2018届高三理科数学数列解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三理科数学数列解题方法规律技巧详细总结版【3年高考试题比较】对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.尤其近两年都考的数列，2018年在三角上命题的可能性很大，考查内容主要集中等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【必备基础知识融合】1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类3.(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.14.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.5.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.6.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *). (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项).7.等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 8.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 9.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 10.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 11. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .12.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 13.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nn ＋k(k 为非零常数)1nn ＋k＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nn ＋n ＋1nn ＋n ＋＝121nn ＋－1n ＋n ＋(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 14.常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .【解题方法规律技巧】典例1：若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.【迁移探究】将本例条件“a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝12”改为“S n(S n－a n)＋2a n＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解.【规律方法】（1）在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形；（2）应用a n＝S n－S n－1 (n≥2)条件时，通常有两个方向，一个是消去S n，留下关于a n的递推关系，进而求a n的通项公式；另一个是消去a n，留下S n的递推关系，进而得到S n.典例2：已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数.(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.【规律方法】等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.典例3：已知等比数列中，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若分别是等差数列的第8项和第16项，试求数列的通项公式及前项和的最小值.【答案】(1) (2) 当时，取得最小值.【规律方法】求等差数列前n项和最值的常用方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和(为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．典例4：已知数列{a n}的前n项和为S n，在数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{b n}的通项公式.【规律方法】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.典例5：已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 864S =，又2a 是1a 与5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若62n n S a +>，求n 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）8.【解析】试题分析：（1）根据题目中的条件列出表达式， 2215a a a =，又因为数列是等差数列，故得到()()21114a d a a d +=+， 12d a =，根据864S =结合等差数列前n 项和，得到最终结果；（2）由第一问【规律方法】 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.典例6：已知数列{}n a 满足： ()*121n n a a n n N +=-+∈， 13a =. （1）证明数列()*n n b a n n N =-∈是等比数列，并求数列{}n a 的通项；（2）设11n nn n n a a c a a ++-=，数列{}n c 的前n 项和为{}n S ，求证： 1n S <.【答案】（1）2n n a n =+；（2）见解析 【解析】试题分析：(1)由题意可得递推关系： ()()1121n n b n b n n +++=+-+，整理可得： 12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，结合首项1112b a =-=可得2n n b =， 2n n a n =+．(2)结合(1)整理数列的通项公式可得：11111n n n n n n n a a c a a a a +++-==-，裂项求和有121111n n n S c c c a +=+++=-<． 试题解析：（1）解：由n n b a n =-知n n a b n =+， 代入得： ()()1121n n b n b n n +++=+-+， 化简得： 12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，又111312b a =-=-=，则2n n b =，进而有2n n a n =+． （2）证明：由于11111n n n n n n n a a c a a a a +++-==-，所以121223111111111111111n n nn n n S c c c a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 典例7：已知数列{}n a 中， 11a =， ()*14nn n a a n N a +=∈+.（1）求证： 113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()1413n n n n n b a +=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)答案见解析；(2) 11525443n n n T -+=-⋅.（2）()1413nn n n n b a +=-⋅⋅， 341n n a =-113n n n b -+=12n n T b b b =+++∴01212313333n n n n n T --+=++++① 121123133333n n n n n T -+=++++② ①-②得12121111233333n n n n T -+=++++-11131313nn n -+=+--53112233n n n +=-⋅- ∴11525443n n n T -+=-⋅. 【规律方法】(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.（4）分式型的递推关系，常常可以利用求倒数构造新的等差或等比数列.（5）指数型的递推关系，有时候可以通过等式两边取对数，构造新的等差或等比数列.典例8：数列{}n a 满足12n+2n+1a =1a =2a =2a 2n a -+，，. （1）设1n n nb a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）a n ＝n 2－2n ＋2【规律方法】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.典例9：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【规律方法】(1)一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.典例10：已知数列{a n}中，a n＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围.解(1)∵a n＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴a n＝1＋12n－9(n∈N*).结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).典例11：已知数列{}n a 中， 10a =， ()*12,n n a a n n N +=+∈，.(1)令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式． (3) 令,3nn na c =当n c 取得最大项时，求n 的值. 【答案】（1）见解析；（2）21n n a n =--；（3）3n =.（3）11111112122222121233333n n n n nn n n n nn n n n n n n n n c c c c +++++++--------+-∴=∴=∴-=-=由题令()212nf n n =+-，讨论可知()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<，由此可得3,n n c =（2）由（1）知2n n b = 即121n n n a a +-=-212,21n a a ≥-=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅1121n n n a a ---=-()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=-- 2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式21n n a n ∴=-- （3）111212233n n n n nn n n c c +++----∴=∴=11112221212333n n n n n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212nf n n =+-()11232n f n n ++=+- ()()122n f n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<123345,....n c c c c c c c ∴>>3,n n c =最大 3n ∴=【规律方法】求数列最大项或最小项的方法（1）相邻两项作差和0比，从而得数列的单调性进而得数列最值. （2）可以利用不等式组()11{ 2n n n n a a n a a -+≤≥≥找到数列的最大项；利用不等式()11{ 2n n n n a a n a a -+≥≥≤找到数列的最小项．（3）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项． 典例12:已知数列{}n a 满足： 123n n a a a a n a ++++=-，（ 1,2,3,n =）（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）令()()21n n b n a =--，（ 1,2,3,n =），如果对任意*x N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围. 【答案】(1) {}n a -1是以-12为首项， 12为公比的等比数列；（2）1142t t ≤-≥或【规律方法】数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题（常用分离变量来做）；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.典例13：已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()*n N ∈.（1）证明： {}1n a +是等比数列；（2）令12nn n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）见解析（2）11121n +--【解析】试题分析：（1）由数列{}2n n n a S a n =-满足，求出通项公式n a 和1n a -的关系，由此判断1n a +是否为等比数列；（2）由（1）可知数列{}n a 的通项公式，代入12n n n n b a a +=可知n b 的通项公式，通过裂项相消法算出{}n b 的前n 项和n T 。
新高考数学(理)之数列 专题03 等差数列(等差数列的和与性质)(解析版)
新高考数学（理）数列03 等差数列（等差数列的和与性质）一、具体目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述： 一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n-+=.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+【考点讲解】它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+； 四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ， 公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和 灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和1. 等差数列的前n 项和公式{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶{}n a若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- n a n a 【真题分析】【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【答案】A2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ． 【答案】B3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【答案】C5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【答案】1006.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n的最小值为___________．【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12818222n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.8.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】169.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。
2018年高考数学 破解命题陷阱 专题16 数列求和的方法规律
专题16 数列求和的方法规律一．高考命题类型 1.倒序求合法 2.裂项求和法 3.错位相减求和 4.分组求和 5.分奇偶数讨论求和 6.利用数列周期性求和 7.含有绝对值的数列求和二．命题陷阱及命题陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 设()f x =，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________．【答案】【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。
等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=；组合中中主要利用组合数性质：n m n m m C C -=练习1.已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2017a =__________． 【答案】1009【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称， ()1122f x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移12个单位，故答案为1009. 练习 2.已知函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数， ()()1g x f x =+，若2017n n a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2016项和为( )【解析】∵函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数图象关于原点对称， ∴函数()f x 的图象关于点(12,0)对称， ∴函数()()1g x f x =+的图象关于点(12,1)对称，∴()()12g x g x +-=， ∵2017n n a g ⎛⎫=⎪⎝⎭，12320152016201620172017201720172017g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，练习3. 已知函数()32331248f x x x x =-++，则201612017k k f=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 _____．2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）1656130【解析】()11111n a n n n n ==-++5111111111512233445566S ∴=-+-+-+-+-=练习1.数列）1【解析】n n==+故数列的前10项的和为10...1S =练习2.在等差数列{}n a 中， 357116,8a a a a ++==，则数列341·n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）21nn +练习3. 已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >， 2*63,n n n S a a n N =+∈，()()122121nnn a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )178441【答案】B【解析】当1n =时， 211163a a a =+，解得13a =或10a =. 由0n a >得13a =.由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a +++=+. 两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-.所以11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以110,3n n n n a a a a +++>-=.即数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=. 所以()()()()111281117818181812121nnn a n n n n n n a a b +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭. 所以22311111111111117818181818181778149n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭. 要使*,n n N k T ∀∈>恒成立，只需149k ≥.练习4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b +++的值是（ ）4033201712232017201811111111140331122232016201720172017b b b b b b +++=+-+-++-=-=. 故选B. 练习5.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320152016111b b b b b b +++=（ ）练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122017111···a a a +++等于（ ）20162017403220172017201840342018【答案】D【解析】由题意可得： 11n n a a n +-=+，则：1213211,2,23,,n n a a a a a a n -=-=-=-=，以上各式相加可得： ()12n n n a +=，则：11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12201711111111403421223201720182018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 练习7.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a aa ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦( )解得(1)n a n n =+， ∴1111n a n n =-+， ∴121111111111122311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴12201720172017a a a +++ 则122017201720172017a a a ⎡+++⎢⎥⎣120162018+练习8. 已知幂函数()af x x =的图象过点()4,2，令()()11n a f n f n =++（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）1111-【解析】函数()af x x =的图象过点()4,2，可得42a=,解得12a =，()12f x x=，则()()11n a f n f n ===++，则2018120191S =+.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且()21122n n a a a n --=+≥，若1112n n n b a a +=++，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________． 【答案】2119101n -- 练习10.设数列{}na n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。
高三数学应试技巧合理运用数学数列方法
高三数学应试技巧合理运用数学数列方法高三数学应试技巧：合理运用数学数列方法在高三数学的学习和考试中，数列作为一个重要的知识点，不仅在教材中占据重要地位，在考试中也经常出现。
掌握合理的数列解题技巧，对于提高数学成绩、增强应试能力具有关键作用。
一、数列的基础知识首先，我们需要清晰地理解数列的基本概念。
数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用通项公式或者递推公式来表示。
等差数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差。
其前\（n\）项和公式为：＼（S_n＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）。
等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，＼（q\）为公比（＼（q ≠ 0\））。
其前\（n\）项和公式为：当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）；当\（q＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）。
这些基本公式是解决数列问题的基石，必须牢记于心。
二、数列题型及解题技巧1、求数列的通项公式观察法：对于一些简单的数列，可以通过观察数列的数字规律，直接写出通项公式。
累加法：适用于形如\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ f(n)＼）的递推关系，通过累加可求得通项公式。
累乘法：对于形如\（＼frac{a_{n ＋ 1}｝｛a_n} ＝ f(n)＼）的递推关系，采用累乘的方法。
构造法：通过对递推公式进行变形，构造出一个新的等差数列或等比数列，从而求出通项公式。
例如：已知数列\（＼｛a_n\｝＼）满足\（a_{n ＋ 1} ＝ 2a_n ＋1\），＼（a_1 ＝ 1\），求\（a_n\）。
我们可以将式子变形为\（a_{n ＋ 1} ＋ 1 ＝ 2(a_n ＋ 1)＼），则数列\（＼｛a_n ＋ 1\｝＼）是以\（a_1 ＋ 1 ＝ 2\）为首项，＼（2\）为公比的等比数列，从而可得\（a_n ＋ 1 ＝ 2 ＼times 2^｛n 1} ＝ 2^n\），所以\（a_n ＝ 2^n 1\）。
问题4.5 数列中整数解问题-2018届高三数学成功在我之尖子生提分精品(江苏版) Word版含解析
2018届高三数学成功在我一、考情分析数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位．数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带来帮助 二、经验分享二元不定方程 双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.方法2. 利用整除性质 ：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决．方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为 ()()f m g n =型,利用()g n 的上界或下界来估计()f m 的范围,通过解不等式得出m 的范围,再一一验证即可. 三、知识拓展 1、整数的基本性质： （1）整数的和,差,积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈,则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈,则称n 为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数 ③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数⨯偶数=偶数 ⑤ 偶数⨯偶数=偶数 ⑥ 奇数⨯奇数=奇数 （3）若,a b Z ∈,且a b <,则1a b ≤-（4）已知,,a b R a b ∈<,若n Z ∈,且(),n a b ∈,则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解） （5）若aZ b∈,称a 能被b 整除,则有：① b a ≤ ② b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如：若(),2,5n N n ∈∈,则n 的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个： ① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点： ① 所解得变量非整数,或不符合已知范围 ② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前n 项和的项数,均为正整数.四、题型分析 (一) 因式分解法 【例1】【解析】【点评】本题中将不定方程变形为,因为分解方式是唯一的,所以可以得到关于k,m,的二元一次方程组求解. (二) 利用整除性质【例2】已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项,则m =____【答案】2m =【点评】（1）本题的亮点在于对()()272523m m m ---的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在823m -上.（2）本题对823m -的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到23m -应为奇数,而823Z m ∈-,而8的奇因数只有1和1-,同样可确定m 的值.【牛刀小试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ,3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在,请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在,请说明理由.n ,再求出m .解：由（2）得：()()22248nnm m ---=+()()()()()()22282168824242424n n n n n nm ⎡⎤⎡⎤----+⎣⎦⎣⎦∴===--+-+-+-+ m Z ∈ 且()24nZ --∈ ∴只需()824nZ ∈-+,即()241,2,4,8n-+=±±±±经计算可得：1,2,3n =时,()824nZ ∈-+∴ 解得：123,,2114n n n m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩ ∴ 共有三组符合题意：()()()2,1,1,2,14,3--【点评】（1）在第（2）问中,要注意n 的取值范围变化,并且要把n 所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足.（2）二元不定方程在求解时,参变分离是一种方式,通过变形让两变量分居不等号的两侧,这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题）,来求得变量的解 (三) 不等式估值法【例3】已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,n S 是其前n 项和,且满足221n n a S -=,令11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T（1）求数列{}n a 的通项公式及n T（2）是否存在正整数(),1m n m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在,求出所有的,m n 的值；若不存在,请说明理由.（2）【分析】先假定存在满足条件的,m n ,则由21mn T T T =⋅可得()22132121m n n m =⋅++,无法直接得到不等关系,考虑变形等式：()222163m n m n++=,分离参数可得：24132m m n +-=,以30n >为突破口可解出m 的范围122⎛-+ ⎝⎭,从而确定m 的值后即可求出n【解析】假设存在(),1m n m n <<,则21m n T T T =⋅即()()222222211634416332121m m n n m m n n m n m nm +++++=⋅⇒=⇒=++241346m m n ∴++=+即241320m m n+-=> 222410m m m -++∴>解得：1122m -<<+ 2m ∴=,代入可得：234112224n =+-=,解得：12n = ∴存在2,12m n ==,使得1,,m n T T T 成等比数列【牛刀小试】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,若4224,21n n S S a a ==+ （1）求n a（2）对m N *∀∈,将{}n a 中落入区间()22,2m m 内项的个数记为{}m b① 求m b ② 记2122m m m c b -=-,{}m c 的前m 项和记为m T ,是否存在,m t N *∈,使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在,求出,m t 的值；若不存在,请说明理由1114122m m t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得到关于,m t 的不定方程,可考虑对,m t 进行变量分离1142142mt t --⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t ->,即{}1,2,3t ∈,然后代入t 解出符合条件的m 即可111144222m mtt -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-⋅-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1142142mtt --⎛⎫∴= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1110,4022mt-⎛⎫⎛⎫>+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}401,2,3t t ∴->⇒∈1t =时,解得：12133log 255mm Z ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭（舍）2t =时,解得：12111log 233mm Z ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭（舍）3t =时,解得：11328mm Z ⎛⎫=⇒=∈ ⎪⎝⎭存在这样的33m t =⎧⎨=⎩,满足所给方程【点评】1、本题中②的方程,并没有在一开始就将m T 代入,否则运算会复杂的多,所采取的策略为先化简变形,变形完成之后再代入.可简化不必要的运算2、本题在解,m t 的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接,则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如12m⎛⎫⎪⎝⎭）,再结合变量必须取整数的条件,便可用不等关系将变量所能取的值确定下来. (四) 反证法【例4】已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,且对任意的n N *∈,都有：311222n n n a b a b a b n ++++=⋅ ,若18a =,则：（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式（2）试探究：数列{}n b 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它(),2r r N r ∈≥项的和？若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由（2）【分析】首先要把命题翻译为等式,将其他r 项可设为12,,,r t t t b b b ,设存在某项m b ,则12122222r r t t t m m t t t b b b b =+++⇒=+++,设12r t t t <<<,则同除以12t ,就会出现左右两侧奇偶不同,从而假设不成立【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表示为：12,,,m m m a a a ++,如果不一定相邻,则可用12,r t t t 作角标,其中1,2,,r 体现出这一串项所成数列中项的序数,而12,r t t t 表示该项在原数列中的序数（2）本题还有一个矛盾点：题目中的r 项不一定为相邻项,但是可通过放缩将右边的项补全,变为从12 一直加到2r t,即1212222222r r ttt t +++≤+++.则21222221m tr tr +≤+++=-①,由整数性质可得1r r m t m t >⇒≥-,所以112221rr t t m++≥>-,与①矛盾,所以不存在.【牛刀小试】已知数列{}{},n n a b 满足1123,2,,1n n n n n n a a b b a b n N a *+⎛⎫===-∈ ⎪+⎝⎭（1）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求数列{}n b 的通项公式（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-,对于任意给定的正整数p ,是否存在正整数(),q r p q r <<,使得111,,p q rc c c 成等差数列？若存在,试用p 表示,q r ；若不存在,请说明理由 【解析】（1）12211nn n nn n n n a b a b a b a a +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 22n n n na b a b =⇒=1422221n nn n nb b b b b +∴=-=++p q r << 2,3q r ∴≥≥211,112121q r <+>-- 2112121q r ∴=+--不成立 当2p ≥时,111,,p q rc c c 成等差数列,同理可得： 211212121q p r =+--- ()()1214212121212121p q r q p p q --∴=-=-----()()21212221421421p q pq p q r r p q p q --+-∴-=⇒=----∴设21q p =-,此时2452r p p =-+2p ≥ ()2221,4734110q p p r q p p p p ∴=->-=-+=-+->∴21q p =-,2452r p p =-+符合题意综上所述：1p =时,不存在满足条件的,q r2p ≥时,存在21q p =-,2452r p p =-+五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1a a =（其中a 为常数）,()()111n n nS n S n n +=+++ ()*n N∈.数列{}nb满足)*nbn N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列,并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈,数列{}n b 中总存在两个不同的项s b , t b ()*,s t N ∈使得s n t b c b ≤≤,求{}n c 的公比q .因此1nS n a n=-+,即()21n S n a n =+-.因为对任意*n N ∈,总存在数列{}n b 中的两个不同项s b , t b ,使得s n t b c b ≤≤,所以对任意的*n N ∈都有nc∈⎝,明显0q>.若1q>,当1logn≥+时,有111n nnc c q--=>≥不符合题意,舍去；若01q<<,当1logn≥+,有11nnc c q-=≤1n-≤不符合题意,舍去；故1q=.2．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列{}n a的前n项和n S,对任意正整数n,总存在正数,,p q r使得1nna p-=, nnS q r=-恒成立：数列{}n b的前n项和n T,且对任意正整数n, 2n nT nb=恒成立.（1）求常数,,p q r的值；（2）证明数列{}n b为等差数列；（3）若12b=,记31222224nn n nn bn b n bPa a a+++=++1212222n nn nn nn b n ba a---+++⋯++,是否存在正整数k,使得对任意正整数n, n P k≤恒成立,若存在,求正整数k的最小值,若不存在,请说明理由.∴③-④得： ()121n n n b nb n b -=--,即()()121n n n b n b --=-⑤, 又∵()11n n n b nb +-=⑥∴⑤+⑥得： ()()()112211n n n n b n b n b -+-=-+-,即112n n n b b b -+=+ ∴{}n b 为等差数列.（3）∵10b =, 22b =,由（2）知{}n b 为等差数列 ∴22n b n =-. 又由（1）知12n n a -=,∴122222n n nn n P -+=+ 2322444222n n n n ----+++,3．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n , 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k , 2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立,则称数列{}n a 是“()R k 数列”. （1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”,并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”,且存在整数(1)p p >,使得33p b -, 31p b -, 31p b +, 33p b +成等差数列,证明： {}n b 是等差数列.【解析】（1）当n 为奇数时, ()()1212130n n a a n n +-=+--=>,所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时, ()121210n n a a n n +-=+-=>,所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.若210d d ->,则当12121b b d n d d -+>-时,②不成立；若210d d -=,则①和②都成立,所以12d d =.同理得： 13d d =,所以123d d d ==,记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=, 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-,所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+,3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+, 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-,以上三式相加可得： 32d λ=,所以23d λ=, 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+,()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113d b n =+--, ()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313d b n =+-,所以()113n d b b n =+-,所以13n n d b b +-=, 所以,数列{}n b 是等差数列.4．【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列{a n }的首项135a =, 1321n n n a a a +=+, *n N ∈．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111n nS a a a =+++,若S n <100,求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ,s ,n ,使m ,s ,n 成等差数列,且a m －1,a s －1,a n －1成等比数列？如果存在,请给以证明；如果不存在,请说明理由．5．【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =-,*n N ∈,数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+, *n N ∈,且11b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n c a =数列{}n c 的前n 项和为n T ,对任意的*n N ∈,都有n n T nS a ≤-,求实数a 的取值范围.（3）是否存在正正数,m n ,使1,,(1)m n b a b n >成等差数列？若存在,求出所有满足条件的,m n ；若不存在,请说明理由.所以12+1n n T n =-⋅（）,由（1）得2121n n n S a =-=-,6．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =, *.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列,并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ,使得212n n n S b S +>>成立？说明理由. 【解析】因为()12221213321363n n n n b a a n a n ++++==++=++ ()22321633n n a n n a =---++=- ,即1123,6n n b b b a +=-==又 ,所以()23nn b =--.（3）假设存在正整数n ,使得212n n n S b S +>> 成立,因为()22121n S n +=-+ , ()22223nn S n =--- , 所以只要()()()222123223nnn n -+>-->---即只要满足 ①：22n > ,和②：()()22321n n -+>+ ,对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②,当n 为奇数时,满足()22321nn -⋅+>+ ,不成立,当n 为偶数时,满足()22321nn ⋅+>+,即22123nn n +-> 令2213n nn n c +-= ,因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<即2n n c c +< ,且当2n = 时, 22123nn n +->, 所以当n 为偶数时,②式成立,即当n 为偶数时, 212n n n S b S +>>成立 . 7．【】江苏省徐州市2018届高三上学期期中】已知数列的前项和为,满足,．数列满足,,且．（1）求数列和的通项公式； （2）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围；（3）是否存在正整数,,使,,（）成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,,若不存在,请说明理由．从而数列的通项公式为． （2）由（1）得,于是,所以两式相减得, 所以,由（1）得,8．【2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考】已知数列{}n a 的首项为2,前n 项的和为n S ,且111241n n n a a S +-=-（*n N ∈）． （1）求2a 的值；（2）设1nn n na b a a +=-,求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在正整数n ,使得3n na a +为整数,若存在求出n ,若不存在说明理由. 【解析】 （1）易得2143a =．因为112134a b a a ==-,所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知,114n n n a n a a +=--,所以114311414n na n a n n ++=+=--,所以()141141n n a a n n +=+--,所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-,所以()2413n a n =-．则34111214141n n a n a n n ++==+--, 注意到413n -≥,且41n -为12的约数,所以413,4,6,12n -=,由*n N ∈知1n =．9.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,若4224,21n n S S a a ==+ （1）求n a（2）对m N *∀∈,将{}n a 中落入区间()22,2m m 内项的个数记为{}m b① 求m b ② 记2122m m m c b -=-,{}mc 的前m 项和记为m T ,是否存在,m t N *∈,使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在,求出,m t 的值；若不存在,请说明理由1114122m m t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得到关于,m t 的不定方程,可考虑对,m t 进行变量分离1142142mt t --⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t ->,即{}1,2,3t ∈,然后代入t 解出符合条件的m 即可解：由①可得：212122m m m c --⎛⎫== ⎪⎝⎭12121411212m m m T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-由111m m t T t T t c +-=-+可得：。
高考数学数列题求解题技巧
高考数学数列题求解题技巧数学数列题是高考数学中常见的题型之一，也是考查学生对数列概念和性质的理解和运用能力的重要手段之一。
下面将给出一些解题技巧，帮助你在高考中更好地解答数列题。
1. 确定数列类型在解答数列题时，首先要明确数列的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
通过观察数列的通项公式、公式中的递推关系或者数列中的规律，确定数列的类型，有助于我们更好地理解和解答问题。
2. 求解等差数列对于等差数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等差数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等差数列的的首项a1和公差d：Sn = (n/2)(a1 + an)Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中n为项数，a1为首项，an为第n项，d为公差。
（2）已知前n项和的两倍：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的两倍为2Sn，则可以使用以下公式求解首项a1：2Sn = n(2a1 + (n-1)d)（3）已知前n项和的平方：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的平方为Sn²，则可以使用以下公式求解公差d：Sn² = n(2a1 + (n-1)d)²/43. 求解等比数列对于等比数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等比数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等比数列的的首项a1和公比q：Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)其中n为项数，a1为首项，q为公比。
（2）已知前n项积：若已知等比数列的前n项积为Pn，则可以使用以下公式求解首项a1和公比q： Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)4. 拆分序列有时，在解答数列题时，我们可以将给定的数列拆分为两个或多个较为简单的数列进行求解。
例如，当我们遇到递推关系较为复杂的数列时，可以考虑将数列拆分为两个或多个等差数列或等比数列，然后分别求解。
高中数学数列答题技巧有哪些
⾼中数学数列答题技巧有哪些
随着⾼中学习的不断深⼊,数列在数学解题中也发挥了越来越重要的作⽤。
它既是⾼考考察内容中⼗分关键的⼀个部分,也能够贯穿到⾼中数学的实际应⽤环节当中,与函数、向量、⽴体⼏何都有着⼀定的联系。
今天⼩编就为⼤家整理了⾼中数学数列答题技巧，供⼤家参考。
⾼中数学数列答题技巧
⾼中数列答题技巧
答题技巧1、求差（商）法
答题技巧2、叠乘法
答题技巧3、等差型递推公式
答题技巧4、等⽐型递推公式
答题技巧5、倒数法
⾼中数学数列答题技巧
⾼中数学数列问题的答题技巧
答题技巧⼀、⾼中数列，有规律可循的类型⽆⾮就是两者，等差数列和等⽐数列，这两者的题⽬还是⽐较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是⽐较简单的，公式的运⽤要熟悉。
答题技巧⼆、题⽬常常不会如此简单容易，稍微加难⼀点的题⽬就是等差和等⽐数列的⼀些组合题，这⾥要采⽤的⼀些⽅法有错位相消法。
答题技巧三、题⽬变化多端，往往出现的压轴题都是⼀些从来没有接触过的⼀些通项，有些甚⾄连通项也不给。
针对这两类，我认为应该积累以下的⼀些⽅法。
答题技巧四、对于求和⼀类的题⽬，可以⽤柯西不等式，转化为等⽐数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等⽅法等⽅法
答题技巧五、对于求通项⼀类的题⽬，可以采⽤先代⼊求值找规律，再数学归纳法验证，或是⽤累加法，累乘法都可以。
答题技巧六、总之，每次碰到⼀道陌⽣的数列题，要进⾏总结，得出该类的解题⽅法，或者从中学会⼀种放缩⽅法，这对于以后很有帮助。
2018年高考数学大题答题技巧
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一、三角函数题
注意归一公式、诱导公式的正确性时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题
1.证明一个数列是等差数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差的等差数列;
2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①
②得证;。
2018年高考数学解题的12种方法总结.doc
2018年高考数学解题的12种方法总结数学是高考考试中最能拉分的科目，因此大家在备考数学考试的时候要多下功夫，下面为大家带来2018年高考数学解题的12种方法总结这篇内容，希望能够帮助大家轻松应对2018年高考数学考试。
方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于空白状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入角色，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
方法二、内紧外松，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生旗开得胜的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的门坎效应，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
方法四、六先六后，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行六先六后的战术原则。
1、先易后难。
就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2、先熟后生。
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
2018年高考数学答题技巧及知识点归纳总结【精品推荐】
掌握高考数学答题技巧，力求正常发挥1．摸透“题情”刚刚拿到试卷，一般心里比较紧张，不要忙于作答，要从头到尾通览全卷，从卷面上获取最多的信息，为实施正确的集体策略做全面调查。
2．信心十足答题中，见到简单题要细心，莫忘乎所以。
面对偏难的题，要有耐心，千万不要着急，力求做到：坚定信心，稳扎稳打，步步为营。
整个过程中要记住：人易我易，我不大意。
人难我难，我不畏惧。
3．两先两后即“先易后难”和“先高后低”。
所谓先高后低指后半段时间如后两题都会做，则先做高分题，后作低分题。
即使时间不足也少丢分，到最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。
4．讲求方法做选择题时，除用直接法外，要牢记另外一些常用的，有效地方法，如排除法，特例检验法，估算法，数形结合法等。
5．分段得分分段得分的基本精神：会作的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。
（1）缺步解答若遇到一个很困难的问题，聪明的策略是：将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，特别是那些集体层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
（2）退步解答“以退求进”是一个重要的解题策略。
当某个问题不易解决时，可以考虑问题的特殊形势，局部情形等，有时往往茅塞顿开。
（3）辅助解答辅助解答的内容十分广泛，如准确做图，书写规范，完整，字迹清楚等都是辅助解答。
有些选择题，“大胆猜测”也是辅助解答。
6．立足中下题目，力争高水平中下题目在全卷占百分之八十，是试卷的主旋律，是得分的重要来源。
能拿下这些题目，实际上就已经打了个胜仗。
以上是答题技巧的几点建议，另外要特别注意考前的状态，提前进入角色也很重要。
※热门问答问：选择题怎么才能拿到高分？答：选择题主要体现了对双基的考查，知识点是轮换的，除了通常的直选法(由条件求得正确的答案来)外，还得注意解题的特殊技巧，比如用特殊代替一般，排除法，验证法；此外还应注意数形结合、合理猜想等等。
高考数学数列题 如何灵活运用数列知识解决问题
高考数学数列题如何灵活运用数列知识解决问题在高考数学试卷中，数列题是一个常见的考点。
掌握数列的性质和解题技巧，对于高考数学考试取得好成绩至关重要。
本文将介绍如何灵活运用数列知识解决问题，帮助考生顺利应对高考数学考试。
一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的序列。
数列的性质包括公差、通项公式、前n项和等等。
了解数列的基本概念和性质是解决数列问题的基础。
1. 公差在等差数列中，相邻的两项之间的差称为公差。
公差常用字母d表示，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
2. 通项公式通项公式指的是数列中第n项与n的关系式，通过通项公式我们可以求得数列中任意项的值。
3. 前n项和数列的前n项和是指数列的前n项的和。
用Sn表示，对于等差数列可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来求解。
二、解题方法和技巧掌握数列的基本概念和性质后，我们可以运用一些方法和技巧来解决数列题。
1. 代数法对于一些复杂的数列问题，我们可以通过引入变量，构建代数方程，从而解决问题。
通过代数法可以将复杂的数列问题转化为方程求解，简化解题的过程。
2. 递推法递推法是一种常用的解决数列问题的方法。
通过观察数列的性质和规律，我们可以找到数列中的递推关系，从而得到数列的通项公式或前n项和的表达式。
3. 分类讨论法有些数列问题需要根据具体情况进行分类讨论。
通过分类讨论，可以将复杂的问题分解为几个简单的问题，从而更容易解决。
4. 极限法对于一些涉及数列极限的问题，我们可以通过求解极限来得到数列的特定值。
通过应用极限法，可以解决一些较为复杂的数列问题。
三、练习与总结为了提高解决数列题的能力，考生需要进行大量的练习，并及时总结经验。
通过大量的练习，可以帮助考生熟练掌握数列的解题方法和技巧，提高解题的速度和准确性。
并且，在练习过程中，考生还可以总结不同难度的数列题的解题思路和方法，形成解题的思维模式。