Hopfield神经网络优化方法
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第五章霍普菲尔德(Hopfield)神经网络
在Hopfield网络中，由于反馈的存在，其加权 输 入和ui，i=1~n为网络状态，网络的输出为y1~yn， 则 u,y的变化过程为一个非线性动力学系统。可用非线 性差（微）分方程来描述。一般有如下的几种状态 演变形式： （1）渐进稳定
（2）极限环
（3）混沌现象
（4）状态轨迹发散
离散型 Hopfield神经网络
• 1982年,美国加州工学院J.Hopfield提出了可用作联想存储 器和优化计算的反馈网络,这个网络称为Hopfield神经网络 (HNN)模型,也称Hopfield模型.并用它成功地探讨了旅行商 问题(TSP)的求解方法。
HNN是一种循环NN,从输 出到输入有反馈连接. HNN有离散型和连续型 两种.
• 反馈NN由于其输出端有反馈到其输入端,所以,HNN在 输入的激励下,会产生不断的状态变化.
– 当有输入之后,可以求取出HNN的输出,这个输出反馈到 输入从而产生新的输出,这个反馈过程一直进行下去. – 如果HNN是一个能稳定的网络,则这个反馈与迭代的计算 过程所产生的变化越来越小,一旦到达了稳定平衡状态, 那么HNN就会输出一个稳定的恒值. – 对于HNN来说,关键是在于确定它在稳定条件下的权系数. – 应该指出,反馈网络有稳定的,也有不稳定的. • 对于HNN来说,还存在如何判别它是稳定网络,亦或是 不稳定的问题.而判别依据是什么,也是需要确定的.
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可 能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点： （1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态 更新时刻．不需要同步机制； （2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输 出状态，避免不同稳态以等概率出现。 一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转 移序列就确定了。
（2）极限环
（3）混沌现象
（4）状态轨迹发散
离散型 Hopfield神经网络
• 1982年,美国加州工学院J.Hopfield提出了可用作联想存储 器和优化计算的反馈网络,这个网络称为Hopfield神经网络 (HNN)模型,也称Hopfield模型.并用它成功地探讨了旅行商 问题(TSP)的求解方法。
HNN是一种循环NN,从输 出到输入有反馈连接. HNN有离散型和连续型 两种.
• 反馈NN由于其输出端有反馈到其输入端,所以,HNN在 输入的激励下,会产生不断的状态变化.
– 当有输入之后,可以求取出HNN的输出,这个输出反馈到 输入从而产生新的输出,这个反馈过程一直进行下去. – 如果HNN是一个能稳定的网络,则这个反馈与迭代的计算 过程所产生的变化越来越小,一旦到达了稳定平衡状态, 那么HNN就会输出一个稳定的恒值. – 对于HNN来说,关键是在于确定它在稳定条件下的权系数. – 应该指出,反馈网络有稳定的,也有不稳定的. • 对于HNN来说,还存在如何判别它是稳定网络,亦或是 不稳定的问题.而判别依据是什么,也是需要确定的.
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可 能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点： （1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态 更新时刻．不需要同步机制； （2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输 出状态，避免不同稳态以等概率出现。 一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转 移序列就确定了。
Hopfield神经网络优化方法
人工神经网络由于其大规模并行处理、学习、联想和记忆等功能，以及它高度的自组织和自适 应能力，已成为解决许多工程问题的有力工具，近年来得到了飞速的发展。
生物神经系统
生物神经系统是一个有高度组织和相互作用的数目庞大的细胞组织群体。这些细胞被称为神 经细胞，也称作神经元。
人工神经元模型
人工神经元是构成人工神经网络的基本单元，是对生物神经元特性及功能的一种数学抽象， 通常为一个多输入单输出器件。
解：根据式（10-11）构造出权值矩阵W：
0 1 1
W
1
0
3
1 3 0
对于本例，给出模式m3，但网络运行稳定在m2，而非其自身模式m3。 Hopfield网络用于记忆联想要受其记忆容量和样本差异制约： >若记忆模式较少，同时模式之间的差异较大，则联想的结果就比较正确；而当需记忆的模式较多 时，网络到达的稳定状态往往不是己记忆的模式，亦即容易引起混淆； > 再者，当模式间差异较小时，网络可能无法辨别出正确的模式，此时即便采用已记忆的模式作为 联想模式（自联想），也仍可能出错，如本例所示。 注意：本例m1和m2是该网络的两个稳定状态。可验证，对于该网络的其余6个网络状态中的任何一 个，都可在一次运行后收敛于这两个状态中的一个。 解毕。
③即前面已讨论过的“E随状态 变化而严格单调递减”
容易证明它满足Lyapunov函数的三个条件：①函数连续可导；②函数正定以及；③函数的导 数半负定。
① 从
E(V)
vi
wijvj
ji
i
可以看出E对于所有V的分量是连续的。
② 严格来说，式（10-9）并不能满足Lyapunov函数的正定条件。但是，对于神经元有界的神经网 络的稳定性来说，正定条件可以退化为只要求该函数有界。
生物神经系统
生物神经系统是一个有高度组织和相互作用的数目庞大的细胞组织群体。这些细胞被称为神 经细胞，也称作神经元。
人工神经元模型
人工神经元是构成人工神经网络的基本单元，是对生物神经元特性及功能的一种数学抽象， 通常为一个多输入单输出器件。
解：根据式（10-11）构造出权值矩阵W：
0 1 1
W
1
0
3
1 3 0
对于本例，给出模式m3，但网络运行稳定在m2，而非其自身模式m3。 Hopfield网络用于记忆联想要受其记忆容量和样本差异制约： >若记忆模式较少，同时模式之间的差异较大，则联想的结果就比较正确；而当需记忆的模式较多 时，网络到达的稳定状态往往不是己记忆的模式，亦即容易引起混淆； > 再者，当模式间差异较小时，网络可能无法辨别出正确的模式，此时即便采用已记忆的模式作为 联想模式（自联想），也仍可能出错，如本例所示。 注意：本例m1和m2是该网络的两个稳定状态。可验证，对于该网络的其余6个网络状态中的任何一 个，都可在一次运行后收敛于这两个状态中的一个。 解毕。
③即前面已讨论过的“E随状态 变化而严格单调递减”
容易证明它满足Lyapunov函数的三个条件：①函数连续可导；②函数正定以及；③函数的导 数半负定。
① 从
E(V)
vi
wijvj
ji
i
可以看出E对于所有V的分量是连续的。
② 严格来说，式（10-9）并不能满足Lyapunov函数的正定条件。但是，对于神经元有界的神经网 络的稳定性来说，正定条件可以退化为只要求该函数有界。
Hopfield神经网络模型与学习算法
2015/8/11 15
2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实 现
MATLAB中与Hopfield网络有关的重要函数和功能
satlins( ) 功能 对称饱和线性传递函数 格式 A = satlins(N) A输出向量矩阵； N是由网络的输入向量组成的 S*Q矩阵，返回的矩阵 A与N的维数大小一致，A 的元素取值位于区间[0，1]内。当N中的元素介 于-1和1之间时，其输出等于输入；当输入值小 于-1时返回-1；当输入值大于1时返回1。
N N u dv d E d E dvi wij v j i I i i dt dvi dt Rj dt i 1 j 1
将下式代入得：
N dui u Ci wij v j I i i dt Ri j 1 N dE du dv Ci ( i ) i dt dt dt i 1
•在任一时刻，部分神经元或全部神经元的状 态同时改变。
2015/8/11
7
2.9.1离散Hopfield 神经网络
串行(异步)工作方式运行步骤 第一步 对网络进行初始化； 第二步 从网络中随机选取一个神经元； 第三步 按式(2-5)求出该神经元i的输出； 第四步 按式 (2-6) 求出该神经元经激活函数 处理后的输出，此时网络中的其他神经元的输 出保持不变； 第五步 判断网络是否达到稳定状态，若达 到稳定状态或满足给定条件则结束；否则转到 第二步继续运行。
2015/8/11
16
2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实 现 例2-8 设印刷体数字由10 10点阵构成，就
是将数字分成很多小方块，每个方块就对应数 字的一部分，构成数字本部分的方块用 1 表示， 空白处用-1表示。试设计一个Hopfield网络， 能够正确识别印刷体的数字。
2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实 现
MATLAB中与Hopfield网络有关的重要函数和功能
satlins( ) 功能 对称饱和线性传递函数 格式 A = satlins(N) A输出向量矩阵； N是由网络的输入向量组成的 S*Q矩阵，返回的矩阵 A与N的维数大小一致，A 的元素取值位于区间[0，1]内。当N中的元素介 于-1和1之间时，其输出等于输入；当输入值小 于-1时返回-1；当输入值大于1时返回1。
N N u dv d E d E dvi wij v j i I i i dt dvi dt Rj dt i 1 j 1
将下式代入得：
N dui u Ci wij v j I i i dt Ri j 1 N dE du dv Ci ( i ) i dt dt dt i 1
•在任一时刻，部分神经元或全部神经元的状 态同时改变。
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
串行(异步)工作方式运行步骤 第一步 对网络进行初始化； 第二步 从网络中随机选取一个神经元； 第三步 按式(2-5)求出该神经元i的输出； 第四步 按式 (2-6) 求出该神经元经激活函数 处理后的输出，此时网络中的其他神经元的输 出保持不变； 第五步 判断网络是否达到稳定状态，若达 到稳定状态或满足给定条件则结束；否则转到 第二步继续运行。
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2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实 现 例2-8 设印刷体数字由10 10点阵构成，就
是将数字分成很多小方块，每个方块就对应数 字的一部分，构成数字本部分的方块用 1 表示， 空白处用-1表示。试设计一个Hopfield网络， 能够正确识别印刷体的数字。
hopfield神经网络及其应用教学课件PPT
02
Hopfield神经网络的数学基础
向量运算和矩阵运算
向量加法
对应元素相加，得到一个新的向量。
向量数乘
一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。
向量点乘
两个向量的对应元素相乘后求和，得到一个标量。
向量运算和矩阵运算
01
020304 Nhomakorabea向量叉乘
两个向量按照顺序相乘，得到 一个新的向量。
矩阵加法
对应位置的元素相加，得到一 个新的矩阵。
适用场景
旅行商问题、背包问题、图着色问题等组合优化问题，以 及各种工程优化问题。
05
Hopfield神经网络的未来发展
Hopfield神经网络与其他神经网络的结合
与卷积神经网络结合
利用Hopfield神经网络的记忆特性，与卷积神经网络共同处理图 像识别等任务，提高识别精度和稳定性。
与循环神经网络结合
训练方法
通过特定的训练算法，对 Hopfield神经网络进行训练，使 其能够记忆和识别特定的模式或 状态。
优化算法
采用优化算法（如梯度下降法、 遗传算法等），对Hopfield神经 网络的参数进行调整和优化，以 提高其性能和稳定性。
性能评估
通过测试和评估，对训练和优化 后的Hopfield神经网络进行性能 评估，包括准确率、稳定性、实 时性等方面的评估。
Hopfield神经网络及其应用教 学课件
目
CONTENCT
录
• Hopfield神经网络简介 • Hopfield神经网络的数学基础 • Hopfield神经网络的实现 • Hopfield神经网络的应用案例 • Hopfield神经网络的未来发展
01
Hopfield神经网络简介
《hopfield神经网络》课件
图像识别实例
总结词
通过Hopfield神经网络，可以实现高效的图像识 别。
总结词
图像识别的准确率取决于训练样本的多样性和数 量。
详细描述
在图像识别实例中，可以将图像信息转化为神经 网络的输入，通过训练和学习，网络能够将输入 的图像信息与预存的图像模式进行匹配，从而实 现图像的快速识别。
详细描述
为了提高图像识别的准确率，需要收集大量具有 代表性的训练样本，并采用多种不同的训练方法 对网络进行训练，以增加网络的泛化能力。
神经元模型
神经元模型
Hopfield神经网络的基本单元是神经元，每个神经元通过加权输 入信号进行激活或抑制。
激活函数
神经元的输出由激活函数决定，常用的激活函数有阶跃函数和 Sigmoid函数。
权重
神经元之间的连接权重用于存储记忆模式，通过训练可以调整权重 。
能量函数
1 2 3
能量函数定义
能量函数是描述Hopfield神经网络状态的一种方 式，其值越低表示网络状态越稳定。
《Hopfield神经网 络》PPT课件
目录
CONTENTS
• Hopfield神经网络概述 • Hopfield神经网络的基本原理 • Hopfield神经网络的实现 • Hopfield神经网络的优化与改进 • Hopfield神经网络的实例分析
01 Hopfield神经网络概述
定义与特点
能量函数的性质
能量函数具有非负性、对称性、连续性和可微性 等性质，这些性质对于网络的稳定性和记忆性能 至关重要。
最小能量状态
训练过程中，网络会逐渐趋近于最小能量状态， 此时对应的模式被存储在神经元连接权重中。
稳定性分析
稳定性定义
一种基于免疫和Hopfield神经网络的多峰值优化算法
Ａ ｓｒｃ：Ｂｓｄｏ ｅａａ ｓ ｆｍｍ ｎ ｅｒ ｄＨ ｐ ｅ ｅｒ ｅ ｏｋ（ Ｎ ） ｅ ｇｒｈ ｒｍ ｌｍｏａ ｂ ｔ ｔ ａｅ ｎｔ ｎｌ ｉ ｏ ｕ ｅｔ ｏ ａ ｏｆ ｌ ｎ ｕａ ｎｔ ｒ Ｈ Ｎ ，ａｎｗａ ｏ ｔｍ ｆ ｕｔ ｄ ａ ｈ ｙｓ ｉ ｈ ｙｎ ｉ ｄ ｌ ｗ ｌ ｉ ｏ ｉ ｌ ｆｎｔ ｎｏ ｔ ｉ ｔ ｎｗ ｒｐ ｓｄ ｈｓ ｅ ｇｒｈ ａ ｅａｖ ｔ ｅ ｆ ０ ｌ Ｎ ｎ ｕ ｅａ ｏ ｔｍ （Ａ ，ａｄｉ ｕｃ ｏ ｐｉ ｚ ｉ ａ ｐｏｏｅ ．Ｔ ｉ ｎｗ ａ ｏ ｔｍ ｈｄｔ ｄａ ａ ｓ ｔ Ｎ ａ ｄｉ ｉ ｍ ａｏ ｓ ｌ ｉ ｈ ｎ ｇ ｏ ｂ ｌＨ ｍｍ ｎ ｇｒｈ Ｉ ） ｎ ｌ ｉ ｔ
混合算法。Ｈ ｐ ｅ 神经 网络 易于硬件 实现， ｏｆｌ ｉｄ 具有 简单、 快速 的优点 ， 但是对初 始值 具有依赖性 以及 容易陷入局部极值。免疫算法具有识别 多样性的特点， 但搜索效率和精度不高。将两算法结合起来， 优势互补。首先用免疫算法寻优 ， 然后对所得具有全局多样性 的解进行聚类分析 ， 所得聚类 中心作为 Ｈ ｅ 神 经网络 的初始搜索点 ， ｏ ｌ ｄ 最后利用 Ｈ ｐ ｅ 神 经网络逐个寻优。实验表 明， ｏｆｌ ｉｄ 该算法是 一种有 效 的求解 多峰 函数优 化 问题 的 方法 ， 与免 疫 算法相 比 ， 索效 率和精度 都 较 高。 搜 关键词 ： ｏｆｌ 经 网络 ； 疫算 法 ； Ｈ ｐｅ ｉ ｄ神 免 聚类 ； 多峰 函数 优 化 中 图分 类 号 ： Ｐ ８ ； Ｐ ０ ． 文 献标 志码 ： Ｔ １３ Ｔ ３ １ ６ Ａ
Ｚ Ｕ Ｒ ｉ ｉｇ Ｕ Ｊｎｈ ａ Ｉ ａｎ ，Ｔ Ｎ Ｑ ｎ ＨＯ ｕ— ｎ ，Ｇ ｕ —ｕ ，Ｌ —ａ Ａ ｉｇ ｙ Ｎ （ ｃ ｏ ｏ ｏｐｔ ｃｎｅ ｏｗ ｒ ｅ ｉ ｎ ｅｉ ｆ Ｔｃ ｏ ｇ，Ｔ ｎｎ ０ １ ，Ｃ ｉ ） Ｓｈ ｌｆＣｍ ｕ ｒ ｉ ｃ ＆Ｓ ａ ，Ｈｂ ＆ｍ￣ｏ ｅ ｎｌ ｙ ｉｊ ０３ ｈ ａ ｏ ｅＳ ｅ ｔ ｆ ｅ ｅＵ ｈ ｏ ａ ｉ３ ０ ｎ
混合算法。Ｈ ｐ ｅ 神经 网络 易于硬件 实现， ｏｆｌ ｉｄ 具有 简单、 快速 的优点 ， 但是对初 始值 具有依赖性 以及 容易陷入局部极值。免疫算法具有识别 多样性的特点， 但搜索效率和精度不高。将两算法结合起来， 优势互补。首先用免疫算法寻优 ， 然后对所得具有全局多样性 的解进行聚类分析 ， 所得聚类 中心作为 Ｈ ｅ 神 经网络 的初始搜索点 ， ｏ ｌ ｄ 最后利用 Ｈ ｐ ｅ 神 经网络逐个寻优。实验表 明， ｏｆｌ ｉｄ 该算法是 一种有 效 的求解 多峰 函数优 化 问题 的 方法 ， 与免 疫 算法相 比 ， 索效 率和精度 都 较 高。 搜 关键词 ： ｏｆｌ 经 网络 ； 疫算 法 ； Ｈ ｐｅ ｉ ｄ神 免 聚类 ； 多峰 函数 优 化 中 图分 类 号 ： Ｐ ８ ； Ｐ ０ ． 文 献标 志码 ： Ｔ １３ Ｔ ３ １ ６ Ａ
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TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP,即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij ）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji , ni j=1 , 2, 3, ?, n）;2）非对称旅行商问题（dij dji, ? i, j=1 , 2, 3, ?, n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={V1, V2, V3, ?, V n}的一个访问顺序为T={t l, t2, t3, ?, t i, ?, t n}，其JT中t& V （i=1 , 2, 3, ?, n）,且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL= TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略一一路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）;②逆序操作（INV ）;③插入操作（INS）。
应用Hopfield神经网络优化最大熵的图像恢复算法
像恢复的优化 目标， 构造能量函数连续型 Ｈ ｐ ｅ 神经网络模型，由能量 函数极小化得到图像恢复的最 ｏｆｌ ｉｄ
优解 ．
收稿 日期 ： ０ ０ １ —２ ２ ｌ ．２ １ 基金项 目： 南省教 育厅 基金项 ｆ（０ ０ ５ ） 湖 １１ｃ ７ ３
作者简 介 ： 卫平 （９４ ） 丁 １６ ，男，湖南岳 阳人，硕 上， 湖南 理 Ｉ 院数 学学 院副教 授 主要研 究方 向：信息 论及应 用 学
算法 在不断 改进，运算 速度也 越来 越快．
本文提出一种基于 Ｈ ｐ ｅ ｏｆ ｌ ｉ ｄ神经 网络模型优化 的最大熵图像恢 复算法， 图像恢复问题转 化为 将
Ｈ ｐ ｅｄ 经 网络优 化 问题 ， 恢 复 图像 最 大熵 函数 及 原始 图像 与恢 复 图像 的误 差 平 方和 为最小 作 为 图 ｏ ｆ ｌ神 ｉ 取
ｉ ｍａ ｉ ｍ ｆｉ ｇ ｎ ｒ ｐ ｎ ｎ ｍｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｑ ａ ｅ ｒｏ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｅ ｏ ｉ ｉ ａ ｍａ ｅａ ｄ ｒ ｓｏ ａ ｉ ｅ ｉ ｇ ｕ ｏ ｔ ｅ ｓ ｘ ｍｕ ｏ ｍａ ｅ ｅ ｔｏ ｙ ａ ｄ ｍｉ ｉ ｚ ｔ ｆｓ ｕ ｒ ｄ ｅ ｒ ｒ ｂ ｔ ｅ ｈ ｒｇ ｎ ｌ ｏ ｉ ｇ ｎ ｅ ｔ ｒ ｔｖ ｍａ ｅ ｄ ｅ ｔ ｈ
网络 用于 图像恢复 的方法最 早由 ｚｏＹＴ等人提 …，他们将恢 复 问题与 Ｈｏｆ ｌ ｈｕ ｐ ｅｄ神经 网络 通过 能量 函数 ｉ 联系起 来，将 图像恢复 问题转 化为适 合神经 网络计 算 的优 化 问题 ， 来 Ｐｉ 人对 比进行 了改进Ｌ． 年 后 ａ ｋ等 ２近 Ｊ 来，关 于 神经 网络 图像复 原方 法 ［６的研究 也 越来 越 多，其 用 于图 像复 原 的神 经 网络模 型 在不 断地 丰 富， ３１ － －
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（1）前馈型网络
各神经元接受前一层的输入，并输出给下一 层，没有反馈。
结点分为两类，即输入单元和计算单元，每 一计算单元可有任意个输入，但只有一个输 出（它可耦合到任意多个其他结点作为输入 ）。
可分为不同的层，第i-1层输出是第i层的输 入，输入和输出结点与外界相连，而其他中 间层称为隐层。
主要起函数映射作用，常用于模式识别和函数逼近 。
人工神经网络由于其大规模并行处理、学习、联想和记 忆等功能，以及它高度的自组织和自适应能力，已成为 解决许多工程问题的有力工具，近年来得到了飞速的发 展。
Hopfield神经网络优化方法
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生物神经系统
生物神经系统是一个有高度组织和相互作用的 数目庞大的细胞组织群体。这些细胞被称为神 经细胞，也称作神经元。
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Hopfield神经网络优化方法
10.1 人工神经网络模型 10.2 Hopfield神经网络 10.3 Hopfield网络与最优化问题
Hopfield神经网络优化方法
1
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人工神经网络
人工神经网络是指由大量简单人工神经元互联而成的一 种计算结构。它可以在某种程度上模拟生物神经系统的 工作过程，从而具备解决实际问题的能力。
Hopfield神经网络优化方法
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人工神经元模型
激活函数：图中的f()，主要起非线性映射作用 ，另外还可以作为限幅器将神经元输出幅度限 制在一定范围内；
Hopfield神经网络优化方法
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人工神经元模型
阈值：控制激活函数输出的开关量，用i表示
Hopfield神经网络优化方法
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离散型Hopfield网络
定义：对图10-8中的特性函数f(•)取阈值函数（见图 10-3）等硬限函数，使神经元的输出取离散值，就得 到离散型Hopfield神经网络。
工作原理：设有n个神经元，v为神经网络的状态矢量 v i ，为第i个神经元的输出，输出取值为0或者为l的二 值状态。对任一神经元{ iv，j i } j 为第i个神经元的内部 未加权输入，它们对该神经元的影响程度用连接权wij
Hopfield神经网络优化方法
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（2）反馈型网络
所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。 若总的单元数为n，则每一个结点有n-1个输入、—个输出，如图10-7 的
形式。 反馈网络按对能量函数极 小点的利用分为两类：
•一类是能量函数的所有极 小点都起作用，主要用作 各种联想存储器；
vi为神经元i的输出。
Hopfield神经网络优化方法
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激活函数的若干形式
（1）阈值函数，即阶跃函数
f(x)sgn(x) 1 0
x0 x0
于是神经元i的相应输出为：
1 vi 0
xi 0 xi 0
式中，
n
xi wijs j i
j1
Hopfield神经网络优化方法
非线性动力学系统着重关心的是系统的稳定性 问题。
在Hopfield模型中，神经网络之间的联系总是 设为对称的，这保证了系统最终会达到一个固 定的有序状态，即稳定状态。
பைடு நூலகம்
Hopfield神经网络优化方法
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Hopfield网络基本结构:
其中，I1, I2,..., In是外部对网络的输入；v1, v2,..., vn是网络系统 的输出；u1, u2, ..., un是对相应神经元输入，wij是从第j个神经 元对第i个神经元的输入的权值，wji=wij，wii=0。f(•)是特性函 数，决定了网络是离散的还是连续的。
。
Hopfield神经网络优化方法
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人工神经元模型
上述作用可用数学方式表示如下：
n
u i w i j s j j1
xi ui i vi f (xi)
i=1, 2,…, n
式中，sj为输入信号；wij为神经元i对输入信号sj的权值；
ui为线性组合结果；i为阈值；f()为激活函数；
Hopfield神经网络优化方法
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人工神经元模型
权值：给不同的输入的信号一定的权值，用wij 表示。一般权值为‘+’表示激活，为‘-’表示 抑制；
Hopfield神经网络优化方法
6
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人工神经元模型
求和器：用表示，以计算各输入信号的加权 和，其效果等同于一个线性组合；
•第二类只利用全局极小点 ，主要用于优化问题求解 。Hopfield模型、波尔兹 曼机（BM）模型等可以完 成此类计算。
Hopfield神经网络优化方法
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10.2 Hopfield神经网络 - HNN
特点：
网络中引入了反馈，所以它是一个非线性动力 学系统 .
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激活函数的若干形式
（2）分段线性函数
1
f
(x)
1 2
(1
x)
0
特点：
x 1 1 x 1
x 1
类似于系数为1的非线性放大器， 当工作于线性区时它是一个线性组合器，
放大系数趋于无穷大时变成一个阈值单元
Hopfield神经网络优化方法
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激活函数的若干形式
（3）sigmoid函数
f (x) 1 1exp(cx)
式中，c为大于0的参数 ，可控制曲线斜率
Hopfield神经网络优化方法
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10.1.3 人工神经网络的互连模式
根据连接方式的不同，将现有的各类神经网络分为 如下2种形式：前馈型网络 ，反馈型网络
Hopfield神经网络优化方法
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人工神经元模型
人工神经元是构成人工神经网络的基本单元， 是对生物神经元特性及功能的一种数学抽象， 通常为一个多输入单输出器件。
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人工神经元模型
输入与输出信号：s1、s2、….sn为输入，vi为输 出。输出也称为单元的状态。