人教版2020八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.1 幂的运算 3 积的乘方学案 (新版)华东师大版

3 积的乘方课前知识管理1、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的 每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘.字母表达式为：()nn n ab a b =（n 为正整数）.积的乘方法则也可推广到三个或三个以上因式的积的乘方的情形：即：()nn n n abc a b c =（n 为正整数）.法则中的底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，指数可以是任意的正整数或表示正整数的式子（单项式或多项式）. 2、运用积的乘方法则的关键在于底数，只有,a b 之间的运算是乘法运算（不能是加、减运算），才可以把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.当,a b 之间的运算不是乘法运算，但能转化为乘法运算时，也可以运用此法则，否则不能用此法则.特别注意不要把和的乘方与积的乘方相混淆，一般地，如()nnna b a b ±≠±.3、法则的逆用，即()nn na b ab =（n 为正整数）.名师导学互动典例精析：知识点：积的乘方法则 例1、计算：()()()()324322222y x x y x y x yx ⋅+--⋅.【解题思路】题中()()y x y x 222⋅可视为同底数幂的乘法，故可先做乘法，后做幂的乘方；()324y x x ⋅应利用乘法结合律解决.【解】原式=()()()3636363632436321088y x y x y x y x y x xy x yx =++=⋅+--.【方法归纳】做混合运算，要先认真观察分析题目的结构，包含的运算方法，应采用的运算顺序等，正确选择、灵活运用所学运算性质（法则），并注意防止符号错误. 对应练习：计算452)2(c ab 所得的结果是（ ）A. 2022c abB. 20848c b aC. 9648c b aD. 208416c b a知识点：逆用积的乘方公式： nnnab b a )(= 例2、已知：ma =3，mb =2， nmanm b =216，求n 的值.【解题思路】正确理解积的乘方公式，并且能合理地运用公式：nnnab b a )(=，同时把底数都化成6.【解】因为nn n ab b a )(=，并且m a =3，b m =2，所以nm a nm b =216=（m a mb ）n=（3×2）n=63， 所以n=3.【方法归纳】本题的实质是通过逆用幂的运算法则,把原式转化成积的乘方的形式,然后再整体代入,这种逆向使用幂的运算法则的方法,是一种常用的运算方法. 对应练习：已知3,5==nny x ，求()nxy 2-的值.知识点：综合应用幂的运算法则 例3、设k= 20078×2008)81(，则k 的值为 .A 8 B81C 1D 无法计算【解题思路】这里两个幂的底数不相同，指数也不相同，因此我们不能直接计算，但这并不意味着不能计算，因为2008=2007+1，因此，同学们可以先逆用同底数幂的乘法公式，把2008)81(转化成81)81(2007⋅，然后再逆用积的乘方公式： n n n ab b a )(=，问题就可以解决. 【解】因为2008)81(=12007)81(+，所以2008)81(=81)81(2007⋅， 所以20078×2008)81(=20078×81)81(2007⋅=2007)818(⨯×81=81，所以，选B. 【方法归纳】当底数间互为倒数关系时,通常逆用幂的运算法则巧做整合,使之出现底数是1或–1的幂,本题中将20081()8化为200711()()88⨯,是逆用了同底数幂的乘法法则m n m n a a a +⋅=;将2007200718()8⨯化为200718()8⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦是逆用了积的乘方的法则()nnnab a b =⋅.对应练习：计算:20072008(8)(0.125)-⨯-.知识点：实际应用题例4、某养鸡场需定制一批棱长为3×102毫米的正方体鸡蛋包装箱（包装箱的厚度忽略不计），求一个这样的包装箱的容积．（结果用科学记数法表示） 【解题思路】正方体包装箱的容积等于棱长的立方，在列式时，因棱长为3×102，注意要整体添加括号后再利用积的乘方展开计算.【解】（3×102）3=33×（102）3=27×106=2.7×107（立方毫米）．答：•一个这样的包装箱的容积是2.7×107立方毫米．【方法归纳】本题考查积的乘方和幂的乘方的综合运用，注意正确运用科学记数法表示大数．对应练习：数学课上老师与同学一起利用球体的体积公式343V r π=计算出地球的体积约是119.0510⨯立方千米，接着老师说：“太阳也可以看作球体，它的半径是地球半径的210倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”同学们马上计算起来，不一会儿，学生甲说：“是139.0510⨯立方千米.”学生乙说：“是159.0510⨯立方千米.”学生丙说：“是179.0510⨯立方千米.”谁说得正确呢？为什么？易错警示1、“分别乘方”错为“个别乘方”. 例5、计算()23ab .错解：()236abab =错解剖析：本题错解在于只把后一个因式乘方而没有将因式a 乘方.本题应运用“积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘”进行计算. 正解：()2323226()aba b a b ==2、“底数不同”误认为“底数相同”. 例6、计算53()a a -⋅. 错解：535388()()()a a a a a +-⋅=-=-=.错解剖析：本题错解在于把()a -与a “底数不同”误认为“底数相同”.当底数互为相反数时,应先将底数化成同底数,再运用法则计算. 正解：5353538()a a a a a a +-⋅=-⋅=-=-.课堂练习评测知识点1：积的乘方法则1、下列计算正确的是（ ） A 、()666a b a b +=+ B 、()22346ab cab c -=C 、()32633a bc abc -= D 、()()()4284a b ca b c --=-2、如果()3615mn a b ba b ⋅⋅=，那么,m n 的值分别为（ ）A 、2，4B 、2，5C 、3，5D 、3，－53、时空连线，在现实世界里，三个小朋友正在计算幂的乘方和积的乘方运算，在数字世界里，正在形成他们的计算结果，请将它们用实线连接起来．A ．(0.125)2007×(－8)2008①513B ．(513)2008·(235)2007②1C ．(0.125)15·(215)3③8知识点2：逆用积的乘方法则4、当17,7x y ==-时，4142n n x y ++的值为（ ）A 、17B 、－17C 、149D 、－1495、若3912A x y =，则A= . 6、计算:（1）3352⋅（2）1516)2()5(-⨯- （3）444)125.0(42-⨯⨯（4）1010)128910()1218191101(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ΛΛ课后作业练习基础训练1、计算（x 2y ）3的结果是（ ）A ．x 5y B ．x 6y C ．x 2y 3D ．x 6y 32、计算（－3a 2）2的结果是（ ）A ．3a 4B ．－3a 4C ．9a 4D ．－9a 43、计算（－0.25）2008×42008的结果是（ ）A ．－1B ．1C ．0.25D ．440164、下列四个算式：①3366+②)63()62(33⨯⨯⨯③322)32(⨯④2332)3()2(⨯中，结果等于66的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③D. ③④5、计算()[]322--n x的结果是（ ） A.126-n xB.126--n xC.12-n xD.12--n x6、若a 2n=3，则（2a 3n）2=___ _．7、若22=n x ，则=nx6，已知22=x ，3=n y ，则=nxy 3)(提高训练8、1221)()(-+•n n a a 等于（ ） A. 34+n aB. 14+n aC. 14-n aD. na49、若n 为正整数，且72=n x ，则n n x x 2223)(4)3(-的值为（ ） A. 833 B. 2891 C. 3283 D. 1225 10、ba 28⋅等于（ ）A. ab16 B. ba +16C. ba +10D. ba +3211、计算：（23）100×（112）100×（14）2007×4200812、计算：（－2x 2y ）3+8（x 2）2·（－x ）2·（－y ）3．13、一个正方体物体的棱长为310cm ，则它的体积是多少?若每立方厘米的重量为2.5⨯103克，则这个正方体的质量是多少千克?14、已知273×94=3x，求x 的值．15、对于任意正整数a ，b ，规定：a△b=（ab ）3－（2a ）b，试求3△4的值．16、已知999999=P ，909911=Q ，试说明Q P =。

对应练习参考答案： 1.答案：D 2.答案：225 3.答案：－0.1254.解：学生丙说得正确.理由：设地球半径为r 千米，则太阳的半径为210r 千米，由题意可得：31149.05103V r π==⨯地球（立方千米）， 所以()324103V r π=⋅太阳=6363611441010109.051033r r ππ⋅⋅=⨯⋅=⨯⨯=179.0510⨯（立方千米）.所以学生丙说的是正确的.课堂练习参考答案：1、答案：D2、答案：A3、答案：A ——③，B ——①，C ——②4、答案：A5、答案：34x y6、解：（1）333310)52(52=⋅=⋅（2）15151516105)]2()5[()5()2()5(⨯-=-⨯-⨯-=-⨯- （3）11)]125.0(42[)125.0(4244444==-⨯⨯=-⨯⨯ （4）1010)128910()1218191101(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ΛΛ=1010101010)11()221()881()991()10101(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯Λ=11111111111010101010=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ΛΛ课后练习作业参考答案：1、3．D 点拨：根据积的乘方法则和幂的乘方法则，可得（x 2y ）3=（x 2）3·y 3=x 6y 3，故选D ． 2、C 点拨：根据积的乘方法则和幂的乘方法则，可得（－3a 2）2=（－3）2·（a 2）2=9a 4，故选C ．3、B 点拨：逆用积的乘方法则，（－0.25）2008×42008=（－0.25×4）2008=（－1）2008=1，故选B ． 4、D 5、B6、108 点拨：因为a 2n =3，所以（2a 3n ）2=22·a 3n×2=4a 2n×3=4（a 2n ）3=4×33=4×27=108． 7、8，216 8、D 9、B 10、D11、解：（23）100×（112）100×（14）2007×42008=[（23）100×（32）100]×[（14）2007×42007]×4=（23×32）100×（14×4）2007×4=1×1×4=4．12、解：（－2x2y）3+8（x2）2·（－x）2·（－y）3=（－2）3·（x2）3·y3+8x4·x2·（－y3）=－8·x6·y3+（－8）·x6·y3=－16x6y3．13、解：V=(103)3=109(cm3)G=(2.5×103)×(109)=2.5×1012(千克)14、点拨：底数相同，幂相等，则指数必相等．解：因为273×94=（33）3×（32）4=39×38=39+8=317，即3x=317，所以x=17．15、点拨：把a△b=（ab）3－（2a）b看作公式，把a=3，b=4代入进行计算即可．解：因为a△b=（ab）3－（2a）b，所以3△4=（3×4）3－（2×3）4=33×43－24×34=27×64－16×81=1728－1296=432．16、解：P Q==⨯=⨯⨯==+9999909990999099999)911(99911911。