二轮经典专题复习二 数列 人教版

第9课时 简单递推数列、数学归纳法应用
主干知识整合
1．数列的连续若干项满足的等量关系
an+k=f（an+k－1，an+k－2，…，an）称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递推数列．
2．求递推数列的通项的分析方法有：
（1）归纳——猜想——数学归纳法证明．
（2）作新数列．最常见的是构成等差数列或等比数列来解决问题．
变式题如图2－9－1所示，一粒子在区域｛（x，y）|x≥0，y≥0｝上运动，在第一秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．
（1）设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，试写出｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式；
（3）累加法，累乘法，迭代法．
3．数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据．实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．证明关键是k＋1步的推证，要有目标意识．
真题新题探究
【解】 （1）∵Sn=－n2+9n+2 （n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=10，
当时n≥2时，an=Sn－Sn－1=（－n2+9n+2）－［-(n-1)2+9(n-1)+2］=10－2n，
∴ ∴数列｛an｝不是等差数列．
（2）由 ，可知：当n≤5时，|an|=an， 当n＞5时，|an|=－an．∴当n≤5时，
当n≥2时bn= = = ＞0，
Tn=b1+b2+…+bn= + = ．
由bn＞0（n∈N*）可知：Tn随n的增大而单调递增．所以要使不等式Tn＜ 对一切自然数n总成立，只需 Tn≤ ．
又 Tn= = ，所以满足题意的自然数n0=24．
【评析】 利用前n项和Sn与通项an的关系求通项公式时，要注意n=1时的特殊情况．
【例2】2005年·全国卷Ⅰ设正项等比数列｛an｝的首项a1= ，前n项和为Sn，且．210S30－（210+1）S20+S10=0．
（1）求｛an｝的通项；
（2）求｛nSn｝的前n项和Tn．
【分析】 第（1）问中关键是求出公比q，然后写出｛an｝的通项．第（2）问利用错位相减法求和．
【解】 （1）由210S30－（210+1）S20+S10=0 得210（S30－S20）=S20－S10，
且S1=1，S2= ，求数列｛an｝的通项公式．
【分析】 根据Sn－Sn－2= （n≥3）的特点，因此要对n分奇数，偶数两种情况进行讨论．
【解】 方法一：先考虑偶数项有：
S2n－S2n－2= =
S2n－2－S2n－4= =
………
S4－S2= = ．
∴S2n=S2－3[ + +…+ ]
=－3[ + +… + ]=－3 =－4[ ]=－2+ （n≥1）．
所以aij=a1jqi－1=[a11+（j－1）d]qi－1=j（ ）i．
（2）A1=a11+a12+a13+…+a18=（ +4）×4=18．
Ak=ak1+ak2+ak3+…+ak8
=qk－1（a11+a12+a13+…+a18）= ；
（3）∵Ak＜1，∴ ＜1，∴k≥6，又k≤8，∴k值为6，7，8．
即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20， 可得 210·q10（a11+a12+…+a20） =a11+a12+…+a20．
因为an＞0，所以 210q10=1，解得q= ，因而an=a1qn－1= ，n=1，2，…．
（2）因为｛an｝是首项a1= 、公比q= 的等比数列，
专题二数列
知识网络图解
考题分析及命题趋势
数列是函数概念的继续和延伸，是定义在正整数集或它的子集｛1，2，…，n｝上的函数．对于公差不为零的等差数列而言，可以把它看作正整数n的“一次函数”，前n项和是正整数n的“二次函数”，公比不为1的等比数列可看作正整数n的“指数函数”．因此，学过数列后，一方面加深了对函数概念理解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础．数列的题目形态多变，蕴涵丰富的数学思想和方法，是高考的热点之一．
【例1】2005年·全国卷Ⅱ如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ B ）
A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5
【解析】∵a8=a1+7d，a4=a1+3d，a5=a1+4d，∴a1·a8=a +7a1d，a4·a5=a +7a1d+12d2．
同理考虑奇数项有：
S2n+1－S2n－1= = ．
S2n－1－S2n－3= =
………
S3－S1= = ．
S2n+1=S1+3[ + +…+ ]=2－ （n≥1）．
a2n+1=S2n+1－S2n=2－ －（－2+ ）=4－ （n≥1）．
a2n=S2n－S2n－1=－2+ －（2- ）=－4+ （n≥1）．
变式题（理）2005年·湖南已知数列｛log2（an－1）｝（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2=5，则
=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例3】 已知数列｛an｝的前n项和Sn=－n2+9n+2（n∈N*）．
（1）判断数列｛an｝是否为等差数列；
（2）设Rn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Rn；
变式题2005年·上海用n个不同的实数a1，a2，…，an可得n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵．对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+（－1）nnain，i=1，2，3，…，n！．用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=－12+2×12－3×12=－24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120=．
故Sn= =1－ ，nSn=n－ ．
则数列｛nSn｝的前n项和Tn=（1+2+…+n）－（ + +…+ ），
= （1+2+…+n）－（ + +…+ + ）
两式相减，得
= （1+2+…+n）－（ + +…+ +）+ = － +
即Tn= + + －2．
【评析】 本题考查等比数列的基础知识，考查分析问题能力和推理能力．
（2）求粒子从原点运动到点P（16，44）时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．图2－9－1
【例3】 （9理）2005年·重庆数列｛an｝满足a1=1且an+1= （n≥1）．
a1=S1=1．
综合可得 ，
方法二：因为Sn－Sn－2=an+an－1， 所以an+an－1= （n≥3）， 两边同乘以（－1）n，可得：
（－1）nan－（－1）n－1an－1= =
设bn=（－1）nan，∴bn－bn－1= （n≥3）．
所以bn－bn－1= ，
bn－1－bn－2= ，
……
b3－b2= ，
（文）2005年·湖南已知数列｛an｝满足a1=0，an+1= （n∈N*），则a20=（B）
A．0 B． － C．Байду номын сангаасD．
【解析】a1=0，a2=－ ，a3= ，a4=0，a5=－ ，a6= ，…，∴an+3=an，∴a20=a3=－ ．
【评析】本题考查递推数列，注意它的周期性．
【例2】2005年·江西已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn－Sn－2= （n≥3），
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
方法技巧提炼
1．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．
2．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，借助“基本量法”树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．
∵d≠0∴d2＞0，∴a1a8＜a4a5
【评析】 利用等差数列通项公式写出a4，a5，a8，然后计算a1a8，a4a5，再比较大小．防止与等比数列的性质混淆，错选为D．
变式题设｛an｝（n∈N*）是等差数列，其公差为d，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值
（理）（3） 设bn= （n∈N*），
Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最小的自然数n0，使得不等式Tn＜ 对一切自然数n总成立？如果存在，求出n0的值；如果不存在，说明理由．