《相似三角形的性质》.doc
《相似三角形的性质》参考课件
6 3 2 1
面积发生了
S变化 3 9 S原图 1 1
2
S变化 9S原图
练习
1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形 的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形 的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍．
思 考
如果两个三角形相似,它们对应的高、中线、角 平分线、周长之间有什么关系? 两个相似多边形呢?
相似三角形 对应中线的比,对 应角平分线的比 都等于相似比吗?
你能证明吗?
同理我们也可得到相似三角形它们对应中线、角平分线
的比也为K（相似比）. 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分 线的比都等于相似比.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积是 12 5
1 ∴△DEF的边EF上的高为 6 3, 2 2 1 面积为 12 5 3 5 2
归纳
对应角相等
相 似 三 角 形 的 性 质 对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
18 18 AB 15 18 15 15 BC 15 B ' C ' 18 15 24 BC 20 18 A' B '
B C A'
AC 60 15 20 25
A ' C ' 72 18 24 30
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
苏教版八下10.5相似三角形的性质
在实际问题中，可以利用相似三角形 的面积和周长变化规律来解决一些与 比例、测量和计算相关的问题。
另外，还可以利用相似三角形的面积和周长 变化规律来解决一些与面积或周长相关的实 际问题，如计算不规则图形的面积或周长等 。
例如，可以通过测量相似三角形的一组对 应边长，计算出另一组对应边长，从而得 到一些难以直接测量的长度或距离。
通过已知条件确认两个三角形的三组 对应边成比例，从而证明两三角形相 似。
利用SAS判定定理证明
通过已知条件确认两个三角形的一组 对应边成比例且夹角相等，从而证明 两三角形相似。
判定定理在几何问题中应用
解决线段比例问题
利用相似三角形的性质，可以 解决涉及线段比例的问题，如 证明两条线段成比例或求解未 知线段的长度。
解决角度问题
通过相似三角形的性质，可以 求解或证明与角度相关的问题 ，如证明两个角相等或求解未 知角的度数。
解决面积问题
相似三角形的面积比等于对应 边比的平方，利用这一性质可 以解决涉及面积的问题，如求 解未知三角形的面积或比较两 个三角形的面积大小。
03
相似三角形中线段比例关系
中线、高、角平分线等线段比例关系
【解答】∵ (S△ABC/S△DEF) = (AB/DE)² = 4/9，∴ AB/DE = 2/3。又∵ CD/DH = AB/DE = 2/3，∴ DH = (3/2) × CD = (3/2) × 6cm = 9cm。
04
面积与周长在相似三角形中变化规律
面积比等于相似比平方原理
相似三角形的面积比 等于其对应边长的相 似比的平方。
易错难点剖析及注意事项
易错点
01
02
忽视相似三角形的对应关系和方向；
23.3.3相似三角形的性质(1)
A A'
B
D
C
B'
D'
C'
发现· 探索
问题3：如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中BE、 BE 分别为ABC、 ABC 的角平分线 , BE 求证： k BE
A A′
E
B C B′
E′ C′
归纳· 概括
相似三角形的性质 相 似 三 角 形
对应高的比
B′
D
C′
发现· 探索
发现
相似三角形对应高线的比等于相似比. 相似三角形对应中线的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
发现· 探索
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, AD 求证： / / k。 AD
想一想: 它们还有哪些性质呢?
发现· 探索
一个三角形有三条重要线段：
高线、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
发现· 探索
A
ABC∽ ABC
1 相似比为 2
B
D
C A′
对应高的比 AD 1 2 AD __________ _
3．两个相似三角形对应中线的比为
1 ， 4
1 1 4 4 则相似比为______, 对应高的比为______ .
发现· 探索
问题： 两个相似三角形的周长比会等 于相似比吗？
发现· 探索
图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 、 2 、 3 的等边三 （都相似） 角形，它们都相似吗？ (3) 1 (2) (1) 3 2 1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______ 1∶ 2 (2)与(3)的相似比=______, 2∶ 3 (2)与(3)的周长比=______ 2∶ 3 相似比 结论： 相似三角形的周长比等于______ ．
沪科版《相似三角形的性质》
7.如图，点 A1，A2，A3，A4 在射线 OA上，点
B1，B2，B3 在射线 OB上，且
A1B1 ∥ A2 B2 ∥ A3 B3 ，A2 B1 ∥ A3 B2 ∥ A4 B3
则图中三个阴影三角形面积之和为
B B3 B2 4 B1 1 O A1 A2 A3
若 △A2 B1B2 、 △A3 B2 B3 的面积分别为1，4，
D
1 S ABC 3
C
相似三角形的性质
性质证明
性质2
相似三角形周长的比等于 相似比.
AB BC CA K A' B ' B ' C ' C ' A'
AB BC CA 从而由等比性质有 K A' B' B' C 'C ' A'
探究
图中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、 3的等边三角形，它们都相似． 2： 1 ， （2）与（1）的相似比＝__________ （2）与（1）的面积比＝__________ 4： 1 ； （3）与（1）的相似比＝__________ 3： 1 ， 9： 1 ． （3）与（1）的面积比＝__________
E
Ｆ
C
例2、点D,E,F分别为三角形ABC三边的中 点， 连结AD，BE，CF,交点为点O. A
重心：三角形三条边上的中线 的交点
F O 重心 B E
D
C
运用
例3
如图 24．4．4，△ABC 中，D、E 分别是边 BC、 AB 的中点，AD、CE 相交于 G． 求证：
GE GD 1 CE AD 3
BC k BC
性质3:相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3.3相似三角形的性质
如图,在△ABC 中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若 △ABC的面积为9, A 求S四边形DBCE D E
B
C
如图，在 ABCD中，E为AB延 长线上一点，AB:AE=2:5,若 2 S△DFC=12cm ，求S△EFB D C F
E A B
如图，在 ABCD 中， 2 AE:EB=1:2 ,若S△AEF=6cm ， 求S△CDF D C
求平行四边形BEFD 的面积。
C
A 如图,△ABC是一 块锐角三角形余料, 边BC=120毫米,高 E N M AD=80毫米,要把它 加工成正方形零件, 使正方形的一边在 B Q D P C BC上,其余两个顶 点分别在AB、AC上, 这个正方形零件的 AE = PN AD BC 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。 设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
F
A E
B
在△ABC中,∠C=90°,D是AC上 一点,DE⊥AB于E,若AB=10， BC=6,DE=2,求四边形DEBC的 C 面积
D
A
E
∟
B
A 5.如图,△ABC中,点 D,E,F分别在边 F AB,AC,BC上， D DF∥BC,EF∥AB , AF:FC=2 :3， S△ABC=S， B E
（2）如果面积扩大为原来的100倍， 那么边长扩大为原来的 10 倍。
２，两个相似三角形的一对对应边 分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两 个三角形的周长分别是 100厘米、40。 厘米 —————— （2）它们的面积之和是58平方厘 米，这两个三角形的面积分别 是———————— 。 50平方厘米、8平方厘米
22.3.1相似三角形的性质
对应角相等、对应边成比例
对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比 等于相似比
对应周长之比等于相似比 对应面积之比等于相似比的平方
课本第90-91页 练习1、2 习题2、3、10
THANKS
感谢各位
解决下列问题:
（1）△ABC与△A’B’C’相似么？如果相似，请说
明理由，并求出相似比。
（2）作出两个三角形
A'
BC和B’C’边上的高，
并说出两条高的比。
A
(1) AB 1 A'B' 2
(2) AD 1 A'D' 2
B D C B'
D'
C'
相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分 别是BC、B'C'边上的高
已知：如图,FGHI为矩形，AD⊥BC于D，FG： GH=1:2，BC＝30cm,AD＝12cm 。 GHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分 别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E， AD=8cm，BC=24cm。 （1）设NF=xcm,用含有x的式子表示NH的长； （2）求矩形FGHN的面积的最大值。
相似三角形的对应高之比、对应中线之 比、对应角平分线之比都等于相似比。
已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平 分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.
M
N
如图, △ABC是一块锐角三角形 的余料，边长BC＝60cm，高AD＝40cm，要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边FG在BC上，其余两个顶 点E、H分别在AB、AC上，高AD与EH相交于点P. （1）△AEH与△ABC相似么？为什么？ （2）求这个正方形的零件的边长.
《相似三角形的性质》课件
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
典例精析
例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，
点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 SR = 1 BC 时，
2
求DE的长.如果
SR
=
1 BC
3
呢？
A
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， ∴SR∥BC.
E
A
G C
D H F
选做题：
5. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面
积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌
面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请
你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工
损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
C
D
E
B
D
E
相信自己 是最棒的！
何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
一 相似三角形对应高的比等于相似比 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题. 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造 了模型房梁△A'B'C'，CD和C’D’分别是它们的立柱。 图中有几对相似三角形？
相似三角形对应高的比等于相似比吗？
试求DE∶FG∶BC.
7.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 连接DE,F为线段DE上一点, 且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=4,AD=3 3,AE=3,求AF的长.
4.一块直角三角形的木板,它的一条直角边AC长为1.5 m, 面积为1.5 m2.现在要把它加工成一个正方形桌面,甲、乙 两人的加工方法分别如图4-7-2①②所示,记两个正方形 面积分别为S1、S2,请通过计算比较S1与S2的大小.
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27.2.2相似三角形的性质
一、教学目标
1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．能用三角形的性质解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：相似三角形的性质与运用．
2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的
平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
3．难点的突破方法
（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比
等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高
的比等于相似比）
（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，
不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是2
，它们的面积之比不一定是 4 ，3 9
因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．
（3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似必要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．如：如果两个相似三角形面积的比为 3∶5 ，那么它们的相似比为 ________，周长的比为 ________．（4）讲完性质后，可先安排一组简单的题目让学生巩固，然后再讲例
题．三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例 1 是补充的一个例题，它紧扣性质，是性质的
简单运用，但要注意它是逆用性质“相似三角形周长的比等于相似比”来进行运
算的．例 2 是教材 P38 的例 3 ，它是通过求相似的过程中，求出相似比，再综合运用两条性质求出其高与面积．难度略高于例 1．其目的是想让学生能够综合、灵活
的运用相似三角形的性质解决问题．
如果学生程度好一些，可以补充“相似三角形对应中线的比等于相似比”的题目．
四、课堂引入
1．复习提问：
已知： ?ABC ∽?A ′B′C′，根据相似的定义，我们有哪些结论？
（从对应边上看；从对应角上看：）
问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，
我们还可以得到哪些结论？
2．思考：
（1）如果两个三角形相似，它们的高、中线、角平分线及周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？
推导见教材 P37．
结论——相似三角形的性质：
性质 1相似三角形对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比．即：如果△ABC∽△ A′ B′，C′且相似比为k，
那么
AB BC CA
A B B C k ．
C A
性质 2相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果△ABC∽△ A′ B′，C′相似比为且k，S
那么
S
ABC
( AB )2 k 2．A B C
A B
相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比．
相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方．
五、例题讲解
例 1（补充）已知：△ABC ∽△ A′ B′，C它′们的周长分别是60 cm 和 72 cm，且 AB ＝15 cm， B′C＝′24 cm，求 BC、AB 、 A′B、′A′C的′长．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC 等边的长．
解：略（此题学生可以让自己完成）．
例 2（教材 P38 例 3）
分析：根据已知可以得到DE DF 1
，又有夹角∠ D=∠A ，由相似三角形
AB AC 2
的判定方法 2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为1
，故△ DEF的边EF上2
的高和面积可求出．
解：略（见教材 P38）
六、课堂练习
1．教材 P38． 1．
2．填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为 3∶5 ，那么它们的相似比为 ________，周长的比为 _____，面积的比为 _____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为 3∶ 5 ，那么它们的相似比为 ________，周长的比为 ________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的
周长比等于 ______，面积比等于 _______．
（ 4）两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长
是 42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
3．如图 ,在正方形网格上有△ A 1B1C1和△ A2 B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△ A1B1 C1和△ A2B2C2的面积比．
七、课后练习
1．如图，点 D、E 分别是△ ABC 边 AB 、AC 上的点，且 DE∥BC，BD＝2AD ，
那么△ ADE 的周长：△ ABC 的周长＝．
2．已知：如图，△ ABC 中， DE∥ BC，
（1）若AE2
，① 求
AE
的值；
②求
S EC 3AC S
的面积；ADE的值；③若 S ABC 5 ，求△ADE ABC
（ 2）若S ABC S，AE 2
，过点E作EF∥AB交BC于F，求BFED的面积；
EC 3
（ 3）若AE
k ， S ABC 5 ，过点E作EF∥AB交BC于F，求BFED 的面积．EC。