古诺模型、卡特尔模型

古诺模型（同时行动的静态博弈，要求解的是纳什均衡）
假设：
1.一个行业，两个厂商；
2.两厂商产品同质；
3.两厂商平均成本均为c;
4.两厂商同时选择产量，市场价格由供求决定。

两厂商在选择自己的产量的时候，只能根据对另一厂商产量的预期做出决策，因为它无法观测到对方的产量。

但是，由于在最终的均衡，这种预期必须是正确的，因此我们只关心均衡情况。

模型：
反市场需求函数：P = a – b (q1 + q2)
厂商1的利润函数：L1 = [ a – b (q1 + q2)] – cq1
厂商1利润最大化的产量满足的一阶条件：∂ L1/∂ q1 = a – 2bq1–bq2– c = 0
从而得到厂商1的反应函数：R1 (q2) = (a – c – bq2) /2b (1)
同理可以得到厂商2的反应函数：R2 (q1) = (a – c – bq1) /2b (2)
古诺均衡产量（q1*，q2*）满足q1* = R1(q2*)，q2* = R2(q1*)。

即给定其他厂商的最优产量，每个厂商都实现了最大利润，从而也没有激励单方面改变自己的产量，正因为如此，古诺均衡是纳什均衡。

联立（1）和（2），得到：q1* = q2* = (a – c)/3b（古诺模型的均衡产量）
整个行业总供给量：q = q1 + q2 = 2 (a – c) / 3b
市场价格：P = (a +2c) / 3；限定a＞c，因此P = (a + 2c) / 3 ＞ c= MC
这表明古诺模型中的产量竞争不同于完全竞争市场，没有实现总剩余最大化。

但是古诺模型确实有两个寡头的竞争，行业总供给也大于垄断产量(a – c) / 2b.
补充：模型的一般化（n个寡头情形下的古诺模型）
假设n个寡头有相同的不变的平均成本c。

市场需求函数：P = a–b(q1+q2+…+q n),a＞0,b＞0,a＞c.
厂商i的利润函数：L i = [a–b(q1+q2+…+q n)]q i–cq i
利润最大化的一阶条件：∂ L i /∂ q i = a – bq – bq i – c = 0，其中q = q1+q2+…+q i.
所有厂商的均衡产量都满足这一条件，把它相加n次：na – bnq – bq – nc = 0
解此方程得：q = n (a – c) / b(n+1)
从而P = (a + nc) / (n+1)
当n = 1，得到垄断解；当n = 2，得到双寡头解；当n趋于无穷大，得到完全竞争解。

卡特尔模型（寡头合谋，联合定产）
在某个寡头市场中，如果几个重要的厂商联合起来限制产量，操纵价格，以获取垄断利润，这种联合组织就被称为卡特尔。

卡特尔的作用是消除厂商之间的竞争。

两个厂商的成本函数：c1 (q1) ,c2 (q2)
共同面对的反市场需求函数：P = P(q1+q2)
Max. L = P(q1+q2).(q1+q2) - c1 (q1) - c2 (q2)
分别对q1和q2求偏导得到一阶条件：
P’(q1+q2).(q1+q2) + P(q1+q2) – c’1 (q1) = 0 (1)
P’(q1+q2).(q1+q2) + P(q1+q2) – c’2 (q2) = 0 (2)
由（1）和（2）解出：c’1 (q1) = c’2 (q2)
即不论总产量为多少，卡特尔内部成员之间的产量份额满足边际成本相等的原则，这样的产量安排可以用最小的成本生产给定的总产量，从而卡特尔内部的生产是有效率的。

由于MR(q1 + q2) = P’(q1+q2).(q1+q2) + P(q1+q2)是卡特尔的边际收益，因此卡特尔的利润最大化产量满足：MR(q1* + q2*) = c’1 (q1*) = c’2 (q2*)
卡特尔制定的价格：P* = P(q1* + q2*)
在历史上，卡特尔曾盛极一时，但是所有的卡特尔都寿命不长，并且除了国际石油输出国组织（OPEC）外，很少有卡特尔能够产生重大的经济影响。

卡特尔不能持久的一个原因是因为很多国家的法律限制这种合谋，但是从经济学的角度来看，卡特尔的失败是因为其内在的不稳定性。

首先，卡特尔内部的每个成员都有强烈的欺骗动机。

因为卡特尔的高价格需要通过限制产量来维持，但是每个成员都认识到，如果其他厂商都遵守卡特尔协议，而自己增大产量，则可以在获得价格提高的好处的同时又不承担代价----减少产量。

如果只有个别成员增大产量，这并不会带来很大的问题，但是每个厂商都面对这样的激励，从而如果没有办法有效地监督和制裁违约的行为，卡特尔就很容易崩溃。

分析：
假设q2*不变，而厂商1背离卡特尔协议（即不再以最大化卡特尔组织的利润，而以最大化自己的利润为目标选择产
量），那么厂商1的问题变为：
Max. L1 = P(q1+q2).q1– c1(q1)
L1对q1求导得：P’(q1+q2).q1+ P(q1+q2) – c1’(q1) = 0
由之前的分析知道，卡特尔最大化利润时的产量为：q1* + q2*
将q1*和q2*代入卡特尔利润最大化的第一个条件（1）得：
P’(q1*+q2*).(q1*+q2*) + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*) = 0
移项得：P’(q1*+q2*). q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*) =–P’(q1*+q2*).q2*
因需求函数向右下倾斜，所以P’(q1*+q2*)＜0，故P’(q1*+q2*).q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*)＞0 P’(q1*+q2*).q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*)＞0意味着厂商1没有实现最大化利润，如果它单方面增加产量，才有可能使P’(q1*+q2*).q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*)= 0成立。

因此结论是：卡特尔成员都有不遵守协议产量的激励，具体来说，它们都有增加产量的激励，同时根据以上分析还可以知道，卡特尔的产量q1*+q2*一定小于竞争性产量。

卡特尔的不稳定性是典型的囚徒困境，虽然每个成员都认识到合作限制产量可以共同增大利润，但这样的产量不是纳什均衡，从而并不能自动实施。

因此，卡特尔的维持需要某种显示价格信息和惩罚机制。

这种机制有时以非常巧妙的方式实施。

比如，在城市的大超市中，我们有时可以看到这样的广告：“如果顾客在5公里之内的同等规模的超市内发现更低的价格，我们会双倍返还差价。

”实际上，这就是一种惩罚机制。

消费者承担了发现价格下降的信息提供者的职能，而如果一个超市降低了价格，会引来其他超市更大幅度的降价，从而这种条款可以帮助维持一个
卡特尔的运行。

但即便如此，卡特尔的维持仍然是非常困难的，因为价格信息往往不易于获得。

例如，对大客户的批发价格往往就并不公开，而且降低价格可以通过提高质量和服务的方式实现。

如果存在产品差异，合谋就更加难以维持。

观察不到对手价格的企业可以通过观察自己的市场份额的变化来推断对手的行为，但这又受到市场需求具有随机性变化的限制。

这时，参与者把由于需求降低带来的销售量下降解读为对方暗中削价的行为所导致。

其次，卡特尔成员在产量份额的安排上很难达成一致。

前面的分析指出，按照等边际成本的原则分配产量可以实现卡特尔内部的生产效率，但是如何获得边际成本的真实信息呢？每个成员都希望增大自己的份额，从而得到更多的利润，这样的问题往往在卡特尔内部争论不休。

最后，卡特尔的高利润会引来新厂商的进入，如果卡特尔无法阻止进入的发生，那么，新厂商就会迅速占领完全竞争产量和卡特尔产量之间的市场空白，这样卡特尔成员不仅无法获得垄断利润，而且会最终失去市场。

有些资源性行业进入较为困难，例如国际石油输出国组织（OPEC）控制了绝大部分的石油储量。

但即便是如此，石油的高价格也会引来替代性能源的开采与使用。

这正是OPEC在20世纪70年代减少石油开采而短期内大幅提高价格，但随后价格又下降的原因，因为对天然气的开采和使用降低了对石油的需求。

对替代品开发的激励和消费者的替代选择是OPEC面对的主要挑战，也是任何卡特尔要实现长期维持所遇到的困难。