)是偶函数，且在上是增加的，则（ ）
A、f(−2)<f(1)
B、f(−2)<f(−1)
C、f(−2)>f(2)
D、f(|x|)=f(x)
3.在同一坐标系内作出的两个函数图像图1所示，则这两个函数为（
）
A、y=a x 和y=log a(-x)
B、y=a x 和y=log a x-1
C、y=a-x 和y=log a x-1
D、y=a-x 和y=log a(-x)
4. 设f(x)为奇函数，且在（−∞，0）上递减，f(−2)=0，
则xf(x)<0的解集为（ ）
A、 (−∞，−2)
B、 (2，＋∞)
C、 (−∞，−2) ∪ (2，＋∞)
D、（ −2，2）
5.函数，满足的的取值范围( ）
A． B、 C、 D、
6.已知y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，当x＜0时，
f(x)等于（ ）
A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) D．
x(1＋x)
7.在映射f∶A→B中，A={1，2，3，k},B={4,7,a4,a2+3a}其中，a,k,对
应法则f∶x→y=3x+1(x),则a、k的值分别为（ ）
A、a=2,k=5
B、a=-5,k=2
C、a=5,k=2
D、a=2,k=4
二、填空题：
8.函数的定义域为
9.函数y=-x2-4mx+1 在[2,+）上是减函数，则m的取值范围是
10.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x123x123
f(x)211g(x)321
则的值为 ；当时， ．
3、 解答题：
11.设函数
（1）求的表达式及定义域；（2）求的值域。
12.已知函数，.
(1) 当时，求的最大值与最小值；
(2) 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
13.利民商店经销某种洗衣粉，年销售量为6000包，每包进价2.80元，销售价3.40元，全年分若干次进货，每次进货x包，已知每次进货运输劳务费62.50元，全年保管费为1.5x元。
（1）把该商店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量
x（包）的函数，并指出函数的定义域；
（2）为了使利润最大，每次应该进货多少包？
函数单元测试参考答案
1、 选择题：1-5:ADDCB 6-7:BA
2、 填空题:
8、 (−∞, −3 ) ∪(−3, −1 ] ∪[4,+∞) 9、 m 10、 1,1 3、 解答题：
11、
（2）
12、 解：当时，，，
∵在上是减函数，在上是增函数，∴
而 ∵ ，∴ .
(2) 图象的对称轴是，
∵在上是单调函数，故或，
∴或，∴a的取值范围是.
13、解（1）若每次进洗衣粉x包，则全年共需进洗衣粉次，
而全年所需运输劳务费是元，而全年保管费为1.5x元，
所以全年的总利润为
函数的定义域是
（2）
当且仅当，即当时，上式中等号成立，
此时y的最大值为2100元，即为了获得最大利润2100元，每次应进洗衣粉500包。