简单的线性规划教学设计(二) 人教课标版(优秀教案)

《简单的线性规划》教学设计（二）【教学目标】巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值．【重点难点】理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点．【教学步骤】一、新课引入我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,在这里开始,教学又翻开了新的一页,在今后的学习中,我们可以逐步看到它的运用．线性规划 先讨论下面的问题设2z x y =+,式中变量x 、y 满足下列条件 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩①求z 的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域,如图中 ABC ∆内部且包括边界．点(0,0)不在这个三角形区域内,当0,0x y == 时,20z x y =+=,点(0,0)在直线0:20l x y +=上．作一组和0l 平等的直线:2,l x y t t R +=∈可知,当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>．即0t >,而且l 往右平移时,t 随之增大,在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l 的直线中,以经过点(5,2)A 的直线l ,所对应的t 最大,以经过点(1,1)B 的直线1l ,所对应的t 最小,所以max 25212z =⨯+=min 2113z =⨯+=在上述问题中,不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又称线性约束条件．2x y +是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫做目标函数,由于2z x y =+又是x 、y 的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数2z x y =+在=0线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示．一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题,满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域,其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】例.解下列线性规划问题:求2z x y =+的最大值和最小值,使式中的x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩解:先作出可行域,见图中表示的区域,且求得11(,),(1,1),(2,1)22A B C ---． 作出直线0:20l x y +=,再将直线0l 平移,当0l 的平行线1l 过 B 点时,可使2z x y =+达到最小值,当0l 的平行线2l 过C 点 时,可使2z x y =+达到最大值．∴min min 2(1)(1)3,22(1)3z z =⨯-+-=-=⨯+-= 通过这个例子讲清楚线性规划的步骤,即:第一步:在平面直角坐标系中作出可行域；第二步:在可行域内找出最优解所对应的点；第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值．例.解线性规划问题:求3z x y =+的最大值,使式中的x 、满足约束条件 23247600x y x y y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 解:作出可行域,见图,五边形OABCD 表示的平面区域． 作出直线0:30l x y +=将它平移至点B ,显然,点B的坐标是可行域中的最优解, 它使3z x y =+达到最大值,解方程组72324x y x y -=⎧⎨+=⎩得点B 的坐标为(9,2)． x yO =1x +y =x y =-1y CB Ax yO =7x -y 876C B A D =0x +y 3=6y =24x +y 2312∴max 39229z =⨯+=这个例题可在教师的指导下,由学生解出．在此例中,若目标函数设为3z x y =+,约束条件不变,则z 的最大值在点(3,6)C 处取得．事实上,可行域内最优解对应的点在何处,与目标函数(0,0)z ax by a b =+≠≠所确定的直线0:0l ax by +=的斜率a b -有关．就这个例子而言,当0l 的斜率为负数时,即0a b -<时,若23a b -=-（直线2324x y +=的斜率）时,线段上所有点都是使z 取得最大值（如本例）；当203a b-<-<时,点C 处使取得最大值（比如:3z x y =+时）,若0a b->,可请同学思考． 二、随堂练习．求725z x y =+的最小值,使式中的x 、y 满足约束条件251551000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ．求1015z x y =+的最大值,使式中x 、y 满足约束条件2243236010011x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩ 答案．5,1x y ==时,min 60z =．．6,9x y ==时,max 195z =．三、总结提炼．线性规划的概念．．线性规划的问题解法．四、布置作业．求3z x y =+的最大值,使式中的x 、y 满足条件23247600x y x y y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ．求160252z x y =+的最小值,使x 、y 满足下列条件0704294530x y x y x y x y≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨+≥⎪⎪⎪⎩ 答案．3,6x y ==时,max 21z =．在可行域内整点中,点(5,0)使z 最小,min 1034z =扩展资料线性规划的解课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解,其实线性规划的解有许多不同的情况,除了有唯一的最优解的情况外,还有 （）无可行解,从而无最优解．这就是约束条件不等式组无解的情况． （）有无穷多个最优解例.已知x 、y 满足4335251x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,求4z x y =-的最大值我们用图解法求解． 由于目标函数等高线和可行域的边界线43x y -=平行,沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线,最终停留在直线43x y -=-上,所以线段AB 上的所有点都是最优解．线性规划如果有最优解,只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况,不会出现其他情况,这就是下面的命题．命题:如果线性规划有两个不同的最优解12P P ,那么对任意1201,(1)P P P λλλ<<=+-是最优解．这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到,这里就不再证明了．事实上证明是平凡的,只要注意到P 在线段12P P 上,利用线性性质,读者就可以自己证明．（）有可行解,无最优解．例.已知4300x y x y -≥-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,求2z x y =+的最大值. 我们用图解法求解．从图中可以看出随着目标函数等高线的移动,目标函数值会越来越大,没有上界．有的书上为整数 为整数称之为无界解．无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域是闭区域,就一定是有界的,于是有命题 如果统性规划可行域是闭区域,那么一定有最优解．只要注意到线性函数是连续函数,上面的命题就是“有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理．从上面的例子中我们可以看出,如果有最优解,那么就有可行域的顶点是最优解．所以也可以通过比较可行域顶点的目标函数值来求线性规划的最优解．例如:4335251x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,求2z x y =+的最大值,中的顶点(5,2)A 的目标函数值是12；(1,1)B 的目标函数值是3;(1,4.4)C 的目标函数值是6.4于是通过比较可以知道(5,2)A 是最优解．线性规划的单纯形算法,就是一种从顶点到顶点并使得目标函数值不断改进的迭代算法,由于可行域的顶点只有有限多个,所以经过有限次送代就可以求出线性规划的最优解．单纯形算法可以求解一般的（变量多于两个）线性规划问题．许多实际问题中变量和约束的个数都很多,有些规模比较大的问题中变量和约束的个数甚至可以上万,这样的问题当然是无法用手工计算的,需要用计算机和专门的软件求解．对于规模不是太大（如几十个变量）的线性规划,现在常用的数学软件如Mathematica ,Matlab 都可以解．下面介绍如何用Mathematica 解线性规划．用Mathematica 解线性规划用的是ConstrainedMax 或者ConstrainedMin 函数,这两个函数的格式如下:ConstrainedMin ［目标函数{约束条件},{变量}］ConstrainedMax ［目标函数{约束条件},{变量}］由于ConstrainedMin 软件是用C 语言编写的,所以它的函数带有C 语言的风格．｛｝表示表格,ConstrainedMax 和ConstrainedMin 函数中都有两个表格,第一个表格是约束条件的表,第二个表格是变量表,表格中的项用逗号分隔．要指出的是由于一般的线性规划中的变量都是非负变量,这两个函数的变量也要求有非负约束,但是非负约束可以不在约束条件表格中列出．例如求解线性规划v x y z =++的最小值250,0,0x y x z x y z +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥≥⎩只要输入[2]:In ConstrainedMin =[,{2,5},{,,}x y z x y x z x y z +++>=+<=计算机就会给出计算结果[2]{2,{2,0,0}}Out x y x =->->->最优值,最优解:2,0,0x y z ===斜体的[2]:In =和[2]Out Mathematica =自动加上的In 表示输入,Out 表示输出,[2]中的2表示行号．用Mathematica 求例中的规划问题,[3]:[2,{43,3525,1},{,}]In ConstrainedMin x y x y x y x x y =+-<=-+<=>=[3]{12,{5,2}}Out x y =->->在许多实际问题中都要求线性规划的最优整数解,课本中也出现了这样的例子和习题．但是笔者以为求最优整数解不应该成为教学的重点．因为求整数解的问题属于整数规划的范畴,而整数规划和线性规划是运筹学中两个不同的分支．教材的作者显然是知道这一点的,所以在教材的处理上回避了如何去求整数解这个问题．作者这样做一方面告诉大家求整数解不应该成为教学的重点,另一方面也给学生留下了一个自由发展的空间．事实上对于课本上出现的这样非常简单的问题只要在非整数优解的附近找出整数可行解,通过比较它们目标函数值的大小就可以求出最优整数解,学生完全可以自己想办法解决．在科普杂志《科学的美国人》()Scientific American 年第期上有一篇介绍线性规划的文章,文章用了下面的一个例子（本文中的数量单位有改动）:某啤酒厂生产两种啤酒,其中淡色啤酒桶,啤酒桶．粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源,每天分别可以提供斤、两和斤．假设生产一桶淡色啤酒需要粮食斤、啤酒花两、麦芽斤；生产一桶啤酒需要粮食斤、啤酒花两、麦芽斤．售出后每桶淡色啤酒可获利元,每桶啤酒可获利元．问等于多少时工厂的利润最大．这个例子的线性规划模型是max 1323z A B =+51548044160203511900,0A B A B A B A B +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 和课本中的例子相比较这个例子有两个优点,一是它的数据更接近实际数据,有真实感,同时由于数字较大求出的最优解不是整数的问题被相对淡化了；另一方面例子中三种约束的单位不同,这在实际问题中经常出现,例子可以告诉学生列规划时并不需要统一各种约束条件的单位．笔者建议在教学中可以使用类似的例子．探究活动利润的线性规划［问题］某企业年的利润为万元年的利润为万元年的利润为元,请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程,从而预年企业的利润,请问你帮该企业预测的利润是多少万？ ［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息:“年的利润为万元年的利润为万元年的利润为万元”,在确定这三点坐标后,如何运用这三点坐标,是仅用其中的两点,还是三点信息的综合运用,运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系,设年的利润为万元对应的点为（）年的利润为万元及年的利润为万元分别对应点（）和（）,那么①若将过两点的直线作为预测直线1l ,其方程为:25y x =+,这样预测年的利润为万元． ②若将过两点的直线作为预测直线2l ,其方程为:352y x =+,这样预测年的利润为万元． ③若将过两点的直线作为预测直线3l ,其方程为:6y x =+,这样预测年的利润为万元．④若将过及线段的中点315(,)22的直线作为预测直线4l ,其方程为:553y x =+,这样预测年的利润为．万元．⑤若将过及ABC ∆的重心20(1,)3（注:203为年的年平均利润）的直线作为预测直线5l ,其方程为:553y x =+,这样预测年的利润为．万元． ⑥若将过及ABC ∆的重心20(1,)3的直线作为预测直线6l ,其方程为:41633y x =+,这样预测年的利润为．万元．⑦若将过且以线段的斜率1BC k =为斜率的直线作为预测直线,则预测直线7l 的方程为:5y x =+,这样预测年的利润为万元． ⑧若将过且以线段的斜率32AC k =为斜率的直线作为预测直线,则预测直线8l 的方程为:31123y x =+,这样预测年的利润为万元. ⑨若将过点且以线段的斜率2AB k =为斜率的直线,作为预测直线,则预测直线9l 的方程为:24y x =+,这样预测年的利润为万元．⑩若将过且以线段的斜率AB k 与线段的斜率AC k 的平均数为斜率的直线作为预测直线,则预测直线10l 的方程为:754y x =+,这样预测年的利润为万元． 如此这样,还有其他方案,在此不—一列举．［思考］（）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致,这是为什么？（）第⑦种方案中,BC k 的现实意义是什么？（）根据以上的基本解题思路,请你思考新的方案．如方案⑥中,过ABC ∆的重心20(1,)3,找出以m 为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围,你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理,使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测,你能得出什么结果？习题精选一、填空题．点P 到直线4310x y -+=的距离等于4,且在不等式230x y +-<表示的平面区域内,则点P 的坐标为＿＿。