求解绝对值不等式问题的几种特殊策略
绝对值不等式公式大全推导过程
绝对值不等式公式大全推导过程绝对值不等式是解决实际问题中的一种常见方法。
在解决实际问题时，往往会涉及到不等式的求解。
而绝对值不等式是一种特殊的不等式，其求解方法也相对更为简单。
本文将介绍绝对值不等式的基本定义、性质以及相关的求解方法。
1、绝对值的定义绝对值是数的大小的表示，一般用符号“| | ”表示。
它表示一个数距离0点的距离，例如|5|=5，|-7|=7。
2、绝对值不等式的基本定义绝对值不等式是指一个表达式的绝对值与另一个表达式的关系式，它的基本形式如下：|a|<b 或者|a|≤b其中，a和b是任意实数，b>0。
当绝对值与一个正数比较时，就会出现这种形式的不等式。
3、绝对值不等式的性质（1）如果 a<0，则 |a|=-a。
（2）如果 a>0，则 |a|=a。
（3）如果 a=0，则 |a|=0。
这些性质可以表示成下面的式子：|a|={a (a>0) 或 -a (a<0)}4、绝对值不等式的求解方法（1）绝对值不等式的求解方法有两种基本方法：分情况讨论法和代数变形法。
（2）分情况讨论法：将不等式转化成两个不等式，一个是a≥0的情况，一个是a<0的情况，然后用数集图形法或解各自的不等式，得到其解集，再将两个解集合并即可。
（3）代数变形法：通过对式子的变形，化简成为一个可以直接求解的不等式。
例如，对于|2x+1|<3这个不等式，可以采用代数变形法求解。
首先，提取绝对值内的数进行考虑：- 当2x+1≥0 时，|2x+1|=2x+1，因此，不等式可以变形为：2x+1<3解得：x<1- 当 2x+1<0 时，|2x+1|=-(2x+1)，因此，不等式变形为：-(2x+1)<3解得：x>-2两个解合起来，得到不等式的解集：-2<x<1。
5、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算长度误差时，就需要使用绝对值不等式。
浅谈解决有关绝对值问题的几种方法
196学术性．实践性．理论性科学教育家2008年6月第6期蠲蒸鳓甍臻甍甍骶臻蒙甍鼎蘸甍蒙澄臻燕蓊臻撼蘸甍臻甍蒹甍矧骶臻甍甍臻舞黼臻弧甍臻蕊蘸臻燕豫浅谈解决有关绝对值问题的几种方法薛玉财(东北师大附中吉林长春130022)关于绝对值的知识点主要有：绝对值定义，绝对值性质．绝4利用绝对值不等式性质定理对值不等式的解集公式以及绝对值不等式定理，就是解决有关aI—l bl|≤I a士bl I口I+I bI，主要考察等号成立的绝对值问题的依据．条件．1利用绝对值不等式的解集公式例4解不等式I工+2I+I2x--1I>I3z+1f：．若a≥o，则I xl>a甘x>a或x<一a；I xI<a骨一ax<a．发现隐含关系：(z+2)+(z工一1)=3x+1例1勰不等式：(1)I】(2+2x--5I>5；(2)I2一x>xz．例5已知X，yER且I z f+i Y i≤1，工+3y求的最值．一些学生对(2)不会先化为l x--2I>z2，而只会套用公式，增了难度．2利用绝对值性质(1)I z I+I—z I≥o；(2)f zI2一≯(3)l xyl—zI I Y l例2解不等式：(1)工2—3I工l一10>o；(2)I≯一2l>2--≯；(3)l x+2l>I3--2xI；l≯--3+2I>I∥一1I．对于(3)，常用平方法解决，但平方法有其适用条件：①非负}②次数不高．条件①是经常忽略的．3分类讨论其依据是绝对值定义：I aI—f=二i兰。
，，千万不能写成a{=士山．例3解不等式：(1)Ix+2J+J2x--1I>8j(2)2I红+3I>2”‘(3)I3计3—3I一9—2+7>0．先令绝对值符号内的一个整体为零，求出零值点．但分类讨论并不是死板照套，如何分类，从哪方面切入要因题而异．例如对不等式l2／og。
z一2I—l l og．x一2I<2，I l093xI—l l og。
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
谢 谢观 看
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大；你的格 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘，就储 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力；没有 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一种选择： 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。所以， 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过太多的 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部分人都 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份不错的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来自不倦 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也只是大 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难，受到什 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉开距离， 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一个，后 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到现在， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良，终有 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你， 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己，才会最 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子，自己决 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我
不等式的绝对值法与区间解法
不等式的绝对值法与区间解法在数学中，不等式是一种描述变量之间关系的方式。
解不等式是找到使得不等式成立的变量取值范围。
不等式解法有多种方法，其中绝对值法和区间解法是常见且有效的方法。
一、不等式的绝对值法绝对值法适用于含有绝对值的不等式。
我们知道，绝对值表示一个数到零的距离，因此可以使用绝对值来表示一个数与另一个数之间的距离。
下面是绝对值法解决不等式的步骤：1. 将绝对值记作|x|，将不等式的形式拆分成两个部分：x < a 和 x > -a，其中 a 是一个正数。
2. 对两个不等式分别进行求解。
对于 x < a，解是 x ∈ (-∞, a)；对于x > -a，解是 x ∈ (-a, +∞)。
3. 将上述两个解集合在一起，得到最终的解集。
二、不等式的区间解法区间解法适用于不含有绝对值的不等式。
区间表示一个数的取值范围，可以通过将不等式转化为区间来求解。
以下是解决不等式的区间解法的步骤：1. 将不等式式子两边集中变量，形成形如 f(x) > 0 或 f(x) < 0 的形式，其中 f(x) 是一个关于 x 的函数。
2. 根据 f(x) 的正负性质来划分解集。
如果 f(x) > 0，则解集为函数f(x) 大于零的区间；如果 f(x) < 0，则解集为函数 f(x) 小于零的区间。
3. 将解集表示为区间的形式。
三、绝对值法与区间解法的比较绝对值法和区间解法在解决不等式时有各自的优点和适用范围。
1. 绝对值法适用于含有绝对值的不等式，能够简化复杂的绝对值表达式，直接得到解集。
2. 区间解法适用于各种类型的不等式，能够通过解析函数的正负性质来明确解集，并表示为区间形式。
3. 对于既包含绝对值部分又包含其他部分的不等式，可以先使用绝对值法得到绝对值的解集，再结合其他部分使用区间解法进行求解。
四、示例分析为了更好理解绝对值法和区间解法的应用，下面通过一个具体的示例来说明：示例：解不等式 |2x - 3| ≥ 51. 使用绝对值法：将不等式分成两个部分：2x - 3 ≥ 5 和 2x - 3 ≤ -5。
高中数学课件第一节 绝对值不等式
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
含绝对值不等式的解法(1)
题型四 | f (x) | g(x) , | f (x) | g(x)
不等式两边平方法化为 | f (x) |2 g(x) 2 , | f (x) |2 g(x) 2
作业：解下列不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|<4 3、| x-1 | > 2( x-3) 4、2x 1 x 2 5. x＋|2x＋3|＞2.
数 都 不 是 原 不 等 式 的 解。 将 点A向 左 移 动1个 单 位 到 点A1， 这 时 有A1 A A1B 5； 同 理， 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点B1， 这 时 也 有B1 A B1B 5， 从 数 轴 上 可 以 看 到 点A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点A， B的 距 离 之 和 都 小 于5； 点A1的 左 边 或 点B1的 右 边 的 任 何 点 到 点A，， 的 距 离 之 和 都 大 于。 故 原 不 等
是
.
2 x 0,x 2, x ,2
【做一做】 （3）若不等式|2-x|>2-x成立，则实数x的取值范围
是
.
解析:依题意 x-2<0,解得 x<2.
答案: -∞,2
变式例题：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
绝对值不等式的解法（一） 郑慧
复习绝对值的意义：
代数的意义
x X>0 |x|= 0 X=0
- x X<0 一个数的绝对值表示：
几何意义
数轴上与这个数对应的 点到原点的距离,|x|≥0
x2
绝对值不等式最值求法
绝对值不等式最值求法绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，其求解方法也是非常重要的数学基础知识之一。
本文将介绍绝对值不等式的最值求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
让我们回顾一下绝对值的定义。
对于任意实数x，绝对值|x|的值有两种情况：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
根据这个定义，我们可以得出绝对值不等式的一般形式：|f(x)|≥g(x)，其中f(x)和g(x)是关于x的实数函数。
要求解绝对值不等式的最值，我们首先需要确定不等式的范围。
对于绝对值不等式，通常有两种情况：一是给定了x的取值范围，二是给定了f(x)和g(x)的取值范围。
在这两种情况下，我们可以通过分析函数的性质和变化趋势来确定最值。
对于第一种情况，给定了x的取值范围，我们可以将绝对值不等式转化为两个不等式：f(x)≥g(x)和-f(x)≥g(x)。
然后，我们分别求解这两个不等式，得到两组解集。
最后，我们将这两组解集合并，得到整个不等式的解集。
例如，考虑绝对值不等式|2x-1|≥3，我们可以将其转化为两个不等式：2x-1≥3和-(2x-1)≥3。
解这两个不等式，我们得到x≥2和x≤-1。
将这两个解集合并，可得整个不等式的解集为x≤-1或x≥2。
对于第二种情况，给定了f(x)和g(x)的取值范围，我们可以通过分析函数的图像和性质来确定最值。
对于绝对值函数|f(x)|，它的最小值为0，当且仅当f(x)=0时取到；而最大值则没有上界，可以无限接近正无穷。
对于常数g(x)，我们可以直接根据其大小来确定最值。
例如，考虑绝对值不等式|2x-1|≥-2，我们可以发现不等式右边的常数-2小于绝对值函数的最小值0。
根据绝对值函数的性质，我们可以得出该不等式对于任意实数x都成立。
绝对值不等式的最值求法可以通过分析函数的性质和变化趋势，以及对不等式的转化和求解来确定。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的求解方法，以得到准确的解答。
【选讲】绝对值不等式的解法
A
M1
B
-1 1/2
3
综上所述，原不等式的解集是(1 ,) 2
方法二： |x-3|-|x+1|<1
当x≤-1时
x+1≤0, x-3<0
3-x-(-x-1)<1 x≤-1
解得
即 4<1 x≤-1
当-1<x≤3时
x+1>0, x-3≤0
3-x-x-1<1
即 x>1/2
-1<x≤3 解得 1/2<x≤3
∩
综上所述，原不等式的解集为（-∞，-3] [2，+∞）
方法二：去绝对值求解
问题：用什么方法去掉不等式|x-1|＋|x+2|≥5的绝对值？
由绝对值的定义可知，只要零点确定，就可以分段去 掉绝对值。
不等式中的零点：|x-1|=0 、|x+2|=0，则x=1或-2，
-2
1
x
求解过程： |x-1|+|x+2|≥5
含两个绝对值不等式的解法
----|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型不等式的解法
主讲人：恩施市第二中学 杨丹
学习目标：
1、熟练掌握含两个绝对值不等式的解法. 2、了解数形结合，分类讨论的思想． 3、培养观察、分析、解决问题的能力.
知识回顾
1、绝对值的定义
x ,x>0 |x|= 0 ,x=0
-x ,x<0
问题2：不等式|x－1|＋|x+2|≥5的解集与问题1中函数的关系是？
不等式解集是函数y＝|x＋2|＋|x-1|-5，当y≥0时 对应x的取值范围，也就是对应的函数图象在x轴及其上 方的点对应的x的取值范围
绝对值不等式的解法(选修4-5)2014
-1 0
3
4
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2 1 2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3
题型四：含多个绝对值不等式的解法
方法二： |x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把 数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对 值符号的不等式求解（零点分段讨论法）
小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
⑵ f x a (a 0) a f x a；
⑶ f x g ( x ) f x g ( x )或f x g ( x )；
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
例1、解不等式 （ 1） 2 x 1 3 (2) | x 2 3 x 4 | x 1
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
．
尝试 2:运用推广的解法公式.
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
巧解含绝对值的不等式
引言 解含有绝对值的 不 等 式 时 数 学 中 重 要 的 一 部 分，也 是 基 本
知识点，含绝对值的不等式有多种解法，解含绝对值不等式的基 本思路是等价转化，用正确的方法化去绝对值符号，使之转化为 不含绝对值的 不 等 式，然 后 再 做 解 答。通 常 转 化 绝 对 值 的 方 法 有公式法、定义 法、图 像 法、平 方 法 等。除 了 这 些 根 据 不 等 式 的 定义来求接的方法还有一些更为简便的方法，使得在计算时节 省了时间，在此总结几种巧妙机体方法，希望为大家在解题时提 供便利，可以更快速地解答此类问题。
数学前沿今天·１源自３·巧解含绝对值的不等式武海霞 宋红波 （河南省焦作市沁阳市职业中等专业学校 河南 沁阳 ４５４５５０）
摘要：解含绝对值不等式的核心是先去绝对值，然后将不等式恒等变形为不含有绝对值的常规不等式，利用以往学习过的知识， 用曾经学会的解题方法求解。选择方式去化绝对值时，要根据时间不可盲目按照统一方法去绝对值。并在解题过程中学会分类讨 论，同一类型的不等式找出更快的解题方法。
中版中旬），２０２０（０８）：５０． ［２］ 段志强，夏丽娇．巧解高考中的几类绝对值不等式［Ｊ］．数
理化学习（高中版），２０１９（０５）：７－８＋３６． ［３］ 封其峰．运用几何意义破解绝对值不等式问题［Ｊ］．中学生
数理化：（高二，高考）使用，２０２０（７）：４３－４４．
根据此例题，求解 绝 对 值 不 等 式 时 先 平 方 后 移 项 再 用 平 方 差公式分解因式是一种较简便的方法［２］。
２．综合的解答思路 ２．１ 零点分 段 法。在 解 含 绝 对 值 的 不 等 式 时 处 理 常 规 的 解决方法还可以根据特殊的特质来用更简便的方法求解。例如 零点分段法就是在解不等式时令每个绝对值内的式子均，得 ０， 先分别求出各段的零点，然后将这些点在数轴上作出标注，然后 进行分段讨论，最后求出解集。 这种方法也是通过合理分类去掉绝对值后再求解。例如不 等式 ｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋２｜〈５先使 ｜ｘ－１｜＝０和 ｜ｘ＋２｜＝０可得到 Ｘ ＝１和 Ｘ＝－２，在 １和 －２之间把实数集合分为了三部分，即 Ｘ〉 １，Ｘ〈－２和 －２ Ｘ １．按照这三个区间段去分别讨论。 当 ｘ〈－２时，得 －（ｘ－１）－（ｘ＋２〈５，解得：－３〈ｘ〈－２ 当 ２－ ｘ １时，得到 －（ｘ－１）＋（ｘ＋２〈５，解得：－２≤ｘ ≤１ 当 ｘ〉１时，可得到（ｘ－１）＋（ｘ＋２〈５解得：１〈ｘ〈２ 将上边求出的三个 集 合 取 公 共 部 分，原 不 等 式 的 解 集 为 （ｘ －３〈ｘ〈２｝。通过上述例题可知，原不等式的解集是分解得出 的各种情况的并集，因此在求解时注意不要有遗落也不远多选， 否则会造成最后的解集有误。 ２．２ 数形结 合 法。下 面 以 一 个 实 例 来 叙 述 如 何 运 用 数 形 结合的方式来解决含有绝对值的不等式问题，｜２ｘ＋１｜＋ ｜２ｘ－ ３｜〉４． 解：原不等式可化为 ｜ｘ＋１／２｜＋｜ｘ－３／２｜〉２，这里可看成实 数 ｘ在数轴上的点到到实数 －１／２，３／２所对应的点之间的距离 之和，要使得距离之和大于 ２，则必须 ｘ〉３／２或者 ｘ〈－１／２，所以 原不等式的解集即为｛ｘ｜ｘ〈－１／２或 ｘ〉３／２｝．从这个实例中我 们可知因为绝对值 ｜ｘ－ａ｜的几何意义是实数 ｘ，ａ对应在数轴 上两点之间的距离，所以我们可利用以形助数的办法解答含有 绝对值的不等式［３］。 ３．结语 在不等式中含有绝对值的不等式是比较特出的一种类型， 在解答这类问题时，解答方法也较特殊，我们通常采用的方法有 平方法、定义法、图 像 法、零 点 分 段 法、数 形 结 合 法 等，这 些 方 法 都体现了重要的数学思想方法。同时在解题时要注意理解知识 点，不断总结有关规律，这样可快速解答问题。 参考文献： ［１］ 施元兰．解含绝对值不等式题的途径［Ｊ］．语数外学习（高
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求解绝对值不等式问题的几种特殊策略(最新）
解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有
以下几种：
绝对值不等式的基本模型：
1、0xaaaa的解集是-x 2、(0)xaaxaxa的解集是或
1、利用绝对值的定义：
例1：解不等式5121x.
解：原不等式于：（Ⅰ）5121012xx或（Ⅱ）5)12(1012xx
由（Ⅰ）得：31x或（Ⅱ）得02x
∴原不等式的解集为：2013xxx或.
2、利用绝对值的性质：
例1：解不等式3132xx.
解：原不等式等价于31323432xxxx即: ②xx ①xx02301322
由①得41x 由②得21xx或
∴原不等式的解集为：1124xxx或.
3、利用平方法：
例1：解不等式3223xx.
解：将原不等式两边平方为：191244129222xxxxx即
∴原不等式的解集为：11xxx或.
例2、解不等式
解：原不等式变为：
等价于，即
∴原不等式的解集为
世上无难事只怕有心人，你就是创造奇迹的人。
只有有效的方法，才可能有成效的成果！
2
4、利用分段讨论法（即零点分段法）：
例1：解不等式42xx.
解：当2x时，不等式化为：4)2(xx∴3x
当02x时，不等式化为：42xx ∴x
当0x时， 42xx ∴1x
综上所述，不等式的解集为：3,1xxx或.
例2. 解不等式
分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点
为5，第二个式子的零点为，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。
解：原不等式变为：
即
∴原不等式的解集为
注：利用此法解题时要注意x的系数为正。
5、利用绝对值的几何意义：
例1：解不等式523xx.
解：如图所示，不等式523xx表示数轴距A（3）、B（-2）两点的距离之和
大于5的点，方程523xx表示在数轴上距A、B两点的距离之和等于5的点。
不求难题都做，只求中低档题不错。
只有你自己放弃了才是最可怕的事！
3
· · · ·3 x
∴原不等式的解集为：3,2xxx或.
6、利用数形结合法：
7、例1 解不等式321xx
解 画出11xy和322xy的图像，如图所
示，求出他们的交点的横坐标分别是23x和
4x
因为321xx，所以原不等式的解是
21
yy
的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是23x或4x.
例2 若不等式kxx|1|对一切Rx恒成立，求实数k的取值范围.
解析：在同一坐标系中分别画出函数|1|xy与kxy的图象（如下图），显然，要使不等式
kxx|1|
对一切Rx恒成立，须10k，即k的取值范围是]1,0[.
x
y
O
1
kxy
例3 若不等式|63||2|xmx恒成立，求实数m的取值范围.
解析：在同一坐标系中分别画出函数|2|mxy及|63|xy（如下图），由于不等式
|63||2|xmx恒成立，所以函数|2|mxy
的图象应总在函数|63|xy图象的下方，
因此，函数|2|mxy的图象也必须经过点)0,2(，所以4m.
B
-2
-1
1 2
世上无难事只怕有心人，你就是创造奇迹的人。
只有有效的方法，才可能有成效的成果！
2
x
y
O
2
|2|mxy
|63|xy
评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行.
7、利用不等式组法〈即等价转化法〉：
例1：已知关于x的不等式axx12有解，求a的取值范围。
解：令12xxy 则由上知
3y
将原可不等式变为不等式组
ay
y3
因原不等式有解，如图，易
得 3a 。
例2：已知关于x的不等式43xxa的解集为R，求a的取值范围。
解：令34xxy，由上知
11y
，故可将原不等式等价变为不等式组
ay
y11
，如图 ，易得1a.
8 、利用绝对值不等式||||||||||ababab
例1 解不等式：|log|2|log2|22xxxx.
解析：首先应有0x，所以原不等式等价于|log||2||log2|22xxxx，由于在不等
式||||||baba中，""成立的条件是0ab，所以原不等式等价于0log22xx，而
0x，所以0log2x，因此得1x
，故原不等式的解集为1|xx.
评注：要特别注意不等式||||||||||bababa中各部分等号及不等号成立的条件，
利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题.
不求难题都做，只求中低档题不错。
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5
例2 若不等式mxx|13||23|恒成立，求实数m的取值范围.
解析：令|13||23|)(xxxf，则只须求出函数)(xf的最小值即可.由于
3|)13()23(||13||23|)(xxxxxf
（当3231,0)13)(23(xxx即时
等号取到），即)(xf的最小值等于3，所以不等式mxx|13||23|恒成立时，m的取值
范围是3m.
评注：此处用绝对值不等式||||||||||bababa求最值，避免了对函数
|13||23|)(xxxf
的分段讨论，显得非常简单.