安徽省合肥六中2017-2018学年第一学期高二年级期末考试理科数学试题
合肥六中2017-2018学年第一学期高二年级期末考试
理科数学
一、 选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.设平面α的一个法向量为)2,2,1(1-=n ，平面β的一个法向量为),4,2(2k n --=，若βα//，则=
k （ ）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4 2.已知命题,01,:2>++∈∀x x R x p 那么p ⌝为( )
A. ,01,2≤++∉∃x x R x
B. ,01,2≤++∈∃x x R x
C. ,01,2≤++∉
∀x x R x D. ,01,2≤++∈∀x x R x
3.长方体1111ABCD A B C D -中，D C C B AB 11,,1
=与底面ABCD 所成的角分别为45∘、60∘，则长方体1111ABCD A B C D -的外接球的体积为（ ）
A.
677π
B. 37π
C. 374π
D. 6
7π
4.若方程
152
2
2=-+
-k
y k x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是( )
A. 52<<k
B. 5>k
C. 527<<k
D. 2
72<<k 5.若关于x 的方程21x b x -=+
有两个不同的实数解，则实数b 的取值范围是（ ）
A. )2,2(-
B. )1,
1(- C. )2,1[ D. ]2,1[ 6.刍薨（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》 中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广. 刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”。
如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑
厚度）需要的茅草面积至少为( )
A. 24
B. 532
C. 64
D. 632 7.下列命题正确的是（ ）
A. 若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
8.已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.
61 B. 63 C. 31 D. 3
3 9.已知AB 是抛物线x y =2 的一条焦点弦, 4||=AB ,则AB 中点C 的横坐标是（ ）
A. 2
B.
21 C. 23 D. 2
5
10.如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F. 则下列命题中错误的是（ ）
A. 存在点E ，使得F BED C A 111平面//
B. 对于任意的点E ，F BED D C A 111平面⊥
C. 存在点E ，使得F BED D B 11平面⊥
D. 对于任意的点E ，四棱锥F BED B 11-
的体积均不变
11.在正方体1111ABCD A B C D -中,
E 是1AA 的中点, P 为底面ABCD 内一动点,设PE PD ,1与面1111D C B A 所成的角分别为21,ϕϕ,若,21ϕϕ=
则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分( )
A. 双曲线
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 圆 12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点,,21F F P 是它们的一个交点,且3
21π
=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别
为21,e e ,则
2
11
e e 的最大值是( )
A.
332 B. 3
3
4 C. 2 D. 3 二. 填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分).
13.已知直线l 的方程为043=++y x ，则直线l 的倾斜角为___________.
14.已知抛物线my x
=2
的准线是直线1=y ，则抛物线焦点坐标为______________.
15.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+3311
y x y x y x ,目标函数y ax z 2+=仅在点)0,
1(处取得最小值,则实数a 的取值范围是______________.
16.已知双曲线1:22
22=-b
y a x C 的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,
交另一条渐近
线于N ,若FN FM 37=，则双曲线的渐近线方程为__________________.
三.解答题：(本大题共6小题，共70分).
分）10本小题满分.(17
设,012方程:2>++mx x p 有两个不相等的正根; ,01032方程:2=+-+m x x q 无实根，p ∨q 为
真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围.
分）12本小题满分.(18
如图,在四棱锥P −ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC=5，DC=3， AD=4,∠PAD=60∘.
(1)若M 为PA 的中点,求证：DM ∥平面PBC ； (2)求三棱锥D −PBC 的体积。
分）12本小题满分.(19
已知圆25)2()1(:2
2=-+-y x C ,直线047)1()
12(:=--+++m y m x m l (1)求证：直线l 恒过定点；
(2)求直线l 与圆C 交于B A ,两点，当m 为何值时，弦AB 长最短，并求此时ABC ∆的外接圆方程.
分）12本小题满分.(20
某机械设备生产厂家需要购买甲、乙两种大小不同的钢板截成C B A ,,三种规格小钢板，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需C B A ,,三种规格的成品分别为15、18、27块. 若甲种钢板进价为每张2千元，乙种钢板进价为每张4千元，试问甲乙两种钢板分别购买多少张，所需费用最低？最低费用是多少？
分）12本小题满分.(21
如图,在四棱锥P −ABCD 中,四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD, AD=CD=BC=2
1
AB ，△PAD 为等边三角形，PA ⊥BD. (1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)求二面角B −PA −D 大小的余弦值。
分）12本小题满分.(22
已知点M 是圆心E 为的圆16)3(22=++y x 上的动点,点)0,3(F ，线段MF 的垂直平分线交EM 于点P.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过定点)0,
1(-Q 的直线与点P 的轨迹C 交于A,B 两点,在x 轴上是否存在点N,使得NB NA ⋅为定值?若存在，求
出点N 坐标；若不存在，说明理由.。
安徽省合肥市第一六八中学2017-2018学年高二(宏志班)上学期期末考试数学(理)试题 扫描版缺答案
5．直线 l1 : a 3 x y 4 0 与直线 l2 : x a 1 y 4 0 垂直，则直线 l1 在 x 轴上的截距是( A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
6. 已知平面 及平面 同一侧外的不共线三点 A, B, C ，则 “ A, B, C 三点到平面 的距离都相等”是“平 面 ABC / / 平面 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
高二数学学科期末考试试题 第 3页 共 4 页
20. （12 分）已知动点 P 到点 F ( , 0) 的距离比它到直线 x = -1 的距离小 若以 S (1,1) 为圆心，r 为半径（ 1 r 交曲线 M 于 C、D 两点。 (1)求曲线 M 的方程. (2)求证：直线 CD 的斜率为定值；
2
3.圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则它的侧面积为（
4．设 l , m, n 表示三条不同的直线， , , 表示三个不同的平面，给出下列三个命题： ①若 l , m l , m ， 则 ； ②若 m ， 则m l ； ③若 , n 是 l 在 内的射影，m n ， 则 b / /g . A． 0 其中真命题的个数为（ B． 1 ） C．2 D．3 )
D． y = 9 x
2
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） e |= 1, 则e = ________. 13．若向量 a = (2,1, -2), e / / a且|
14．三棱锥 A - BCD 中， AB = AC = BD = CD = 3 ， AD = BC = 2 ，点 M , N 分别是 AD, BC 的中点， 则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值为________. 15．设 F1 ， F2 分别为双曲线 C :
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =U A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|12}x x << D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝10， 则输出的S 等于A .511B .1011C .3655D .72556．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A .318 B .315C .3824+D .31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 A .925 B .1625 C .310 D .15 10．设a ＝log 2π，12log b π=，c ＝π－2，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a11．在△ABC 中，若a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是 A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形12．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A . 2 B . 3 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足约束条件,22,2.y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z＝x－3y的最小值为．14．已知命题p：∀x>0，(x＋1)e x>1，则﹁p为．15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为．16．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y^＝0.8x－155.则实数m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．18．(满分12分)在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝21(10)2na－，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n}的前n项和T n.19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．20. (满分12分)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.21．(满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．22. (满分12分)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题A . 2． B3． A 【解析】∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，4． B 【解析】由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.5． A 【解析】第一次执行后，S ＝13，i ＝4＜10；第二次执行后，S ＝13＋115＝25，i ＝6＜10；第三次执行后，S ＝25＋135＝37，i ＝8＜10；第四次执行后，S ＝37＋163＝49，i ＝10；第五次执行后，S ＝49＋199＝511，i ＝12＞10，输出S ＝511.6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.8． D【解析】由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|c |2，由此可得a·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝14.故答案为D .9． D 【解析】以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1,2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a ＞c ＞b .11．C 【解析】根据余弦定理，有a ＝2bcosC ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，化简整理得b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．12． B 【解析】设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ， ∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 二、填空题 13．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x -3y =z 经过点A (-2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为-2-3×2=－8. 14. ∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 15． 40【解析】抽样比为90360＋270＋180＝19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19＝40. 16. 8【解析】依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8.三、解答题17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的基本事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n ，所以b n ＋1b n＝2n ＋12n ＝2.所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n . ∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n ＝0.300，∴n ＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．20. 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ， 即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ， 即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.21．解：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)， M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)． (1)CM→＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)， 因为CM →·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM→⊥SN →，所以CM ⊥SN . (2)易得NC→＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y z ＝－2y，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n ·SN →||n |·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22. 解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
合肥市六中2017-2018学年第一学期高二年级期中考试
合肥六中2017-2018学年第一学期高二年级期中考试理科数学一、 选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1 已知空间直角坐标系xyz O -中的)3,1,2(--A 点关于xOy 平面的对称点为B ，则||AB 的值为( ).14.A 4.B 6.C 102.D.2 如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，则实数a 等于（ ）. 32.A 32.-B 6.C 6.-D .3已知n 、、m l 为直线，γβα、、为平面，则下列命题中是公理的是（ ）..A 若γαβα//,//，则γβ// .B 若n l m l //,//，则n m // .C 若γαβα⊥⊥,，则γβ// .D 若n l m l ⊥⊥,，则n m //.4若点)6,(a A 在直线0132=++y x 与直线0564=++y x 之间，则整数a 等于（ ）.8.-A 9.-B 10.-C 11.-D.5直线01)2(2=+-+y x a a (a 为常数)的倾斜角的取值范围是（ ）.]43,2(]4,0.[πππ⋃A .B ],43()2,0[πππ⋃ .C ),43()2,0[πππ⋃ .D ),43[)2,0[πππ⋃ .6已知梯形ABCD 中，CD AB //，并且点)0,4(A ，点)6,6(B ，点)2,0(C ，则此梯形的高为（ ）. 510.A 10.B 5107.C 5109.D .7《九章算术⋅商功》中，有问题“今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈，问积几何？”，意思是：“今有一横截面为梯形的笔直沟渠，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，沟渠深五尺，长七尺，问它的容积是多少？”已知一丈等于十尺，那么这个问题的答案是（ ）立方尺. 38750.A 4375.B 8750.C )65(31750.+D.8关于y x 、的方程012=--ay x a 表示的直线（图中实线）可能是（ ）..9将一正方体铁块放入一个长为cm 20，宽为cm 20，高为c 30的有水长方体容器中，放入前该容器内的水深为cm 6，放入后水深为cm 8，则正方体铁块的棱长为( ).10.A 31002.B 25.C 31002或10.D.10下列命题中是真命题的有（ ）个.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥.② 若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于R Q P 、、，则R Q P 、、三点共线. ③如果四棱锥的四条侧棱都相等，则它的各顶点必在同一球面上.④若n m 、是异面直线，βα、是两个不同的平面，若,//,,ββαm n m ⊂⊂，则α//n . ⑤已知二面角βα--l 的大小为 30，n m 、为异面直线，βα⊥⊥n m ,，则n m 、所成的角为 30. 1.A 2.B 3.C 4.D.11一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与格侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则1h ：2h ：3h =（ ）.3:3:2.A 1:1:32.B 2:2:3.C 6:6:3.D.12已知正实数y x 、满足032=-+y x ，则22y x x ++的最小值为 （ ）.56.A 512.B 518.C 4533.+D 二.填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分)..13经过两圆10)3()2(22=-+-y x 和10)3()4(22=-++y x 的交点的直线方程为__________________..14不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥≤3333x y x y x y 所围成的平面区域的面积为__________..15如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积____________..16已知空间四边ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，F E 、分别是CD AB 、的中点，且AB EF ⊥，CD EF ⊥，若8,4===CD EF AB ，则球O 的表面积为___________.三.解答题：(本大题共6小题，共70分).分）10本小题满分.(17平面直角坐标系xOy 中，直线01=+-y x 截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6.)1(.求圆O 的方程；)2(.是否存在直线0:=+-c y x l ，使得圆O 上有四点到直线l 的距离为22，若存在，求出c 的取值范围，若不存在，说明理由.分）12本小题满分.(18如图，AB 是的O Θ直径，点C 是O Θ上的动点，且点C 不与点B A 、重合，过动点C 的直线VC 垂直于O Θ所在平面，E D 、分别是AC VA 、的中点，)1(.试判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由；)2(.若AB VC =，试计算二面角C AB V --的正切值的取值范围.分）12本小题满分.(19已知ABC ∆的顶点坐标为)2,2(),0.4(),4,0(m m C B A -， )1(.求AC 边的中垂线所在直线的方程；)2(.试求半径最小的ABC ∆外接圆的标准方程.分）12本小题满分.(20C 已知圆的方程122=+y x ，直线1l 过定点)0,3(A ，且与圆C 相切. )1(.求直线1l 的方程；)2(.设圆C 与轴交于Q P 、两点，M 是圆C 上异于Q P 、的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点1P ，直线QM 交直线2l 于点1Q ，求证：以11Q P 为直径的圆1C 总过定点，并求出定点坐标.分）12本小题满分.(21已知矩形ABCD 的中，BC AB 2=，以CD 为直径向矩形外作半圆，设P 为半圆上任意一点，直线PB PA 、分别与CD 与相交于点N M 、，试判断22DN CM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.分）12本小题满分.(22已知PB 为斜边的PAB Rt ∆、PC 为斜边的等腰PAC Rt ∆、AC 为底边的等腰ABC ∆围成的三棱锥ABC P -，如图所示，若22=AP ，点E 为PC 上一点，且EC PE 3=.)1(.求证：PC BE ⊥;)2(.若PC 在平面PAB 上的射影恰为直线PB ，试计算直线BE 与平面ABC 所成角的正切值.。
安徽省合肥高二数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．15．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A． B． C． D．P211．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A． B． C． D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥α B．∠A1DB≤α C．∠A1DB≥α D．∠A1CB≤α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．21．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为： =．故选：A．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据面面垂直和线面垂直的性质进行判断．②根据线面垂直的判定定理进行判断．③根据线面垂直和直线平行的性质进行判断．④根据线面平行和面面平行的性质进行判断．【解答】解：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故①错误，②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β，故②错误，③若l⊥m，m⊥n，则l∥n或l与n相交或l与n异面，故③错误，④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，若n∥β，则m⊥n．故④正确，故正确的是④，故选：D5．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α 的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选 B．6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【考点】点与圆的位置关系．【分析】圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算．【分析】由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围．【解答】解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴﹣≤b≤故选：C．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以 x+2y﹣1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=×R=，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故选B．10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A． B． C． D．P2【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故选A．11．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用 m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，∴•=﹣1，∴m2=﹣（+c）•（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥α B．∠A1DB≤α C．∠A1DB≥α D．∠A1CB≤α【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．推导出cos∠A1DB=．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，∠A1NP=α．由此能推导出α≤∠A1DB．【解答】解：设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．在△A1DB中，cos∠A1DB===．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，则∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，所以∠A1NP=α．在Rt△A1ND中，DN=A1Dcos∠A1DC=cos θ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sin θ．同理，BM=PN=sin θ，DM=cos θ，故BP=MN=2cos θ．由题意BP⊥平面A1NP，故BP⊥A1P．在Rt△A1BP中，A1P2=A1B2﹣BP2=t2﹣（2cos θ）2=t2﹣4cos2θ．在△A1NP中，cos α=cos∠A1NP=====．∴cos α﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+=（1+cos∠A1DB）≥0，∴cos α≥cos∠A1DB（当θ=时取等号），∵α，∠A1DB∈[0，π]，而y=cos x在[0，π]上为递减函数，∴α≤∠A1DB．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为﹣35 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，计算数量积．【解答】解： =（x+3，y﹣3），=（x﹣3，y+3），∴•=（x+3）（x﹣3）+（y﹣3）（y+3）=x2﹣9+y2﹣27=1﹣36=﹣35．故答案为﹣35．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．【考点】弧长公式．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则．同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．故答案为：16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为ab ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即点Q（﹣asinθ，bcosθ），那么|OP|2•|OQ|2=（a2cos2θ+b2sin2θ）•（a2sin2θ+b2cos2θ）=a2b2+14sin22θ，所以当sin2θ=0时，乘积|OP|•|OQ|最小值为ab．故答案为：ab．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，，的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a 的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣121．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM 是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）先由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k1+k2=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，，∵k1+k2==1+m•=1+m•=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．。
2018-2019年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二上学期数学期末试卷(理科)【答案版】
---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品------文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二上学期数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“ｍ∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l?α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4B．3C．2D．15．（5分）直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）7．（5分）已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M ∩N≠?，则b的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图抛物线C1：y2=2px和圆C2：+y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则?的值为（）A．B．C．D．p211．（5分）椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥αB．∠A1DB≤αC．∠A1DB≥αD．∠A1CB≤α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．（5分）若命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则?的值为．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．16．（5分）椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|?|OQ|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．19．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20．（12分）椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．21．（12分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．22．（12分）如图，已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“ｍ∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“ｍ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：B．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．4．（5分）设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l?α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4B．3C．2D．1【解答】解：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l?β，故①错误，②若α⊥β，l?α，则l⊥β或l∥β，故②错误，③若l⊥m，m⊥n，则l∥n或l与n相交或l与n异面，故③错误，④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，若n∥β，则m⊥n．故④正确，故正确的是④，故选：D．5．（5分）直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选：B．6．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选：A．7．（5分）已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M ∩N≠?，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∵M∩N≠?，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠?，∴2b2≤3∴﹣≤b≤故选：C．8．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选：A．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=×R=，故R=4，则球O的表面积为4πＲ2=64π，故选：B．10．（5分）如图抛物线C1：y2=2px和圆C2：+y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则?的值为（）A．B．C．D．p2【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故选：A．11．（5分）椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于﹣1，∴?=﹣1，∴m2=﹣（+c）?（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．12．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥αB．∠A1DB≤αC．∠A1DB≥αD．∠A1CB≤α【解答】解：设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．在△A1DB中，cos∠A1DB===．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，则∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，所以∠A1NP=α．在Rt△A1ND中，DN=A1Dcos∠A1DC=cos θ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sin θ．同理，BM=PN=sin θ，DM=cos θ，故BP=MN=2cos θ．由题意BP⊥平面A1NP，故BP⊥A1P．在Rt△A1BP中，A1P2=A1B2﹣BP2=t2﹣（2cos θ）2=t2﹣4cos2θ．在△A1NP中，cos α=cos∠A1NP=====．∴cos α﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+=（1+cos∠A1DB）≥0，∴cos α≥cos∠A1DB（当θ＝时取等号），∵α，∠A1DB∈[0，π]，而y=cos x在[0，π]上为递减函数，∴α≤∠A1DB．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．（5分）若命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【解答】解：∵命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）14．（5分）在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则?的值为﹣35．【解答】解：=（x+3，y﹣3），=（x﹣3，y+3），∴?=（x+3）（x﹣3）+（y﹣3）（y+3）=x2﹣9+y2﹣27=1﹣36=﹣35．故答案为﹣35．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则．同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．故答案为：16．（5分）椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|?|OQ|的最小值为．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（，|OQ|sin（），由P、Q在椭圆上，得：，①，②①+②，得=，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|?|OQ|最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC?平面PAC，CP?平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．19．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（6分）（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…（12分）20．（12分）椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设 A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣121．（12分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．22．（12分）如图，已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，，∵k1+k2==1+m?=1+m?=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---百度文库——让每个人平等地提升自我---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品------文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品------文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品------文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品------文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品------文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品---第21页（共21页）。
安徽省合肥一中2017-2018学年高二上学期段一考试数学理试题 Word版含答案
合肥一中2017-2018学年第一学期高二年级段一考试数学（理）试卷一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1、如果直线a 与直线b 是异面直线，直线a c //，那么直线b 与c （ ）A. 异面B. 相交C. 平行D. 异面或相交2、若用n m ,表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列正确的是 （ ）A. 若α⊂n n m ,//，则α//mB. 若α⊂n n m ,//，则n m //C. 若αα//,//n m ，则n m //D. 若αα⊥⊥n m ,，则n m //3、利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是 （ ）4、一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的 （ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且4:1::==FD AF EB AE ,又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ）A. BD//平面EFGH 且EFGH 为矩形B. EF//平面BCD 且EFGH 为梯形C. HG//平面ABD 且EFGH 为菱形D. HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形6、中心角为 135的扇形，其面积为1S ，其围成的圆锥的全面积为2S ，则21S S = ( ) A. 811 B. 813 C.118 D. 138 7、自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC ，求222MCMB MA ++的值 （ ）A. 22RB. 23RC. 24RD. 25R 8. 已知正四棱锥S-ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角为（ ）A. 90B. 60C. 45D.309、棱长为2的正方体被一平面截得得几何体三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是 （ ）A. 314B. 310 C. 4 D. 3 10、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A. π481 B. π16 C. π9 D. π427 11、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则b a +的最大值为 （ ） A. 22 C. 32 D. 4 D. 5212、在长方体1111D C B A ABCD -，1,21===AA BC AB ,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP+PQ 的最小值为 （ ） A. 22 B. 23 C. 43 D. 1 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）1314、长方体1111D C B A ABCD -中，AB=4,AD=3,621=AA ,则1AC 与BD 所成角的余弦值为15、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21,S S ，体积分别为21,V V ，若它们的侧面积相等，且91621=S S ,则21V V 的值为 16、由空间一点O 出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为三、解答题（共5小题，共70分）17、（本题10分）已知正方形1111D C B A ABCD -中，E,F 分别为1111,B C C D 的中点Q EF C A P BD AC =⋂=⋂11,,求证：（1）D,B,F,E 四点共面；（2）若C A 1交平面DBEF 于R 点，则P,Q,R 三点共线。
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线方程为y2=12x，则下列说法正确的是（）A . 抛物线通径长为5B . 焦点在y轴上C . 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D . 过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为102. （2分）(2017·山东模拟) 命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A . ∃x∈R，x2+x≤0B . ∃x∈R，x2+x＜0C . ∀x∈R，x2+x≤0D . ∀x∈R，x2+x＜03. （2分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，++=（）A .B .C .D .4. （2分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A . 对立事件B . 互斥但不对立事件C . 不可能事件D . 必然事件5. （2分）从甲、乙两个班级各抽取5名学生参加英语口语竞赛，他们的成绩的茎叶图如图：其中甲班学生的平均成绩是85，乙班学生成绩的中位数是84，则x+y的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 106. （2分）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）A . l∥αB . l⊥αC . l⊂αD . l与α相交但不垂直7. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A . 72B . 90C . 101D . 1108. （2分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A . 若a，b都不是奇数，则a+b是偶数B . 若a+b是偶数，则a，b都是奇数C . 若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数D . 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数9. （2分）(2017·西城模拟) 设双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A .B .C . x±8y=0D . 8x±y=010. （2分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB . 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC . 若α⊥β，m⊥α，则m∥βD . 若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）(2017·长宁模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为________．12. （1分） (2018高一下·江津期末) 高一某班有学生50人，其中男生30人。
安徽省合肥市2017-2018学年高二数学上学期入学考试试题文
安徽省合肥市2017-2018学年高二数学上学期入学考试试题 文（无答案）一填空题。
1（必修2）下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ）2．（ 9.2 合肥一六八中学高一数学综合检测试卷（B ））如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩,期中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(1.1解三角形A 卷）在钝角△ABC 中，a ＝1,b ＝2，则最大边c 的取值范围是（ ）A ．1〈c <3B ．2〈c 〈3C 。
错误!<c 〈3D ．2错误!〈c 〈3 4(1.2解三角形B 卷）函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为( )A ．)(,4Z k k k ∈⎥⎦⎤⎝⎛-πππ B ．)(8,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππC ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππD ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛++ππππ5有下列数组排成一排：121321432154321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123412345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345则此数列中的第2011项是( ）.A 757 .B 658 .C 559 .D 4606．（2.1数列A 卷）已知数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，数列{}n b 满足关系31212312n n n a a a a b b b b ++++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为（ ） A. 454- B. 450- C 。
446- D 。
442-7关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B 。
2017-2018学年安徽省合肥市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年安徽省合肥市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.合1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．（﹣1，3]B．（﹣1，2]C．[1，2）D．（2，3]2．（5分）已知复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．13．（5分）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3．若从右图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足条件，且z＝2x﹣y，则z的取值范围是（）A．[﹣6，+∞）B．C．D．5．（5分）已知直线l：x+y﹣5＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝（）A．B．2C．2D．46．（5分）执行下面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是（）A．i＜4？B．i＜5？C．i＜6？D．i＜7？7．（5分）已知tanα＝3，则sin（）•cos（）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣8．（5分）已知双曲线M：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线M的标准方程是（）A．﹣y2＝1或﹣＝1B．﹣y2＝1或x2﹣＝1C．﹣＝1或x2﹣＝1D．﹣＝1或﹣＝19．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半图及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成则该几何体的表面积等于（）A．48+8πB．48+4πC．64+8πD．64+4π10．（5分）若将函数f（x）＝cos2x（1+cos x）（1﹣cos x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）的单调递减区间为（）A．[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）B．[kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+kπ，]（k∈Z）D．[，+]（k∈Z）11．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+2cos x，其中e为自然对数的底数，则对任意a∈R，下列不等式一定成立的是（）A．f（a2+1）≥f（2a）B．f（a2+1）≤f（2a）C．f（a2+1）≥f（a+1）D．f（a2+1）≤f（a）12．（5分）在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝1，AB＝，将△ABC绕BC旋转，使得点A转到点P，如图，若D为BC的中点，E为PC的中点，AE＝，则AB与平面ADE 所成角的正弦值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若与的夹角为135°，||＝1，||＝，则||＝．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝2S n（n∈N*），则a10＝．15．（5分）将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有种．16．（5分）已知f（x ）＝（其中a＜0，e为自然对数的底数），若g（x）＝f[f（x）]在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{a n}各项都是正数，其中a3，a2+a3，a4成等差数列，a5＝32．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{log2a n}的前n项和为S n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）已知：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C 所对的边长，+＝0．（1）判断△ABC的形状；（2）若C ＝，c ＝﹣，求△ABC的面积．19．（12分）统计学中，经常用环比同比来进行数据比较环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月份与2017年6月份相比同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月份与2016年7月份相比，环比增长率＝×100%，同比增长率＝×100%下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：（1）（i ）求该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）； （ii ）除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？ （2）由以上数据可以判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，写出y 关于x 的线性回归方程＝x +（，保留2位小数），并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数（结果保留1位小数，参考数据与公式：，，＝9，＝115，＝）20．（12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∠ABE ＝60°，G 为BE 的中点．（1）求证：平面ACG ⊥平面BCE ； （2）若AB ＝，求二面角B ﹣CA ﹣G 的余弦值．21．（12分）已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）经过点M （2，1），且离心率e ＝．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别是椭圆C 的上顶点、右顶点，点P 是椭圆C 在第一象限内的一点，直线AP ，BP 分别交x 轴，y 轴于点M ，N ，求四边形ABMN 面积的最小值．22．（12分）已知f（x）＝（其中a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，且x1＞x2，求证．f（x1）+f（x2）＞x1+x2．2017-2018学年安徽省合肥市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.合1．【解答】解：集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1，2）．故选：C．2．【解答】解：复数z＝＝＝＝﹣i，则|z|＝1，故选：D．3．【解答】解：每个直角三角形的直角边的边长分别是2和3，∴大正方形的边长为＝，小正方形的边长为3﹣2＝1；∴大正方形的面积为13，小正方形的面积为1；由测度比为面积比，可得在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为P＝1﹣＝．故选：C．4．【解答】解：由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，作出实数x，y满足条件对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点A时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得A（﹣2，2），所以z的最大值为z＝﹣2×2﹣2＝﹣6，由解得B（，），z的最小值z＝2×﹣＝，故﹣6≤z≤，故选：D．5．【解答】解：由圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），可得圆心坐标为（2，1），则圆心到直线l：x+y﹣5＝0的距离d＝．∵直线l与圆C相交所得的弦长为2，∴r＝．故选：B．6．【解答】解：当S＝0时，不满足输出结果为15，进行循环后，S＝1，i＝2；当S＝1时，不满足输出结果为15，进行循环后，S＝3，i＝3；当S＝3时，不满足输出结果为15，进行循环后，S＝6，i＝4；当S＝6时，不满足输出结果为15，进行循环后，S＝10，i＝5；当S＝10时，不满足输出结果为15，进行循环后，S＝15，i＝6；当S＝15时，满足输出结果为15，故进行循环的条件，应为：i＜6？故选：C．7．【解答】解：tanα＝3，则sin（）•cos（）＝﹣sinαcosα＝＝﹣＝﹣．故选：B．8．【解答】解：根据题意双曲线M：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，则双曲线的一个焦点为F（﹣2，0），有a2+b2＝c2＝4，①，双曲线的两条渐近线的夹角为60°，一条渐近线的斜率为，或渐近线的斜率为：＝或＝，②联立①、②可得：a2＝1，b2＝3，或a2＝3，b2＝1；则要求双曲线的方程为：﹣y2＝1或x2﹣＝1；故选：B．9．【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为4的正方形，高为2的直四棱柱；上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球．∴S表面积＝4×4+2×16+4×4﹣π×22+2π×22＝64+4π．故选：D．10．【解答】解：将函数f（x）＝cos2x（1+cos x）（1﹣cos x）＝cos2x•sin2x＝sin22x＝•＝﹣cos4x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝﹣cos2x 的图象，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ≤﹣x≤kπ，可得g（x）的减区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，故选：A．11．【解答】解：∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）在R上是偶函数．函数f（x）＝e x+e﹣x+2cos x，f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2sin x，令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣2sin x，则g′（x）＝e x+e﹣x+2cos x≥0，∴函数g（x）在R上单调递增，∵f′（0）＝0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．∵a2+1≥2|a|≥0，∴f（a2+1）≥f（2|a|）＝f（2a），∴f（a2+1）≥f（2a），故选：A．12．【解答】解：如图，由题意可知，CE＝，又AE＝，AC＝1，∴CE2+AE2＝AC2，即AE⊥PC，∵D，E分别为BC，PC的中点，∴DE∥PB，∵BP⊥PC，∴PC⊥DE，而AE∩DE＝E，∴PC⊥平面ADE，延长ED至F，使ED＝DF，连接BF，则△CED≌△BFD，可得BF⊥平面AED，∴∠BAF为AB与平面ADE所成角，在Rt△AFB中，由BF＝CE＝，AB＝，可得sin∠BAF＝．∴AB与平面ADE所成角的正弦值是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵与的夹角为135°，||＝1，||＝，∴||＝＝＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝2S n（n∈N*），可得＝＝29，S10＝29，得＝＝28，S9＝28，则a10＝S10﹣S9＝28＝256．故答案为：256．15．【解答】解：根据题意，用间接法分析：若三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，且任意两颗棋子不同行、不同列；第一颗棋子有3×3＝9种放法，第二颗棋子有2×2＝4种放法，第三颗棋子有1种放法，则任意两颗棋子不同行、不同列的放法有9×4×1＝36种，其中在正方形的同一条对角线上的放法有2×A33＝12种，则满足题意的放法有36﹣12＝24种；故答案为：24．16．【解答】解：（1）当x≤a时，f（x）＝x2﹣4，①当x2﹣4≤a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）＝（x2﹣4）2﹣4＝0得x＝﹣；②当x2﹣4＞a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）＝﹣1＝0 得x＝﹣2（2）当x＞a时，f（x）＝e x﹣1，①当e x﹣1≤a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）＝（e x﹣1）2﹣4＝0得e x＝﹣1 无解，②当e x﹣1＞a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）＝﹣1＝0解得x＝0，因为g（x）＝f（f（x））在R上有三个不同的零点，所以，解得：﹣≤a＜0，故答案为：[﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）等比数列{a n}各项都是正数，设公比为q，q＞0，其中a3，a2+a3，a4成等差数列，a5＝32，可得a3+a4＝2（a2+a3），即a1q2+a1q3＝2（a1q+a1q2），又a1q4＝32，解得a1＝2，q＝2，则a n＝a1q n﹣1＝2n；（2）log2a n＝n，S n＝n（n+1），＝＝2（﹣），前n项和T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．18．【解答】解：（1）由+＝0，得，即sin A cos A＝sin B cos B，sin2A＝sin2B．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴2A＝2B或2A+2B＝π，则A＝B或A+B＝．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形；（2）由C＝，可知△ABC是等腰三角形，设a＝b＝x，又c＝﹣，∴，解得x2＝4．∴．19．【解答】解：（1）（i）该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为：×100%≈10%；（ii）由已知环比增长率为负值，即本期数＜上期数，从表中可以看出：2017年3月，2017年6月，2017年8月，2018年2月，2018年4月共5个月的环比增长率为负数；（2）由已知计算得：＝≈1.16，＝﹣＝104.56，故回归方程是：＝1.16x+104.56，当x＝18时，＝125.4，即预测该地区2018年6月的消费者信心指数约是125.4．20．【解答】证明：（1）∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∴AB⊥BC，∵矩形ABCD∩菱形ABEF＝AB，∴BC⊥平面ABEF，∵AG⊂平面ABEF，∴BC⊥AG，∵菱形ABEF中，∠ABE＝60°，G为BE的中点．∴AG⊥BE，∵BC∩BE＝B，∴AG⊥平面BCE，∵AG⊂平面ACG，∴平面ACG⊥平面BCE．解：（2）∵AG⊥BE，BC⊥平面ABEF，∴AD⊥平面ABEF，AG⊥AF，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝＝，则BC＝1，AG＝，A（0，0，0），B（，﹣，0），C（，1），G（，0，0），＝（，0），＝（，1），＝（，0，0），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（1，，0），设平面ACG的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，），设二面角B﹣CA﹣G的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣CA﹣G的余弦值为．21．【解答】解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点M（2，1），且离心率e＝．∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为+＝1．（2）设A，B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，则A（0，），B（2，0），设P（x0，y0），则AP：y＝x+，可得M（﹣，0），BP：y＝（x﹣2），可得N（0，﹣），由+＝1，即x02+4y02＝8，|AN|•|BM|＝（+）（2+）＝＝＝8，则四边形ABMN的面积＝S△OMN﹣S△OAB＝（|OM|•|ON|﹣|OA|•|OB|）＝[（|OA|+|AN|）（|OB|+|BM|）﹣|OA|•|OB|]＝（|BM|+2|AN|+8）＝（BM|+2|AN|）+4≥4+•2＝4+4，当且仅当|BM|＝4，|AN|＝2，上式取得等号，则四边形ABMN的面积为4+4．22．【解答】解：（1）f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，当a＝0时，f′（x）＝，可得f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；当a＞0时，由﹣1＜，可得：f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；（﹣1，）递增，在（，+∞）递减；当a＜0时，由﹣1＞，可得：f（x）在（﹣∞，）递增；（，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；（2）证明：x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，且x1＞x2，可得a＞0或a＜0，极大值点、极小值点分别为﹣1，，要证f（x1）+f（x2）＞x1+x2，即证0+f（）＞﹣1+，即为f（）＞﹣2，即有＞﹣2，当a＜0和a＝0，上式显然成立；当a≥1时，上式也显然成立；当0＜a＜1时，设﹣2＝t，t＞0，即证＜t+4+，由t+4+≥4+2＝8，当且仅当t＝2取得最小值，由＝∈（0，e2），显然e2＜8，则＜t+4+成立，综上可得，f（x1）+f（x2）＞x1+x2．。
安徽省合肥市第一六八中学高二(凌志班)上学期期末考试
合肥一六八中学2017-2018学年度第一学期高二年级数学期末考试试题（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.30y ++=的倾斜角为（ ） A.6π B. 3πC. 23πD.56π2．命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意R x ∈，使得20x <B ．存在0R x ∈，使得200x < C ．存在0R x ∈，都有200x ≥ D ．不存在R x ∈，使得20x < 3.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A.2π B.3π C.4π D.π4．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列三个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若γαβα⊥⊥,，则b g . 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．直线()1:340l a x y +++=与直线()2:140l x a y +-+=垂直，则直线1l 在x 轴上的截距是( )A. -4B. -2C. 2D. 46. 已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要件 7．空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =,OC c =,点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．121-232a b c +B ．211322a b c -++C ．112-223a b c + D ．221-332a b c +8．圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．39．已知椭圆2214y x +=和点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若椭圆的某弦的中点在线段AB 上，且此弦所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为（ ）A ．[4,2]--B ．[2,1]--C ．[4,1]--D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）2 11．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ） A. 10 B .8C.6D. 412. 已知椭圆2213216x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ）A. B .4 D 6 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若向量(2,1,2),|1,a e a e e =-==且|则________.14．三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值为________.15．已知双曲线22145x y -=的右焦点与抛物线2y ax =的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为________.16.方程22(0x y +-=表示的曲线方程是________.三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程步骤）17．（10分）已知a R ∈，设命题p ：指数函数(0,xy a a a =>且≠1)在R 上单调递增.命题q ：函数2ln(1)y ax ax =-+的定义域为R ．若“p q 且”为假，“p q 或”为真，求a 的取值范围．18.（12分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=． （1）当直线l的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（2）设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程．19．（12分）边长为2的正三角形ABC 中，点,,D E G 分别是边,,AB AC BC 的中点，连接DE ，连接AG 交DE 于点F 。