自治系统的稳定性分析
=
π
1 2Leabharlann t−(2−
2t
1 2
π1 2
1
)(t 2
−
1),
when
1
<
t
<
16 π2
,
g(t)I01,−t α
h(t)
>
0.
Because the lemma is wrong,in this paper, we will provide a new method which is also
2
straightforward and suitable for application to analyze the stability of the system. This paper is organized as follows. In section 2, we provide some useful definitions and
Definition 2.1.[2] Given an interval [a, b] of R. The fractional order integral of a function f ∈ L([a, b], R) of order α ∈ R+ is defined by
Iaα,t f (t)
=
(1.1)
where 0 < α < 1, f ∈ C (R), with f (0) = 0, R is the set of real numbers. Fractional calculus is an old mathematical topic since the 17th century and is a generaliza-
Dap,t(Iaα,t f (t)) = Dap,−t α f (t).
(2.3)
Lemma 2.4.[2] Let 0 < α < 1, and f (t) ∈ C1[a, ∞). Then it holds
Iaα,tDαa,t f (t) = f (t) − f (a).
(2.4)
Lemma 2.5.[2] Let 0 < α < 1, f (t) ≥ 0on[a, b]. and f (t) is continuous on [a, b]. Then it
Abstract In this paper, we give an example to explain why the conclusion of lemma 3.1 in ([19]) is not valid in general and propose a new method to judge the stability of the system. Our criterion is straightforward and suitable for application.
tion of the traditional integer-order calculus. It has been applied extensively in an increasing
∗Project supported by NNSF of China Grant No.10971019. †Corresponding author; Email: zhhliu@, tanhuaiyu2008jy@; Tex/Fax: +86-771-
Keywords Stability; nonlinear;fractional.
1 Introduction
In this paper, we consider the nonlinear fractional differential system:
cDα0,t x(t) = f (x(t)), x(0) = x0,
Stability criterion for a class of nonlinear autonomous fractional differential systems ∗
Zhenhai Liu† HuaiYu Tan
College of Science, Guangxi University for Nationalities, Nanning, Guangxi 530006, P.R. China
3
in x with a Lipschitz constant L > 0. Then there exists an unique solution x(t) ∈ C[0, ∞) satisfying the system (1.1)
3 Stability
In this section, we will give the definition of the stability of the zero solution of the system (1.1) and propose several sufficient conditions to judge the stability of the zero solution of the system (1.1). Definition 3.1. The constant xeq is said to be an equilibrium point of (1.1),if and only if f (xeq) = 0 for all t > 0.
fundamental fact of fractional calculus theory. In section 3, we introduce the definition of stability of the zero solution and propose an stability theorem. In section 4, we propose our main result of this paper.
Lemma 3.1. Suppose that 0 < α < 1, h(t) ∈ C[0, +∞), g(t) is defined on [0, +∞) and h(t)g(t) ≤ 0, t ∈ [0, +∞). Then g(t)I01,−t αh(t) ≤ 0, t ∈ [0, +∞).
We will give the following example to proof that the lemma is not valid in general. Example 1.1. Let h(t) = tα − 1, g(t) = −(tα − 1), t ∈ [0, +∞),
I01,−t αh(t)
=
1 Γ(1 −
α)
t
(t − s)−α(sα − 1)ds.
0
Let t − s = ηt, so
Let
α
=
1 2
,
so
I01,−t αh(t)
=
1 Γ(1 −
α)
t
(t − s)−α(sα − 1)ds.
0
=
αΓ(α)t
−
Γ(1
t1−α − α)(1
−
α) .
1
g(t)I02,th(t)
1 Γ(α)
where Γ is the Gamma function.
t
(t − s)α−1 f (s)ds, t ∈ [a, b], α > 0,
a
(2.1)
Definition 2.2.[2] Suppose that a function f is defined on the interval [a, b]. The Caputo’s
2 Preliminaries
For the convenience of the readers, in this section, we firstly introduce some notations,
definitions and preliminary facts which are used throughout this paper.
Without loss of generality, let the equilibrium point be xeq = 0. The stability of the equilibrium point x = 0 of (1.1) is defined as follows: Definition 3.2. If there exists δ > 0, x0 < δ for any an ε > 0,such that x(t) < ε for all t ≥ 0 , where x(t) is the solution of (1.1) and depends on x0 , then the equilibrium point x = 0 of (1.1) is said to be stable. In addition to being stable, x(t) → 0 as t → ∞. the equilibrium point x = 0 of (1.1) is said to be asymptotically stable. Theorem 3.3. Let xeq = 0 be an equilibrium point of the system (1.1) and D ⊂ R be a bounded closed subset containing the origin. If there exists V(x) : D → R+ be a continuously differentiable for all solutions of the system (1.1) such that V(0) = 0 and
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
关于自治微分系统零解的稳定性
（（， ， ） Ｖ ｏ ＋Ｉｇ５ ）ｓ （） ￡￡ ） （ ） （， ｄ ｏ ｏ ２
√ ０
＋ ∞
又由 条件（ｉ中Ｉ ｇ ｓ ）ｓ ｉ ｉ （， ｄ 对 ∈Ｒ 的 ）
√ Ｕ
一
定义 ２ 称非正常积分Ｉ ｇ ｓ ）ｓ （ ， ｄ 为区域
Ｖ＿ ． Ｎ Ｏ ４ ０ ２６ １ ．
Ｄｅ ．２ ０ ｃ ０ ７
文章编号：０ ４—５２ （０ ７ ０ ０ ９ —０ １０ ４ ２ ２０ ）４— ２ ５ ３
关 于 自治 微 分 系统 零 解 的稳 定 性
张 志 山
（ 枣庄科技职业 学院，山 东 枣庄
摘
Байду номын сангаас
２７０ ） ７５０
要 ： 究 了 自治微 分 系统 零 解 的 稳 定 性 及 全 局 渐 近 稳 定 性 ， 用 Ｌａｕｏ 接 方 法得 到 了判 定 自 治微 分 研 利 ｙｐ ｎｖ直
，
且 厂０ （）＝０ ．
为下 文方 便 ， 我们 记 ：
：
｛ ａ∈ Ｃ［ ＋ Ｒ＋ ａ ｕ 为 ｕ的严格增 Ｒ ， ］： （ ）
正定 性 知 ， ａ Ｕ ， （ ）∈ Ｋ， ａ １ Ｉ （ ）卢 Ｕ 使 （Ｉ Ｉ ） Ｖ ） 卢 Ｉ ｌ） 由条件 （ｉ 中 Ｄ （ （ （ （１ Ｉ ， ｉ） ｉ ）Ｉ）
积分Ｉ ｇ ｓｄ对 ∈Ｒ 一致收敛． （ ，） ｓ 则系统（） １
√ Ｕ
定理 的应用 ． 值得 一 提 的是 ， 我们 的部分 结 果 改进
了文献 ［ ］的结 论 ． ４
考 虑 自治微 分 系统 ，
＝
的零解 是稳定 的 ． 此 外 ，若 还 满 足 ，（ ） Ｖ ） ｉ ｖ （ Ｍ（ ， ｔ ）・
李雅普诺夫稳定性分析方法
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
三维自治系统的稳定性分析及其分岔研究
Ｖ０ １ ．２ ７
重 庆 理 工 大 学 学 报 （自然科 学）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
李耀伟 ， 彭战松。 ， 俞建 宁
（ １ ． 兰州 交通 大学 ， 兰州 摘 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ； ２ ． 黄河 水利 职业 技术 学 院 ， 开封 ４ ７ ５ ０ ０ ４ ）
要： 提 出了一个 结构 简单 的 三维 自治 系统 ， 分析 了 系统 的 基本 特 性 ， 利 用相 图、 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ
行 为。
关
键
词： 自治 系统 ； 相图； Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ截 面 ； Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数谱 ； 分 岔 图
中图分 类 号 ： ０ ４ １ ５ ． ５
文献 标识 码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ６ ７ ４—８ ４ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０— ０ １ ２ １— ０ ４
ａ ｇ ｒ ａ ｍ
１ ９ ６ ３年 ， Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 在 三 维 自治 系 统 中发 现 了第
一
的混 沌 系统 的基 础上 ， 通 过 理 论分 析 、 数 值 仿 真详 细研究 了该 系统 的基 本动 力学 特性 。
个混 沌 吸 引 子 。近 年 来 ， 随 着 对 混 沌 的深 入 研
Ｔｈｒ ｅ ｅ — Ｄｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ａｕｔ ｏ ｎｏ ｍｏ ｕ ｓ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｓｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ Ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ
毕业论文平面自治系统的平衡点及其稳定性分析
毕业论文--平面自治系统的平衡点及其稳定性分析本科生毕业设计（论文）平面自治系统的平衡点及其稳定性分析二级学院 ：专 业 ：年 级 ：学 号 ：作者姓名 ：指导教师 ：完成日期 ： 2013年5月5日○ A 基础理论 ● B 应用研究 ○ C 调平面自治系统的平衡点及其稳定性分析论文答辩小组组长：成员：论文成绩：目录1 引言 (1)2 预备知识 (2)2.1基本概念及基本定理 (2)2.1.1基本概念 (2)2.1.2 基本定理 (3)3 平面自治系统的平衡点及其稳定性分析 (4)3.1线性系统的平衡点及其稳定性 (4)3.1.1 A有同号相异实根 (4)3.1.2 A有异号实根 (6)3.1.3 A有重实根 (6)3.1.4 A有一对共轭复根 (8)3.2 非线性系统的平衡点及其稳定性 (10)4 结束语 (11)参考文献 (12)平面自治系统的平衡点及其稳定性分析摘要：本文主要探讨了平面自治系统的平衡点及其稳定性，并将其用数学软Maple形象地描绘出来.关键词：平面自治系统；平衡点；稳定性The equilibrium point and its stability of the plane autonomoussystemAbstract:This article mainly discusses the equilibrium point and its stability of the plane autonomous system, and applies mathematical software by Maple to describe vividly.Keywords: the plane autonomous system; equilibrium point; stability1 引言20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,在自然科学（如物理、化学、生物、天文）和社会科学（如工程、经济、军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述,尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程,分析它的变化规律,预测它的未来形态时,要建立对象的动态模型,通常要用到微分方程模型,而稳定性模型的对象仍是动态过程,而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定.因此,用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性,对稳定性模型的研究起着很重要的作用.微分方程的稳定性理论将平衡点（奇点）分为结点（临界结点或星形结点、两向结点或正常结点、单向结点）、鞍点、焦点、中心等类型.奇点是平面自治系统的一类特殊的轨线，一般来说,奇点及其附近的轨线的性态是比较复杂的,熟练掌握平面自治系统奇点类型对于研究系统的相图有重要的意义.本文将探讨平面自治系统的平衡点及其稳定性,并结合Maple 软件分析其相图.2 预备知识2.1基本概念及基本定理2.1.1基本概念定义1右端不显含自变量t 的微分方程组 ()(),,dx dt dy dtf x yg x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1)是二阶自治方程(系统).定义2 代数方程组()(),0,0f x y g x y ⎧⎪⎨⎪⎩== 的实根00,x x y y ==组成的点()000,P x y 称为二阶自治方程(1)的平衡点或奇点.注 二维常系数线性自治系统的一般形式为 dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2) 它的系数矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征方程是()()20ab a d ad bc cd λλλλ--=-++-=--(3) 将特征方程改写为20p q λλ-+=，其中(),p a d q ad bc =-+=-.当A 非奇异时,系统(2)有惟一奇点()0,0O ,称为初等奇点.方程(3)的根即为矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征根. 关于非线性系统()(),,dx ax by x y dt dy cx dy x y dtϕψ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ (4)的奇点与线性系统(2)的奇点有很大关系.2.1.2 基本定理定理1 (Perron 第一定理) 设系统(4)中的()(),,x y x y ϕψ与满足条件：()()0,0i O 在奇点的邻域内有连续的一阶偏导数；()()()()()22,,,,ii x y O r x y O r r x y ϕψ===+则如果()0,0O 是对应线性系统(2)的焦点、结点或鞍点,那么()0,0O 也是非线性系统(4)的同类型奇点,且具有相同的稳定性.定理 2 (Perron 第二定理) 如果定理1中的条件()i 保持不变,而将条件()()()()()()11,,,0,0ii x y O r x y O r O εεϕψε++==加强为，其中为任意小的正数，当()()为对应线性系统2的临界或退化结点时,它也必是非线性系统4的同类型奇点，且具有相同的稳定性.对于一般的非线性系统(1),可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性,而对于任意高阶的方程都可以化为一阶方程组来处理.系统(1)的线性近似系统为(2),即dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 假设0ad bc -≠,即奇点()0,0O 为初等奇点(又称为一次奇点).先讨论线性系统(2)的平衡点的定性性质.由线性方程组理论知系统(2)的通解完全由它的系数矩阵A 的若尔当标准形确定.设A 的实若尔当标准形为J,则存在非奇异实矩阵P,使1P AP J -=.从而可利用非奇异线性坐标变换,将系统(2)化为线性系统 1d PAP dt μμυυ-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到系统(2)与系统(5)可以相互转化，因此只要把(5)式的轨线性质搞清楚了系统(2)的轨线性质也就清楚了.1P AP J -=是下面三种形式之一：00λμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，01λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，αββα⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 其中,,,,,.λμαβλμβ为实数，均非零这里第一、二种形式对应于矩阵A 仅有实特征根的情形,第三种形式相应于矩阵A 具有一对共轭复根1,2i λαβ=±的情形.用A 表示(2)式右端的系数矩阵.首先考虑矩阵A 非退化的情形，即det 0A ≠,这时A 在复数域有两个非零特征根12,λλ（12=,λλλμ=这里令）.下面根据特征根的不同情形来研究系统(5)的平衡点.3 平面自治系统的平衡点及其稳定性分析3.1线性系统的平衡点及其稳定性3.1.1 A 有同号相异实根此时，λμ≠都是实数且0λμ>.①()0,00,0,0,0,0q p O λμ<<∆>>>或为稳定的两向结点.(5)②()0,00,0,0,0,0q p O λμ>>∆>><或为不稳定的两向结点.例1 考虑如下的平面线性系统 3,2.du u dt dw u w dt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (6)解 首先计算系数矩阵A 的特征根.系统(6)的系数矩阵为3021A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.从而特征根为121,3λλ==,是一对同号相异的正实根.因此,原点()0,0O 作为系统(6)的平衡点是一个不稳定的两向结点.为了画出相图,我们需要找出平衡点()0,0O 的两个特殊方向.为此先求出A 的特征向量.()1110=10=1A I λξξ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当时，由得，特征向量；()2221=330=1A I λξξ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当时，由得，特征向量.这样,我们相应绘出两条直线12l l 和,它们上面的轨道都是继续沿着它们且背离原点O .因为12λλ<,因此除了2l 上的轨道外,所有轨道的曲线都与1l 相切于O 点,从而直线12l l 和分别给出了平衡点()0,0O 的两个特殊方向.由此可以画出系统(6)的相图,见图1.图13.1.2 A有异号实根此时，λμ≠都是实数且0λμ<.①0,0λμ<>或0,0q∆><,()0,0O为鞍点.②0,0λμ><或0,0q∆><,()0,0O为鞍点.例2 作出系统2323duu wdtdwu wdt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩在()0,0O点附近的相图.解系统(7)的系数矩阵A为2323A⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由()()det()340A Iλλλ-=-+=,解得特征根124,3λλ=-=,是一对异号实根.因此原点()0,0O作为系统(7)的平衡点是鞍点.其相图见图2.图23.1.3 A有重实根此时,λμ=.①0λ<或0,0p q>>,()0,0O为稳定临界结点或退化结点.②0λ>或0,0p q<>,()0,0O为不稳定临界结点或退化结点.例3 考虑如下的平面线性系统(7),3.duu wdtdwu wdt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(8)解系统(8)的系数矩阵A为1113A--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由()2det()20A Iλλ-=+=,解得特征根122λλ==-,相同的实根.因此平衡点O 或者是稳定的星形结点或者是稳定的单向结点.它们之间的区别在于平衡点()0,0O有多少个特殊方向,无穷个对应于前者,唯一一个对应于后者.进一步判断,我们同样先求出A的特征向量,由1(2)0A Iξ+=解得特征向量111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭.显然，总共能解出的线性无关的特征向量组有且只有一个向量组成.因此O是稳定的单向结点.沿特征向量111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭绘出一条直线1l,它上面的轨道继续沿着它指向原点O,其余所有轨道的曲线都与1l相切于O点,见图3.图3例4 研究下面系统,.duudtdwwdt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解系统(9)的系数矩阵A为1001A⎛⎫= ⎪⎝⎭.(9)由()2det()10A Iλλ-=-=,解得特征根121λλ==,是相同的实根.因此原点()0,0O作为系统(9)的平衡点是星形结点(或临界结点).其相图见图4.图43.1.4 A有一对共轭复根此时,1,2iλαβ=±而且0β≠.①()00,0,0.p O<>实部或为稳定焦点②()0000.p O><实部或，，为不稳定焦点③()=000,0.p O=实部或，为中心例5 研究下面系统的奇点,并在奇点邻域内画出积分曲线族图像：3,65.duu wdtdwu wdt⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩.解系统(10)的系数矩阵A为1365A⎛⎫= ⎪--⎝⎭.由()()det()15180A Iλλλ-=---+=,解得特征根1,223iλ=-±,是一对共轭复根且()1,2Re0λ<.因此原点()0,0O作为系统(10)的平衡点是稳定的焦点,见图5.为的方向,在点()1,0作了确定积分曲线(螺线)(10)出速度向量1,6x y==-.图5例6 研究下面系统的奇点，并在奇点邻域内画出积分曲线族图像：25,22.duu wdtdwu wdt⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解系统(11)的系数矩阵A为25=22A--⎛⎫⎪⎝⎭.由()()det()22100A Iλλλ-=---+=,解得特征根1,26λ=±因此,奇点是中心.沿轨线运动的方向由向量()()()0,1,0,15,2x y⎛⎫=-⎪⎝⎭确定,见图6.图6(11)3.2 非线性系统的平衡点及其稳定性对于非线性系统,先将其线性化,得到该非线性系统的线性近似系统,再根据线性系统的平衡点及其稳定性的判断方法, 并结合Perron 第一定理和Perron 第二定理就可以判断出其线性近似系统的平衡点及其稳定性与该非线性系统的平衡点及其稳定性一致.例7 讨论非线性系统的奇点O(0,0)的类型.()()22222dx x y x x y dt dy x y y x y dt⎧=---+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩(12)解 将系统(12)写成 ()()2,,dxx y x y dtdy x y x y dtϕψ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩其中()()()()2222,,,x y x x y x y y x y ϕψ=-+=+.(12)的线性近似系统为：2dxx y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(13)()()3,3,3,0,0p q O ==∆=-对于系统13，易知惟一奇点是系统（13）的稳定焦点.()(),,,x y x y ϕψ又满足定理1,所以奇点()00O ，也是原非线性系统(12)的稳定焦点.例8 讨论非线性系统的奇点的类型.2222dx y x y dtdy x x y dt⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(14)解 系统(14)的线性近似系统为dxy dtdy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(15)易知,奇点()0,0O 是系统(15)的中心,但根据已知定理1和定理2无法判断其是否为系统(2)的中心.作极坐标变换,令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，代入 系统(14)可得到21dr r dtd dtθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而解得()()1,010r t t r θθ==++，可见+,0.t r θ→+∞→∞→当时，容易得出奇点()0,0O 是原系统(14)的稳定焦点.4 结束语对于一般形式的线性方程组(2),可先由系数矩阵A 的特征根迅速判断出平衡点的类型和稳定性,然后利用平面线性系统平衡点的下面两个性质作出相图.首先注意到当t t →+∞→-∞或时,某些轨道将沿某一确定的方向称为(平衡点的特殊方向)趋向于平衡点,特别地,两向结点和鞍点有两个特殊方向,单向结点有一个特殊方向,星形结点有无穷个特殊方向,焦点和中心没有特殊方向;并且当某条直线给出平衡点的特殊方向时,它被平衡点分割的两条射线都是系统的轨道,这些性质在放射变换下保持不变.其次平面线性系统(2)在相平面上给出的方向场关于平衡点()0,0对称，即若()()(),,,P x y Q x y 为系统在点(),x y 给出的方向,则()()(),,,P x y Q x y --为系统在点(),x y --给出的方向.通过探讨平面自治系统的平衡点及其稳定性,并结合图像对其进行分析,对平衡状态的稳定性及稳定性模型的研究起着非常重要的作用.参考文献[1]张伟年,杜正东,徐冰编.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006:179-190. [2]赵爱民，李美丽，韩茂安著.微分方程基本理论[M].北京：科学出版社，2011:127-135.[3]（俄)博亚尔丘克，（俄）戈洛瓦奇编著；郑元禄译.高等数学例题与习题集（四）常微分方程[M].北京：清华大学出版社，2005:89-95.[4]钟益林，彭乐群，刘炳文编著.常微分方程及其Maple，MATLAB求解[M].北京：清华大学出版社，2007:8-10.[5]傅希林，范进军编著.非线性微分方程[M].北京：科学出版社，2011:157-166.[6]（美）罗宾逊著；韩茂安等译.动力系统导论[M].北京：机械工业出版社，2007:83-97.[7]陆启韶，彭临平，杨卓琴编.常微分方程与动力系统[M].北京：北京航空航天大学出版社，2010:74-81.[8]庄万著.常微分方程习题解[M].济南：山东科学技术出版社，2003:98-115.[9]马知恩，周义仓著.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2001:103-115.。
普诺夫稳定性理论
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法 不稳定
如果对于某个实数>0和任一实数>0,不管这个实数多么小,由 s 内出发的状态轨线,至少有一个轨线越过s ,则称这种平衡状 态xe不稳定，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
球应域sx (()t限)制着初的(t始边;x状界0,态。t0x)0的取值，球域s()规定了系统自由 响
非线性系统的稳定性
雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系 统及时变系统稳定性的分析的方法，雅普诺夫给出了对任 何系统都普遍适用的稳定性的一般定义，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
系统状态的运动及平衡状态
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
x f [x,t]
1-1
式中：x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数；是 x i和时间
表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四 种情况：雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、 不稳定，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
雅普诺夫意义下稳定 如果系统对于任意选定的实数>0,都存在另一实数 ,t0 >0,使当：
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 x e ，对所有t，
使得：
f (xe,t) 0
(1-3)
成立，则称 x e 为系统的平衡状态。
说明:
1 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态.
2 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是唯一的.
3 当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时,称此平
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
自治系统的名词解释
自治系统的名词解释自治系统（Autonomous System, AS）是互联网中的一个重要概念，指的是一组网络在技术上相互独立、具有共同的管理和策略的系统。
自治系统旨在实现网络通信的可靠性和稳定性，为互联网的运行提供基础。
一、自治系统的定义和分类自治系统是一个有明确定义的网络，被视为一个单一的单位，拥有自己的IP 地址空间和一组网络设备（如路由器）。
根据自治系统号（Autonomous System Number，ASN）的分配，自治系统可以被分类为两种类型：单播自治系统和多播自治系统。
1. 单播自治系统单播自治系统是指使用单播协议进行数据传输的自治系统。
它们通常是面向大众的互联网服务提供商（Internet Service Provider，ISP）或企业机构，负责将数据包从源地址传递到目的地址。
在互联网中，单播自治系统的角色至关重要，它们负责处理大量的数据流量，并提供连接网络的服务。
2. 多播自治系统多播自治系统是使用多播协议进行数据传输的自治系统。
多播协议可以同时将数据包传递给多个目的地，尤其适用于广播、流媒体等多对多的应用场景。
多播自治系统通常由多个网络设备组成，以便有效地在网络中传播信息。
二、自治系统的关键特征自治系统的名词解释需要涉及其关键特征，以下是几个重要的方面：1. 单一管理和策略自治系统内的网络设备由同一个实体进行管理和控制，遵循相同的策略和安全制度。
这有助于确保网络通信的一致性和稳定性，减少潜在的安全风险。
2. 互连性和路由选择自治系统通过互连点（Internet Exchange Point, IXP）或点对点连接与其他自治系统进行网络之间的数据传输。
路由选择协议（Routing Protocol）在自治系统之间共享网络信息，帮助数据在互联网中进行正确的转发和路径选择。
3. IP地址空间分配每个自治系统都有自己的IP地址空间，这意味着它可以独立地分配和管理IP地址。
这样的分配方式有助于减少IP地址的浪费，并提高网络资源的利用率。
李雅普诺夫稳定性分析
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
一类非线性自治系统解的渐近稳定性
１ 引言
在生产实践与理论研究中， 会经常遇到四阶非线性微分方程． 从而， 研究此类方程解 的性质 问题便有了特
别 的意义 ．但 由于 此类方程本身 的复杂性 ， 要求 出它们 的直接 解并不是一件容 易 的事． 是学者们就根据 于 Ｌ ａｕ ｏ 第二方法来研究四阶非线性系统平凡解的稳定性问题， ｙｐ ｎ ｖ 这种方法的好处在于不必解 出方程的解， 而关 键在于构造Ｌ ａｕ ｏ 函数． ｙｐｎ ｖ 然而， ｙｐ ｎｖ 对Ｌ ａｕｏ 函数的构造 方面 目前还没有可遵行 的规律，完全是研究者本人的 经验． 在构造Ｌ ａｕ ｏ 函数 方面许多数学工作者做 了大量的工作， ｙｐ ｎｖ 同时也取得了一些好 的成果． 譬如， 文献［ １ 】
一
文章 编号 ：０３２ ４ （０２０－１５０ １０ －８ ３２ １）２０６ －５
一
类非 线 性 自治 系统 解 的渐近 稳 定性
秦宏立 ，付华，周 居政
（ 延安 大学数学与计算机科 学学院，陕西 延安 ７６ ０ １０ ０）
摘
要 ： 用“ 采 类比方法” 出 了一类非线性 自治 系统的 Ｌ ａｕ ｕ ｖ函数，得到 了具有 四个非线性项的四阶非线性 自治微 给 ｙｐ ｎｏ
分方程 平凡解渐 近稳 定的充分 性条件。 而推广 了相应 文献的 已 从 有结果．
关键词 ：非线性 自治 系统 ； 条件
中 图分 类 号 ： ９ Ｏ１ 文 献 标识 码 ： Ａ
ｄ ｉ１ Ｉ９９ ．ｓ ． ０－４ ３２ １． ．１ ｏ： ０３ ６ ０ｉ ｎ１ ３２ ８ ． ２０ ０ ｓ ０ ０ ２
井构造 该 系统 的 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ函数 如下 ：
（ ，４ ） （ ＋ ）＋ｃ ＋ ）＋２ （ｘ ＋ｃｓｘ ＋ａ（￣ ， ｘ， ＝口 ％ （ ｃｄｚ ｘ）４ ２ｄｘ＋
稳定性理论
1为什么要研究稳定性？稳定性研究的是什么？首先，一个控制系统自身的结构性质一共有三个：即稳定性，能控性，能观性。
稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。
一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值时的初始偏差应随时间的增长逐渐减小并趋于零。
具体来说，对于稳定的恒值控制系统，被控量因扰动而偏离期望值后，经过一个过渡过程时间，被控量应该恢复到原来的期望值状态；对于稳定的随动系统，被控量应能始终跟踪参据量的变化。
反之，不稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差将随时间的增长而发散，因此，不稳定的控制系统无法实现预定的控制任务。
《自动控制原理》稳定性理论是研究动态系统的过程（包括平衡位置）相对干扰是否具有自我保持能力的理论。
《稳定性理论》自适应控制系统的稳定性是指系统的状态、输入、输出和参数等变量，在干扰的影响下，应当总是有界的，稳定性是对所有控制系统的基本要求。
《自适应控制》系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。
直观上，系统平衡状态的稳定性问题就是，偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限制在平衡状态的有限邻域内，或者使之最终返回到平衡状态。
控制系统的稳定性是由系统的结构所决定的，与外界因素无关，因此，系统的稳定性研究的是自治系统的稳定性，自治系统可写为：),(t x f x=&，00)(x t x =，],[0∞∈t t 其中x 为n 维状态向量。
对于连续非线性时变系统，为显含时间变量t 的n 维向量函数⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&4333222231321cos sin )(x t x t x x e t x tx x x x t 对于连续非线性时不变系统，),(t x f 中不再显含时间变量t ，即可写成)(x f x=&的形式 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&33321223132153x x x x x x x x x x 对于连续线性时变系统，),(t x f 可进一步表示为状态x 的线性向量形式，并且显含时间t⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&32313213215cos sin 3x x t x t x x e x tx x x x t 对于连续线性时不变系统，),(t x f 表示为不显含时间t 状态x 的线性向量形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡M ΛΛΛM &&&332321321653x x x x x x x x x 2稳定性理论在控制系统设计中是如何应用的？3各种稳定与吸引之间的关系是怎样的？系统特解稳定性是解在有限时间区间上对初值的连续依赖性在无穷区间上的扩展，把系统的解与特解作差，那么就把系统特解的稳定性转化为零解的稳定性，即系统状态对零状态的连续依赖性在无穷区间上的扩展。