二项式定理及其系数的性质PPT教学课件(1)
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杨辉三角与二项式系数的性质一ppt课件
最大项与增减性
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk k
1 决定．
k
可知，当
k
n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
你知道这是什么图表吗？
《 杨辉 三角
详
解
九 章
杨
算
辉
法
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
解 : 设f (x) (1 2x)7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1)
a1 a3 a5 a7
倒序相加法
知识对接测查3
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0__1_; 1023
【课件】二项式系数的性质+课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
例如,当 n 6 时，函数 f (r) Crn r 0,1, 2, 3, 4, 5, 6
的图象是7个离散点．如图所示.
n=7
n=8
n=9
由此我们可得二项式系数的以下性质：
1. 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实
上，这一性质可直接由公式
Cmn
Cnm n
得到．
直线 r
n 2
将函数f (r) Cnr
的图象分成对称的两部分，
它是图象的对称轴.
2. 增减性与最大值
Ckn
n(n 1)(n
2) (k
(n k 1)!k
2)(n
k
1)
Ck 1 n
nk k
1
，∴
Ckn Ck 1
n
nk k
1.
∴当n
k k
1
1,即k
n
2
1
时,Ckn
Ck 1 n
,即Ckn随k的增加而增大；
由对称性知,当k
n
2
1
时,Ckn随k的增加而减小.
n
当n为偶数时,中间的一项Cn2取得最大值：
n1
n1
当n为奇数时,中间的两项Cn2 与Cn2 相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
已知
(1 x)n C0n C1n x C2n x2 Cnn xn，
令x 1，得
2n C0n C1n C2n
C2 n1
Cn1 n1
2n 2n1
1. 2
变式训练2：
若一个集合含有n个元素,则这个集合共有多少个子集？
解：若子集元素个数为0 时,子集有C0n个； 若子集元素个数为1 时,子集有C1n个； 若子集元素个数为2 时,子集有C2n个；
《二项式系数》课件
排列数的性质
排列数的应用
在二项式展开中，排列数用于计算二 项式展开式的系数。
A(n,m) = n! / [1!×2!×...×m!]， A(n,0) = 1。
计算二项式系数的步骤
01
02
03
04
写出二项式展开式的通项公式 ：T_{r+1} = C(n,r)a^(nr)b^r。
根据题目要求，确定需要求的 二项式系数。
在组合优化问题中，二项式系数用于描述组合问题的约束条件和目 标函数的复杂性。
THANKS
感谢观看
概率分布
二项式系数是二项分布 的概率函数和累积分布 函数的重要组成部分， 用于描述和分析离散概 率分布。
在组合数学中的应用
组合计数
二项式系数用于组合计数中，表示从n个不同元素中选取k个元素 的不同方式的数目。
排列组合
二项式系数用于排列组合的公式推导，例如C(n,k)和P(n,k)的计算 。
组合优化
递推关系
二项式系数之间存在递推 关系，可以利用已知的二 项式系数计算未知的组合 数。
二项式系数的性质
组合数的性质
二项式系数具有组合数的性质， 如对称性、增减性等。
组合恒等式
二项式系数满足一些恒等式，如 C(n, k) = C(n, n-k)。
应用领域
二项式系数在数学、统计学、计 算机科学等领域有广泛应用。
n! / [m!(n-m)!]。
组合数的性质
C(n,m) = C(n,n-m)，C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)。
组合数的应用
在二项式展开中，二项式系数实质 上就是组合数。
排列数的计算方法
排列数的定义
二项式系数的性质ppt课件
因为 Ckn
n!
nn 1 n 2 n k 1
k! n k !
k 1 !k
Cnk 1 n
k k
1，
所以，当 n
k
1
，即 k 1
k
时， Ckn Cnk 1 .
n 2 1 时，Ckn
Cnk 1 ；当 n
k k
1
1 ，即k
n1 2
三项式的展开式 （1）利用多项式的乘法法则及组合数即得三项式的展开式中的每一项的特 征及同类项的个数，即得其展开式；
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
求项的系数的最大（小）值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据二项式通项
列出不等式（组）即可，即设第（ k 1）项的系数最大（或最小），则
Tk
的系数
1
Tk
的系数
1
Tk的系数
Tk
的系数
2
（或
Tk Tk
的系数
1
的系数
1
Tk的系数
Tk
的系数
2
）
3.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
4.若 (2x 1)100 a0 a1x a2 x2 a100 x100 ，则 2 a1 a3 a99 3 被 8 整除的余数
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
人教A版选修2-3第一章二项式系数的性质(共27张PPT)
3行
1C30 C331 C332 C313
4行
C140
C4
1 4
C642
C4
3 4
C144
5行
n-1行 n行
… … C150 5C51 1C052 C1053 C554 C155
C C … … 1
C C1
2
n1 n1
… … 1 Cn1 Cn2
Cr n1
r r1 nn
C n2 n 1
1
C n1 n
1
江西师大附中
得最大值；
江西师大附中
2020年8月12日星期三
(3) 二项式系数的和：
① Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
②
C
0 n
C
2 n
Cn1 Cn3
2n1
11 121
③
Cmm
Cm m 1
Cm m2
C
m n
C m1 n1
1 33 1 1 46 41
辨别：
1 5 10 10 5 1 1 6 15 2015 6 1
C C …… …… 1 1Cn1Cn1C1n2Cn21
Cr n1
r r1 nn
1 C n2 n 1
C
n 1 n
1
江西师大附中
2020年8月12日星期三
Cmm Cmm1 Cmm2 ... Cnm2 Cnm1 Cnm1
0行 1行 2行
1
1C10 C111
1C
0 2
C221
C122
每一行除1以 外的每一个数等于 它一肩上的一斜列 数之和
Cnm
Cm n1
)
江西师大附中
2020年8月12日星期三
二项式定理(一)课件
二项式定理可以简化解决二项式相关问题的计 算过程。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
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• 4中、的在常数项x 是3 1 _x__1_0展__开__式__
• 5=、__2_c_1n__2_2_c_n2__…__+_2_n_1c_nn_1 2n cnn
• 6、(1.01)10=_______(保留 到小数点后三位)
• Ⅱ、例题分析：
• 例１、
• （１）在(1+x)10展开式中x5的 系数是_______
• 解(1) c150 252 • (2)Tr+1=
c9r
a x
9r
r
x 2
r
1
1 2
2
c9r
பைடு நூலகம்
a
9r
x
3r 2
9
• 依题意 3r 9 3 ,r=8 含的项为
第9项,其2系数为 18 即 9a 9 得 a=4.
1 2
4
c98a
9 4
16 4
• 练习：
• (1)在(1-x3)(1+x)10的展开式
• (4)(x2+3x+2) 5展开式中x的 系数是_______
• 例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
• 说明:二项展开式是一个恒等 式,因此对特殊值仍然成立.这 是求二项式系数和的基础.常 采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要 的方法.
• 三、复习策略：
• 本节知识的学习或复习要 重视基础，要按教学大纲 和考试说明的要求弄懂遇 按理，适当掌握一些方法， 会分析。
• 一、教学过程： • Ⅰ、课前准备 • （1）填写公式：（a+b）n的二
项展开式 是 ___________________________ • 通项公式是 _______________ ; • (a-b)n的二项展开式是 _______________________ • （1+i)10=____________________
① 时间只剩１０分钟！！！
②
一次能放两个烧饼 ③
每个饼要烙两面 ④ 每个饼每面要烙３分钟才熟！！！
1
2
3
1 1
1
2
3
2
1
2
2
3
1
2
3
3分钟
1
1
2
3
3分钟
1
1
2
3分钟
1
1
3
3
3
2
3分钟
3
1
3
3
2
1
3分钟 + 3分钟
3
ok
1
3分钟 + 3分钟
ok
3
ok
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1
• 练习:
• (5)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
再见!
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
“统筹法”
• 方法 :本题属于求二项式的指 定项一类重要问题,它的解法 主要是:设第r+1项为所求指定 项,利用通项公式列出方程,解 方程,利用方程的思想解题.
• 解: (1)T5= cn4
x
n4 2 4 x
n12
cn2 24 x 2
• 是常数,所以 n 12 0则n=12. 2
• (2)Tr+1= cnr
中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252
C. 297 D. 207
• (2)(x+y+z)9中含x4y2z3的项 的系数是_______________
• 例２、已知
x
2 n
x
的展开式中第五项是常数，
(1)求n;
(2)展开式中共有多少有理项？
• 说明:考查二项式通项,注意理 解有理项,常数项的概念.
x
nr 2 r x
n3r
2r cnr x 2
n3r
2r c1r2 x 2
• ∴12 3r Z且 r=0,1, …,12
2
• 即 6 3r Z 且r=0,1, …,12
2
• ∴r=0,2,6,8,10,12, ∴有理项共有7项
• 练习:
• (3) x 1 4x 55 展开式中x4的 系数是_______
二项式定理 及其系数的性质
• 一、本节教材地位及命题趋势：
• 高考对本单元的特点是基础和 全面，每年对本单元知识点的考 查没有遗漏。估计每年一道排列 组合题，一道二项式定理题是不 会变的，试题难度仍然回维持在 较易到中等的程度。二项式定理 的试题是多年来最缺少变化的试 题，今后也很难有什么大的改变。
• 一、教学目标：
• 1、知识目标：掌握二项式定理及有关概 念，通项公式，二项式系数的性质；
• 2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方 程的思想方法，赋值法，构造法，并通 过变式提高学生的应变能力，创造能力 及逻辑思维能力。
• 3、情感目标：通过学生的主体活动，营 造一种愉悦的情境，使学生自始至终处 于积极思考的氛围中，不断获得成功的 体验，从而对自己的数学学习充满信心。
1
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟＝9分钟
①烙2张饼需要6分钟， 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
• 2、在（2- x ）9的展开式中，是它 的第______ 项 ，这项的系数是 ___________ 这项的二项式系数 是 _______________
• 3、设s=
(x- 1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1, 则 s
等于( C )
A.(x-2) 4 B. (x-1) 4 C. x 4 D.(x+1)4
• 略解:
令x=0, 则a0=1 令x=1, 则a0+a1+ … +a7= -1 ∴ a1+ a2+… +a7= -2 • 其它类似可得.
• 引申: • (1) a2+a3+… +a7=_________ • (2) a0-a1+a2-a3+… -a7 =_________
• (3)a0+a2+a4+a6 =_________
• （２）已知
a x
x 2
9
的
展开式中x3的系数为，则常数
a的值是_______
• 说明:这些问题属基础题,运用通 项公式有时也有变化的,但其实质 还是通项公式,应熟练掌握.
• 方法:在解有关二项式的问题时, 如果已知a,b,n,r,Tr+1这五个量中 的几个或它们的某些关系,求另外 几个,一般是利用通项公式把问题 转化为解方程或解不等式.