古诺寡头竞争模型计算题
寡头垄断例题
假设有两个寡头垄断厂商的行为遵循古诺模型，它们的成本函数分别为TC1=0.1Q12+20Q1+100000，TC2=0.4Q22+32Q2+20000。
两厂商生产一同质产品，其市场需求函数为Q=4000-10p。
根据古诺模型，试求（1）厂商1和厂商2的反应函数；（2）均衡价格和两个厂商的均衡产量;(3)厂商1和厂商2的利润解：（1）从反应函数的定义出发，每一个厂商的最优产量都是其他厂商产量的函数。
已知需求函数为Q=4000-10p，p=400-0.1Q; Q= Q1+ Q2 即：p=400-0.1 (Q1+ Q2)两厂商的总收益函数分别为：TR1=(400-0.1Q1+ Q2).Q1 =400 Q1-0.1Q12-0.1 Q1 Q2TR2=(400-0.1Q1+ Q2).Q2=400 Q2-0.1Q22-0.1 Q1 Q2Л1 = TR1-TC1 = 400 Q1-0.1Q12-0.1 Q1 Q2 -0.1Q12-20Q1-100000=380 Q1-0.2Q12-0.1 Q1 Q2-100000 Л2 =TR2-TC2 = 400 Q2-0.1Q22-0.1 Q1 Q2 -0.4Q22-32Q2-20000=368 Q2-0.5Q22-0.1 Q1 Q2-20000此两厂商要实现利润最大化，其必要条件为：∂Л1/∂Q1 =380 -0.4Q1-0.1Q2=0得：Q1 = 950-0.25 Q2同理：Q2 = 368-0.1 Q1(2) 均衡价格和均衡产量可由反应函数的交点求得。
联立求解得：Q1 = 950-0.25 Q2Q2 = 368-0.1 Q1Q1 =880；Q2 =280；Q= Q1+ Q2=1160。
代入需求函数Q=4000-10p，得：p = 284（3）Л=p. Q1 - TC1=548801Л2 = p. Q2 - TC2 =19200三大行业的HHI指数。
竞争策略-实例分析古诺双寡头竞争各模型(PDF7页)
∂π = 0 对 Q 求偏导 ∂Q ，即
100 − 2Q = 0
解得市场总利润最大时的总产量是： Qm = 50
-2-
垄断利润： 两个企业的合谋产量： 合谋利润：
π m = (130 − Qm )Qm − 30Qm = 2500 qm = Qm 2 = 25 π m 2 = 1250
⎧⎨⎩ qq12∗∗
= (a + c2 − 2c1) = (a + c1 − 2c2 )
3 3
假设两个企业具有相同的边际成本 c1 = c2 = c ，这时古诺模型的
均衡产量为
qc = q1 = q2 = (a − c) 3
均衡价格为
pc = p1 = p2 = (a + 2c) 3
均衡利润为
π c = π1 = π2 = (a − c)2 9
2. 用古诺各模型解决同一产出问题的原理及算法
2.1 古诺模型的原型
2.1.1 应用古诺模型原型的原理
古诺寡头垄断模型是产业组织理论中十分基本的模型，它是研究企业竞争策略等经济管
理问题的基础。设有两个企业生产完全可以替代的同质产品，它们在市场上进行产量竞争，
即相互提出自己的产量，以使利润达到最大。分别以 q1, q2 表示它们的产量，并记 Q = q1 + q2
− ci
− 2qi
=0
Ri (q j ) = qi = (a − q j − ci ) 2
-1-
（2）类似可得企业 j 关于企业 i 的产量的反应函数
Rj (qi ) = q j = (a − qi − c j ) 2
（3）两条反应曲线的交点即为纳什均衡，解得
2.3.2 利用不完全信息下的古诺模型解决实际问题
平新乔课后习题详解(第9讲--古诺(Cournot)均衡、Bertrand与不完全竞争)
平新乔《微观经济学十八讲》第9讲古诺(Cournot )均衡、Bertrand与不完全竞争1.考虑一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场的需求由p=10_Q给出。
这两家企业的成本函数分别为G =4 2Q,, C2 =3 3Q2。
(1)若两家企业串通追求共同的利润最大化，总的产量水平是多少？市场价格为多少？各自生产多少？各自利润多大？(2)若两家企业追求各自的利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自利润多大？市场价格多大？并给出各自的反应函数。
(3)若串通是非法的，但收购不违法。
企业1会出多少钱收购企业2？解：(1)若两家企业串通时，它们的目标是追求总利润的最大化，则总利润函数为：2 2 ■■:二p Q Q2 -G Q, -C2 Q2二-Q, 8Q, -2QQ2 -Q2 7Q2 -7利润最大化的一阶条件为：—= -2Q +8-2Q =0 QQ2 7-2Q =0Q上述两式无解，说明两家企业串通后只由一家企业生产，不存在两家企业同时生产的情况。
根据两家企业的成本函数可得MG =2 , MC2 =3。
由于两家企业的边际成本为常数，且企业1的边际成本小于企业2的边际成本，所以串通后所有的产量全部由企业1提供，故Q2 =0。
则总利润函数变为：2--Q ' 8Q1 - 7利润最大化的一阶条件为：—=-2Q +8 = 0 ,解得Q =4。
dQ1因此两家企业串通后，总的产量水平为Q r Q!・Q2=4；市场价格为p=10_Q=：6 ；企业1的利润为二1 =-Q12• 8Q1 -4 =12 ;企业2的利润为二1 =-3。
(2)由已知可得企业1的利润函数为：2 j-pQ1 - G Q1 二-Q1 8 -Q2 Q1 -4利润最大化的一阶条件为：卫匚=-2Q +8-Q2 =0，得企业1的反应函数为：Q1Q =4「0.5Q2类似的方法可以得到企业2的反应函数为：Q2 =3.5 - 0.5Q联立两企业的反应函数可以解得古诺均衡时每家企业的产量为：Q, =3 , 02^2。
假设有两个寡头垄断厂商的行为遵循古诺模型
假设有两个寡头垄断厂商的行为遵循古诺模型假设有两个寡头垄断厂商的行为遵循古诺模型，它们的成本函数分别为：TC 1=0．1Q+20 Q1+100000TC 2=0．4Q+32 Q2+20000这两个厂商生产一同质产品，其市场需求函数为：Q=4000-10P，试求：（1）厂商1和厂商2的反应函数。
（2）均衡价格和厂商1和厂商2的均衡产量。
（3）厂商1和厂商2的利润。
解：（1）要求厂商1和厂商2的反应函数，须先求二厂商的利润函数。
已知市场需求函数为Q =4000-10P ，可得P =400-0．1Q ，又因为Q = Q 1+ Q 2，因此，P =400-0．1Q =400-0．1（Q 1+ Q 2）。
因此，二厂商的利润函数分别为：π1=TR 1- TC 1= PQ 1- TC 1=[400-0．1（Q 1+ Q 2）] Q 1-（0．1Q 21+20 Q 1+100000）=400 Q 1-0．1 Q 21-0．1 Q 1Q 2-0．1 Q 21-20 Q 1-100000π2=TC 2- TC 2= PQ 2- TC 2=[400-0．1（Q 1+ Q 2）] Q 2-（0．4 Q 21+32 Q 1+20000）=400 Q 2-0．1 Q 22-0．1 Q 1Q 2-0．4 Q 21-32 Q 2-20000要使厂商实现利润极大，其必要条件是：11d πd Q =400-0．2Q 1-0．1Q 2-0．2 Q 1-20=0 （8—1）22d πd Q =400-0．2Q 2-0．1Q 1-0．2Q 2-32=0 （8—2）整理（8—1）式可得厂商1的反应函数为：Q 1=950-0．25 Q 2同样，整理（8—2）式可得厂商2的反应函数为：Q 2=368-0．1 Q 1（2）从两厂商的反应函数（曲线）的交点可求得均衡产量和均衡价格。
为此，可将上述二反应函数联立求解：12219500.253680.1Q Q Q Q =-⎧⎨=-⎩解上述方程组可得：Q 1=880，Q 2=280，Q =880+280=1160P =400-0．1×1160=284。
寡头竞争模型
q
c 2
R1 R2
((qq21cc))
可以看出，在古诺—纳会均衡中，每个企业都正确估计了对
手的产量（即
q1c
=
q1e
，
q
c 2
=
q
e 2
），从而获得自己的最大利
润
。
例1：
假设市场的需求函数为P=130-Q，P为 产品的市场价格，Q=q1+q2为市场供应 量，两家企业的边际生产成本为 MC1=MC2=10。求两企业在古诺均衡 状态下的产出、价格和利润？
三、存在N个企业时的古诺——纳什均衡
以上我们的分析是在两个企业的框架中进行的。下面我们考
虑存在 N 个企业时的古诺—纳什均衡。
假设产业中存在 N 个企业，这些企业符合古诺竞争一开始的
模型设定条件。将企业 i 的竞争对手的产出向量记为
q-i={q1, q2,……，qi-1,qi+1,…… ,qN}。
根据上面的分析，企业 1 面临的剩余需求曲线为
P=（130-q2）-q1
利润函数为π1=[（130- q2）- q1]q1-10 q1
利润最大化法则要求企业 1 的边际收益和边际成本满足
MR=MC，所以 130- q2-2q1=10
从而企业
1
的反应函数为
q1=60-
1 2
q2
同理，企业
2
的反应函数为
寡头竞争模型分类
博弈类型 决策变量
静态
产量 古诺模型
价格 伯川德模型
动态
斯塔克尔伯模型 价格领导模型
第一节 古诺竞争
古诺模型是19世纪著名的法国经济学家 Augustin Cournot于1838年发表的《对 财富理论的数学原理的研究》中提出。 古诺考虑两家相互竞争的矿泉水厂商如 何决定产量的问题。为简单起见，古诺 假设两家厂商进行的是静态博弈，即他 们同时决定产量大小。
塞洛浦圆周模型
>0，b>0）。
那么厂商1的利润函数为：
π1(p1, p2)=(p-c)·q1(p1, p2) （3.14）
其中q1为厂商1所面对的需求函数，这一需求函数
a bp1,
可以表示为：
q1
(
p1
,
p2
)
a
bp1
2 0,
,
p1 p2 p1 p2 p1 p2
（3.15）
同理，我们也可以得到厂商2的利润函数π2和 需求函数q2。
p为i 商店 的i 价格， 为qi 需求函数， i 。1, 2
商店1
商店2
0
x
1
图3-3 Hotelling模型示意图
（2）消费者均匀的分布于城市的 0,1区 间内，消
费者可以用 x 表[0,示1] ；消费者具有单位需求；记每
个消费者购买单位产品所支付的交通成本为 ，t则
对于 x 上[0任,1]意一点 的某个消费者来说，购买商店
函数，可得：
qc a (N 1)b
与
Qc Na (N 1)b
（3.9）
均衡价格与每家厂商的利润水平分别为：
pc a N 1
与
c i
(N
a2 1)2 b
（3.10）
2、进一步分析
第一，当N=1时，可得到完全垄断情况下的解。
第二，当N=2时，可得到古诺双寡头竞争的解。
二、伯川德模型
1
[a
b(q1
a
bq1 2b
)]q1
1 2
q1(a
bq1)
（3.20）
古诺竞争寡头垄断
上 厂商A 下
左 1，2
厂商B
右 0，1
2，1
1，0
博弈论与策略行为（4）：囚徒困境
什么是寡头垄断市场？（2）
• 与寡头垄断市场结构相联系，寡头厂商之间关系兼有竞争和串谋 的两面性。寡头厂商市场控制力大小和利润水平高低，取决于它 们之间行为的相互作用方式。如果它们更多采取合作和串谋而不 是竞争方式，寡头们有可能在在显著高于边际成本水平上制定价 格，从而获得丰厚利润。另一方面，寡头之间也可能发生激烈的 竞争，并降低它们获得的利润。
博弈论与策略行为（1）：学科概念
• 博弈论（Game Theory）又名对策论，游戏论。顾名思义，是 一门研究互动关系的游戏中参与者各自选择策略的科学，换言 之，是研究机智而理性的决策者之间冲突及合作的学科。博奕 论把这些复杂关系理论化，以便分析其中的逻辑和规律，并对 实际决策提供指导或借鉴。
• 一个所谓游戏至少需要三个要素：（1）博弈或游戏参加者。博 奕论分析假定参与者都是机智而理性的。（2）行动或策略空间。 博奕参与者必须知道他自己及其对手伙伴的策略选择范围，并 了解各种策略之间的因果关系。（3）有可评价优劣高下的决策 行为结果。博弈论用数字表示这类结果，并称之为支付 （Payoff).上述3部分描述了一个博弈的规则或结构。
博弈论与策略行为（9）：序列博弈
• 至此讨论的博弈是参与者同时选择。在序列博弈（Sequential Game)中，各 博弈方先后依次行动。下面支付矩阵描述了一个博弈，如果同时行动，它有两 个纳什均衡点（“甜，咸”与“咸，甜”）。假定厂商A可以先推出甜饼干 （如较快投入生产），我们就有了序列博弈：A先作决策，B随后选择。A决策 时必须考虑竞争者的理性反应：它知道不论自己推出那种饼干，B出于自身利 益会推出另一种。因而A推出甜饼干，B在给定A决策时选择咸饼干；给定B的 选择A的选择仍然最佳。结果两个纳什均衡点收敛为一个（下，左）。其中A 由于具有先行者优势（First Mover’s Advantage）而得到较大利益，
古诺模型
厂商预期它的选择，令
y1
y1e
，y2
y
e 2
可得
二元一次方程组：
y1
a
by2 2b
y2
a
by1 2b
将 y1 y2代入方程得：
y1*
a 3b
y
* 2
a 3b
整个行业的总产量：
y1*
y
* 2
2a 3b
趋向均衡的调整
y2 =厂商2
的产量
y
* 2
反应曲线 f1y2
yt4 1
,
y t4 2
yt2 1
量）
厂商1决定生产 y1（利润最大化产量）
于是总产量： y y1 y2e
价格则为： py p y1 y2e
利润最大化：
p y y c y max y1
1
e 2
1
关于厂商2的产量的任何既定预测
ye 2
而言，厂商1
都有某个最优的产量选择 y1 .
于是可得：
y1
f1
ye 2
同理可导出厂商2的反应曲线：
y 2
f 2 y1e
一般来说，厂商1的最优产量水平
y1和厂商2预期的
产量水平 y1e并不相同。
古诺均衡：
假定厂商1的产量是 y1* ，厂商2的最优产量水
平就是
y
* 2
，假定厂商2的产量是
y
* 2
，厂商1
的最优产量水平就是 y1* 。
换而言之，产量选择满足：
y1*
f1
y
* 2
y
* 2
f2
y1*
,
yt2 2
y1t3
,
y
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古诺寡头竞争模型计算题历史上曾经有一种经济学模型被称为“古诺寡头竞争模型”，该模型被用于分析少数几个强大的公司在市场上的行为和影响。
该模型的核心思想是，如果市场上只有少数几个公司占据了大部分市场份额，那么他们将能够相互协调并通过垄断市场来获得高额利润。
这种寡头的垄断地位将阻碍其他竞争者进入市场，并且限制了消费者的选择和市场的竞争力。
在古诺寡头竞争模型中，一个主要的假设是竞争者的价格和产量策略是相互独立的，而且他们不会采取防御或进攻策略。
这种假设主要是为了降低模型的复杂度，便于分析。
假设市场上有两个公司，他们都能够生产某种商品，并且它们在市场上的份额非常接近。
这两个公司分别被标记为A和B。
该模型的公式可以通过以下方式建模：p = a - bqA - bqB
其中，p表示商品的价格，a表示消费者的需求函数中的常量，b表示价格对市场需求的影响，而qA和qB则分别表示A和B公司的产量。
在这个模型中，每个公司都试图最大化其商业效益，并且可以通过控制自己公司的产量来实现。
价格将由市场
提供，在其中A和B的策略与消费者对价格的反应导致市场需求保持平衡。
如果市场上出现了一个新的竞争对手，那么寡头垄断地位将被打破，市场上的价格和供应量都会发生变化。
这可能会导致A和B公司的利润下降，并且市场会变得更加竞争激烈。
此外，古诺寡头竞争模型还可以使用其他变量进行扩展，例如相关但不受限于固定成本、可变成本和市场需求曲线等。
最后，由于复杂性和实证要求的限制，该模型已被其他模型所取代，例如货币理论、垄断竞争和博弈论等模型。
然而，古诺寡头竞争模型在理解寡头行业结构和战略性行为的算法中仍具有重要意义。