多种数值积分的分析比较(Gauss 抛物线 龙贝格)
数值积分与龙贝格换位法的误差分析
数值积分与龙贝格换位法的误差分析数值积分是数值计算中的一个重要分支，其主要目标是通过一系列计算求得一个函数在某一区间上的积分值。
然而，由于实际函数中的误差因素较多，所以在计算数值积分的过程中必然会出现误差。
误差分析是数值计算的一个重要环节，在数值积分中同样需要进行误差分析。
其中，龙贝格换位法是一种广泛使用的求积公式，其误差分析具有重要的理论和实际意义。
数值积分的误差分析数值积分的误差分析可以分为三类：截断误差、舍入误差和积分误差。
其中，截断误差是由于我们采用有限阶数的插值多项式计算积分而产生的误差，其随着插值多项式的阶数逐渐逼近真实函数而减小。
舍入误差是由于计算机的位数限制导致的误差，其可以通过选择适当的精度和截断其误差而减小。
积分误差是计算得到的数值积分与真实积分之间的误差。
为了提高数值积分的精度，我们可以采用多种方法。
例如，将区间分成若干个小区间，然后计算每个小区间的积分。
这种方法被称为复合数值积分。
另外，我们也可以使用更高的插值多项式，并增加计算机的位数，以求得更精确的结果。
龙贝格换位法的误差分析龙贝格换位法是一种经典的求积公式，其主要思想是通过迭代和递归的方式不断逼近真实积分值。
在计算数值积分中，我们可以使用龙贝格换位法来提高求积精度。
但是，在使用龙贝格换位法时也需要进行误差分析。
在进行龙贝格换位法的误差分析时，我们可以采用两种方法：截断误差分析和收敛分析。
1.截断误差分析当我们使用龙贝格换位法来逼近积分值时，我们使用的是某个级别下的龙贝格公式。
因此，当我们在计算过程中减少级别时，我们所得到的积分值就会有一个截断误差。
这个截断误差取决于我们所使用的级别和函数在该区间内的导数。
当我们在计算数值积分时，需要根据所得到的截断误差来确定所使用的级别和最终的积分值。
2.收敛分析龙贝格换位法的收敛性是其精度保证的依据。
通常，我们可以将龙贝格公式中的相邻项相减，以判断级别的增加是否会导致收敛性的变化。
辛普森公式 龙贝格算法
辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。
下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。
辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。
该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。
辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。
这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。
龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。
它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。
龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。
这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。
辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。
它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。
通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。
这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。
总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。
这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。
通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
龙贝格求 积分---精品管理资料
龙贝格(Romberg ）求积法1。
算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法.由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间［a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1，2，……,n)区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T 由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- (1)按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ,误差为)(2k h O 的一个近似公式,因而,复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++k k h K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2.误差及收敛性分析(1)误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
(2）收敛性，记h x i =∆,由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知,只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时,它们的极限都等于积分值)(f I 。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
数值分析(19)Gauss积分
1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
1
1
f ( x )dx 2 f (0)
1
1
f ( x )dx f ( 0.5773502692) f (0.5773502692)
n2
1
1
f ( x )dx 0.555555556 f ( 0.7745966692)
1
1 1
(1 x 2 )dx A0 A1
2
(1 x ) xdx A0 ( 4 联立解出 A0 A1 3 得 到 两 点 高 斯 求 积 公为 式
1
1 2
2 2 ) A1 ( ) 5 5
4 2 2 1 (1 x ) f ( x )dx 3 f ( 5 ) f ( 5 )
数值分析
数值分析
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
I ( f ) ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
n
定义：若求积公式
b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 对一切
k 0
不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对 于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的 代数精度为m.
A0 + A1 + …… + An =∫a 1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2
...... b x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫a xr dxr =(br+1-a r+1)/(r+1)
几种数值积分算法的误差分析
（1）梯形公式的截断误差 （2）辛普森公式截断误差 （3）柯特斯公式截断误差
RT
f ( ) (b a)3, 12
(a,b)
RS
(b a)5 2880
f
(4) ( ), (a,b)
RC
2(b a) 945
(b
a)6 4
f
(6) ( ),
(a,b)
小结：Simpson公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其
代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积分公
式，尤其是Simpson公式逻辑结构简单，且精度又比较高.
2、复化求积公式的误差分析
（1）复化梯形公式的截断误差
RTn
(
f
)
Hale Waihona Puke ba 12h2
f
(
)
（2）复化辛普森公式的截断误差
RSn
(
f
)
h 180
(h)4 2
f
(4)
( ),
(a,b)
（3）复化Cotes公式的截断误差
一、几种数值积分的算法
1、Newton-Cotes求积公式
（1）梯形公式（n=1）
b f (x)dx T b af (a) f (b)
a
2
（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）
b
f (x)dx S
a
b
6
a
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
（3）Cotes公式（n=4）
b
f (x)dx C
学生：于欣蕊 指导教师：任文秀
课程设计的基本思路
本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及 列出具体算例，通过余项、代数精度等比较各种方法 的异同。在我们解题时，用一些方法只能解决很狭隘 的一部分积分，在它的范围外通常采用各种近似计算 的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们 必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个 好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代 数精度高并且稳定。为了提高运算速度和准确性，我 们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识， 从而使运算速度更快、更准。
数值分析中的龙贝格积分法详解
数值分析中的龙贝格积分法详解数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，其在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中有着广泛的应用。
而龙贝格积分法则是数值分析中常用的一种数值积分方法。
本文将详细介绍龙贝格积分法的原理、计算步骤以及应用场景。
一、龙贝格积分法的原理龙贝格积分法是一种数值积分方法，用于计算给定函数在一定区间上的积分值。
其基本思想是通过逐步逼近积分值，从而提高计算结果的精度。
具体而言，龙贝格积分法通过构造一系列逼近积分值的数列，并利用数列的收敛性质，最终得到所需的积分值。
二、龙贝格积分法的计算步骤1. 确定积分区间[a, b]以及需要计算积分的函数f(x)。
2. 将积分区间[a, b]等分为n个子区间，其中n为正整数。
即将[a, b]分为[a, x1,x2, ..., xn-1, b]。
3. 计算每个子区间的步长h = (b-a)/n。
4. 利用复化梯形公式计算第一级逼近积分值T(1)：T(1) = (h/2) * [f(a) + f(b) + 2 * (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn-1))]5. 构造递推公式，利用已知的逼近积分值T(k-1)计算第k级逼近积分值T(k)：T(k) = (1/2^k) * (4^(k-1) * T(k-1) - T(k-1))6. 判断逼近积分值T(k)的精度是否满足要求，若满足则返回T(k)作为最终的积分值；若不满足，则重复步骤5，计算下一级逼近积分值。
7. 重复步骤5和步骤6，直到满足精度要求或达到迭代次数为止。
三、龙贝格积分法的应用场景龙贝格积分法在数值分析中有着广泛的应用，特别是在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中。
以下是一些常见的应用场景：1. 科学计算：龙贝格积分法可以用于计算数学物理模型中的积分，如计算波函数的归一化常数、计算量子力学中的期望值等。
2. 工程计算：在工程领域中，往往需要对曲线或曲面进行积分计算。
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多种数值积分求积公式的分析比较吴春晖（中国海洋大学海洋环境学院山东青岛 266100）摘要：对于运用牛顿-莱布尼茨积分公式不能较好解决的定义在区间[a,b]上的可积函数，原函数并不能简单地用初等函数来表达，故需要构造定积分的近似计算公式。
在本文中，主要构建了抛物线求积公式及其复化抛物线公式。
在对抛物线类的求积公式进行应用检验后，再运用Gauss求积公式，构建Gauss-Laguerre求积公式，对相同的问题进行运用，并比较截断误差。
之后再对求积过程进行优化，在限定误差范围的情况下，利用龙贝格算法，对求积加速收敛。
关键词：抛物线求积复化求积 Gauss-Laguerre 加速收敛引言：对于一些较为复杂的函数，在一定的误差要求下，需要通过构造的方式求给定函数的定积分。
基本的替代法主要有梯形面积及抛物线近似代替曲边梯形。
并通过划分更小的区间，减少截断误差从而提出了复化梯形及抛物线公式。
为了提高运算效率，有加速收敛的Richardson外推法和Romberg求积公式。
之后，针对节点数固定情况下，提出了Gauss公式，使其获得最大的精度。
本文主要研究的是抛物线求积法与Gauss-Laguerre公式。
目录第一章抛物线求积公式及应用 (3)1.1抛物线求积公式的算法 (3)1.2抛物线求积公式的matlab程序 (3)1.3复化抛物线求积公式的应用 (4)第二章Gauss-Laguerre求积公式及应用 (5)2.1 Gauss-Laguerre的算法 (5)2.2Gauss-Laguerre公式的matlab程序 (5)2.3 Gauss-Laguerre求积公式的应用 (6)第三章龙贝格算法与算法优化 (7)3.1龙贝格算法及程序 (7)3.2利用龙贝格算法优化求积 (7)3.3 龙贝格算法的应用 (8)第四章数值积分的分析总结 (9)第一章 抛物线求积公式及应用1.1 抛物线求积公式的算法抛物线求积公式，是将区间二等分，以中点及两端点作为抛物线的三个点，并求出抛物线，在区间上对抛物线函数求积分。
而复化抛物线公式，即在给定区间上，分成多个小份，并分别用抛物线公式求积。
所求得的数值积分余项如下：1.2抛物线求积公式的matlab 程序具体的程序代码如下：function s=simpr1(f,a,b,M) h=(b-a)/(2*M); s1=0; s2=0; for k=1:Mx=a+h*(2*k-1); s1=s1+feval(f,x); endfor k=1:(M-1) x=a+h*2*k;],[)(2180)()(2180)(),()4(44110)4(45b a f h a b x x f h S dx x f T f R k k n k k b a n n ∈⋅--=≤≤⋅-=-=+-=∑⎰ηηηη2,))(4)(2)()((6))()(4)((6)()(2111102112110101h x xx f x f b f a f n a b x f x f x f h dx x f dx x f k k n k n k k k k k k n k b a n k x x k k+=+++-=++≈=+-=-=+++-=-=∑∑∑⎰∑⎰+n n k n k k k b a S x f x f b f a f n a b dx x f =+++-≈∑∑⎰-=-=+111021))(4)(2)()((6)(s2=s2+feval(f,x);ends=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;说明：f代表的是原函数，该程序为抛物线复化积分公式。
当M值为1时，则为简化的抛物线求积公式。
最后s即为用matlab语言所表述的抛物线求积公式。
1.3复化抛物线求积公式的应用在应用部分，所计算的积分为1/(1+x^2)。
将函数与节点，积分区间输入函数后，得出的结果如下图表所示。
图1.3.1 复化抛物线求积（所取节点为5-50）Fig.1.3.1Compound parabolic quadrature (from the node for 5-50)图1.3.2 积分误差（节点数为0-50）Fig.1.3.2quadrature error (from the node for 0-50)Table 1.3.1 every 5 node error分析总结：复化抛物线积分对给定的函数有较好的适用性，在节点数为3时，误差就处于E-3数量级。
这主要与函数的特性及选择区间有关，所求得积分为1/4圆，故抛物线较能吻合特征。
从图像我们可以观察到：随着节点数的增加，积分的准确性得到增强，且增加速度较快。
在50个节点的情况下，误差达到了E-14的数量级。
从误差观察得出，误差减少到下一数量级的节点间隔数增大。
第二章Gauss-Laguerre 求积公式及应用2.1 Gauss-Laguerre 的算法Gauss-Laguerre 求积公式是Gauss 求积公式的一种建立在无穷区间上的特殊求积公式。
Laguerre 多项式：在[0,)-∞关于权函数为()xx e ρ-=的正交多项式()()n n x xn nd xe L x e dx -=（1）。
故在求积分时，我们主要使用的求积公式为：1()()nxk k k e f x dx A f x ∞-=≈∑⎰（2）其中,k x （k=1,…,n ）是()n L x 的n 个零点，求积系数2'2(!)[()]k n k kn A L x x =k=1,2,…,n （3）2.2Gauss-Laguerre 公式的matlab 程序程序代码如下：syms xf ; syms l ; n=20;l(n)=exp(x)*diff(x^(n)*exp(-x),x,n); [xs]=solve([char(l(n)),'=0'],x); ll=diff(l(n),1);for i=1:na(i)=(factorial(n))^2/(double(xs(i))*(subs(ll,x,double(xs(i)))^2) );ends=double(a)*feval(f1,double(xs));程序分析：n代表Laguerre的项数，f为函数。
该程序先求出相应的Laguerre多项式后，通过solve解出节点，再用节点算出系数，代入求积公式。
2.3 Gauss-Laguerre求积公式的应用所选择的积分所在的区间为[0 inf]，f(x)= √x，取不同的项数，进行求积，将所得的结果整理如下。
表2.3.1 积分数据表Table.2.3.1 the data table图2.2.2 Gauss-Laguerre公式积分曲线Figure.2.2.2 Gauss-Laguerrequadrature分析总结：Gauss-Laguerre公式的适用对象为在特定区间，即[0,inf]区间上的权函数乘以f(x)形式的特定积分。
从图像可以观察得到，Gauss-Laguerre公式随着节点数的增大，呈双曲线的形状。
其积分精度逐渐提高，但收敛较慢。
而用其它形式的积分来处理无限区间的积分，积分的计算量更大，精度也比较差。
所以Gauss-Laguerre公式对特定积分的效果较好，但要达到一定精度，计算节点数需要到一个较大值。
第三章龙贝格算法与算法优化3.1龙贝格算法及程序龙贝格算法从简单的梯形序列开始逐步进行线性加速，具有占用内存少，精度高的优点。
而梯形或抛物线的积分算法的区间并不是线性增加的，每次计算的效率会越来越低。
故龙贝格算法适用于给定精度下的较为高效的求积。
龙贝格的matlab程序如下：fuction t=Romberg(fun,a,b,e)if nargin<4e=1e-8;endi=1;j=1;h=b-a;T(i,1)=h/2*(feval(fun,a)+feva1(fun,b));T(i+1,1)=T(i,1)/2+sum(feval(fun,a+h/2:h:b-h/2+0.001*h))*h/2;T(i+1,j+1)=4.^j.*T(i+1,j)/(4.^j-1)-T(i,j)/(4^j-1);while abs(T(i+1,i+1)-T(i,i))>ei=i+1;h=h/2;T(i+1,1)=T(i,1)/2+sum(feval(fun,a+h/2:h:b-h/2+0.001*h))*h/2;for j=1:i;T(i+1,j+1)=4^j*T(i+1,j)/(4^j-1)-T(i,j)/(4^j-1);endendt=T(i+1,j+1);3.2利用龙贝格算法优化求积在之前的内容中，利用抛物线复化公式计算了1./(1+x.^2)，在区间[1,2]上的积分为pi/4,在不同的节点取值下，抛物线复化求积的误差精度不同。
如果要得到e-10的精度范围，需要取的节点数为8。
而选用龙贝格算法能有效地减少计算步骤，提高效率。
选取精度为e-10~e-16，分别计算对应的复化求积公式和龙贝格法算法所需要运行的步骤。
选取函数为1./(1+x.^2)，两种算法的结果如下：精度10 11 12 13 14 15 16 复化求积8 11 16 24 35 51 72 龙贝格算法7 8 8 8 9 9 11表3.2.1 计算次数与求积公式的关系Table 3.2.1 The number calculation, and the quadrature formula图3.2.2计算次数与求积公式的关系Figure.3.2.2 The number calculation, and the quadrature formula从图像上，可以发现龙贝格的算法效率比抛物线的复化求积公式高，且随着精度要求的提高，抛物线的复化求积所取得等分点增加得越来越快。
而龙贝格算法的次数平滑增长，在较小的次数，就能达到极高的精度。
3.3 龙贝格算法的应用龙贝格算法对限定区间的求积较为适用。
在给定数据精度的情况下，对f(x)=sqrt(x)在[1,9]的区间上积分。
所要求的精度为10^-5.将代数值输入函数中，计算所得到的值为17.3333，符合要求。
随着精度的提升，应用龙贝格算法。
对给定函数在特定区间上的积分的值绘成的曲线如下。
图3.3.1 Romberg算法积分曲线Figure.3.3.1 Romberg integral curve algorithm从图像中我们可以发现，由于设置了精度，曲线的攀升效果较为明显，且较大精度值精度过高，基本没有区别。
故龙贝格算法具有较好的准确性与较高的效率。
第四章数值积分的分析总结这篇文章主要对几种基本求积公式进行了matlab的程序实现与相应的应用，并简单地分析对比了各个求积公式的优缺点，归纳如下：复化梯形或抛物线求积公式的应用较为广泛，实现手段较为简单。