人教版八年级数学上册第十三章习题课件：13.3.1等腰三角形的判定
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2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
最新人教版初中数学八年级上册 13.3.1《等腰三角形》等腰三角形的判定课件
夹角为400，则等腰三角形的顶角为—
———
800
A E
B
C
•2、等腰三角形一腰上的高与另一腰
的夹角为400，则等腰三角形的顶角
为———— 500或1300
A
D A
E
B
B
C
C
练习1：已知如图 等腰△ ABC中
AB=AC, ∠A=400,BD=CE,BE=CF
求∠ DEF
A
F
D
3
B
1
2 C
E
在△ABC中,已知 AB=A,C BO平分∠ABC, CO平分∠ACB.
请准备好：NO.58 还有你的激情，让我们一 起走进高效课堂！
我参与，我快乐！ 我展示，我收获！
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趣味数学：
如图：点B、C、D、E、F在∠GAH的边上，
∠A=18°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠
GEF的度数。
G
900
E
1 2
C
4 3
5 67
AB
DF H
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6组
17
5，6板 7组
15抄题画图 8板 8组
58号13画图 9板 9组
点评
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6组
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等等腰腰三三角角形形的的性判质定定定理理
性• 质如果：一等个腰三角三形角有两形个的角相两等个底角相等 • 那么 这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． （简写成“等边对等角”）
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等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两腰相等； A
2.等腰三角形的两个底角相等,
（简称“等边对等角”）；
人教版八年级数学上册第十三章 1 13. 第1课时 等腰三角形的性质
1
2
2.等腰三角形的性质及其应用 【例2如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.
分析:利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质进行证 明.
1
2
证明:连接AD(图略). ∵D为BC的中点,AB=AC, ∴AD平分∠BAC. 又DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 点拨:此题解法灵活,也可以直接利用等腰三角形的性质证明 △BDE≌△CDF.另外,作底边上的中线(或顶角的平分线、底边上的 高)是解决与等腰三角形有关问题时常用的辅助线.
相等
(简写成“等边对等角”);
性质2:等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线 、底边
上的高相互重合(简写成“三线合一”).
2.等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上
的高)所在的 直线 就是它的对称轴.
知识梳理 预习自测
1.下列说法正确的是( ). A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍 D.等腰三角形的两个底角相等
.
66°
关闭
答案
1
2
1.等腰三角形的边、角的计算 【例1】 已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这 个等腰三角形各角的度数. 分析:应考虑3种情况,即(2x-2)°作顶角或(3x-5)°作顶角或(2x-2)° 和(3x-5)°均不是顶角. 解:若2x-2=3x-5,得x=3. 故三角形的三个内角分别为4°,4°,172°; 若2(2x-2)=180-(3x-5),得x=27. 故三角形的三个内角分别为52°,52°,76°; 若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24. 故三角形的三个内角分别为46°,67°,67°.
人教版八年级上册数学13.等腰三角形的判定课件
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行 于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：∠CAE 是△ABC 的 外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
E 1 A2 D
求证：AB =AC.
B
C
证明：∵ AD∥BC ，
E
∴ ∠1 =∠B（ 两直线平行，同位角相等 ）， ∠2 =∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）．
4.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D， 交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？ （2）上题中，若去掉条件AB=AC， 其他条件不变，图中还有等腰三角 形吗？
解：（1）△ABC，△ADE， △BDF，△CEF，△BCF都 是等腰三角形.
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，
与AB 相交于点D；
A
（3）在MN上取一点C，使DC = h ；
（4）连接AC，BC，则△ABC 就是
所求作的等腰三角形.
M C
DB N
练习4 已知：△ABC，D为AC的中点，BD = AC. 求证：∠ABC = 90°.
证明：∵D为AC的中点， BD = AC. ∴AD = BD = DC， ∴∠A =∠ABD，∠C =∠DBC. ∵∠A+∠ABC +∠C = 2（∠ABD +∠DBC） = 2∠ABC = 180 °. ∴∠ABC = 90°， ∴△ABC是直角三角形.
2. 如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD = AE， 需要添加的一个条件是 __________. （答案不唯一）
3. 已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACM， EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE与AB的交点. 求证：DE=DF.
人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的判定ppt精品课件
2019/7/8
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B
解：重合部分是等腰三角形。
理由：由ABDC是矩形知 AC∥BD ∴∠ 3= ∠ 2
由沿对角线折叠知∠ 1 = ∠ 2
∴ ∠ 1= ∠ 3 ∴ BG=GC（等角对等边）
A
G
1
B
2
D 1
C E
C
3
D
Байду номын сангаас
【活动三】课堂练习，拓展引申
（1）根据下列条件指出各个图形中哪个三角形是等腰三角形？
A
①如图，BD平分∠ABC，DE∥BC．
一边， 那么这个三角形是等腰三角形.
E
已知：如图， ∠CAE 是△ABC 的一
个外角，AD平分∠CAE，且AD∥BC.
A
D
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵ AD平分∠CAE，
B
C
∴ ∠ DAE = ∠DAC.
∵ AD∥BC，
∴ ∠DAE＝∠B，∠DAC= ∠C，
∴ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
思考：作底边中线可以吗? 方法3
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那 么这个三角形是等腰三角形。
人教版八年级数学上册13.等腰三角形的判定课件
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看： 要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
E
A1 2
D
∴∠1= ∠（B 两直线平行，）同位角相等
∠2=∠C (两直线平行，内错角相等)
B
C
∴∠C= ∠B( 等量代) 换
∴ AB=AC( 等角对等)边
角等 判定 边等
例题拓展
已知：∠CAE是△ABC的外角，
AD平分∠EAC ，且 AD∥BC． 求证：AB=AC
证明：
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C（ 等边对等角
A
求证： AB=AC
B
D
C
方法一：作BC边上的高AD
方法二：作∠A的角平分线AD
方法三：“作BC边上的中线AD”可行吗？不行!
归纳总结
ห้องสมุดไป่ตู้
A
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC= AB ( 等角对等边 )
B
C
如果一个三角形有两个角相等，
那那么么这个两三个角形所是对等的腰边三也角相形等。 简写成 “等角对等边”
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD.
证明：
∵OA=OB ∴∠A=∠B（ 等边对等角 ）
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看： 要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
E
A1 2
D
∴∠1= ∠（B 两直线平行，）同位角相等
∠2=∠C (两直线平行，内错角相等)
B
C
∴∠C= ∠B( 等量代) 换
∴ AB=AC( 等角对等)边
角等 判定 边等
例题拓展
已知：∠CAE是△ABC的外角，
AD平分∠EAC ，且 AD∥BC． 求证：AB=AC
证明：
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C（ 等边对等角
A
求证： AB=AC
B
D
C
方法一：作BC边上的高AD
方法二：作∠A的角平分线AD
方法三：“作BC边上的中线AD”可行吗？不行!
归纳总结
ห้องสมุดไป่ตู้
A
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC= AB ( 等角对等边 )
B
C
如果一个三角形有两个角相等，
那那么么这个两三个角形所是对等的腰边三也角相形等。 简写成 “等角对等边”
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD.
证明：
∵OA=OB ∴∠A=∠B（ 等边对等角 ）
【课件】等腰三角形的性质+课件人教版数学八年级上学期
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝ BC＝AD，求∠A的度数．
解：设∠A＝x°. ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A＝x°. ∴∠BDC＝2x°. ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝2x°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝2x°. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180.∴x＝36. 即∠A＝36°.
(2)等腰三角形的一个角为70°，则它底角的度数为 _5_5_°__或__7_0_°___．
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN是AB
的垂直平分线，求∠DBC的度数．
解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°. ∵MN垂直平分AB， ∴DB＝AD. ∴∠ABD＝∠A＝40°. ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
5.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，
BD＝CE.求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，B＝C， ∴△ABD≌△ACE. BD＝CE， ∴AD＝AE.
6. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝ AE.求证：BD＝CE.
例2.已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则周长为
_1__4_或__1_6_；
变式2.一等腰三角形的一个外角是110°，则它的底角的度 数为 70°或 55°．
例3.如图，点D在AC上，AB＝BD＝DC，∠C＝40°，
求∠A，∠ABD的度数．
解：∵BD＝DC， ∴∠DBC＝∠C＝40°.
∴∠BDA＝∠DBC＋∠C＝40°＋40°＝80°. 又 ∵AB＝BD， ∴∠A＝∠BDA＝80°. ∴∠ABD＝180°－∠A－∠BDA
人教版八年级数学上册 第十三章 13.3.1 等腰三角形 课件(共21张PPT)
10
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
AD＝AD （公共边）B
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
11
猜想与论证
性猜质想1 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
已知：△ABC中，AB=AC
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
2x B
于是在△ABC中，有 C ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
16
谈谈你的收获！
17
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
6
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
D
7
如何构造两个全等的三角形?
8
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
你的细心加你的 耐心等于成功！
∴△AEH≌△BEC(ASA)
B
C
D
∴AH=BC
∴AH=2BD
19
课后思考
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
AD＝AD （公共边）B
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
11
猜想与论证
性猜质想1 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
已知：△ABC中，AB=AC
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
2x B
于是在△ABC中，有 C ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
16
谈谈你的收获！
17
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
6
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
D
7
如何构造两个全等的三角形?
8
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
你的细心加你的 耐心等于成功！
∴△AEH≌△BEC(ASA)
B
C
D
∴AH=BC
∴AH=2BD
19
课后思考
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你
八年级数学上册 13.3.1 等腰三角形的判定(第3课时)课件 (新版)新人教版
第四页，共15页。
推论
(明已求tu知证īlù：(nq)i如1ú证z图hè，ng△)：ABACB中=A，C∠=BAC=∠B=∠C
A
证明(zhèngmíng)：在△ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理CA=AB
B
C
∴BC=CA=AB
第五页，共15页。
推论(tuīlùn)2 证问明题：如果一个等腰三角形中有一个角是
∴ ∠B=∠C （等边对等角） B
C
∵ ∠ A=60°
∴ ∠B=∠C = 60°
第七页，共15页。
第二种情况(qíngkuàng)： 已知： △ABC中，AB=AC， ∠B=60°。 求证(qiúzhèng)：AB=AC=BC
证明(zhèngmíng)： △ABC中
A
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ AD ∥BC
A
∴∠ADB=∠DBC
∵∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
B
∴AB=AD
第十三页，共15页。
D C
探究性学习 (xuéxí) 如果过等腰三角形的一个顶点的直线 把原三角形分成两个等腰三角形，那 么原等腰三角形的顶角可能是多少度？ 请你画出图形，并结合图形说明理由。
第十四页，共15页。
第十五页，共15页。
第三页，共15页。
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证(qiúzhèng)：AB=AC
A
证明(zhè作ng∠mBínAgC)的：平分线AD
12
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2
∠B=∠C，
B
推论
(明已求tu知证īlù：(nq)i如1ú证z图hè，ng△)：ABACB中=A，C∠=BAC=∠B=∠C
A
证明(zhèngmíng)：在△ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理CA=AB
B
C
∴BC=CA=AB
第五页，共15页。
推论(tuīlùn)2 证问明题：如果一个等腰三角形中有一个角是
∴ ∠B=∠C （等边对等角） B
C
∵ ∠ A=60°
∴ ∠B=∠C = 60°
第七页，共15页。
第二种情况(qíngkuàng)： 已知： △ABC中，AB=AC， ∠B=60°。 求证(qiúzhèng)：AB=AC=BC
证明(zhèngmíng)： △ABC中
A
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ AD ∥BC
A
∴∠ADB=∠DBC
∵∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
B
∴AB=AD
第十三页，共15页。
D C
探究性学习 (xuéxí) 如果过等腰三角形的一个顶点的直线 把原三角形分成两个等腰三角形，那 么原等腰三角形的顶角可能是多少度？ 请你画出图形，并结合图形说明理由。
第十四页，共15页。
第十五页，共15页。
第三页，共15页。
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证(qiúzhèng)：AB=AC
A
证明(zhè作ng∠mBínAgC)的：平分线AD
12
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2
∠B=∠C，
B
人教版数学八年级上册第十三章13.3.1等腰三角形的判定课件
这又是一个判定两条线段 相等的根据之一.
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是 等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
应用格式：
A
在△ABC中，
∵∠B=∠C，( 已知 )
∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
即△ABC为等腰三角形.
新知讲解
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了， 只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来 的等腰三角形画出来？
∴【△变A式ED1】是在等△腰A三BC角中形，. ∠A和做∠B一的度做数如：下画，能一判定个△A△BCA是B等腰C三，角其形的中是( )
∴∠ADB=∠DBC.
∵【A变E式是2∠】BA若C一的个角三平角分形线的，三∠个外B角=度∠数比C为=23：03°：3，，则请这个你三量角形一是(量A)B
B
C
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠B＝∠DEF． 我测量后发现AB与AC相等.
A．等腰三角形
B．等边三角形
∴AB=AC（等角对等边）．
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝ 1 ×(180°－50°)＝65°，
2
∴∠DEF＝65°．
课堂总结
等腰三角形的 判定
定义 等角对等边
有两边相等的三角形是 等腰三角形
注意是指同一个三角形中
新知引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了， 只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来 的等腰三角形画出来？
A
B
C
新知引入
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之
间有什么关系吗？