抽象函数定义域的求法
抽象函数的定义域
总结解题模板
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中
b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知
15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．
解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033
x ∴
≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033??
????
，．
变式训练：
若函数)(x f y =的定义域为??
????2,2
1，则)(log 2x f 的定义域为 。
分析：由函数)(x f y =的定义域为??
?
???2,2
1可知：221
≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有
2log 2
1
2≤≤x 。 解：依题意知：
2log 2
1
2≤≤x 解之，得：42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{
}
42|
≤≤x x
例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．
分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为
()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。
本题中令2
22u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，
由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得2
1225x x -+≤≤．
令2
22u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 变式训练：
已知函数的定义域为，则的定义域为
________。 解：由，得
所以，故填
例3. 函数
定义域是
，则
的定义域是（ ）
A. B. C. D.
分析：已知的定义域，求
的定义域，可先由
定义域求得
的定义域，再由的定义域求得
的定义域
解：先求
的定义域
的定义域是，
即的定义域是，再求
的定义域
的定义域是，故应选A
变式训练：
已知函数f(2x
）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
分析：先求2x
的值域为M 则log 2x 的值域也是M ，再根据log 2x 的值域求定义域。
解 ∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21
≤2x
≤2.
∴函数y=f(log 2x)中21
≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.
故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］
例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域．
分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ?必有353255x x --??
-+?，
，
≤≤≤≤解得40x -≤≤．
所以函数()x ?的定义域为[]40-，． 变式训练：
已知函数的定义域是，求的定义
域。
分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有
，即
函数的定义域由
确定
函数
的定义域是
例5 若函数f (x +1)的定义域为[－
21，2]，求f (x 2
)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是2
1
＜x ＋1＜3，得到
f (x )的定义域，然后f (x 2
)的定义域由f (x )的定义域可得．
解：先求f (x )的定义域： 由题意知－
21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2
1
，3]， 再求f [h (x )] 的定义域： ∴
21＜x 2
＜3，解得－3＜x
＜－2
或2
＜x ＜3． ∴f (x 2
)的定义域是{x |－3＜x
＜－
2
或2
＜x ＜3}． 例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下
部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三
角形. 要求框架围成的总面积8cm 2
. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：
（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积； （2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）； （3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为
8412=+
=+x xy S S 矩形三角形，由于0>xy ，于是84
1
2 解：由题意得 xy+41x 2=8,∴y= x x 482- =4 8x x -(0 l=2x+2y+2( x 2 2 )=(23+2)x+x 16≥4246+. 当( 23+2)x=x 16 ,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 变式训练： 13.（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值. 解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图）， 则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程 142 2 22=+r y r x (y ≥0), 解得y=222x r - (0 2 1 (2x+2r)·222x r - =2(x+r)·22x r -,其定义域为{x|0 （2）记f(x)=4(x+r)2 (r 2 -x 2 ),0 (r-2x). 令f ′(x)=0,得x=21r.因为当0 r 时，f ′(x)>0; 当2r 1 r ）是f(x)的最大值. 因此，当x= 21 r 时，S 也取得最大值，最大值为22 33)21(r r f =. 即梯形面积S 的最大值为.2 332 r 巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析） 1. 设函数的定义域为，则 （1）函数的定义域为________。 （2）函数 的定义域为__________。 分析：做法与例题1相同。 解：（1）由已知有，解得 故 的定义域为 （2）由已知，得 ，解得 故 的定义域为 2、已知函数的定义域为，则的定义域为 ________。 分析：做法与例题2相同。 解：由 ，得 所以 ，故填 3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为 ________。 分析：做法与例题3相同。 解：由 ，得 所以 ，所以0≤3x-5≤1,所以5/3≤x ≤2. 4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求y=f ()3 1()31 -++x f x 定义域。 分析：做法与例题4相同。 解 ：由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1(-x 定义域的交集. 列出不等式组,323134 3 13 23113101310≤≤????????≤≤≤≤-??????? ?≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31 ()31(-++x f x 的定义域为?? ? ???3 2,31. 函数定义域的类型和求法 本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得或。③ 由②解得或④ ③和④求交集得且或x>5。 故所求函数的定义域为。 例2 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得③ 由②解得④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知的定义域，求的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。 例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。 （2）已知的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为。 即函数f(x)的定义域是。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。 评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即 无实数 ①当k≠0时，恒成立，解得； 高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； 函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。 抽象函数定义域问题的教学反思 【摘要】抽象函数定义域问题一直是学生学习的难点，如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者从四个方面提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 【关键词】抽象概念形象化具体化逐步渗透 函数出现在苏教版必修一第二章节，作为高考的必考内容，函数占了相当大的比例和分量，而其中抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是初学时求其定义域，许多同学解答起来总感觉到棘手．所以如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 1、理解函数概念，追溯问题源头 新课改以来，概念教学的重要性日益提高，李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”但在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一到概念教学就觉得“没意思，没用，难教”等等，往往就走走过场，既没有在概念的背景上下工夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，以解题教学代替概念教学。 抽象函数定义域问题归根结底还是要回归到函数概念上。抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数,其概念是非常简单的形式定义,它的意象表征抽象而又比较灵活,学生理解有相当难度,很难明确概念的内涵,并对概念的本质属性 准确揭示。而抽象概念学习是整个抽象函数的基础,概念不清就谈不上进一步讨论抽象函数的其它问题。一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,其中x叫做自变量,x的取值范围也就是集合A叫做函数的定义域.因此任何函数的定义域都是指自变量x 的取值范围.正是由于定义域中自变量x的首先变化，引起了函数值的变化，所以，函数的定义域确切的说是函数中首先变化的那个量的所有取值组成的集合。 2、抽象知识形象化，激发学生的学习兴趣 本人任教农村中学的高中数学,学生基础较差,接受能力较弱。绝大多数同学学不好数学,在于上课听不懂,对抽象知识难以理解。这就需要教师时时刻刻地站 函数的定义域及其求法（知识点） 一．定义域 定义域、值域、对应法则合称为函数的三要素．本词条主要介绍函数定义域的概念及其求法. 二．函数定义域的概念 函数的定义域就是指自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分．定义域必须是非空数集，且必须写成区间或集合的形式． 例如：一次函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域为 (或写成(,)-∞+∞)． 三．函数定义域的求法 在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种． 四．具体函数的定义域 对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．常见情形如下： 1. 若函数()f x 为整式，则其定义域为实数集 ． 例如，二次函数2()1f x x x =++的定义域为． 2. 若函数()f x 是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数的集合. 例如，函数1()1 f x x =-的定义域为{1}x x ≠． 3. 若函数()f x 是偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于或等于零的全体实数构成的集合. 例如，函数()f x =[1,)-+∞. 4. 若函数()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使是使各部分都有意义的实数的集合， 即交集. 例如，函数1()1 f x x =-[1,1)(1,)-+∞. 5. 若函数0()f x x =，则其定义域是{0}x x ∈≠． 注：除了上述情形，还应注意指数函数和对数函数均需满足底数大于零且不等于1，对数函数的真数必须大于零，以及三角函数的定义域，如正切函数的定义域为ππ,2x x k k ??≠+∈???? 例 ：求下列函数的定义域：①y = 2310x y x x --；③() f x =. 解：①由80,30,x x +??-?≥≥得83x -≤≤．所以原函数的定义域为[]8,3-． ②由220,3100,x x x +???--≠?? ≥解得()() 2250x x x -???+-≠??≥所以2,2,5,x x x -??≠-≠?≥即25x -<<或5x >．所以原函数的定义域为()()2,55,-+∞． 高一的函数定义域的求法 . 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)的定义域为（1，2），求f (2x+5)的定义域： 已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)的定义域为（1，2），求f(x)的定义域： 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)=x+1，求f(2x+5)的解析式：已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)=x+1,求f(x)的解析式： 已知函数y=f(x+1)定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 若函数y=f（x）的定义域为[-2，2]，则求函数y=f（x+1）+f （x-1）的定义域． 若函数y=f(x)的定义域为〔-1，1〕，求函数y=f(x+1/4)·f(x-1/4)的定义域 若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？ 若函数y=f[x]的定义域是【－２，４】，则函数g[x]=f[x]+f[-x]的定义域是多少？ 若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？ 1、这类题，就是把g(x)看成一个整体y，f(x)和f(y)的定义域是一样的，得出y的围后再求解x的定义域。 f(x)的定义域是（1，2）,令y=2x+5,则f(2x+5)=f(y) ,y的定义域是（1，2），所以1<2x+5<2 1<2x+5<2 -2 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数定义域的类型及求法 一、已知解析式型（所有同学一定要会的） 二、含参问题（很重要） 三、抽象函数（复合函数）的定义域 1已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域 其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[] ()f g x 的定义域． 例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 2、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[] 03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 3，已知[]()f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的取值范围即为()h x 的取值范围，由()h x 的取值范围即可求出 [()]f h x 的定义域x 的取值范围。 例2 已知函数(1)f x +的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：令1,35u x t x =+=-，则(1)(),(35)()f x f u f x f t +=-=， (),()f u f t 表示的是同一函数，故u 的取值范围与t 相同。 解：()f x 的定义域为[]15-，，即15x ∴-≤≤016x ∴+≤≤。 056x ∴-≤3≤ 【知识要点】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零. 2(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根 (21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈. 3、指数函数x y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且. 4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且. 5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠. 6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2 x x k k z π π≠+∈. 7、复合函数的定义域的求法 （1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域. （2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数 ()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域. 8、求函数()()y f x g x =+的定义域 一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的 定义域. 9、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上 是集合的一种特殊表示形式. 四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法. 五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则. 研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】 【例1】求函数y . 【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数y =. B ,A B 就是函数 【例2】求函数y =3log cos x 的定义域. 【解析】由题得?? ? ??∈+<<-≤≤-∴???>≥-z k k x k x x x 22225 50cos 0252π πππ ∴}52 3 22235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或 所以函数的定义域为}52 3 22235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项 函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪，苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足］ ' - 即J ”工+引―8工0 ［工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析；函数的定文域为R ，表明他：-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立，由厂 项的系數是刖，所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时，函数的定义域为R ; ② 当用=0时，mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式，其对一切实数X 都成立的充 综上可知；0 ￡ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域 其解法是：若f (x)的定义域为a < x < b ，则在f g(x)中，a < g(x) < b ，从中解得x 的取值范 要条件是. 围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,，求f(3x 5)的定义域. 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f (u)是同一个函数，因此这里是已知 1 < u < 5，即K 3x 5 < 5，求x的取值范围. 4 10 解：Q f(x)的定义域为1,， 1 < 3x 5 < 5，4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x< n，则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域. 分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解：由0 < x < 3，得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2，贝y f (x2 2x 2) f (u)，1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1，. 3，已知f g(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x < n，则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围，由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1，，求f(3x 5)的定义域. 分析：令u x 1,t 3x 5，则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t)， f (u), f (t)表示的是同一函数，故u的取值范围与t相同。 解：Q f(x)的定义域为1，，即K x < 5 0 < x 1 < 6。 抽象函数定义域问题 这类题往往困扰着高一同学，大家总弄不明白一会x是这个范围，怎么一会又是另一个范围了，在讲解这类题目之前请大家明确3个问题： 1)凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。 2)f( )表示的是同一对应法则，同一对应法则括号里的范围一致 3)f( )与g( )表示不同的对应法则括号里范围不一致 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 函数定义域括号里的范围 F(x) 0≦x≦30≦x≦3 F(3+2x) 3/2≦x≦00≦3+2x≦3易知F(3+2x)的定义域为｛x|3/2≦x≦0｝括号里范围一致 根据括号里范围求x范围定义域是指自变量x的取值范围 【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的 定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解： 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(x) -1≦x ≦5 -1≦x ≦5 v 易知F(x)的定义域为｛x|-1≦x ≦5｝ 【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 解：思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(3+x) -4≦x ≦2 -1≦3+x ≦5 v 易知易知F(x)的定义域为｛x|-4≦x ≦2｝ 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围 例1，求下列分式的定义域。 2 求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ） （的定义域 解：（1）依题意可得,须是分母不能为零并且该根式也必须有意义，则 解得 x ≥3或x ＜2 因此函数的定义域为｛X ︱x ≥3或x ＜2｝。 （2） 要使函数有意义，则?????≠+≠-≥-. 03032023x x x ，，所以原函数的定义域为{x|x ≥32，且x ≠32}. 评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。 例2，求下列关于对数函数的定义域 例1 函数x x y --=312log 2的定义域为 。 分析：对数式的真数大于零。 解：依题意知：0312>--x x 即0)3)(12(>--x x 解之，得321< 配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式 换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。 f(x ＋1)＝x 2 ＋x,函数f(x)的解析式： 复合函数的定义域 复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ， 22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f 复合函数的定义域求法 .已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。 赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 1 函数的定义域及其求法（知识讲解） 一．求定义域问题 概述 在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种． 1．对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合． 2．求[[抽象函数的定义域求法|抽象函数的定义域]]时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围． 3．在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围． 应用举例 求具体函数定义域 1．求函数( )256lg 3 x x f x x -+=-的定义域． 解：由二次根号和对数函数，可得 24||0,560.3 x x x x -???-+>?-? 解得 233 4.x x <<<或 因此，函数的定义域为{|2334}x x x <<<或 注：函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合． 二．求抽象函数的定义域 1．已知函数()f x 的定义域为(2,1)-，求函数(21)f x +的定义域． 解：由题意知 21(2,1),x +∈- 解得302x -<<，故定义域为3,02??- ???． 2．已知函数(3)f x -的定义域为(1,4)，求函数(21)f x +的定义域． 解：由题意得 14,x << 因此， 231,x -<-< 故可以得出， 21(2,1),x +∈- 解得302x -<<，故定义域为3,02??- ???． 注：①.定义域是自变量x 的取值范围. ②.被同一个对应法则f 作用下的对象的取值范围相同. 三．实际应用中的函数求定义域 1．将长为8的铁丝折成矩形，则矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式为24y x x =-+,求其定义域. 解：由函数的实际意义，知自变量x 应满足 0,1(82)0.2 x x >???->?? 解得04x <<.所以定义域为(0,4). 注：实际应用中的函数定义域不仅受到函数自身表达式的限制，而且还受实际意义的影响. 四．拓展 有些问题是给出了函数的定义域，而求参数的值或范围.此时需要找出定义域的限制条件对其进行分析解答.例如： 1．函数2743 kx y kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围. 解：由题意，2430kx kx ++≠恒成立，所以 20,0,30.(4)120.k k k k ≠?=????≠?=- 抽象函数定义域 的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难 度，特别是求其定义域时， 许多同学解答起来总感棘手． 下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域 其解法是：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g( x) 中， a ≤ g ( x) ≤ b ，从中 解得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域． 例 1 已知函数 f (x) 的定义域为 15， ，求 f (3 x 5) 的定义域． 分析：该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中 x 是自变量， u 是中 间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是 同一个函数，因此这里是 已知 1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5≤ 5，求 x 的取值范围． 解： f ( x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 4 ≤ x ≤ 10 ． 3 3 故函数 f (3 x 5) 的定义域为 4 10 3 ， ． 3 二、已知 f g( x) 的定义域，求 f (x) 的定义域 其解法是：若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g (x) 的范 围即为 f ( x) 的定义域． 例 2 已知函数 f (x 2 2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域． 分析： 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域． 解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 2x 2 ≤ 5 ． 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ． 故 f ( x) 的定义域为 15， ． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各函数定义域的类型和求法
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