辗转相除法
高等代数辗转相除法
高等代数辗转相除法
高等代数辗转相除法是一种解决多项式问题的基本方法，也称为欧几里得算法或辗转相除法，其基本思想是将两个多项式进行除法运算，不断用余数作为被除数进行下一次除法运算，直到余数为0为止。
其本质是在寻找多项式的最大公因子，可以用于求解多项式的因式分解、求解方程组等问题。
辗转相除法的具体步骤如下：
1. 将两个多项式按照同一变量的次数从高到低排列，保证次数最高的项在最前面。
2. 用较小的多项式去除较大的多项式，得到商和余数。
3. 将余数和除数交换位置，重复以上步骤，直到余数为0为止。
4. 此时被除数即为最大公因子。
辗转相除法的优点在于简单易懂，而且可以适用于任何多项式，但是其缺点是效率较低，在大规模计算时不太实用。
因此，在实际应用中，需要结合其他方法来解决问题。
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辗转相除法
辗转相除法实验报告
一、实验目的1. 理解辗转相除法的原理。
2. 掌握使用辗转相除法求解两个正整数最大公约数的方法。
3. 通过实验加深对数学理论知识的理解。
二、实验原理辗转相除法，也称欧几里得算法，是一种用于求两个正整数a和b（a>b）的最大公约数（GCD）的算法。
其基本原理是：用较大数a除以较小数b，得到余数r1，再用b除以r1，得到余数r2，如此重复，直到余数为0，此时的除数即为最大公约数。
三、实验器材1. 计算机2. 编程软件（如Python、C++等）3. 笔记本四、实验步骤1. 输入两个正整数a和b：确保a>b，否则交换a和b的值。
2. 初始化余数r为a。
3. 循环执行以下步骤：a. 计算r除以b的余数，赋值给r。
b. 如果r等于0，则b即为最大公约数，结束循环。
c. 如果r不等于0，则将b赋值给r，b赋值给新的临时变量。
4. 输出最大公约数。
五、实验代码（Python）```pythondef gcd(a, b):while b != 0:r = a % ba = bb = rreturn a# 输入两个正整数a = int(input("请输入第一个正整数a："))b = int(input("请输入第二个正整数b（a>b）："))# 调用gcd函数计算最大公约数result = gcd(a, b)# 输出结果print("最大公约数为：", result)```六、实验结果与分析1. 当输入a=56，b=48时，程序输出最大公约数为8。
2. 当输入a=100，b=50时，程序输出最大公约数为50。
3. 当输入a=101，b=102时，程序输出最大公约数为1。
通过实验，我们可以看到辗转相除法能够快速且准确地计算出两个正整数的最大公约数。
该算法在数学领域有着广泛的应用，如密码学、计算机科学等。
七、实验总结本次实验让我们深入理解了辗转相除法的原理，并掌握了使用Python编程实现该算法的方法。
辗转相除法 百科
辗转相除法百科
辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种用于计算两个非负整数最大公约数的方法。
它的计算公式为gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)，即两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。
这个算法在数学和计算机领域都有广泛的应用，并且可以使用多种编程语言实现。
此外，辗转相除法还可以用于多项式中，通过多次利用带余除法计算两个多项式的最大公因式。
对于多项式f(x)和g(x)，如果存在一个多项式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，那么f(x)和g(x)与g(x)和r(x)有相同的公因式。
以上内容仅供参考，建议查阅专业的数学书籍获取更全面和准确的信息。
辗转相除法高斯消元
辗转相除法高斯消元辗转相除法和高斯消元是两种常用的数学算法，用于解决线性方程组的问题。
本文将分别介绍辗转相除法和高斯消元的原理和应用。
一、辗转相除法辗转相除法，又称欧几里德算法，是一种求两个整数最大公约数的方法。
其原理是通过逐次取余，将原问题转化为一个更小的同类问题，直到问题无法再简化为止。
例如，求解36和48的最大公约数，可以按照以下步骤进行计算：1. 用48除以36，得商1余12；2. 用36除以12，得商3余0。
由于余数为0，所以36和48的最大公约数为12。
辗转相除法的应用不仅限于求最大公约数，还可以用于判断两个数是否互质、求解同余方程等问题。
二、高斯消元法高斯消元法是一种求解线性方程组的方法。
它通过逐步将线性方程组转化为阶梯形或行简化阶梯形，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式；2. 选取主元：选择第一列中非零元素的绝对值最大的行，并将该行交换到第一行；3. 消元：用第一行的倍数减去其他行，使得第一列的非零元素下方的元素都变为0；4. 重复上述步骤，对下一列进行主元选取和消元操作；5. 重复以上步骤，直到将矩阵转化为阶梯形或行简化阶梯形。
经过高斯消元法的处理，原线性方程组的解可以直接读出来，或者通过回代求解得到。
高斯消元法在解决线性方程组问题时非常有效，可以用于求解多元一次方程组、线性方程组的特解、齐次线性方程组的解空间等问题。
辗转相除法和高斯消元法都是数学中非常重要的算法，广泛应用于数论、代数、线性代数等领域。
它们的原理简单易懂，但在实际应用中能解决很多复杂的问题。
总结：辗转相除法和高斯消元法是两种常用的数学算法。
辗转相除法用于求解最大公约数和一些同余方程问题，而高斯消元法则用于求解线性方程组。
这两种算法在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决许多实际问题。
掌握了这两种算法，我们能更好地理解数学的奥妙，并能够运用它们解决更复杂的数学问题。
辗转相除法及其原理
辗转相除法及其原理辗转相除法是⼀种⽤于计算两个整数最⼤公约数的算法，核⼼是运⽤了 gcd( a, b ) = gcd( b, a mod b ) 这⼀公式（其中 b != 0 ）在详细介绍辗转相除法之前我想先介绍⼏个概念但如果你仅想观看代码，那么请点击如果你仅想了解 gcd( a, b ) = gcd( b, a % b ) 的证明，请点击整除对于整数 a 和整数 b（ b ≠ 0 ），若存在整数 q，使得 a = q * b，那么称 a 能被 b 整除例如 14 = 2 * 7，那么 14 能被 7 整除约数与倍数若整数 a 能够被整数b整除，则称 b 是 a 的约数（因数），a 是 b 的倍数例如 14 能够被 7 整除，那么 7 就是 14 的约数，14 就是 7 的倍数公约数若整数 d 既是整数 a 的约数，也是整数 b 的约数，那么 d 是 a, b 的公约数例如 7 即是 14 的约数，也是 21 的约数，那么 7 是 14 与 21 的公约数最⼤公约数公约数中最⼤的整数便称为最⼤公约数，整数 a 与整数 b 的最⼤公约数记为 gcd( a, b )，也记为 ( a, b )例如 14 与 21 的公约数有 { ±1，±7 }，其中整数 7 是最⼤的公约数，那么 gcd( 14, 21 ) = 7辗转相除法这⾥先给出⼏个定理，证明过程最后再叙述① gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0， 即 0 和任意整数 a 的最⼤公约数均为 |a|④ 设 a, b, c, q 是四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )通俗地说，若 c 是 a 除以 b 的余数，那么 a 和 b 的最⼤公约数等于 b 和 c 的最⼤公约数有了上述那些定理，我们便有了求两个数最⼤公约数的⽅法：例如求 15 和 21 的最⼤公约数我们知道，15 的约数有 { ±1，±3，±5，±15 }，21 的约数有 { ±1，±3，±7，±21 }那么 15 和 21 的公约数为 { ±1，±3 }，最⼤公约数是 3，即 gcd( 15, 21 ) = 3运⽤之前提到过的那些定理我们发现 15 = 0 * 21 + 15, 那么 gcd( 15, 21 ) = gcd( 21, 15 )⼜ 21 = 1 * 15 + 6 , 那么 gcd( 21, 15 ) = gcd( 15, 6 )⼜ 15 = 2 * 6 + 3，那么 gcd( 15, 6 ) = gcd( 6, 3 )⼜ 6 = 2 * 3 + 0，那么 gcd( 6, 3 ) = gcd( 3, 0 )⼜ gcd(3, 0 ) = 3，故 gcd( 15, 21 ) = 3总结⼀下，求整数 a 和整数 b 的最⼤公约数的⽅法取整数 a 和整数 b 的绝对值if b 的值为 0gcd( a, b ) = aelsegcd( a, b ) = gcd( b, a mod b )代码（c语⾔）/*求a与b的最⼤公约数递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);}/*求a与b的最⼤公约数⾮递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;int c;while(b!=0){c=a%b;//求余数a=b;b=c;}return a;}定理证明① gcd( a, b ) = gcd( b, a )设整数 a 的因数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，整数 b 的因数为 { ±b1, ±b2, …, ±b m }最⼤公约数是两约数集合交集中的最⼤项，与集合顺序⽆关故 gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )设整数 a 的约数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，则对任意整数 i（ 1 ≤ i ≤ n ），存在整数 q，使 a = q * a i ⽽ -a = (-q) * a i，故 a 的约数均为 -a 的约数，同样地， -a 的约数也为 a 的约数故 a, -a, |a| 的约数集合相同，同理 b, -b, |b| 的约数集合也相同⽽最⼤公约数是两约数集合的交集中的最⼤项，故 gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0因为 a 的最⼤约数是 |a|⽽任意⾮ 0 整数都是 0 的约数，即 0 = 0 * n（ n ≠ 0 ）故 gcd( a, 0 ) = |a|④设 a, b, c, q 为四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )（Ⅰ）设 d’ = gcd( a, b )，d” = gcd( b, c )故有整数 q1, q2, 使得 a = q1 * d’，b = q2 * d’将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有c = a - q * b = q1 * d’ - q * q2 * d’ = ( q1 - q * q2 ) * d’因为 q, q1, q2 均是整数，故 c 能被 d’ 整除，故 d’ 也是 c的约数故 d’ 也是 b 与 c 的公约数，即有 d’ ≤ gcd( b, c ) = d”（Ⅱ）同理有整数 q3, q4，使得 b = q3 * d”, c = q4 * d”将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有a = q * q3 * d” + q4 * d” = ( q * q3 + q4 ) * d”因为 q, q3, q4 均是整数，故 a 能被 d” 整除，故 d” 也是 a 的约数故 d” 也是 a 和 b 的公约数，即有 d” ≤ gcd( a, b ) = d’（Ⅲ）由上述知 d’ ≤ d” 且 d” ≤ d’故 d’ = d”，即 gcd( a, b ) = gcd( b, c )证毕。
展转相除法
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
编辑本段
算法
自然语言描述
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
scanf("%u%u",&m,&n);
printf("%u与%u的最大公约数为：%u\n",m,n,gcd ( m,n ) );
return 0;
}
/* 功能：返回正整数m和n的最大公约数*/
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
else
return a；
}
C语言实现
/*题目：输入两个正整数，求其最大公约数。*/
#include <stdio.h>
unsigned gcd ( unsigned,unsigned ) ;
int main( void )
{
unsigned m,n;
printf("请输入两个正整数：");
辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
因式分解辗转相除法
因式分解辗转相除法因式分解是数学中的一个重要概念，而辗转相除法则是求解因式分解的一种常用方法。
在本文中，我们将详细介绍因式分解和辗转相除法的相关知识。
一、因式分解的概念在代数学中，因式分解是将一个多项式或整数分解为不可再分解的乘积的过程。
多项式的因式分解是将其写成多个因子相乘的形式，而整数的因式分解则是将其写成质因数的乘积的形式。
因式分解是代数学中的基本操作，它有助于简化计算和解决问题。
二、辗转相除法的概念辗转相除法，又称为欧几里德算法，是求解最大公约数的一种常用方法。
它利用了两个整数的除法和余数的关系，通过反复进行除法运算，直到余数为零，从而得到最大公约数。
辗转相除法可以应用于整数、多项式和有理数等不同的数学领域。
三、整数的因式分解与辗转相除法的关系在整数的因式分解中，辗转相除法常常被用来求解最大公约数。
通过辗转相除法，我们可以将一个整数分解为若干个质因数的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到该整数的一个质因数；2. 然后，将该质因数除去，得到一个较小的整数；3. 对较小的整数继续进行相同的操作，直到无法再分解为质因数为止；4. 最后，将所有的质因数乘在一起，即得到了该整数的因式分解。
例如，对于整数60，我们可以通过辗转相除法将其分解为2 * 2 * 3 * 5。
这个过程中，我们先找到了整数60的一个质因数2，然后将60除以2，得到30；接着，我们再次将30除以2，得到15；再将15除以3，得到5；最后，我们将5除以5，得到1。
这样，我们便得到了整数60的因式分解。
四、多项式的因式分解与辗转相除法的关系在多项式的因式分解中，辗转相除法同样可以起到重要的作用。
通过辗转相除法，我们可以将一个多项式分解为多个因子的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到多项式的一个因子；2. 然后，将该因子除去，得到一个较低次数的多项式；3. 对较低次数的多项式继续进行相同的操作，直到无法再分解为因子为止；4. 最后，将所有的因子乘在一起，即得到了多项式的因式分解。
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思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0.
思考5:上述求两个正整数的最大公约数 的方法称为辗转相除法或欧几里得算法. 一般地，用辗转相除法求两个正整数m， n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来 构造算法？其算法步骤如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输出：a×2i
结束
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
i=i+1
b=b/2 i=i+1
Y
WEND
a=a/2,b=b/2 DO
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
练习1：利用辗转相除法求两数4081与
20723的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
更相减损术
“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤：
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
PRINT a*2^i
END
例2 分别用辗转相除法和更相减损 术求168与93的最大公约数.
辗转相除法：168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6.
更相减损术:168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3.
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数或这个数与约简的 数的乘积就是所求的最大公约数。
例、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解） 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是
一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
8251=6105×1+2146
r=m MOD n m=n n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14
14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7。
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？
更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
开始 输入：a,b
i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
知识探究（一）:辗转相除法
思考1:18与30的最大公约数是多少？你 是怎样得到的？
先用两个数公有的质因数连续去除， 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来即为最大公 约数.
思考2:对于8251与6105这两个数，由于 其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105这 两个数的公约数和6105与2146的公约数 有什么关系？
于m；否则始
输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r r=0？ 否
是 输出m
结束
思考7:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r r=0？ 否
是 输出m
INPUT m，n DO
r=m MODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m
例3：用辗转相除法和更相减损术求210与714 的最大公约数.
END
结束
思考8:如果用当型循环结构构造算法， 则用辗转相除法求两个正整数m，n的最 大公约数的程序框图和程序分别如何表 示？
开始
输入m，n
n=r m=n
r>0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
结束
INPUT m，n
WHILE r>0 r=m MOD n m=n n=r
WEND PRINT m
END