二项式系数的性质
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二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
二项式定理的推论
二项式定理的推论一、二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为二项式系数的形式。
二项式系数的一些重要性质如下：1. 对称性：二项式系数满足对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这意味着，在二项式系数中，每个系数与其对称的系数相等。
2. 递推关系：二项式系数之间存在递推关系，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这意味着，我们可以通过前一行的系数计算出下一行的系数。
这些性质使得二项式系数在组合数学中有广泛的应用。
例如，在排列组合、概率论、图论等领域中，二项式系数经常用于计算和推导。
1. 幂的展开式：二项式定理可以用来展开幂的形式。
例如，对于任意实数a和b，以及正整数n，我们有：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n这个推论可以用于计算复杂的幂，例如高次多项式的展开式。
2. 平方差的展开式：二项式定理还可以用来展开平方差的形式。
例如，对于任意实数a和b，我们有：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这个推论可以用于计算平方差的形式，例如在代数运算中计算平方差的结果。
3. 二项式系数的和：二项式系数有一个重要的性质，即每一行的系数之和等于2的n次方。
换句话说，对于任意正整数n，有：C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n这个推论是二项式系数的一个重要性质，也可以通过二项式定理的展开式来证明。
三、应用举例1. 组合数学：二项式系数的计算在组合数学中有广泛的应用。
例如，在排列组合中，可以使用二项式系数来计算组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
这在概率论、统计学等领域中都有重要的应用。
2. 二项分布：二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n 次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
二项式系数的性质课件
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。
10.4二项式定理(2)二项式系数的性质
问：由上研究请问:一般地,当r满足什么范围时， 后一项Cnr比前一项Cnr-1要大?
[分析]:以上问题即Cnr > Cnr-1时，求r的范围?
二项式系数的性质2：增减性与最大值
由于
Ckn
n(n 1)(n 2) (n k k (k 1)!
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以Ckn
相对于Ckn1 的增减情况由
6 6
1
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
这个表叫做二项式系数表,也称为“杨辉三角”； 表中的每一个数等于它肩上的两数的和.
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方 法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚 于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯 卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕 斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五 百年左右.
要使 x 系数为有理数,则 r 为 6 的倍数,则 r = 0,6,12,…,96 共有17个.
课堂练习3：
1.C0n 2C1n 22 C2n ... 2n Cnn __________
2.设 2x 3 3 a0 a1x a2x2 a3x3.
求 a0 a2 2 a1 a3 2 的值.
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
三、例题选讲：
例1.证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1
[分析]:以上问题即Cnr > Cnr-1时，求r的范围?
二项式系数的性质2：增减性与最大值
由于
Ckn
n(n 1)(n 2) (n k k (k 1)!
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以Ckn
相对于Ckn1 的增减情况由
6 6
1
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
这个表叫做二项式系数表,也称为“杨辉三角”； 表中的每一个数等于它肩上的两数的和.
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方 法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚 于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯 卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕 斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五 百年左右.
要使 x 系数为有理数,则 r 为 6 的倍数,则 r = 0,6,12,…,96 共有17个.
课堂练习3：
1.C0n 2C1n 22 C2n ... 2n Cnn __________
2.设 2x 3 3 a0 a1x a2x2 a3x3.
求 a0 a2 2 a1 a3 2 的值.
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
三、例题选讲：
例1.证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式展开式系数的性质
2 n 4 n 6 n n
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.2二项式系数的性质
为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
★(2)如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个
锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
解 由题图知,数列中的第 1 项是C22 ,第 2 项是C21 ,第 3 项是C32 ,第 4 项是C31 ,…,
10
+…+210 =0,
22
(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,
令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.
问题中,并解答.
已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足
1
求:(ⅰ)
2
+
2
+…+ 的值;22 Nhomakorabea2
(ⅱ)a1+2a2+…+nan的值.
.
解 选①,(ⅰ)只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.
由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
上面的二项式系数表称为
杨辉三角
.
名师点睛
1.从杨辉三角可以看出(a+b)n展开后共有n+1项.
2.(a+b)n展开后每项的二项式系数对称出现且先增大后减小.
思考辨析
★(2)如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个
锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
解 由题图知,数列中的第 1 项是C22 ,第 2 项是C21 ,第 3 项是C32 ,第 4 项是C31 ,…,
10
+…+210 =0,
22
(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,
令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.
问题中,并解答.
已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足
1
求:(ⅰ)
2
+
2
+…+ 的值;22 Nhomakorabea2
(ⅱ)a1+2a2+…+nan的值.
.
解 选①,(ⅰ)只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.
由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
上面的二项式系数表称为
杨辉三角
.
名师点睛
1.从杨辉三角可以看出(a+b)n展开后共有n+1项.
2.(a+b)n展开后每项的二项式系数对称出现且先增大后减小.
思考辨析
【课件】二项式系数的性质 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
（5－5k！）！k！×3≥（6－k）！5！（k－1）！， ∴（5－5k！）！k！≥（4－k）！5！（k＋1）！×3，
则3k≥6－1 k， 5－1 k≥k＋3 1，
解之得72≤k≤29.又 k∈N，∴k＝4.
∴展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
训练 3 在 x－x228的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；
题型二 二项展开式的系数的和问题
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值. 解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023， (1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解 分别令x＝－1，x＝1，
得3－2 012＝3＝aa0＋0－aa1＋1＋aa2＋2－aa3＋3＋……＋＋aa2 202022＋2－aa2 202032，3，①②
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
∴a1＋a3＋…＋a2
+
Cnn
2n1
(n是偶数).
• 证明 ∵n为偶数,
：
∴Cn0
Cn2
Cn4
Cnn
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
.
又∵C
0 n
Cn1
则3k≥6－1 k， 5－1 k≥k＋3 1，
解之得72≤k≤29.又 k∈N，∴k＝4.
∴展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
训练 3 在 x－x228的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；
题型二 二项展开式的系数的和问题
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值. 解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023， (1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解 分别令x＝－1，x＝1，
得3－2 012＝3＝aa0＋0－aa1＋1＋aa2＋2－aa3＋3＋……＋＋aa2 202022＋2－aa2 202032，3，①②
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
∴a1＋a3＋…＋a2
+
Cnn
2n1
(n是偶数).
• 证明 ∵n为偶数,
：
∴Cn0
Cn2
Cn4
Cnn
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
.
又∵C
0 n
Cn1
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②
Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2
0
2
4
1
西安交大彬县阳光高级中学
课堂达标
1.根据“杨辉三角”以及二项式系数的性质写出 二项式系数(课本例5).
(a b)
7
的
2 . ( x y ) 的展开式中二项式系数最大的是第_____项， 二项式系数最大的项是_______. 3.若 ( 2 x＋
a6 a7 ；
西安交大彬县阳光高级中学
课堂小结
性质1：对称性 性质2：增减性与最大值 性质3：各二项式系数的和
C
0 n
0
先增后减
特值法
5 n 1
C
1 n
2
C
2 n
4
C
n n
1
2
n
Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2
3
西安交大彬县阳光高级中学
3 ) ＝ a 0＋ a 1 x＋ a 2 x ＋ a 3 x ＋ a 4 x ，
4 2 3 4
9
求 a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＝ ________ .
西安交大彬县阳光高级中学
能力提高
已知：(1
2 x)
7
a 0 a1 x a 2 x 2
a6 x a7 x
6
7
求：(1) a 0 ； (2) a 0 a 1 a 2
西安交大彬县阳光高级中学
归纳总结二项式系数的性质性质1对称性性质2：增减性与最大值
西安交大彬县阳光高级中学
性质应用
例1. (1 x ) 的展开式中第6项和第7项的二项式系数
相等，求展开式中二项式系数的最大的项。 例2.证明：
n
①
Cn Cn C
0
1
2 n
C
n n
2
n
；
3 5 n 1
西安交大彬县阳光高级中学
二 项 式 系 数 的 性 质
西安交大彬县阳光高级中学 程 莹
西安交大彬县阳光高级中学
复习回顾
1.二项式定理 2.二项式通项 3.二项式系数
西安交大彬县阳光高级中学
学习目标
1.掌握二项式系数的性质，并简单应用。
2.运用“特值法”解决二项式相关问题 。
西安交大彬县阳光高级中学
探究二项式系数的性质
阅读课本26页内容，思考下列问题：
1.二项式系数表的上下两行数字间有何关系？
2.二项式系数有对称性吗？
3.二项式系数有怎样的增减性？
4.二项式系数的最大值： 当n=1时，最大值为？ 当n=2时，最大值为？； 当n=3时，最大值为？； 当n=4时，最大值为？； 当n=5时，最大值为？； 当n=6时，最大值为？. 你能得到什么结论？