2016届湖北省沙市中学高三下学期第三次半月考数学(文)试题

2016届湖北省沙市中学高三下学期第三次半月考数学（文）试题考试时间：2016年4月8日第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）i ．设集合},12|{},12|{A x y y B xx A x ∈-==>=，则()R A C B ⋂等于（ ） A.)2,3( B. )2,3[ C. )3,0( D. )2,0(ii ．新定义运算：c a d b =bc ad -，则满足 1 i zz-=2-的复数z 是（ ）A.i -1B. i +1C.i +-1D. i --1iii ．已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．()-10-61-3B ．()-1011-39C ．()-1031-3 D ．()-1031+3iv ．下列判断错误的是（ ）A ．若q p ∧为假命题，则q p ,至少之一为假命题B. 命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ” C ．“若c a //且c b //，则b a //”是真命题 D ．“若22bm am <，则b a <”的否命题是假命题v ．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图 如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A.314 B.4 C.310D.3 vi ．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 坐标 为( )A .)3,3(- B.(4,11)- C .)3,3(-或)11,4(- D .不存在vii ．已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（ ）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．0viii ．在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221x y z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为 A ．8π B ．6πC ．4π D ．3πix ．已知函数()()cos 2f x x φ=+ (0φπ<<)，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递减区间是（ ） A.,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ B.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D. ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ x ．已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，060A ∠=，3BC =，ABC PA 面⊥，23PA =，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．163π B. 43π C.323πD. 16π xi ．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2. 若以A A 为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B ，则双曲线的离心率为（ ）A ．152+ B ．352+ C ．122+ D ．322+ xii ．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)16f x f x ++=，当(]0,4x ∈时，2()2x f x x =-，则函数()f x 在[]4,2016-上的零点个数是（ ）A ．504B ．505C ．1008D ．1009第Ⅱ卷（非选择题共90分,其中22-24题三选一）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）xiii ．若数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的标准差为2，则数3a 1﹣2，3a 2﹣2，3a 3﹣2，3a 4﹣2，3a 5﹣2的方差为 ．xiv ．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为 ．xv ．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 分别是离心率为e 的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m ＞n ＞0时，有e •（sinA+sinB ）=sinC ．类似地，当m ＞0、n ＜0时，有e •（ ）=sinC ．xvi ．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且3cos 3cos b C c B a -=，则tan()B C -的最大值为 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）xvii ．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，233227,S a S q a +==. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)设数列{}n c 满足92n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .xviii ．（本小题满分12分）某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：(1)面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率． (3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．xix ．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD . （1）证明：AC ⊥平面EFBD ；（2）若210=BF ，求多面体ABCDEF 的体积. xx ．（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；CAP（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．xxi ．（本小题满分12分）设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 选做题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分xxii ．（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲如图所示,直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，直径OP BC ⊥，连结AB 交PO 于点D . （1）证明：PD PA =；（2）证明：OC AD AC PA ⋅=⋅xxiii ．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．xxiv ．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R . （1）求m 、n 的值；（2）若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3.高三年级下学期第三次半月考文数答案1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．D 11．A 12．B 13．36 14．15．sin sin sin e A B C -= 1617．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎩⎪⎩⋅ 4分 13n n a -∴=，3n b n = ， ⋅ 6分()2由题意得：()332n n n S +=， ⋅ 8分 ()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ ⋅ 10分 1111133[(1)()()]22311n nT n n n =-+-++-=++ ⋅ 12分.18．(1)茎叶图………………3分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4分 (2)设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P ＝1－P (A )(B )＝1－410×510＝45. ………………7分(3)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则|x －y |<0.8， 得－0.8＋x <y <0.8＋x . ………………8分如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4. 16， ………………10分 所以，甲，乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为 4.161040.4629225p ==≈ 19．（Ⅰ）因为ABCD 为正方形，所以,BD AC ⊥ …………………2分又平面⊥EFBD 平面ABCD ，平面EFBD ⋂平面ABCD =BD又所以⊥AC 平面EFBD …………………5分（Ⅱ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，易得OD EF OD EF =,//，所以四边形EFOD 为平行四边形，故BOF ∆为等腰三角形.取OB 中点M 点，连接MF ，则BD MF ⊥14BM BD ==210=BF ，所以MF ==………………8分又因为222==BD EF ，所以AO MF BD EF V V EFBD A ABCDEF ⨯⨯+⨯⨯⨯==-)(213122 2222)222(21312=⨯⨯+⨯⨯⨯= ………………12分20．解答：（Ⅰ）设点200(,)2x P x p ，由22x py =得22x y p=，求导'x y p =，因为直线PQ 的斜率为1，所以1x p=且200102x x p --=，解得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． ………4分 （Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则121200,,22x x y y x y ++== ()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--， 即02(4)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,4). ………6分 联立0022002:2()228024x AB y x x xxx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得2200044(28)0x x x ∆=--⇒-＞＜AB12x =-=………8分 设()4,0C 到AB的距离d CM =12ABC S AB d ∆∴=⋅8=， ………10分 当且仅当22004162x x +=-，即20±=x 时取等号，ABC S ∆∴的最大值为8. ……12分21．解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a1－a >1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0. f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．22．证明：（1） 直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，ACB PAB ∠=∠∴ BC 为圆O 直径，090=∠∴BACB ACB -=∠∴090，OP OB ⊥ B BDO ∠-=∠∴090，又PDA BDO ∠=∠，B PDA PAD ∠-=∠=∠∴090 ⋅ 5分 （2）连结OA ，由（1）得ACO PDA PAD ∠=∠=∠ACO OAC ∠=∠ PAD ∆∴∽OCA ∆，ACADOC PA =∴∴OC AD AC PA ⋅=⋅23：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.24解：①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧|9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝01－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3， 4分 经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R . 5分 ②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，i ．B ii ．C iii ．Civ ．C v ．B vi ．Bvii ．A viii ．B ix ．D x ．D xi ．A xii ．B xiii ．36 xiv ．xv ．xvi xvii ．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎩⎪⎩⋅ 4分 13n n a -∴=，3n b n = ， ⋅ 6分()2由题意得：()332n n n S +=， ⋅ 8分 ()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ ⋅ 10分 1111133[(1)()()]22311n nT n n n =-+-++-=++ ⋅ 12分.xviii ．(1)茎叶图………………3分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4分 (2)设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P ＝1－P (A )(B )＝1－410×510＝45. ………………7分(3)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则|x －y |<0.8， 得－0.8＋x <y <0.8＋x . ………………8分如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4. 16， ………………10分xix ．（Ⅰ）因为ABCD 为正方形，所以,BD AC ⊥ …………………2分 又平面⊥EFBD 平面ABCD ，平面EFBD ⋂平面ABCD =BD又所以⊥AC 平面EFBD …………………5分（Ⅱ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，易得OD EF OD EF =,//，所以四边形EFOD 为平行四边形，故BOF ∆为等腰三角形.取OB 中点M 点，连接MF ，则BD MF ⊥14BM BD ==210=BF ，所以MF ==………………8分又因为222==BD EF ，所以AO MF BD EF V V EFBD A ABCDEF ⨯⨯+⨯⨯⨯==-)(2131222222)222(21312=⨯⨯+⨯⨯⨯= ………………12分xx ．解答：（Ⅰ）设点200(,)2x P x p ，由22x py =得22x y p=，求导'x y p =，因为直线PQ 的斜率为1，所以1x p=且200102x x p --=，解得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． ………4分 （Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则121200,,22x x y y x y ++== ()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--， 即02(4)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,4). ………6分 联立0022002:2()228024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得2200044(28)0x x x ∆=--⇒-＞＜AB 12x =-= ………8分 设()4,0C 到AB的距离d CM =12ABC S AB d ∆∴=⋅8=， ………10分 当且仅当22004162x x +=-，即20±=x 时取等号，ABC S ∆∴的最大值为8. ……12分xxi ．解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<a a －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1， 故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0. f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <a a －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意． (iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意． 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．xxii ．证明：（1） 直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，ACB PAB ∠=∠∴BC 为圆O 直径，090=∠∴BACB ACB -=∠∴090，OP OB ⊥ B BDO ∠-=∠∴090，又PDA BDO ∠=∠，B PDA PAD ∠-=∠=∠∴090 ⋅ 5分（2）连结OA ，由（1）得ACO PDA PAD ∠=∠=∠ACO OAC ∠=∠ PAD ∆∴∽OCA ∆，ACAD OC PA =∴ ∴OC AD AC PA ⋅=⋅xxiii ．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.xxiv ．解：①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧|9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝01－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3， 4分 经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R . 5分②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，。