2019-2020学年吉林省松原市数学高二(下)期末统考试题含解析
2019-2020学年吉林省吉林市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)z i i =-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得解. 【详解】2(1)1z i i i i i =-=-=--，z ∴的虚部是1-.故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，要注意的是虚部不含i ，是基础题.2．“因对数函数log ay x =是增函数（大前提），而0.2log y x =是对数函数（小前提），所以0.2log y x =是增函数（结论）”.上面推理结论错误的原因是（ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错 D ．大前提和小前提都错导致结论错 【答案】A【解析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，可得对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠是增函数这个大前提是错误的.【详解】当1a >时，函数log (0a y x a =>且1)a ≠是一个增函数， 当01a <<时，此函数是一个减函数log (0a y x a ∴=>且1)a ≠是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错.【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的. 3．用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，且1)n >时，第一步应验证的不等式是（ ） A ．12< B ．1122+< C ．111223++< D ．1123+< 【答案】C【解析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可. 【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，且1)n >时，时，第一步应验证不等式为：111223++<. 故选：C . 【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，属于基础题. 4．函数()sin f x x x =+在区间()0,π的单调性为（ ） A ．单调递增 B ．单调递减 C ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】利用函数的导数在()0,π上恒大于等于零，可得函数在区间上单调递增． 【详解】()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x '=+≥恒成立，即()sin f x x x =+在区间()0,π上单调递增， 故选：A本题考查导数在单调性中的应用，考查三角函数的性质，属于基础题．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B【解析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案． 【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B ． 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1,17-B ．3,17-C ．1,1-D ．9,19-【答案】B【解析】先研究函数()f x 在区间[]3,0-上的单调性，再根据单调性求最值即可. 【详解】解：()2'330f x x =-=，解得1x =±，再根据二次函数性质得在[]31--，上()'0f x >， 在[]1,0-上()'0f x <，所以函数()f x 在[]31--，单调递增， 在[]1,0-单调递减，所以()()max 13f x f =-=，()3279117f -=-++=-，()01f =，所以()()min 317f x f =-=-.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题. 7．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积是（ ）A ．2ln 2B ．1ln 22C ．154D ．174【答案】A 【解析】直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求定积分即可. 【详解】 如图， 由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积：2121S dx x=⎰ 212ln |x =1ln 2ln2=- 2ln 2=.故选：A【点睛】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积，做题时应认真分析.8．甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．不确定【答案】C【解析】分别假设乙与丙说的假话，分析三个人的说法，由此能求出结果． 【详解】若乙说了假话，则甲、丙说了真话，那么甲、乙都申请了，与题意只有一人申请矛盾； 若丙说了假话，则甲、乙说的话为真，甲、乙都没有申请，申请的人是丙，满足题意， 故选C. 【点睛】本题考查简单的合情推理知识，考查推理论证能力，是基础题． 9．三角形的面积为()12S a b c r =++⋅，（,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A ．13V abc =（,,a b c 为底面边长） B ．()1V S S S S r =+++（,,,S S S S 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体C ．13V Sh =（S 为底面面积，h 为四面体的高） D ．()13V ab bc ac h =++（,,a b c 为底面边长，h 为四面体的高）【答案】B【解析】根据类比规则求解. 【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化， 因此四面体的体积为()123413V S S S S r =+++（1234,,,S S S S 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径），选B. 【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.10．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题： ①2-是函数()y f x =的极值点； ②1不是函数()y f x =的极值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间()2,2-上单调递增. 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①②【答案】A【解析】利用函数极值点的定义可判断命题①②的正误；利用导数的几何意义可判断命题③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断命题④的正误. 【详解】根据导函数图象可知当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，在()2,x ∈-+∞时，()0f x '≥.则函数()y f x =在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，而在2x =-处()20f '-=，左侧单调递减，右侧单调递增，则2-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；函数()y f x =在()2,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递增，1∴不是函数()y f x =极值点，故②正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0，()y f x ∴=在0x =处切线的斜率大于零，故③不正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的单调性、极值和切线的斜率等有关知识，属于基础题.11．中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽.某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（ ） A ．16种 B ．36种 C ．42种 D ．60种【答案】D【解析】根据题意，分2种情况讨论：①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资，②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资求出每种情况的投资方案数目，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资； 需要将项目分成2个与1个的两组，有3种分法；在4个贫困县当中，选择两个贫困县作为投资对象，有2412A =种情况，此时有31236⨯=种不同的投资方案，②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资需要在4个贫困县当中，任选3个作为投资对象，有3424A =种情况，则有362460+=种方案；本题主要考查排列组合的应用以及分类、分步计数原理的应用，属于基础题. 12．若函数()219ln 2f x x x =-在区间1[2a -，1]2a +上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5(0,]2B ．1(,)2+∞C ．15(,]22D ．3(,2]2【答案】C【解析】求出函数()f x 的单调减区间D ，然后令1[2a -，1]2a D +⊆，由此构造不等式组求解即可. 【详解】解：因为函数()219ln 2f x x x =-，所以0x >，且9()f x x x'=-， 由()0f x '<得290x x >⎧⎨-<⎩，解得03x <<. ()f x 在区间1[2a -，1]2a +上单调递减， ∴102132a a ⎧->⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得1522a<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数单调区间求参数的范围，是中档题.二、填空题13．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p 值等于__.【答案】0.3由离散型随机变量ξ的分布列得：0.40.31p ++=， 解得0.3p =. 故答案为：0.3. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a=_____________． 【答案】a=1.【解析】试题分析：根据题意得到先将表达式上下同乘以分母的共轭复数，再根据纯虚数的定义得到实部为0，虚部不为0，列出表达式解出即可. 详解：根据题意得到()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ----+-==+-+,因为是纯虚数故得到a 10-=,故a =1.检验此时复数的虚部不为0，符合题意.故答案为a =1.点睛：这个题目考查了复数的混合运算，纯虚数的概念，注意在计算时认真仔细即可.复数的除法运算先要分子乘以分母的共轭复数,再将实部和虚部分开. 15．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ.若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=__________．【答案】0.954【解析】试题分析：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2），∴正态曲线关于x=0对称， ∵(2)0.023P ξ>=，∴(2)0.023P ξ<-=，∴(22)10.0230.0230.954P ξ-≤≤=--=， 故答案为0.954【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．16．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.【答案】1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】由题意可知()()f x g x =-有解，即y lnx =与y ax =有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围. 【详解】函数3()f x lnx x =-与3()g x x ax =-的图象上存在关于x 轴的对称点，()()f x g x ∴=-在(0,)+∞上有解，即33lnx x x ax -=-+在(0,)+∞上有解，lnx ax ∴=，在(0,)+∞上有解，分别设y lnx =，y ax =， 若y ax =为y lnx =的切线，则1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，则01a x =，00ax lnx =， 0x e ∴=，1a e∴=， 结合图象可知，1ae. 故答案为：(-∞，1]e.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y lnx =与y ax =有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.三、解答题17．已知复数22(815)(328)(z m m m m i i =-+++-是虚数单位），当实数m 为何值时.（2）复数0z <.【答案】（1）73m -<<；（2）4.【解析】（1）由实部大于0，虚部小于0联立不等式组求解； （2）由实部小于0且虚部等于0列式求解m 值. 【详解】 （1）由题意，2281503280m m m m ⎧-+>⎨+-<⎩，解得73m -<<； （2）由0z <，得2281503280m m m m ⎧-+<⎨+-=⎩，解得4m =. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念和一定量的计算，是基础题.18．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.【答案】()18n =；()277=16T ，835=70T x .【解析】()1等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n ；()2写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】解：()1二项式nx ⎛⎝的展开式的通项公式为143311122rrrr n r r n r r n r rr n n n T C x C x x C x ----+⎛⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，第一项系数为00112n C ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，第二项系数为11122n n C ⎛⎫-⋅=⎪⎭- ⎝，第三项系数为()22212148n n C C n n ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭-=，前三项系数的绝对值分别为1，2n ，()18n n -， 因为前三项系数的绝对值成等差数列，(1)2128n n n -∴⨯=+，即2980n n -+=，求得1n =（舍去），或8n =. ()2二项式nx ⎛- ⎝，由()1可知8x ⎛- ⎝， 它的通项公式为4831812rr rr T C x -+⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令4803r -=，可得6r =，故展开式的常数项为667817·216T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 二项式系数为8rC ，故当4r =时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为88433581··7016T C x x ==.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.19．调查男、女乘客在一次恶劣天气的飞行航程中晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机. （1）完成下面22⨯列联表；（2）根据此材料能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）答案见解析；（2）不能. 【解析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据列联表中数据计算2K ，对照附表得出结论. 【详解】（1）根据题意，完成下面22⨯列联表；（2）根据列联表中数据，计算2289(2426318) 3.689 3.84155343257K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，对照附表知，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题. 20．已知函数()()2ln 2f x x ax a a R =-+∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性.【答案】(1) 20x y +=； (2) 若0a ≤， ()f x 在()0,∞+上递增；若0a >，()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减． 【解析】（1）根据导数的几何意义得到()()12,12f f ='-=-，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性. 【详解】（1）当 2a =时，()2ln 42f x x x =-+，()24f x x∴=-'， ()()12,12f f ∴'=-=-，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：20x y +=；（2）()()22220ax f x a x x x-+=-='> 若0a ≤， ()0f x '>， ()f x 在()0,∞+上递增； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， ()f x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0f x '<， ()f x 单调递减． 点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性．21．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力.【答案】（1）数学期望分别为2，2；（2）答案见解析.【解析】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.（2）因为(2)(2)P P ξη>，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强. 【详解】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η， 则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，1242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：131()1332555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.因为2~(3,)3B η，所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望2()323E η=⨯=.（2）因为314(2)555P ξ=+=，12820(2)272727P η=+=，所以(2)(2)P P ξη>，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大， 因此可以判断甲的实验操作能力较强. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查两人实验操作能力的判断，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用.22．设函数()()223ln ,032x f x ax x a R a =-+∈<<.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[1x ∈，)+∞时，不等式()35ln 3ln 2f x x x x ≥-+-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值为72-，极小值为153ln 32-；（2）01a <<. 【解析】（1）把2a =代入函数解析式，求出导函数，可得函数的单调区间，进一步求得极值；（2）当[1x ∈，)+∞时，将不等式3()532f x xlnx lnx -+-恒成立，转化为53424x lnx a x ++在[1，)+∞上恒成立，令53()424x lnx g x x=++，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当2a =时，2()432x f x x lnx =-+，3(3)(1)()4x x f x x x x --'=-+=. 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,3)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴当1x =时，()f x 取得极大值为f （1）72=-，当3x =时，()f x 取得极小值为f （3）15332ln =-；（2）当[1x ∈，)+∞时，不等式3()532f x xlnx lnx -+-恒成立，即2325022x ax xlnx -++，也就是53424x lnx a x ++在[1，)+∞上恒成立. 令53()424x lnx g x x =++，则22103()4x x g x x +-'=. [1x ∈，)+∞，21030x x ∴+->，即()0g x '>.可知()g x 在[1，)+∞上为增函数.()g x g ∴（1）13144=+=. 又0<<3a ，01a ∴<<. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，还考查了转化化归思想和运算求解能力，属于中档题.。
2020学年吉林省松原市新高考高二数学下学期期末统考试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为12，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁3．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是 A ．38=0+x y -B ．3=+0+4x yC ．36=0+x y -D ．3=+0+3x y4．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个相异实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．()1,0-D ．(),1-∞-5．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种6．当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦B ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ C ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦D ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦7．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．258．若角α是第四象限角，满足1sin cos 5αα+=-，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．2425-C ．1225D ．1225-9．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ） A ．3B ．18C ．12D ．610．若()0'4f x =，则()()0002lim x x x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．2B ．4C ．18D ．811．已知函数（），若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为A ．[）B ．[）C ．[）D ．[）12．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A ．18B ．24C ．28D ．36二、填空题：本题共4小题13．如图，网格纸上小正方形的边长为1cm ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__．14．已知函数2()(3)x f x x e =-，给出以下结论：①曲线()y f x =在点(0,3)处的切线方程为310x y -+=； ②在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行； ③若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-；④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤<或36m e -=-. 其中所有正确结论的序号为__________．15．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()72E X =，则m 的值为________. 16．已知函数2yx 与函数()0y kx k =>的图象所围成的面积为323，则实数k 的值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
吉林省吉林市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题(PDF版)
5
项的二项式系数最大， T5
C84 (
1)4 2
8
x3
35 8
8
x3
-------12 分
19（12分）解：
（1）
男性 女生 总计
晕机 24 8 32
不晕机 31 26 57
总计 55 34 89
------------------5分
（2） k 89 (24 26 318) 2 3.689 3.841 55 34 32 57
当 a 0 时， x (0, 1 ) ， f (x) 在 (0, ) 上单调递增； a
x ( 1 ,) ， f (x) 在 (0, ) 上单调递减. ----------------12 分 a
21（12 分）解：
（1）设考生甲，乙正确完成题数分别为 , ， 则 取值分别为 1，2，3
P(
高二数学理科参考答案与评分标准
（2）P( 2) 3 1 4 , P( 2) 12 8 20
55 5
27 27 27
-------------------------10 分
P( 2) P( 2)
----------------------------------------------11 分
（1）当 a 2 时， f (x) 2ln x 4x 2 ， f (1) 2 ---------------------------1 分
f (x) 2 4 ， f (1) 2 x
--------------------------------------------3 分
曲线 y f (x) 在 x 1处的切线方程为： y 2 2(x 1) ，即： 2x y 0 -----5 分
2019-2020学年吉林省吉林市高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知i是虚数单位，复数z满足z＝i（i﹣1），则z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．“因对数函数y＝log a x是增函数（大前提），而y＝log0.2x是对数函数（小前提），所以y＝log0.2x是增函数（结论）”．上面推理结论错误的原因是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错3．用数学归纳法证明1+++……+＜n（n∈N，n＞1）时，第一步应验证的不等式是（）A．1＜2B．1+＜2C．1++＜2D．1+＜24．函数y＝x+sin x在区间（0，π）上（）A．单调递减B．单调递增C．上单调递增，上单调递减D．上单调递减，上单调递增5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数6．函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣197．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积是（）A．2ln2B．C．D．8．甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了．如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．不确定9．三角形的面积为S＝（a+b+c）•r，（a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（）A．V＝abc（a，b，c，为底面边长）B．V＝Sh（S为底面面积，h为四面体的高）C．V＝（S1+S2+S3+S4）r（S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径）D．V＝（ab+bc+ac）h（a，b，c为底面边长，h为四面体的高）10．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1不是函数y＝f（x）的极值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增；其中正确命题的序号是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②11．中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽．某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（）A．16种B．36种C．42种D．60种12．若函数f（x）＝﹣9lnx在区间[a﹣，a+]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p值等于．ξ012P0.4p0.314．已知a是实数，是纯虚数，则a＝．15．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）＝0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）＝．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax，若函数f（x）图象上存在点P，且点P 关于x轴对称点Q在函数g（x）图象上，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2+3m﹣28）i（i是虚数单位），当实数m为何值时．（1）复数z对应的点在第四象限；（2）复数z＜0．18．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求项数n；（2）求展开式中的常数项与二项式系数最大的项．19．调查男、女乘客在一次恶劣天气的飞行航程中晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机．（1）完成下面2×2列联表；晕机不晕机总计男性女生总计（2）根据此材料能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机？附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．已知函数f（x）＝2lnx﹣2ax+a（a∈R）．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性．21．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力．22．设函数f（x）＝﹣2ax+3lnx（a∈R，0＜a＜3）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣5xlnx+3lnx﹣恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知i是虚数单位，复数z满足z＝i（i﹣1），则z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝i（i﹣1）＝i2﹣i＝﹣1﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：B．2．“因对数函数y＝log a x是增函数（大前提），而y＝log0.2x是对数函数（小前提），所以y＝log0.2x是增函数（结论）”．上面推理结论错误的原因是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，对数函数y＝log a x（a＞0且a ≠1）是增函数这个大前提是错误的．解：∵当a＞1时，函数y＝log a x（a＞0且a≠1）是一个增函数，当0＜a＜1时，此函数是一个减函数∴y＝log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选：A．3．用数学归纳法证明1+++……+＜n（n∈N，n＞1）时，第一步应验证的不等式是（）A．1＜2B．1+＜2C．1++＜2D．1+＜2【分析】直接利用数学归纳法写出n＝2时左边的表达式即可．解：用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N+，且n＞1）时，时，第一步应验证不等式为：1++＜2．故选：C．4．函数y＝x+sin x在区间（0，π）上（）A．单调递减B．单调递增C．上单调递增，上单调递减D．上单调递减，上单调递增【分析】对函数y＝x+sin x求导数，然后研究导数y′在（0，π）上的符号即可．解：因为y′＝1+cos x＞0，（0＜x＜π）恒成立，故y＝x+sin x在（0，π）上是单调增函数．故选：B．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．6．函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣19【分析】求导，用导研究函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．解：f′（x）＝3x2﹣3＝0，x＝±1，故函数f（x）＝x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）＝﹣17，f（0）＝1，f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选：C．7．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积是（）A．2ln2B．C．D．【分析】直线，x＝2，曲线及x轴所围图形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求定积分即可．解：如图，由直线，x＝2，曲线及x轴所围图形的面积：S＝∫dx＝lnx＝ln2﹣ln＝2ln2．故选：A．8．甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了．如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．不确定【分析】分别假设乙与丙说得假话，分析三个人的说法，由此求得结果．解：若乙说了假话，则甲丙说了真话，那么甲乙都申请了，与题意只有一个人申请矛盾；若丙说了假话，则甲乙说得话为真，甲乙都没申请，丙申请了，符合．若甲说了假话，则乙也说了假话，与三人中有2人说了真话矛盾．故选：C．9．三角形的面积为S＝（a+b+c）•r，（a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（）A．V＝abc（a，b，c，为底面边长）B．V＝Sh（S为底面面积，h为四面体的高）C．V＝（S1+S2+S3+S4）r（S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径）D．V＝（ab+bc+ac）h（a，b，c为底面边长，h为四面体的高）【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V＝（S1+S2+S3+S4）r，故选：C．10．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1不是函数y＝f（x）的极值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增；其中正确命题的序号是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0；则函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确；而在x＝﹣2处f'（﹣2）＝0，左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确；∵函数y＝f（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递增；∴1不是函数y＝f（x）极值点，故②正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0；∴y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故③不正确．故选：A．11．中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽．某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（）A．16种B．36种C．42种D．60种【分析】根据题意，分2种情况讨论：①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资，②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资求出每种情况的投资方案数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资；需要将项目分成2个与1个的两组，有3种分法；在4个贫困县当中，选择两个贫困县作为投资对象，有A42＝12种情况，此时有3×12＝36种不同的投资方案，②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资需要在4个贫困县当中，任选3个作为投资对象，有A43＝24种情况，则有36+24＝60种方案；故选：D．12．若函数f（x）＝﹣9lnx在区间[a﹣，a+]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出函数f（x）的单调减区间D，然后令[a﹣，a+]⊆D，由此构造不等式组即可．解：显然x＞0，且，由f′（x）＜0得，解得0＜x＜3．∵f（x）在区间[a﹣，a+]上单调递减，∴，解得．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p值等于0.3．ξ012P0.4p0.3【分析】由离散型随机变量ξ的分布列的性质能求出p．解：由离散型随机变量ξ的分布列得：0.4+p+0.3＝1，解得p＝0.3．故答案为：0.3．14．已知a是实数，是纯虚数，则a＝1．【分析】的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后实部为0，虚部不为0，解得a 即可．解：＝它是纯虚数，所以a＝1；故答案为：115．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）＝0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）＝0.954．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），得到正态曲线关于x＝0对称，根据P（ξ＞2）＝0.023，得到对称区间上的概率，从而可求P（﹣2≤ξ≤2）．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于x＝0对称，∵P（ξ＞2）＝0.023，∴P（ξ＜﹣2）＝0.023∴P（﹣2≤ξ≤2）＝1﹣0.023﹣0.023＝0.954，故答案为：0.95416．已知函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax，若函数f（x）图象上存在点P，且点P 关于x轴对称点Q在函数g（x）图象上，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．．【分析】由题意可知f（x）＝﹣g（x）有解，即y＝lnx与y＝ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．解：函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）＝﹣g（x）在（0，+∞）上有解，即lnx﹣x3＝﹣x3+ax在（0，+∞）上有解，∴lnx＝ax，在（0，+∞）上有解，分别设y＝lnx，y＝ax，若y＝ax为y＝lnx的切线，则y′＝，设切点为（x0，y0），则a＝，ax0＝lnx0，∴x0＝e，∴a＝，结合图象可知，a≤．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2+3m﹣28）i（i是虚数单位），当实数m为何值时．（1）复数z对应的点在第四象限；（2）复数z＜0．【分析】（1）由实部大于0，虚部小于0联立不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解m值．解：（1）由题意，，解得﹣7＜m＜3；（2）由z＜0，得，解得m＝4．18．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求项数n；（2）求展开式中的常数项与二项式系数最大的项．【分析】（1）等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n；（2）直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r，则展开式中常数项可求；再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，前三项系数的绝对值分别为1，，，∴2×＝1+，即n2﹣9n+8＝0，求得n＝1（舍去），或n＝8．（2）二项式，即，它的通项公式为T r+1＝••，令8﹣＝0，可得r＝6，故展开式的常数项为T7＝•＝．二项式系数为，故当r＝4时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为T5＝••＝70．19．调查男、女乘客在一次恶劣天气的飞行航程中晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机．（1）完成下面2×2列联表；晕机不晕机总计男性女生总计（2）根据此材料能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机？附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据列联表中数据计算K2，对照附表得出结论．解：（1）根据题意，完成下面2×2列联表；晕机不晕机总计男性243155女生82634总计325789（2）根据列联表中数据，计算K2＝≈3.689＜6.635，对照附表知，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机．20．已知函数f（x）＝2lnx﹣2ax+a（a∈R）．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx﹣4x+2，∴，…（1分）∴f'（1）＝﹣2，f（1）＝﹣2，．…∴曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为：2x+y＝0；…（2）∵…若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；…若a＞0，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；…当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．．…21．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力．【分析】（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望．（Ⅱ）因为P（ξ≥2）＞P（η≥2），从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：ξ123P∴E（ξ）＝＝2．因为η～B（3，），所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望E（η）＝3×＝2．（Ⅱ）因为P（ξ≥2）＝＝，P（η≥2）＝＝，所以P（ξ≥2）＞P（η≥2），从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．22．设函数f（x）＝﹣2ax+3lnx（a∈R，0＜a＜3）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣5xlnx+3lnx﹣恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝2代入函数解析式，求出导函数，可得函数的单调区间，进一步求得极值；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣5xlnx+3lnx﹣恒成立，转化为a在[1，+∞）上恒成立．令g（x）＝，利用导数求最值得答案．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a＝2时，f（x）＝﹣4x+3lnx，f′（x）＝x﹣4+＝．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴当x＝1时，f（x）取得极大值为f（1）＝﹣，当x＝3时，f（x）取得极小值为f（3）＝3ln3﹣；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣5xlnx+3lnx﹣恒成立，即，也就是a在[1，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝．∵x∈[1，+∞），∴x2+10x﹣3＞0，即g′（x）＞0．可知g（x）在[1，+∞）上为增函数．∴g（x）≥g（1）＝．又0＜a＜3，∴0＜a＜1．。
吉林省松原市2019-2020学年数学高二下期末统考试题含解析
吉林省松原市2019-2020学年数学高二下期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义在R 上的函数1()()12x mf x -=-为偶函数，记0.52(log 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c <<D ．c b a <<2．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个3．b 是区间22,22⎡-⎣上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率为( ) A ．13B ．34C ．12D ．144．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线与直线410x y ++=垂直，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(2,8)D ．(2,8)或(1,4)--5．已知向量(2,1)a =--r ，(3,2)b =r ，则2a b =-r r （ ）A ．(6,4)--B ．(5,6)--C ．(8,5)--D ．(7,6)--6．已知,x y 满足2ln y x x =-，其中1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则x y -的最小值为（ ）A ．2111e e++ B ．21e e +- C ．3ln 24+ D ．17．已知函数2y x =-M ，集合(){}lg 1N x y x ==-，则M N =I ( )A ．[)0,2B ．()0,2C ．[)1,2D ．(]1,28．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的22⨯列联表：看书运动合计根据表中数据，得到2256(8121620) 4.66728282432K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，所以我们至少有（ ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：2 3.84()10.05P K ≥≈，2( 6.635)0.01≥≈P K ） A ．99%B ．95%C ．1%D ．5%9．从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有()种 A ．1190B ．420C ．560D ．336010．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，如果M 、N 分别为1A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的大小为（ ）A ．arccos2B ．arccos10C ．3arccos5D ．2arccos511．已知()21x x f x =-，()2xg x =则下列结论正确的是 A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数 C ．()()()h x f x g x =是奇函数 D ．()()()h x f x g x =是偶函数12．用数学归纳法证明不等式：11111231n n n +++>+++L ，则从n k =到 1n k =+时，左边应添加的项为（ ）A ．132k + B ．134k + C ．11341k k -++D ．11113233341k k k k ++-++++二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x =-的定义域为________. 14．以下4个命题中，所有正确命题的序号是______.①已知复数()12i z i i +=-，则z =②若()727012731x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1234567127a a a a a a a ++++=++③一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中男运动员有16人；④若离散型随机变量X 的方差为()3D X =，则()2112D X -=.15．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______. 16．若关于x 的不等式24log xa x <（0a >，且12a ≠）的解集是1{|0}2x x <<，则a 的取值的集合是_________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，通项公式13-=n n a ，数列{}n b 的通项公式为26n b n =-. （1）若1n nc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T 及lim n n T →∞的值； （2）若1(5)(7)n n n e b b =++，数列{}n e 的前n 项和为n E ，求1E 、2E 、3E 的值，根据计算结果猜测n E 关于n 的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数n ，若1()2n n S t b n +>+恒成立，求t 的取值范围. 18．如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . （1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为5.19．（6分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(2,0)F -左顶点1(4,0)A -.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 已知(2,3)P ，(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.若APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.20．（6分）在ABC ∆中，已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=. （1）求角C 的余弦值； （2）若5BC =，AB 边上的中线2CD =，求ABC ∆的面积.21．（6分）小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间X （分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望()EX ；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过()E X 的天数为Y ，求Y 的分布列及数学期望. 22．（8分） [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为3(1cos )23sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为121x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），且l 与曲线M 交于A ，B 两点.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线M 的极坐标方程； （2）已知点P 的极坐标为)4π，若PA PB >，求PA PB -.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=1()12x-，这样便知道f （x ）在[0，+∞）上单调递减，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：0.5(|log 2|)a f =，()2log 1.5b f =，()0c f =，然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．详解：∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）.∴11()1()122x mx m----=-，∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|，∴（﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2，∴mx=0， ∴m=0. ∴f （x ）=1()12x-∴f （x ）在[0，+∞）上单调递减，并且0.5(|log 2|)a f ==2(log 2)(1)f f =,()2log 1.5b f = ,c=f （0）,∵0＜log 21.5＜1 ∴a b c <<,故答案为C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f （x ）=1()12x-的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，u x =是增函数，1()2u v =是减函数，1t v =-是增函数，所以函数1()()12xf x =-是(0,)+∞上的减函数. 2．B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B ．考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 3．C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【详解】解：b 是区间22,22⎡-⎣上的随机数.即2222b -≤≤42由直线y x b =-+与圆221x y +=12b ≤，22b ∴-≤，区间长度为2直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率221242P ==，本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解． 4．B 【解析】试题分析：设()00,P x y ，()()322000()2313141f x x x f x x f x x x =+-∴=+∴=+=∴'=±'00y ∴=或04y ∴=-，点P 的坐标为(1,0)或(1,4)--考点：导数的几何意义 5．C 【解析】 【分析】由已知向量的坐标运算直接求得2a b -r r 的坐标．【详解】∵向量a =r（-2，﹣1），b =r（3，2），∴2(2,1)2(3,2)(8,5)a b -=---=--r r.故选C. 【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】令()2ln f x x y x x x =-=-+，利用导数可求得()f x 单调性，确定()min 12f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到结果. 【详解】令()2ln f x x y x x x =-=-+，则()()()221112112x x x x f x x x x x-++-'=-+==. 1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，由()0f x '<得：11,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；由()0f x '>得：1,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x ∴在11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 13ln 224f x f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，即x y -的最小值为3ln 24+.本题考查函数最值的求解问题，关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定最值点. 7．D 【解析】20x -≥,解得2x ≤，即{}2M x x =≤，{}1N x x =>，所以{}12M N x x ⋂=<≤，故选D.8．B 【解析】 【分析】利用2K 与临界值比较，即可得到结论. 【详解】结合题意和独立性检验的结论，由2 4.667 3.841K ≈>，23.84()10.05P K ≥≈，故这种判断出错的可能性至多为0.05，即005， 故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系. 故选：B 【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据分类计数原理和组合的应用即可得解. 【详解】要求参赛的3人中既有男生又有女生,分为两种情况： 第一种情况：1名男生2名女生，有12106C C 种选法； 第二种情况：2名男生1名女生，有21106C C 种选法，由分类计算原理可得1221106106420C C C C +=.故选B.【点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题. 10．B 【解析】作出图形，取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，证明四边形CNME 为平行四边形，计算出AME ∆的三边边长，然后利用余弦定理计算出cos AME ∠，即可得出异面直线AM 与CN 所成角的大小. 【详解】 如下图所示：取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，M Q 、N 分别为1BB 、1A B 的中点，则11//MN A B ，且111122MN A B ==， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B CD ，E Q 为CD 的中点，11//CE A B ∴且111122CE A B ==，则//MN CE ， 所以，四边形CNME 为平行四边形，//CN ME ∴， 则异面直线AM 与CN 所成的角为AEM ∠或其补角. 在AME ∆中，11222AM A B ==2252ME CN BC BN ==+=， 225AE AD DE =+=. 由余弦定理得22210cos 2AM ME AE AME AM ME +-∠==⋅. 因此，异面直线AM 与CN 所成角的大小为10. 故选B. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题. 11．A 【解析】因为(),()212x x x f x g x ==-，所以()()()212x x xF x f x g x =+=+-，又2()()()2(21)xx G x f x g x =⋅=-，故2()(),()()2(21)x x G x G x G x G x --=≠-≠--，即答案C ，D 都不正确；又因为211111()()(1)()212122122221x x x x xx x F x F x ----=+=-+=--++=+=---- ，所以应选答案A ． 12．D 【解析】 【分析】将n k =和1n k =+式子表示出来，相减得到答案. 【详解】n k =时：11111231k k k +++>+++L 1n k =+时：11111112331323334k k k k k k ++++++>++++++L 观察知： 应添加的项为11113233341k k k k ++-++++答案选D 【点睛】本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．[)()1?22-⋃+∞，， 【解析】12y x =-的定义域是,102x x +≥⎧⎨≠⎩ ,故得到函数定义域为12x x ≥-⎧⎨≠⎩取交集[)()1,22,-⋃+∞， 故答案为[)()1,22,-⋃+∞. 14．①③④ 【解析】 【分析】根据复数的模的运算可知z z ==，①正确；代入0x =，1x =，所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确.【详解】①()11212i i z i i i ++==-+，则111212i i z z i i ++=====++，①正确； ②令0x =，则()7011a =-=-；令1x =，则0123456772a a a a a a a a +++++=++1234567721129a a a a a a a ∴+++++=+=+，②错误；③抽样比为：28256427=+，则男运动员应抽取：256167⨯=人，③正确；④由方差的性质可知：()()2143412D X D X -==⨯=，④正确. 本题正确结果：①③④ 【点睛】本题考查命题的真假性的判断，涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识，属于中档题. 15．0 【解析】 【分析】先化简求得z 再计算实部和虚部的和即可. 【详解】()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+,故实部和虚部之和为110-=. 故答案为：0 【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.16．4⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】 由题意可得当x=12时，4x =log 2a x ，由此求得a 的值． 【详解】∵关于x 的不等式4x ＜log 2a x （a ＞0，且a ≠12）的解集是{x|0＜x ＜12}，则当x=12时，4x =log 2a x ，即 2=log 2a 12，∴（2a ）2=12，∴2a=2，∴a=4，故答案为4⎪⎪⎩⎭． 【点睛】 本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）31[1()]23n n T =-，3lim 2n n T →∞=；（2）113E =，225E =，337E =，21n n E n =+；证明见解析（3）72(,)3t ∈+∞. 【解析】【分析】（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。
吉林省吉林市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
吉林省吉林市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7?k =B ．6?k ≤C ．6?k <D ．6?k >【答案】D 【解析】分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S 的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件． 详解：框图首先给累加变量S 赋值1，给循环变量k 赋值1． 判断1＞6，执行S=1+1=11，k=1﹣1=9； 判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8； 判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7； 判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6； 判断6≤6，输出S 的值为35，算法结束． 所以判断框中的条件是k ＞6？． 故答案为:D.点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题． 2．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===L ，则数列{}n x 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。
【详解】根据题意，02πα<<，则0sin 1a <<，指数函数(sin )x y a =为减函数1sin 0(sin )(sin )(sin )1a a a a ∴<<=即110(sin )1xx a <<<2110(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x a a a a ∴<<<=即13201x x x <<<<32110(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x x a a a a a ∴<<<<=即134201x x x x <<<<<324110(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x x x a a a a a a ∴<<<<<=即1354201,,x x x x x <<<<<<L1357864201x x x x x x x x <<<<<<<<<<L ，数列{}n x 是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C. 【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。
2020年吉林省松原市数学高二第二学期期末检测试题含解析
2020年吉林省松原市数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知函数()13x f x -=-,若32(1og )2f a =,则a =( ) A ．13 B ．14 C ．12 D ．2【答案】D【解析】分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.详解：根据题意有3log 312(log )1312a f a a -=-=-=， 解得2a =，故选D.点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.2．定义语句“mod r m n =”表示把正整数m 除以n 所得的余数赋值给r ，如7mod31=表示7除以3的余数为1，若输入56m =，18n =，则执行框图后输出的结果为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的m 的值.【详解】第一次进入循环，因为56除以18的余数为2，所以2r ，18m =，2n =，判断r 不等于0，返回循环；第二次进入循环，因为18除以2的余数为0，所以0r =，2m =，0n =，判断r 等于0，跳出循环，输出m 的值为2.故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121222IPF IPF IF F SS S -≥成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．（1）B ．（1，）C ．（1，]D ．（1] 【答案】D【解析】【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．【详解】 设12PF F ∆的内切圆的半径为r ，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥, 由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==，所以2a ≥，即c a ≤又由1c e a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．4．已知A （2，0），B （0，1）是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线()0y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为（ ）A ．23B ．38C ．23或38D ．23或34【答案】C【解析】【分析】依题可得椭圆的方程，设直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，()()()001122,,,,,D x ky E x ky F x ky ，且12,x x 满足方程()22144k x +=，进而求得2x 的表达式，根据6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k ．【详解】 依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，()0y kx k =>．设()()()001122,,,,,D x ky E x ky F x ky ，其中12x x <，且12,x x 满足方程()22144k x +=，故21x x =-=，由6ED DF =，知()01206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+== 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =+．所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． 故选C ．【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．5．在空间直角坐标中，点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D 【答案】B【解析】【分析】利用空间坐标的定义，即可求出点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离.【详解】点()1,2,3P ---,由空间坐标的定义.点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离为2.故选：B【点睛】本题考查空间距离的求法，属于基础题.6．已知函数()ln (1)22f x x a x a =+-+-.若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( )A ．(]1ln3,0-B ．(]1ln3,2ln 2-C ．(]0,1ln 2-D ．(]1ln3,1ln 2-- 【答案】D【解析】【分析】将问题变为2ln 2ax a x x ->--，即()()h x g x >有3个整数解的问题；利用导数研究()g x 的单调性，从而可得()g x 图象；利用()h x 恒过点()2,0画出()h x 图象，找到有3个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由()0f x >得：()ln 1220x a x a +-+->，即：2ln 2ax a x x ->--令()()ln 20g x x x x =-->，()()20h x ax a x =-> ()()1110x g x x x x-'∴=-=> 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>()g x ∴在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增()()min 11g x g ∴==-，且()31ln30g =-<，()422ln 20g =->由此可得()g x 图象如下图所示：由()()22h x ax a a x =-=-可知()h x 恒过定点()2,0不等式()0f x >的解集中整数个数为3个，则由图象可知：()()()()()()()()11223344h g h g h g h g ⎧>⎪>⎪⎨>⎪⎪≤⎩，即102ln 221ln 3222ln 2a a a ->-⎧⎪>--⎪⎨>-⎪⎪≤-⎩，解得：(]1ln3,1ln 2a ∈-- 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系.7．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++ （x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A ．8万斤B ．6万斤C ．3万斤D ．5万斤 【答案】B【解析】【分析】 销售的利润为321911()181622g x x ax x x =-++--，利用(2) 2.5g =可得a ，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为()g x ，由题意，得321911()181622g x x ax x x =-++--，(]0,8x ∈ 即3219()8161g x x ax =-+-，当2x =时，95(2)1142g a =-+-=，解得2a =， 故3219()1,88g x x x =-+-23()8g x x '=-+93(6)48x x x =--， 当(0,6)x ∈时，'()0g x >，当(6,8)x ∈时，)'(0g x <，所以函数()g x 在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以6x =时，利润最大，故选B.【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤． 8．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ）A ．12 B．3 C ．3 D ．6 【答案】C【解析】【分析】作出相关图形，设正方体边长为1，求出11B C 与平面11A BC 所成角正弦值即为答案.【详解】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为11A BC ∆的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1，显然36=2=BO ⨯，因此2163=1()=33B O -，则1111103sin B BC O B C ∠==，故答案选C.【点睛】本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.9．已知0a <，若43(2x x 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（ ） A ．1B ．8C ．24D ．32 【答案】B【分析】通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案.【详解】根据题意， 在43(2)x x -中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.10．已知椭圆2221(5)25x y a a +=> 的两个焦点为12,F F ,且128F F =,弦AB 过点1F ,则2ABF ∆的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，计算即可得到所求值．【详解】 由题意可得椭圆22x a +225y =1的b=5，c=4， a=22b c +=41，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ，即有△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=441．故选D ．【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题． 11．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式12．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．33C ．43D ．433【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为2的三棱锥∴三棱锥体积：11142223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：C【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.二、填空题：本题共4小题13．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去”丙说：“是丁去了”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是___________.【答案】甲【解析】【分析】分别假设是甲、乙、丙、丁去时，四个人所说的话的正误，进而确定结果.若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故答案为：甲.【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.14．已知正整数n ，二项式322()n x x+的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________ 【答案】4.【解析】分析：根据二项式呃展开式得到第r+1项为3512r r n r r n T C x -+=⋅⋅，357,,n r n r z =+∈，对r,n 赋值即可. 详解：二项式322n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第r+1项为3512r r n r r n T C x -+=⋅⋅ 则357,,n r n r z =+∈，当r=1时，n=4。
2019-2020学年吉林省松原市数学高二下期末统考试题含解析
2019-2020学年吉林省松原市数学高二下期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计，统计结果如下表：附：根据表格计算得2K 的观测值8.249k ≈，据此判断下列结论正确的是（ ） A ．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”B ．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”D ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关” 【答案】C 【解析】 【分析】根据2K 的意义判断． 【详解】因为6.6358.24910.828<<，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”， 故选：C. 【点睛】本题考查独立性检验，属于简单题．2．已知点P 在椭圆221123x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF 等【答案】A 【解析】由题意可得212PF F F ⊥，设P 2(,)bc a，且3a b c ===，所以12PF PF =222b a a b a-=222224373a b b --==，选A. 【点睛】若1(,0)F c -，2F (,0)c 是椭圆的左、右焦点，且212PF F F ⊥，则点P 的坐标为2(,)b c a±．3．若动点(),P x y 与两定点(),0M a -，(),0N a 的连线的斜率之积为常数()0k ka ≠，则点P 的轨迹一定不可能．．．是 （ ） A ．除,M N 两点外的圆 B ．除,M N 两点外的椭圆 C ．除,M N 两点外的双曲线 D ．除,M N 两点外的抛物线【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得x 和y 的关系式，对k 的范围进行分类讨论，分别讨论0,0k k ><且1k ≠-和1k =-时，可推断出点P 的轨迹. 【详解】因为动点(),P x y 与两定点(),0M a -，(),0N a 的连线的斜率之积为常数k ， 所以y yk x a x a⋅=+-，整理得222y kx ka -=-， 当0k >时，方程的轨迹为双曲线； 当k 0<时，且1k ≠-方程的轨迹为椭圆； 当1k =-时，点F 的轨迹为圆，∴抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1 ,故P 点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D . 【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题就是利用方法①求动点P 的轨迹方程的.4．设m R ∈，命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程2x m =有实根，则m 0≥ B ．若方程2x m =有实根，则m 0< C ．若方程2x m =没有实根，则m 0≥ D ．若方程2x m =没有实根，则m 0<【答案】D 【解析】 【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案． 【详解】命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是命题“若方程2x m =没有实根，则m 0<”， 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题． 5．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ） A ．必在圆M 外 B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可. 【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆.若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++=故()11x ayy x a-=-⎧⎨=+⎩ ,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-.则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型. 6．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对 B ．30对C ．48对D ．60对【答案】C 【解析】试题分析：在正方体''''ABCD A B C D -中，与上平面''''A B C D 中一条对角线''A C 成60的直线有''BC B C ，，','A D AD ，','A B AB ，','D C DC 共八对直线，与上平面''''A B C D 中另一条对角线60的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有166⨯对直线，去掉重复，则有166=482⨯对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = 9()a a ⨯+8．.已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a = B ．912392a a a a ++++=C ．123929a a a a =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题. 9．已知()()31303f x x xf '=+，则()1f '的值为（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数求得()0f '，从而得到()2f x x '=，代入1x =得到结果.【详解】由题意：()()230f x x f ''=+，则()()0030f f ''=+解得：()00f '= ()2f x x '∴=()11f '∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过导函数求得()0f '，从而确定导函数的解析式. 10．内接于半径为R 的半圆且周长最大的矩形的边长为（ ）．A ．2R 和32RB ．45R 和75RC ．5R 和165RD ．5和5作出图像,设矩形ABCD ,圆心为O ,AOB θ∠=,再根据三角函数关系表达矩形的长宽,进而列出周长的表达式,根据三角函数的性质求解即可. 【详解】如图所示：设矩形ABCD ,AOB θ∠=, 由题意可得矩形的长为2cos R θ,宽为sin R θ,故矩形的周长为()4cos 2sin 25sin R R θθθϕ+=+,其中,sin ,cos 55ϕϕ==. 故矩形的周长的最大值等于25,此时,()sin 1θϕ+=.即cos sin 155θθ+=,再由22sin cos 1θθ+=可得cos ,sin 55θθ==, 故矩形的长为452cos R R θ=,宽为5sin RR θ=, 故选：D . 【点睛】本题主要考查了根据角度表达几何中长度的关系再求最值的问题,需要根据题意设角度,结合三角函数与图形的关系求出边长,再利用三角函数的性质求解.属于中档题.11．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（ ）A ．27πB ．1174π C ．48916π D ．51916π 【答案】B 【解析】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱111ABC A B C -，如图所示：设外接球大圆的半径为R ，222(2)(63)6117R =++=.117R =，所以外接球的大圆面积为1174π. 故选：B 【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题.12．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+. 二、填空题：本题共4小题 13．已知1cos32π=21coscos554ππ=231cos cos cos 7778πππ=【答案】21cos coscos2121212n n n n n πππ=+++ 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案：21coscoscos2121212n n n n n πππ=+++ 考点：归纳推理．14．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】81125【解析】该同学通过测试的概率为22333381·0.6?0.4?0.6125C C +=，故答案为81125. 15．已知12...a a 10a 为数字0，1，2，…，9的一个排列，满足123456a a a a a a ++=++=78910a a a a +++，且123a a a <<，则这样排列的个数为___（用数字作答）． 【答案】3456 【解析】 【分析】先计算总和为45，将相加为15的3数组罗列出来，计算每个选法后另外一组的选法个数，再利排列得到答案. 【详解】0，1，2，…，9所有数据之和为451234567891015a a a a a a a a a a ++=++=+++=相加为15的3数组有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0,6,9,0,7,8,1,5,9,1,6,8,2,4,9,2,5,8,2,6,7,3,4,8,3,5,7,4,5,6当123a a a 选择{}0,6,9后，456a a a 可以选择{}2,5,8，{}3,4,8，{}3,5,73种选择 同理可得：分别有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24种选择456a a a 有33A 种排列78910a a a a 有44A 种排列共有3434243456A A ⨯⨯=中选择.故答案为3456 【点睛】本题考查了排列组合的计算，将和为15的数组罗列出来是解题的关键.16．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________. 【答案】4445【解析】 【分析】设事件A 表示甲考试合格，事件B 表示乙考试合格，计算出()P A 、()P B ，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()1P P AB =-，由此能求出结果. 【详解】设事件A 表示甲考试合格，事件B 表示乙考试合格，则()32166431023C C C P A C +==，()3218823101415C C C P B C +==. 则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()21444111131545P P AB ⎛⎫⎛⎫=-=--⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：4445. 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2019-2020学年吉林省松原市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） A ．310 B ．10 C ．10- D ．310- 【答案】C【解析】 试题分析：设22,2,5sin cos ,sin ,cos cos 255AD a AB a CD a AC a A ααββ=⇒===⇒====⇒ 10cos()αβ=+=-,故选C.考点：解三角形.2．函数，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到，计算的最小值得到答案. 【详解】不妨设，，可得：.令，则在单调递减，所以在上恒成立，， 当时，， 当时，，则， 所以在单调递减，是，所以.【点睛】 本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数是解题的关键.3．已知函数10,0()lg ,0x x f x x x ⎧<=⎨>⎩，()()2g x f x x m =+-，若()g x 存在2个零点，则m 的取值范围是（） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】【分析】由于()g x 有两个零点，则()f x 图象与2y x m =-+有两个交点，作出图象，讨论临界位置.【详解】作出()f x 图象与2y x m =-+图象如图：当2y x m =-+过点(0,1)时，1m =，将2y x m =-+向下平移都能满足有两个交点，将2y x m =-+向上平移此时仅有一个交点，不满足，又因为(0,1)点取不到，所以(,1)m ∈-∞.【点睛】分段函数的零点个数，可以用数形结合的思想来分析，将函数零点的问题转变为函数图象交点的个数问题会更加方便我们解决问题.4．已知随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ） A ．11009 B ．12018 C ．14 D ．12【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的性质求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，所以分布列关于2018ξ=对称， 又所有概率和为1，所以1(2018)2P ξ<=. 故选D.【点睛】本题考查正态分布的性质.5．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -=A ．3B C ．D ．【答案】B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.6．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是A ．24B ．32C ．36D ．48【答案】A【解析】【分析】特殊元素优先排，相邻元素捆绑排，然后再分析剩余元素的排列.【详解】先排5,6，方法有：222A =种；将1,2捆绑在一起，方法有：222A =种；将1,2这个整体和3以及4全排列，方法有：336A =种，所以六位数的个数为：22322324A A A =个， 故选：A.【点睛】本题考查排列组合的简单应用，难度一般.在排列组合的过程中，一般我们要注意：特殊元素优先排，相邻元素捆绑排这样一个原则.8．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度【解析】【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误．【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．9．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( )A ．11e +B ．1C ．1e +D ．1e -【答案】D【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值.详解：由题得()1,x f x e =-'令10,0.x e x -=∴= 因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x L ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x L ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.10．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2B ．1+s ，2C ．1，2+sD ．1+s ，2+s【答案】B【解析】由题意利用均值和方差的性质即可确定新的数据的方差和均值.【详解】由题意结合均值、方差的定义可得：数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为1s +,2122⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查离散型数据的均值与方差的性质和计算，属于中等题.11．复数()()32i i ++的实部与虚部分别为（ ）A ．5，5B ．5，5iC ．7，5D ．7，5i【答案】A【解析】分析：化简即可得复数的实部和虚部.详解：()()2326555i i i i i ++=++=+ ∴复数()()32i i ++的实数与虚部分别为5，5.故选A.点睛：复数相关概念与运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．12．若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[]1,2B ．[]1,4C ．[]2,4D ．[]1,3 【答案】B【解析】分析：根据约束条件画出平面区域，再将目标函数2z x y =+转换为2y x z =-+，则z 为直线的截距，通过平推法确定z 的取值范围.详解：（1）画直线1x y +=，-1y x =和1x =，根据不等式组确定平面区域，如图所示.（2）将目标函数2z x y =+转换为直线2y x z =-+，则z 为直线的截距.（3）画直线2y x =-，平推直线，确定点A 、B 分别取得截距的最小值和最大值.易得(0,1)A ,联立方程组11x y x =⎧⎨-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩，B 坐标为(1,2) （4）分别将点A 、B 坐标代入2z x y =+，min 1z =，max 4z =∴2z x y =+的取值范围是[]1,4故选B.点睛：本题主要考查线性规划问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数z ax by =+型线性规划问题解题步骤：（1）确定可行区域（2）将z ax by =+转化为-a z y xb b =+，求z 的值，可看做求直线a z y x b b =-+，在y 轴上截距z b 的最值。
（3）将a y x b =-平移，观察截距z b最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。
（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z 。
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N . 【答案】(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-【解析】【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.14．已知直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，O 为极点，点A 在直线l 上，线段OA 上的点B 满足8OA OB ⋅=，则点B 的轨迹的极坐标方程为_______________. 【答案】=4sin (0)ρθρ>【解析】【分析】 设B 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，A 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>，将点A 的坐标代入直线l 上得出1sin 2ρθ=，由8OA OB ⋅=，得18ρρ=，得18ρρ=，代入1sin 2ρθ=后化简看得出答案。