高中数学待定系数法

2.2.3待定系数法高中数学人教B版2003课标版

1 2 1 x－ 2 2 1 2,3)且经过点
(3,1)求这个二次函数的解析式.
解：因为二次函数的顶点坐标是(2,3),
所以设二次函数为 y a x 2 3
2
又因为图象经过点(3,1)
从而有 1 a 3 2 3 解得a=-2
2、方法提炼： (1)求二次函数设一般式是通法 (2)已知顶点（对称轴或最值），往往设顶点式 (3)已知图像与x轴有两交点，往往设两根式
作业:P62练习A练习B P63习题2-2A 习题2-2B
a 3 a 3 解得 b 2 或 b 4
所以一次函数为f(x)=3x+2或f(x)=－3x－4.
总结：
1、待定系数法解题的基本步骤是什么？
第一步：设出含有待定系数的解析式；
第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决。
0 0 c 5 根据已知条件得方程组 a b c 4 4a 2b c 5 解方程组得a=2，b=1，c=－5.
中a，b，c待定，
因此，所求函数为f(x)=2x2+x－5.
待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决。
k=－ 2 .
所以所求的正比例函数是y=－ 2 x.
待定系数法:
一般地，在求一个函数时，如果知道
这个函数的一般形式，可先把所求函数写
为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求
待定系数来确定变量之间关系式的方法叫

最新人教版高中数学必修1第三章《待定系数法》

数学人教B必修1第二章2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念．2．掌握用待定系数法求函数的解析式．3．理解待定系数法的适用范围及注意事项．1．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的______，可先把所求函数写为一般形式，其中______待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过__________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解，其基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【做一做1】若f(x)为一次函数，且满足f[f(x)]＝1＋2x，则f(x)的解析式为________．2．二次函数的三种表示形式(1)一般式：________________，其中____决定开口方向与大小，____是y轴上的截距，而__________是对称轴．(2)顶点式(配方式)：______________，其中______是抛物线的顶点坐标，______是对称轴．(3)两根式(因式分解)：________________，其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的______．【做一做2－1】已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式为() A．y＝－x2－4x－1B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1D．y＝－x2－4x＋1【做一做2－2】已知二次函数的图象过(0,1)，(2,4)，(3,10)三点，则这个二次函数的解析式为__________．确定二次函数解析式所需的条件剖析：二次函数解析式的求法有以下几种情况：(1)已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将点的坐标分别代入所设解析式，列出关于a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c即可．(2)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再借助于其他条件求a.(3)已知对称轴方程为x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再借助于其他条件求a与k.(4)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x－h)2＋n，再借助于其他条件求a和h.(5)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x－h)2，再借助于其他条件求a 和h.(6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1，x2时，可设y＝a(x－x1)(x－x2)，再借助于其他条件求a.题型一用待定系数法求函数解析式【例1】求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式．分析：对于(1)可设出一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，对于(2)可设出二次函数的顶点式或一般式，利用待定系数法求出解析式．反思：通过解决本题，我们可得出：利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后求出待定系数即可．当已知函数的类型，如二次函数、一次函数、反比例函数等，可以设出所求函数的一般形式，如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝k x(k ≠0)等．设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，注意提炼解题过程，简化解方程的途径．题型二已知函数图象求函数解析式【例2】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x ≤1或x ≥3时，函数解析式可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)；③当1≤x ≤3时，函数解析式可设为y ＝a (x －2)2＋2(a ＜0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)．反思：由函数图象求函数的解析式，关键是观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后针对不同区间上的函数，利用待定系数法求出相应的解析式．题型三易错辨析【例3】已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，且f (x )在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f (x )的解析式．错解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)．又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 综上可知f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x 或f (x )＝－4825x (x －5)＝－4825x 2＋485x . 反思：在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万别出现增解或漏解现象．1若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋12已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最大值为2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象过点(3，－6)，则a ，b ，c 的值为( )A ．－2,4,0B ．4，－2,0C ．－4，－2,0D ．－2，－4,03已知f (x )＝x 2，g (x )是一次函数，且是增函数，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则g (x )＝__________.4已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交于两点，其中一交点为(1,4)，则另一交点为______．5已知二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．一般形式系数求待定系数【做一做1】f (x )＝－2x －2－1或f (x )＝2x ＋2－1 已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法．设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得k ＝－2，b ＝－2－1或k ＝2，b ＝2－1.2．(1)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) a c x ＝－b 2a(2)f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) x ＝h (3)f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 横坐标【做一做2－1】A 设所求解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)．∵抛物线过点(－3,2)，∴2＝a ＋3.∴a ＝－1，∴y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.【做一做2－2】f (x )＝32x 2－32x ＋1 根据题意设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程，联立三个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·02＋b ·0＋c ，4＝a ·22＋b ·2＋c ，10＝a ·32＋b ·3＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－32，c ＝1.故f (x )＝32x 2－32x ＋1. 典型例题·领悟【例1】解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (2)解法一：利用二次函数的顶点式．设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把点A (0，－5)，B (5,0)的坐标代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－9，a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9，即f (x )＝x 2－4x －5.解法二：利用二次函数的一般式．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－5，5a ＋b －1＝0.①② 又∵对称轴为x ＝2，∴－b 2a＝2. ∴b ＝－4a .③ 由①②③，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.因此所求函数的解析式为f (x )＝x 2－4x －5.【例2】解：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)．同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)．当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．解法一：设函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)．由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1.所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．解法二：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0，1≤x ≤3)．因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝4，c ＝－2. 所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，－x 2＋4x －2，x －2， x <1，1≤x <3，x ≥3.【例3】错因分析：没有对a 的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)．又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 当a ＝2时，满足题意；当a ＝－4825时，二次函数的图象开口向下，不符合f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f (x )＝2x 2－10x .随堂练习·巩固1．D 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝1. ∴y ＝－x ＋1，故选D.2．A 由已知可设此二次函数为y ＝a (x －h )2＋2(a ≠0)．∵图象顶点在直线y ＝x ＋1上，∴2＝h ＋1，得h ＝1.又图象过点(3，－6)，∴－6＝a (3－1)2＋2.∴a ＝－2.∴y ＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x .∴a ＝－2，b ＝4，c ＝0.3．2x －5 设g (x )＝kx ＋b (k ＞0)，则f [g (x )]＝g 2(x )＝(kx ＋b )2＝k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，比较系数可得k ＝2，b ＝－5.∴g (x )＝2x －5.4．⎝⎛⎭⎫－14，14 将(1,4)的坐标分别代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ，4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，k ＝3.再联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝14.5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f (x )的解析式．解：设f (x )＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)．由题意，得f (1)＝13，f (2)＝28，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28，解得a ＝3，k ＝1，所以f (x )＝3(x ＋1)2＋1.。

高中数学解题基本方法--待定系数法

高中数学解题基本方法--待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。

高中数学：2.2.3待定系数法 _1

栏目导引
第二章函数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)，又经过(－1，0)，所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1，所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3，所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
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第二章函数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
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第二章函数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最高处 B 点的坐标是(6，5)．
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第二章函数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
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第二章函数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点，其中一交点为(1，4)，则另一交点为________．解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1，得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14，答案：－14，14
栏目导引
第二章函数
求二次函数的解析式已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．

高中数学：函数解析式的十一种方法

高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法二、待定系数法三、换元（或代换）法四、配凑法五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法八、累加法九、归纳法十、递推法十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。

高中数学第二章函数2.2.3待定系数法课件新人教B版必修1

(C)y=-x-1 (D)y=-x+1
解析:可将点
P、Q
坐标代入验证,也可由
2 3k b, 2 k b,
解得
k b
1, 1.
3.(2018·北京通州期中)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴是x=1,并且经过点A(3,0),则f(-1)等于( C ) (A)6 (B)2 (C)0 (D)-4
思路点拨:表示点 B,D 坐标→代入抛物线方程求解析式→求 D 点坐标→求时间
解:(1)由题意,设抛物线的解析式为 y=ax2(a<0), 点 D 的坐标为(5,y),点 B 的坐标为(10,y-3), 又 D,B 在抛物线 y=ax2 上,
所以有

y y

25a, 3 100a,
变式训练4-:如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形 ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆装有集装箱的高为4 m,宽为2 m的汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离隧道右壁多少才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)?
即(x-5)2=9.解得 x1=8,x2=2. 显然 x2=2 不合题意,舍去.所以 x=8. OC-x=10-8=2. 故汽车应离开右壁至少 2 m,才不至于碰到隧道顶部.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
解析:f(x)=x2+bx+c,对称轴为 x= b =- b =1,得 b=-2, 21 2

高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总

高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总
一、待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例题1、设 f（x）是一次函数，且 f [ f（x）] = 4x + 3 ，求 f（x）的解析式。

解：设 f（x）= ax + b （a ≠ 0），则
∴ f（x）= 2x + 1 或 f（x）= -2x - 3
二、配凑法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式，求 f（x）的解析式， f [ g（x）] 的表达式容易配成 g（x）的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数 f（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g（x）的值域。

例题2、
求 f（x）的解析式。

解：
三、换元法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式时，还可以用换元法求 f（x）的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例题3、已知
求 f（x + 1）的解析式。

解：
四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例题4、已知：函数 y = x^2 + x 与 y = g（x）的图象关于点（-2,3）对称，求 g（x）的解析式。

解：
五、构造方程组法：
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例题5、
解：
例题6、
解：
六、赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例题7、
解：。

高中数学解题基本方法——待定系数法

三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。