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简单的线性规划问题

[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

知识点一线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )

线性约束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )

目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x， y)

可行域由所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

知识点二线性规划问题

1．目标函数的最值

线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z

，在 y 轴上的截距是

z

，b

x＋

b b

当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；

当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．

2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 )便是最优解．

(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．

(4)答：写出答案．

知识点三简单线性规划问题的实际应用

1．线性规划的实际问题的类型

(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效

益最大；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，

且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②

产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

2．解答线性规划实际应用题的步骤

(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要

在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．

(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最

优解．

(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．

题型一求线性目标函数的最值

例1 已知变量x， y 满足约束条件

y≤ 2，

x＋ y≥ 1，

x－ y≤1，

则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )

A ． 12

B ．11

C．3 D．－ 1

答案 B

解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点

的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经

y＝2，x＝ 3，

过点 A 时， z 取得最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.

x－y＝ 1 y＝ 2，

x＋y－ 2≤ 0，

跟踪训练 1 (1)x，y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，

．．．

2x－y＋ 2≥ 0，

则实数 a 的值为 ()

1 1

A. 2或－ 1 B ．2 或 2

C．2 或 1 D． 2 或－ 1

x－y＋ 1≤ 0，

(2)若变量 x，y 满足约束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．

x≥0，

答案(1)D (2)1

解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，

故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；

当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.

y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝ 3x＋ y，即

(0,1)时 z 取最小值 1.

题型二非线性目标函数的最值问题

x－ y－2≤ 0，

例2 设实数 x， y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求

2y－ 3≤ 0，

(1)x2＋y2的最小值；

y

(2)x的最大值．

解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，

(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．

x＋2y－ 4＝ 0，

4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3

又由

2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，

所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 2

13

＝2，

13

所以， x2＋y2的最小值为4 .

y

ABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域

y－ 0

＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，

3

由(1) 知 C 1，2，

所以 v max＝3 y 3

，所以的最大值为.

2 x 2

x≥ 0，

跟踪训练 2 已知 x， y 满足约束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．

x＋ y≥ 1，

答案10

解析画出可行域 ( 如图所示 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平

方．显然AC 长度最小，

∴AC2＝ (0＋ 3)2＋ (1－ 0)2＝ 10，即 (x＋ 3)2＋y2的最小值为 10.

题型三线性规划的实际应用

例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？

x＋ 2y≤ 12，

解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为

2x＋ y≤ 12，

z 元，于是有

x≥ 0， y≥ 0，

x∈ N ， y∈ N ，

z＝ 300x＋ 400y，

在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线

300x＋400y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，

最大值是 z＝ 300× 4＋ 400× 4＝ 2 800，

即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．

反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性

约束条件；③ 确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解；

⑥ 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．

跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总

数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？

解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z＝ x＋ y，

把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为

50x＋20y≤ 2 000，

y≥ x，

y≤ 1.5x，

x≥ 0，x∈ N*，

y≥0， y∈ N* .

x＝200

，

50x＋ 20y＝2 000，7

由解得

200 y＝ x，

y＝，

7

所以 A 点的坐标为 200，200 .

7 7

50x ＋ 20y ＝2 000，

x ＝ 25，

由

解得

75

y ＝ 1.5x ，

y ＝ 2 ，

所以 B 点的坐标为 75

25， 2 .

200 200

75

所以满足条件的可行域是以 A 7 ，

7 ， B 25， 2 ， O(0,0) 为顶点的三角形区域 (如图 )．

75

由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 2 ，

但注意到 x ∈ N * ， y ∈ N * ，

x ＝ 25， 故取

y ＝ 37.

故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．

x ＋ y － 3≤ 0，

1．若直线 y ＝ 2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x － 2y － 3≤0， 则实数 m 的最大值为 ()

x ≥ m ，

3

A ．－ 1

B ． 1

C.2

D ． 2

5x － 11y ≥－ 22，

2x ＋ 3y ≥ 9， 2．某公司招收男职员

x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件

则 z

2x ≤ 11，

x ∈ N * ， y ∈ N * ，

＝ 10x ＋ 10y 的最大值是 ( )

A ． 80

B ．85

C ．90

D ． 95

y≤1，

3．已知实数x，y 满足x≤1，则z＝x2＋y2的最小值为________．

x＋y≥ 1，

一、选择题

1．若点 (x, y)位于曲线 y＝ |x|与 y＝ 2 所围成的封闭区域，则 2x－ y 的最小值为 ( ) A ．－ 6 B．－ 2 C． 0 D． 2

x≥ 1，

2．设变量 x， y 满足约束条件x＋ y－ 4≤ 0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为 ()

x－ 3y＋4≤ 0，

4

A ．－ 4 B． 0 C.3 D． 4

x≥ 1，

则 z＝y－1

的取值范围是 (

3．实数 x， y 满足 y≥ 0，)

x－ y≥ 0，

x

A ． [ － 1,0]

B ．( －∞， 0]

C．[ －1，＋∞ ) D． [ － 1,1)

x－ y≥ 0，

4．若满足条件x＋ y－ 2≤ 0，的整点 (x， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，y≥ a

则整数 a 的值为 ()

A ．－ 3 B．－ 2C．－ 1 D． 0

x≥ 1，

5．已知 x， y 满足x＋ y≤ 4，目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为7，最小值为1，则 b，c x＋ by＋ c≤ 0，

的值分别为( )

A ．－ 1,4

B ．－ 1，－ 3

C．－ 2，－ 1 D．－ 1，－ 2

6．已知x，y 满足约束条件x＋ y≥ 5，

x－ y＋ 5≥0，

x≤ 3，

使 z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，

则 a 的值为( )

A ．－ 3 B． 3 C．－ 1 D． 1

二、填空题

x≤ 2，

7．若 x， y 满足约束条件y≤2，则 z＝ x＋ 2y 的取值范围是 ________．

x＋ y≥2，

8．已知－ 1≤ x＋y≤ 4 且 2≤ x－y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．

0≤ x≤ 2，

9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y≤ 2，给定．若 M(x， y)为 D

x≤ 2y

上的动点，点 A 的坐标为 (

→ →

2， 1)，则 z＝ OM ·OA的最大值为 ________．

10．满足 |x|＋ |y|≤ 2 的点 (x，y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个．

x－ y＋ 2≥ 0，

11．设实数 x， y 满足不等式组2x－ y－ 5≤ 0，则 z＝ |x＋ 2y－ 4|的最大值为 ________．

x＋ y－ 4≥ 0，

三、解答题

x－ 4y≤－ 3，

12．已知x， y 满足约束条件3x＋ 5y≤ 25，目标函数z＝ 2x－ y，求z 的最大值和最小值．

x≥ 1，

x＋ y－ 11≥ 0，

13．设不等式组3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数y＝ a x的图象上存在区域5x－ 3y＋ 9≤0

D 上的点，求 a 的取值范围．

14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张

书桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元．

(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？

(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？

(3)怎样安排生产可使所得利润最大？

当堂检测答案

1． 答案

B

解析 如图，

当 y ＝ 2x 经过且只经过

x ＋ y － 3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直

线 x ＋ y － 3＝ 0 上，则 m ＝ 1.

2． 答案 C

解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x ， y ∈ N * ，计算区域内与

11 9 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5， y ＝ 4 时， z 取得最大值为

90.

2 ，

2

1

3． 答案

2

解析

实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，

则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，

故 z min ＝ 1

2

＝ 1

.

2 2

课时精练答案

一、选择题

1．答案 A

解析画出可行域，如图所示，解得A(－ 2,2)，设 z＝ 2x－ y，

把z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，

则直线经过点 A 时 z 取得最小值；

所以 z min＝2× (－ 2)－ 2＝－ 6，故选 A.

2．答案 D

解析作出可行域，如图所示．

x＋ y－ 4＝0，x＝2，

联立解得

x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.

当目标函数z＝ 3x－ y 移到 (2,2)时， z＝ 3x－ y 有最大值4.

3．答案 D

解析作出可行域，如图所示，

y－1

的几何意义是点 (x， y)与点 (0,1)连线 l 的斜率，当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小，最小为－ 1. x

又直线 l 不能与直线x－ y＝ 0 平行，∴ k l＜ 1.综上， k∈ [－ 1,1)．

解析

不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－ 1 时，正好增加 (－ 1，－ 1)，(0，－ 1)，(1 ，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)5 个整点．故选C.

5．答案 D

解析由题意知，直线x＋by＋ c＝ 0 经过直线2x＋ y＝ 7 与直线x＋ y＝ 4 的交点，且经过直线

2x＋ y＝1 和直线x＝ 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1，－ 1)，

3＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 1，

∴解得

1－ b＋ c＝ 0，c＝－ 2.

6．答案 D

解析如图，作出可行域，作直线l：x＋ ay＝0，要使目标函数z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x＋ y＝ 5 重合，故a＝ 1，选 D.

二、填空题

7．答案[2,6]

解析如图，作出可行域，

作直线 l ：x＋ 2y＝ 0，

将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为[2,6] ．

解析作出不等式组

－1≤ x＋ y≤ 4，

表示的可行域，如图中阴影部分所示．

2≤ x－ y≤ 3

在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，

当直线经过 x－ y＝ 2 与 x＋y＝ 4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值z min＝2× 3－ 3× 1＝ 3；当直线经过 x＋ y＝－ 1 与 x－ y＝ 3 的交点 B(1，－ 2) 时，目标函数有最大值z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.

所以 z∈[3,8] ．

9．答案 4

解析由线性约束条件

0≤ x≤ 2，

y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数

→ →

2x＋ y，将其化为z＝OM ·OA＝

x≤ 2y

y＝－ 2x＋ z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2， 2)时， z 最大，将点 ( 2， 2)代入 z ＝ 2x＋ y，得 z 的最大值为 4.

10．答案13

解析|x|＋ |y|≤ 2 可化为

x＋ y≤ 2 x－ y≤ 2

x≥ 0， y≥0

x≥ 0， y＜ 0 ，

，

－x＋ y≤ 2 x＜0， y≥ 0 ，

－x－ y≤ 2 x＜0， y＜ 0 ，

作出可行域为如图正方形内部(包括边界 )，

容易得到整点个数为13 个．

11．答案 21

解析作出可行域 (如图 )，即△ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为A(1,3)， B(7,9)，C(3,1)

方法一∵可行域内的点都在直线x＋ 2y－ 4＝0 上方，

∴x＋ 2y－ 4＞ 0，

则目标函数等价于 z＝ x＋ 2y－4，

易得当直线 z＝ x＋2y－ 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝ 21.

方法二z＝ |x＋ 2y－4|＝|x＋ 2y－ 4|

· 5，

5

令 P( x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－ 4＝ 0，

则z＝ 5d，其中 d 为 P(x， y)到直线 x＋2y－ 4＝ 0 的距离．由

图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，

故d的最大值为 |7＋ 2× 9－4|＝ 21.

5 5

故目标函数

z max＝ 21 · 5＝ 21.

5

三、解答题

12．解z＝ 2x－ y 可化为y＝ 2x－ z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－ y＝0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5,2) 时， z max＝ 2× 5 － 2＝ 8.

当l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，

z min＝ 2× 1－4.4＝－ 2.4.

13．解先画出可行域，如图所示，y＝ a x必须过图中阴影部分或其边界．

∵A(2,9) ，∴ 9＝ a2，∴a＝ 3.

∵a＞ 1，∴ 1＜ a≤ 3.

14．解由题意可画表格如下：

方木料 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 0.1 2 80

书橱 (个 ) 0.2 1 120

(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，

0.1x≤ 90，

x≤ 900，

2x≤ 600，

? x≤300，? 0≤ x≤ 300.

则

z＝ 80x，

x≥0

x≥ 0

所以当 x＝ 300 时， z max＝ 80× 300＝ 24 000(元 ) ，

即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润24 000 元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，

0.2y≤ 90，

y≤ 450，

1·y≤ 600，

? y≤ 600，? 0≤ y≤ 450.

则

z＝ 120y，

y≥ 0

y≥ 0

所以当 y＝ 450 时， z max＝ 120× 450＝ 54 000(元 )，

即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润54 000 元．

(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为z 元，

0.1x＋ 0.2y≤ 90，x＋ 2y≤ 900，

2x＋ y≤ 600，2x＋ y≤ 600，

则?

x≥ 0，x≥ 0，

y≥ 0 y≥ 0.

z＝ 80x＋120y.

在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图 )．

作直线 l ：80x＋ 120y＝0，即直线 l： 2x＋ 3y＝0.

把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时 z＝ 80x＋ 120y 取得最大值．

x＋ 2y＝ 900，

由

2x＋ y＝ 600，

解得，点M 的坐标为 (100,400) ．

所以当 x＝ 100，y＝ 400 时，

z max＝ 80×100＋ 120×400＝ 56 000(元 )．

因此，生产书桌100 张、书橱400 个，可使所得利润最大．