直线的点法式方程与一般式方程练习课
直线方程的两点式和一般式课时训练
直线方程的两点式和一般式一、选择题1．经过点A (2，－1)，B (－4,5)的直线的一般式方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝02．直线－x 2＋y3＝－1在x 轴，y 轴上的截距分别为( )A ．2,3B ．－2,3C ．－2，－3D ．2，－33．光线从A (－3,4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,6)，则BC 所在直线的方程为( )A ．5x －2y ＋7＝0B ．2x －5y ＋7＝0C ．5x ＋2y －7＝0D ．2x ＋5y －7＝04．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍， 则( )A ．a ＝3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝－1C ．a ＝－3，b ＝1D ．a ＝－3，b ＝－15．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像只可能是( )二、填空题(每小题5分，共15分)6．如果A ²C <0，且B ²C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 7．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________.8．若直线l 经过点P (1,2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．三、解答题9．已知▱ABCD 的顶点A (1,2)，B (2，－1)，C (3，－3)，求直线BD 的方程．10．若直线经过点A (1,4)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求直线的方程． [提高题]11．已知直线经过A (a,0)，B (0，b )和C (1,3)三个点，且a ，b 均为正整数，则此直线方程为( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝0D ．无法确定12．直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的取值范围是________．13．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．14．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解析】1.解析：因为直线过A (2，－1)，B (－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为y － －1 5－ －1 ＝x －2－4－2，化为一般式得x ＋y －1＝0.答案：D2.解析：由－x 2＋y 3＝－1得x 2＋y－3＝1，则在x 轴，y 轴上的截距分别为2，－3.答案：D3.解析：点A (－3,4)关于x 轴的对称点A ′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为x － －3 1－ －3 ＝y － －46－ －4，即5x －2y ＋7＝0.答案：A4.解析：直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为1b＝－1，解得b ＝－1，又因为3x －y －3＝0的倾斜角为60°，所以直线ax ＋by －1＝0的倾斜角为120°，从而可得斜率k ＝－3＝－a b，解得a ＝－3，故选D.答案：D5.解析：因为ab ≠0，则①当a >0，b >0时，其图像可能为：此时没有符合的．②当a >0，b <0时，其图像可能为：因此B 符合．③当a <0，b >0时，其图像可能为：没有符合的．④当a <0，b <0时，其图像可能为： 也没有符合的． 综上，选B. 答案：B6．解析：由题意知A ²B ²C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －C B.∵A ²C <0，B ²C <0，∴A ²B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限． 答案：三7．解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，则k ＝1.所以－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，解得a ＝－23或3. 当a ＝3时，2a 2－7a ＋3与a 2－9同时为0，所以应舍去，所以a ＝－23.答案：－238．解析：直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距等于3，即直线l 经过点M (0,3)，则直线l 的斜率k ＝3－20－1＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．解析：因为平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点M 为AC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，直线BM 的方程为x ＝2， 即直线BD 的方程为x －2＝0.10．解析：当直线经过坐标原点时，直线在x 轴、y 轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y ＝kx ，又直线经过点A (1,4)，所以4＝k ，即方程为y ＝4x ；当直线不经过坐标原点时，设其方程为x 2a ＋ya ＝1，又直线经过点A (1,4)，所以12a ＋4a ＝1，解得a ＝92，此时直线方程为x 9＋y92＝1，即x ＋2y －9＝0.故所求直线方程为y ＝4x 或x ＋2y －9＝0.x y因为直线过C (1,3)， 则1a ＋3b＝1.又因为a ，b 为正整数，所以a ＝4，b ＝4时适合题意，a ＝2，b ＝6时适合题意， 此时，方程为x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝0. 答案：C12．解析：由已知得k ≠0， 令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，x ＝－2k ， 则与两坐标轴围成的面积12|k |²|－2k |≤1，即k 2≤1， 所以－1≤k ≤1. 综上，k 的取值范围是． 答案：13．解析：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ²b |＝1，∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1，∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b＝1，即b ＝2a a ＋2， ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y－2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.14．解析：(1)存在．设直线方程为x ＋y＝1(a >0，b >0)，由题意可知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又因为直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，所以43a ＋2b＝1，②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)存在．设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，43a ＋2b＝1，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 4＋y3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。
直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤； 反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为 坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的 定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
3:扩张特点：组织商业公司，以印度和北美作为 扩张重点
4:扩张简况(17世纪初开始) 印度：在西、东海岸建立殖民地 北美：沿大西洋沿岸建立殖民地
英国对印度的侵略
英法在北美殖民地
争夺殖民地的斗争
• 英荷：三次英荷战争，英国夺得新尼德 兰，荷兰丧失海上强国地位
• 英法：在欧、亚、美 争霸，通过七年 战争，英国夺得印度和北美大 片土 地
（2）求过点 B(3, 4) 且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。 例 3 能否把直线方程 2x 3y 5 0化为点方向式方程？点法向式方程？若能， 它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察 x、y 的系数与方向向 量和法向量有什么联系？ 变式：直线 ax by c 0 的方向向量可以表示为？
直线的点法式方程与一般式方程练习课
2、求直线4x-y=8与坐标轴围成的三角形 的面积。
拓展提高：
3、已知三角形ABC顶点A(-3,0)，B(2,1)， C(-2,3). 求（1）BC边所在直线方程；
（2） BC边上与直线3x-2y+5=0的法向量相同， 且过点（-1，2），求直线l的方程。 5、在同一直角坐标系中画出以下三条直线， 并观察直线间的位置关系： l1:x+2y-2=0; l2: x+2y+2=0; l3:2x-y-4=0;
巩固练习：
4、求过点A(-2,0)，且斜率k=2的直线方程 5、求斜率k=-2,且在y轴上的截距为-1的直 线方程 6、已知点A(3,-2),B(-3,4)，求（1）直线 AB的方程，（2）线段AB的垂直平分线的方 程。
拓展提高：
1、若三点A(2,3)，B(a,4)，C(8,a)在同一条 直线上，求a的值。
温故知新：
形式 点向式 点斜式 斜截式 点法式 一般式 条件
过点p0(x0,y0),v=(v1,v2) 过点p0(x0,y0),斜率为k 斜率为k,在y轴上的截距为b 过点p0(x0,y0),n=(A,B) 所有直线
方程
v2(x-x0)-v1(y-y0)=0
y-y0= k(x-x0) y= kx+b
分析：直线3x-2y+5=0的法向量可以直接由方程得出， n=(3,-2)，由法向量可以得出直线的方向向量，通过方 向向量可以求出斜率。（也可以把方程化为斜截式直接 找出斜率）直线3x-2y+5=0的斜率也就是直线l的斜率， 利用斜截式，带入斜率和点（1，-1），即可求方程。
例题解析：
例题3：已知直线l：Ax+By+C=0如图所示，则（ ）
高中数学 第二章 解析几何初步 1.2.2 直线方程的两点式和一般式练习(含解析)北师大版必修2-北
第二课时 直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称 两点式 截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 答案：3知识点一 直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四 直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一 将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围． 解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1， 得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识 直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。
部编版2020学年高中数学第三章3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案含解析新人教A版必修0
3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程直线的一般式方程两点式、截距式[提出问题]某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？提示：可以确定．问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．要注意方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[提出问题] 观察下列直线方程： 直线l 1：y －2＝3(x －1)； 直线l 2：y ＝3x ＋2；直线l 3：y －23－2＝x －14－1；直线l 4：x 4＋y3＝1.问题1：上述直线方程的形式分别是什么？ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式吗？ 提示：能．问题3：二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都能表示直线吗？ 提示：能． [导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. (2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为y －－10－－1＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0. [类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．已知直线经过点A (－3，－1)和点B (3,7)，则它在y 轴上的截距是________． 答案：32．若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案：－2直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． [解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， 所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x－1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1， 即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.直线方程的一般式应用[例3] (1)120平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0，①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，l 1⊥l 2， ①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，l 1⊥l 2. 法二：由l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用](1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x . 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1①.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |②.由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2. 综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x ＋y ＝6或x －y ＝2.[多维探究] 1．截距相等问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋ya＝1，又过A (4,2)， ∴a ＝6，∴方程为x ＋y －6＝0.综上，直线方程为y ＝12x 或x ＋y －6＝0.2．截距和为零问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a －y a＝1.又过A (4,2)， ∴4－2a＝1，即a ＝2，∴x －y ＝2.综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x －y ＝2.3．截距成倍数问题求过点A (4,2)且在x 轴上截距是在y 轴上截距的3倍，求直线l 的方程．解：①当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x 3a ＋y a ＝1，又直线过A (4,2)，所以43a ＋2a＝1，解得a ＝103，方程为x ＋3y －10＝0.综上，所求直线方程为y ＝12x 或x ＋3y －10＝0.4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程． 解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0. [方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7答案：B2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5答案：B3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．答案：x－y＋3＝04．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．答案：2x－y＋1＝05．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．解：直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0，直线AC的方程为5x－2y－10＝0.[课时达标检测]一、选择题1．平面直角坐标系中，直线x＋3y＋2＝0的斜率为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3答案：B2．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12ab B.12|ab|C.12abD.12|ab|答案：D3．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a<0，b＞0C．若c＜0，则a>0，b<0D．若c<0，则a>0，b＞0答案：D4．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，点P (x 0，y 0)在l 上，则l 的方程可化为( )A ．A (x ＋x 0)＋B (y ＋y 0)＋C ＝0B ．A (x ＋x 0)＋B (y ＋y 0)＝0C ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0D ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0答案：D5．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A.12B.12或0 C ．0D ．－2 答案：A二、填空题6．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.答案：1或－37．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．答案：3或－38．过点P (2，－1)，在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线方程为____________．答案：x ＋3y ＋1＝0或x ＋2y ＝0三、解答题9．已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝－3.∴点C 的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知，点M ，N 的坐标分别为M 0，－12，N 52，0， 由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，不符合题意； 当a ≠－1时，直线l 在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，因为l 在两坐标轴上的截距相等，所以a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝2或a ＝0， 所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0，解得a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．。
高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演
"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )（A）a+b （B）|a|+|b|（C）|a+b| （D）只能恒为正数2.直线l过点A（-1，-1）和B（2，5），且点C（1 005，b）也在直线l上，则b的值为( )（A）2 008 （B）2 009 （C）2 010 （D）2 0113.(2012·九江高一检测）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为( )（A）x-y-1=0（B）x+y-3=0或x-2y=0（C）x-y-1=0或x-2y=0（D）x+y-3=0或x-y-1=04.过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题）如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行，则m=_________.6.（2012·合肥高一检测)已知直线l与直线3x+4y-7=0斜率相同，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时，与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时，只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时，是x轴；（5）设P(x0，y0)为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.8.求过定点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【挑战能力】（10分）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？答案解析 1.【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab ≠0)化成截距式得x y b a +=1，在两坐标轴上的截距之和为a+b. 2.【解析】选D.方法一：由题意可知k AB =k AC .∴,----=----51b 121 1 0051（）（）（）（）∴b=2 011.方法二：由两点式得，直线l 的方程为,y 5x 21512--=----即y=2x+1. 又点C （1 005，b ）在l 上，∴b=2×1 005+1=2 011.3.【解析】选C.当直线过原点时，直线l 的方程为x-2y=0；当直线不过原点时，设其方程为x y a a-=1,即x-y=a, 又过点（2，1），可解得a=1,故方程为x-y-1=0.4.【解题指南】本题中a ∈N *,b ∈N *是解决问题的关键，利用它可缩小a,b 的范围.【解析】选B.由题意13＋a b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.∵a ∈N *，b ∈N *， ∴.a ＝2a ＝4，有两个解，或b ＝6b ＝4⎧⎧⎨⎨⎩⎩5.【解析】∵直线与y 轴平行，∴m 2+3m+2=0．解得m=-1或m=-2．又当m=-2时，直线方程(m+2)x+(m 2+3m+2)y=m+2为0×x+0×y=0，它不表示直线，应舍去．故当m=-1时，直线与y 轴平行．答案：-1【误区警示】此题容易忽视直线方程一般式中的条件（A ·B ≠0）而导致失误.6.【解析】设l ：3x+4y+m=0,则当y=0得x=-m 3；则当x=0得y=-m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12×|-m 3|×|-m 4|=24,∴m=±24. ∴直线l 的方程为3x+4y ±24=0.答案：3x+4y ±24=0【变式训练】斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_______. 【解析】设直线方程为y=34x+b,令y=0,得x=-43b,∴12|b ·（-4b 3)|=6, ∴b=±3,∴所求直线方程为3x-4y-12=0或3x-4y+12=0.答案：3x-4y-12=0或3x-4y+12=07.【解析】（1）把原点(0,0)代入Ax+By+C=0，得C=0.（2）此时斜率存在且不为零,即A ≠0且 B ≠0.（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B=0且C ≠0.（4）A=C=0,且B ≠0.（5）∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，∴Ax 0+By 0+C=0,C=-Ax 0-By 0，∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.8.【解析】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距均为a ，故所求的直线方程为x y a a +=1，即x+y=a ．将点P(2,3)代入，得a=5．故所求直线方程为x+y=5．所以，所求直线方程为3x-2y=0或x+y=5．【一题多解】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0． （2）当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，∴直线的斜率k=-1，可得直线的点斜式方程为y-3=-(x-2)，即x+y=5.故所求直线方程为x+y=5．【挑战能力】【解析】如图，以河流所在直线为x 轴，以过A 点与河流垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，则A （0，300），B （x ，700），设B 点在y 轴上的射影为H ，则x=|BH|=22AB AH -=300，故点B （300，700）． 点A 关于x 轴的对称点A 1(0,-300)，则直线A 1B 的斜率k=103， 直线A 1B 的方程为y=103x-300． 令y ＝0得x ＝90，得点P （90，0），故水电站建在河边P （90，0）处电线用料最省．【方法技巧】巧设直线方程(1)已知一点通常选择点斜式;(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式;(3)已知截距通常选择截距式;(4)已知两点通常选择两点式.。
高中数学第二章解析几何初步1.2直线的方程第一课时直线方程的两点式和一般式课后课时精练北师大版
第一课时直线方程的点斜式时间：25分钟1．直线方程y－y0＝k(x－x0)( )A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线答案 D解析直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．2．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为( )A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2答案 D解析因为直线与x轴平行，所以其斜率为0，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝0×(x－3)，即y＝－2.3．下列三个说法：①任何一条直线在y轴上都有截距；②直线在y轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线．其中正确的有( )A．①② B．②③ C．①③ D．③答案 D解析因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．4．已知直线l的方程为y＝2015x－2016，则直线l在y轴上的截距为( )A．2015 B．－2015 C．2016 D．－2016答案 D解析因为b为直线y＝kx＋b在y轴上的截距，所以直线l：y＝2015x－2016在y轴上的截距为－2016.5．斜率为2，在y轴上的截距为3的直线经过的象限有( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限答案 A解析 直线的斜截式方程为y ＝2x ＋3，所以直线经过第一、二、三象限．6．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )答案 B解析 当a >0时，－1a<0，直线过一、三、四象限． 当a <0时，－1a>0，直线过一、二、四象限，可得B 正确． 7．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)答案 C解析 将直线方程化为y －1＝k (x －3)可得过定点(3,1)．8．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．答案 5 2解析 由已知得直线方程y ＋1＝tan45°(x －4)，即y ＝x －5.当x ＝0时，y ＝－5；当y ＝0时，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长＝52＋52＝5 2.9．若直线y ＝2x ＋b 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b ＝________.答案 ±6 解析 令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－b 2，∴所求的面积S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2＝14b 2＝9.∴b ＝±6.10．已知△ABC 的三个顶点在第一象限，A (1,1)，B (5,1)，A ＝45°，B ＝45°，求：(1)AB 所在直线的方程；(2)AC 边和BC 边所在直线的方程．解根据已知条件，画出示意图如图．(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以k AC＝tan45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，所以k BC＝tan135°＝－1，又点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.。
直线的两点式方程、直线的一般式方程 课件
5.对于直线 Ax＋By＋C＝0，当 B≠0 时，其斜率为_－__AB__，
在 y 轴上的截距为_－__CB__；当 B＝0 时，在 x 轴上的截距 为__－__CA__；当 AB≠0 时，在两轴上的截距分别为_－__CA__， __－__CB___.
1.判断题 (1)经过任意两点的直线都可以用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x －x1)来表示.( √ ) (2)不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.(× ) (3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两 点式或斜截式或点斜式.( √ ) (4)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A·B≠0.( × )
系数满足的条件 B＝0 A＝0 A·B≠0 C＝0
探究点二 直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式的条件是什么？ 提示 当A，B，C≠0时，直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式. 解 因为直线 l 经过点 A(－5，6)，B(－4，8)，所以由两点 式，得8y－－66＝－x＋4＋55， 整理得 2x－y＋16＝0，化为截距式得－x8＋1y6＝1， 所以直线 l 的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为 －x8＋1y6＝1.图形如图所示：
C.y＝x＋2
D.yy－－11＝1x＋＋22，整理得 y＝x＋
3. 答案 A
3. 若 方 程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 表 示 直 线 ， 则 A 、 B 应 满 足 的 条 件 为 ()
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同
(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝（－4）＋2 （－2）＝－3.∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3，2). ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－（（－－33）），即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
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例题解析：
例题3：已知直线l：Ax+By+C=0如图所示，则（ ）
A、
C A
>0，
C B
<0
B、
C A
>0，
C B
<0
C、
C A
>0，CB
>0
D、
C A
>0，
C B
>0
y l
x 0
巩固练习：
1、求过点 A (1,3)，法向量n=（3，2）的直 线方程 2、求过点 A(2,5)，方向向量v=（2，1）的 直线方程
3、求过点A(1,5)，B（-3，-2）的直线方程
巩固练习：
直线的点法式方程 与一般式方程练习课
温故知新：
形式
条件
方程
点向式 点斜式 斜截式
过点 p0(x0,y0),v=(v1,v2)
过点p0(x0,y0),斜率为 k
斜率为k,在y轴上的截距为b
v2(x-x0)-v1(y-y0)=0
y-y0= k(x-x0) y= kx+b
点法式
过点p0(x0,y0),n=(A,B) A(x-x0)+B(y-y0)=0
4、求过点A(-2,0)，且斜率k=2的直线方程
5、求斜率k=-2,且在y轴上的截距为-1的直 线方程
6、已知点A(3,-2),B(-3,4)，求（1）直线 AB的方程，（2）线段AB的垂直平分线的方 程。
拓展提高：
1、若三点A(2,3)，B(a,4)，C(8,a)在同一条 直线上，求a的值。
2、求直线4x-y=8与坐标轴围成的三角形 的面积。
一般式
所有直线
Ax+By+C=0(A,B不全为零）
例题解析：
例题1：已知点Aபைடு நூலகம்1,2),B(-1,3)，求线段AB的 垂直平分线的方程。
分析：线段AB的垂直平分线,经过线段AB的中点，且 与向量AB垂直，然后由点法式方程可以求得。
例题解析：
例题2：已知直线l与直线3x-2y+5=0的斜率相同， 且过点（1，-1），求直线l的方程。
拓展提高：
3、已知三角形ABC顶点A(-3,0)，B(2,1)， C(-2,3). 求（1）BC边所在直线方程； （2） BC边上的高所在直线方程
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放映结束 感谢各位批评指导！
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