2007考研数学三真题及答案解析
2007考研数学三真题及答案解析
y
y(2 ln y)
求在(1,1)的值：y''
x 1
( y'
)2
x 1
1(2 ln1)
1 8
0
所以y y(x)在点(1,1)处是凸的
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
x2.
f
(x,
y)
1, x2 y2
x y 1. 1 x y 2.
计算二重积分 f (x, y)d .其中 D (x, y) x y 2
(D) 1 2 2 , 2 23 ,3 21
2 1 1
1 0 0
（8）设矩阵 A 1 2 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B （B）
1 1 2
0 0 0
（A）合同，且相似
(B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰 好第 2 次命中目标的概率为 (C)
所以 B 的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1 为 B 的属于－2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，
于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特 征向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 ( x1, x2 , x3 )T ，所以有方程如下：
x1 x2 x3 0 于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 2 (1, 0,1)T , 3 (1,1, 0)T 因而，矩阵 B 属于 2 的特征向量是是 k1 (1, 1,1)T ，其中 k1 是不为零的任意常数. 矩阵 B 属于 1 的特征向量是是 k2 (1,1, 0)T k3 (1, 0,1)T ，其中 k2 , k3 是不为零的任意 常数.
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年)当a取值为( )时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点。
A．2。
B．4。
C．6。
D．8。
正确答案：B解析：由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，知可能极值点为x=1，x=2，当x＜1和x＞2时，函数单调增加，1＜x＜2时，函数单调减小，且f(1)=5一a，f(2)=4一a。
可见当a=4时，f(1)=1＞0，且=一∞，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-∞，1)上有唯一的零点，而此时f(2)=0，在(1，2)和(2，+∞)上无零点，因此a=4时，f(x)恰好有两个零点。
故应选B。
知识模块：微积分2．(2001年)设函数f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点。
B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：B解析：又函数f(x)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以f’(a)=0，于是即f’(a)=0，f”(a)=一1＜0，根据判定极值的第二充分条件知x=a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为B。
知识模块：微积分3．(2004年)设f(x)=|x(1-x)|，则( )A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。
B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。
C．x=0是f(x)的极值点，且(O，O)是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：C解析：令φ(x)=x(x一1)，则φ(x)=是以直线x=为对称轴，顶点坐标为开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|φ(x)|的图形如图。
2007年考研数学三真题及解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当）.（2） 设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ） .（4） 设函数连续，则二次积分等于（ ）（5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）10 20 30 40（6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)（8）设矩阵，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分）2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为 . 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7） 当B ）.（8） 设函数在处连续，下列命题错误的是： (D).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（9） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） .（10） 设函数连续，则二次积分等于（B ）（11） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）10 20 30 40 （12） 曲线渐近线的条数为（D ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ） (B) (C) (D)（8）设矩阵，则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则. （14）微分方程满足的特解为. （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：（18）（本题满分11分） 设二元函数2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=(,)f u v (,),y x z f x y =''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y==221ln x y x=+01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 1234()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()101(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的计算二重积分其中【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设是D 在第一象限中的部分，即利用被积函数无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而 ，故令作换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤1D {}1(,)0,0D Dx y x y =≥≥(,)f x y 1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰11112D D D =+{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-1111122200111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰12D (,)r θcos ,sin x r y r θθ==(,)r θ1x y +=1,2cos sin r x y θθ=+=+2cos sin r θθ=+12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰tan2t θ=2arctan t θ=:0:012t πθ→⇔→2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++12112220000112210010122(1)cos sin 122(1)22 221)D dt dtd t u t t t du du du u u πθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c 就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即. （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=(),()f x g x (,)a b (,)c a b ∈()()f c g c =()()f g ηηη=使得()max (),()max ()f c f x g d g x ==()()0,()()0f c g c g d f d ->-<(,)c d ()()f g ηηη=使得(,),(,)a b ηη''1212,,()()f f ξξξξ使得＝12(,)ξξ''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得21()34f x x x =--1x -102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： （22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 ， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为，所以有方程如下：于是求得B 的属于1的特征向量为因而，矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. 矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. （Ⅱ）由有 令矩阵，1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭1,2a a ==1a =(1,0,1)T ξ=-,1,2,x k k ξ==2a =111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1230,1,1x x x ===-(0,1,1)T k -12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α111(1,2,3...)n n A n αλα==5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-1α53()()4()1B A A λλλ=-+1α123(,,)T x x x 1230x x x -+=23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=2μ=-1(1,1,1)T k -1k 1μ=23(1,1,0)(1,0,1)T T k k +-23,k k 1122332,,,B B B ααβαββ=-==123123(,,)(2,,)B αααβββ=-则，所以 那么（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. 【详解】：（Ⅰ），其中D 为中的那部分区域；求此二重积分可得 （Ⅱ）当时，； 当时，；当时，当时， 于是（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为. 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：（Ⅰ）记，则 ，解出，因此参数的矩估计量为； 1(2,1,1)P BP diag -=-11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z {}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰01,01x y <<<<2x y >{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724={}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤0z ≤()0Z F z =2z ≥()1Z F z =01z <<3201()(2)3zz xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰12z <<1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θEX μ=1022(1)x x EX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+122θμ=-θ122X θ=-（Ⅱ）只须验证是否为即可，而，而 ，，， 于是 因此不是为的无偏估计量.2(4)E X 2θ22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+1142EX θ=+221(12)6EX θθ=++22251()481212DX EX EX θθ=-=-+222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠24X 2θ。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三真题及答案(2003-2013年)
2007数学三真题及答案解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（ ）A .1x e - .l n (1)B x + .11C x +- .1c o sD x -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →--存在，则'(0)f 存在（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（ ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ （C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zy x y∂∂-=∂∂________. （14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.设二元函数222. 1.(,)1,1 2.x x y f x y x y x y⎧+≤⎪=⎨≤+≤⎪+⎩计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 （Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （7） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（B ）A .1x e - .l n (1)B x + .11C x +- .1c o sD x -（8） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (D)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →--存在，则'(0)f 存在（9） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（10） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1a r c s i n(,)y d y f x y dx ππ-⎰⎰.C 1a r c s i n 02(,)y d y f x y d x ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（11） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （12） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关(A)（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y =则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂. （14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为221ln x y x=+. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数222. 1.(,)1,1 2.x x y f x y x y x y⎧+≤⎪=⎨≤+≤⎪+⎩计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即{}1(,)0,0D D x y x y =≥≥利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是， 2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 21220cos sin 1cos sin D d r d dr d r x y ππθθθθσθθθθ++==++⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t t θθθ-===+++，代入即得121122222000112210010122(1)cos sin 122(1)22111 ()2222212121 =ln ln 2ln(21)22221D d dt dtd t u t t t x y du du du u u u uu uπσθθθ===-=++--+=-==----+++==+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)44ln(21)4ln(21)123Df x y d σ=⨯++=++⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()(f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()m a x (),()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==. 当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为11101110122001101440000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)T k -（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数. 矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T Tk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有 令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-， 则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （23）（本题满分11分） 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰ 1205()8x x dx =-⎰724= （Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3z z xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰ 当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰ 于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他. 其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则 1022(1)x x EX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰ 1142θ=+， 解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为 122X θ=-； （Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n ==+=+，而 1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++， 22251()481212DX EX EX θθ=-=-+， 于是222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠ 因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。
考研数学三(常微分方程与差分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．A．c[y1(x)一y2(x)]B．y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]C．c[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程2．[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．A．λ=1／2，μ1=1／2B．λ=一1／2，μ=一1／2C．λ=2／3，μ=1／3D．λ=2／3，μ=2／3正确答案：A解析：解一因λy1－μy2是y’+p(x)y=0的解，故(λy1－μy2)’+p(x)(λy1－μy2)=λ(y1’+p(x)y1)－μ(y2’+p(x)y2)=0．又y1’+p(x)y1=q(x)，y2’+p(x)y2=q(x)，故λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解，故(λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．解二y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy1+μy2也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2-y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程3．[2008年] 设函数f(x)连续，若其中区域Duv为图1．6．2．1中阴影部分，则A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：利用极坐标计算，其中积分区域Duv为Duv={(r，θ)|0≤θ≤v，1≤r≤u}，其中u，v均为F的两独立的变量．于是仅(A)入选．知识模块：常微分方程与差分方程填空题4．[2005年] 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为___________．正确答案：xy=2解析：解一所给方程为可分离变量方程．由xy’+y=0得到两边积分得到ln|y|=－ln|x|+lnc，即ln|xy|=lnc，故xy=c．又y(1)=2，故c=2．所求特解为xy=2．解二原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=c，由初始条件得c=2，所求特解xy=2．解三y’+(1／x)y=0．利用一阶齐次线性方程通解公式求解，得到由y(1)=2有c=2，y=2／x，即xy=2．知识模块：常微分方程与差分方程5．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的特解是y=___________．正确答案：1／x解析：所给方程属可分离变量的方程：两边积分有l|y|=－ln|x|+c1，即ln|y|+ln|x|=ln|yx|=c1，因而xy=±ec1=x．由y(1)=1＞0，可取x＞0，y＞0，由初始条件y(1)=1得到c=1，故满足初始条件的解为y=1／x．知识模块：常微分方程与差分方程6．[2007年]微分方程满足y｜x=1=1的特解为____________．正确答案：解析：设y=ux，则代入原方程得到从而即由y｜x=1=1得到c=－1／2．于是所求特解为(x／y)2=lnx+1．因y｜x=1=1＞0，故应取x＞0，y ＞0，所以即知识模块：常微分方程与差分方程7．[2013年] 微分方程y”－y’+y=0的通解为y=__________．正确答案：其中C1，C2为任意常数．解析：二阶齐次微分方程y”－y’+y=0所对应的特征方程为r2－r+=0即故其特征根为r1=r2=所以该齐次微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程8．[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y”+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．正确答案：e－2x+2ex解析：易知所给方程的特征方程为r2+r－2=(r+2)(r－1)=0，故特征根为r1=－2，r2=1，故其通解为y=C1e－2x+C2 ex ①因y(x)在x=0处取得极值，故y’(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到y’(x)｜x=0=[－2C1 e－2x+C2ex]｜x=0=－2C1+C2=0，y(0)=C1+C2=3．解之得C1=1，C2=2，故y=e－2x+2ex．知识模块：常微分方程与差分方程9．[2017年] 差分方程yt+1－2yt=2t的通解为___________．正确答案：yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．解析：yt+1－2yt=0的通解为Yt=C2t(C为任意常数)；设yt+1－2yt=2t 的特解为y*=at2t，代入得综上所述，yt+1－2yt=2t的通解为yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程10．[2001年] 某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2Wt－1+2解析：由题意得到Wt=Wt－1+0．2Wt－1+2，故差分方程是Wt=1．2Wt－1+2．知识模块：常微分方程与差分方程11．[2018年] 差方程△2yx-yx=5的通解为_________．正确答案：yx=C·2x－5解析：△2Yx=△(△yx)=△yx+1－△yx=(yx+2-yx+1)－(yx+1－yx)=y+2－2yx+1+yx，所以原方程可化为yx+2-2yx+1=5．易知，对应齐次方程yx+2-2yx+1=0的通解为yx=C·2x．设原方程的特解为yx*=A，代入原方程中得A=－5，所以原方程的通解为yx=C·2x－5．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2007年考研数学三真题及完整解析
2007年研究生入學考試數學三試題一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前の字母填在題後の括弧內.（1）當0x +→時，與x 等價の無窮小量是 （A ）1ex - （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）設函數()f x 在0x =處連續，下列命題錯誤の是：（A ）若0()limx f x x →存在，則(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，則(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，則(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，則(0)0f '=.[ ]（3）如圖，連續函數()y f x =在區間[][]3,2,2,3--上の圖形分別是直徑為1の上、下半圓周，在區間[][]2,0,0,2-の圖形分別是直徑為2の下、上半圓周，設0()()d xF x f t t =⎰，則下列結論正確の是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）設函數(,)f x y 連續，則二次積分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等於（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）設某商品の需求函數為1602Q P =-，其中,Q P 分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性の絕對值等於1，則商品の價格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲線()1ln 1e x y x=++の漸近線の條數為 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）設向量組123,,ααα線性無關，則下列向量組線性相關の是線性相關，則 (A) 122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）設矩陣211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，則A 與B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目標獨立重複射擊，每次射擊命中目標の概率為(01)p p <<，則此人第4次射擊恰好第2次擊中目標の概率為（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]（10）設隨機變數(),X Y 服從二維正態分佈，且X 與Y 不相關，(),()X Y f x f y 分別表示,X Y の概率密度，則在Y y =の條件下，X の條件概率密度|(|)X Y f x y 為 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） 3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________.（12）設函數123y x =+，則()(0)n y =________. （13） 設(,)f u v 是二元可微函數，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，則z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭滿足11x y==の特解為y =________.（15）設矩陣0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，則3A の秩為 . （16）在區間()0,1中隨機地取兩個數，則這兩個數之差の絕對值小於12の概率為 . 三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設函數()y y x =由方程ln 0y y x y -+=確定，試判斷曲線()y y x =在點(1,1)附近の凹凸性. （18） (本題滿分11分)設二元函數222,||||11(,),1||||2x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩，計算二重積分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本題滿分11分)設函數(),()f x g x 在[],a b 上連續，在(,)a b 內具有二階導數且存在相等の最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，證明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本題滿分10分)將函數21()34f x x x =--展開成1x -の冪級數，並指出其收斂區間.（21） (本題滿分11分)設線性方程組123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩與方程12321x x x a ++=-有公共解，求a の值及所有公共解.（22） (本題滿分11分)設三階對稱矩陣A の特徵向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A の屬於1λの一個特徵向量，記534B A A E =-+，其中E 為3階單位矩陣.（I ）驗證1α是矩陣B の特徵向量，並求B の全部特徵值與特徵向量； （II ）求矩陣B . （23） (本題滿分11分)設二維隨機變數(,)X Y の概率密度為2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >； (II) 求Z X Y =+の概率密度.2007答案1….【分析】本題為等價無窮小の判定，利用定義或等價無窮小代換即可. 【詳解】當0x +→時，1exx --，1112x x +-，()2111cos 22x xx -=， 故用排除法可得正確選項為（B ）.事實上，0001111lnln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x xx+++→→→++⋅+--+--==，或1lnln(1)ln(1)()()()1xx x x o x x o x x o x x x+=+--=+++=+-.所以應選（B ）【評注】本題為關於無窮小量比較の基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. .2…….【分析】本題考查可導の極限定義及連續與可導の關係. 由於題設條件含有抽象函數，本題最簡便の方法是用賦值法求解，即取符合題設條件の特殊函數()f x 去進行判斷，然後選擇正確選項.【詳解】取()||f x x =，則0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可導，故選（D ）.事實上，在(A),(B)兩項中，因為分母の極限為0，所以分子の極限也必須為0，則可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，則00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對於題設條件含抽象函數或備選項為抽象函數形式結果以及數值型結果の選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.3…….【分析】本題實質上是求分段函數の定積分. 【詳解】利用定積分の幾何意義，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==， 202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故選（C ）. 【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分の幾何意義比較簡便.4…….【分析】本題更換二次積分の積分次序，先根據二次積分確定積分區域，然後寫出新の二次積分. 【詳解】由題設可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，則01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故應選（B ）.【評注】本題為基礎題型. 畫圖更易看出.5…….【分析】本題考查需求彈性の概念. 【詳解】選（D ）.商品需求彈性の絕對值等於d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故選（D ）.【評注】需掌握微積分在經濟中の應用中の邊際，彈性等概念.6…….【分析】利用曲線の漸近線の求解公式求出水準漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然後判斷. 【詳解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲線の水準漸近線；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲線の垂直漸近線； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1l i m l i m l n 1e 0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲線の斜漸近線.故選（D ）.【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線の水準漸近線，垂直漸近線和斜漸近線の求法.注意當曲線存在水準漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意e x當,x x →+∞→-∞時の極限不同.7……..【分析】本題考查由線性無關の向量組123,,ααα構造の另一向量組123,,βββの線性相關性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，則123,,βββ線性相關；若0A ≠，則123,,βββ線性無關. 但考慮到本題備選項の特徵，可通過簡單の線性運算得到正確選項.【詳解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知應選（A ）.或者因為()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---線性相關，故選（A ）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中の向量並分別組成一個矩陣，然後利用矩陣の秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.8……【分析】本題考查矩陣の合同關係與相似關係及其之間の聯繫，只要求得A の特徵值，並考慮到實對稱矩陣A 必可經正交變換使之相似於對角陣，便可得到答案.【詳解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A の特徵值為3,3,0；而B の特徵值為1,1,0.所以A 與B 不相似，但是A 與B の秩均為2，且正慣性指數都為2，所以A 與B 合同，故選（B ）. 【評注】若矩陣A 與B 相似，則A 與B 具有相同の行列式，相同の秩和相同の特徵值. 所以通過計算A 與B の特徵值可立即排除（A ）（C ）.9……..【分析】本題計算貝努裏概型，即二項分佈の概率. 關鍵要搞清所求事件中の成功次數. 【詳解】p ＝｛前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故選（C ）.【評注】本題屬基本題型.10…….【分析】本題求隨機變數の條件概率密度，利用X 與Y の獨立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【詳解】因為(),X Y 服從二維正態分佈，且X 與Y 不相關，所以X 與Y 獨立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，應選（A ）.【評注】若(),X Y 服從二維正態分佈，則X 與Y 不相關與X 與Y 獨立是等價の.11….【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小の結論.【詳解】因為323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【評注】無窮小の相關性質：（1） 有限個無窮小の代數和為無窮小； （2） 有限個無窮小の乘積為無窮小； （3） 無窮小與有界變數の乘積為無窮小.12,……..【分析】本題求函數の高階導數，利用遞推法或函數の麥克老林展開式.【詳解】()212,2323y y x x '==-++，則()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【評注】本題為基礎題型.13…….【分析】本題為二元複合函數求偏導，直接利用公式即可. 【詳解】利用求導公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【評注】二元複合函數求偏導時，最好設出中間變數，注意計算の正確性.14…..【分析】本題為齊次方程の求解，可令y u x=. 【詳解】令yu x=，則原方程變為 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.兩邊積分得 2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C=⇒=，將11x y ==代入左式得 e C =，故滿足條件の方程の特解為 22e e x y x =，即ln 1x y x =+，1e x ->.【評注】本題為基礎題型.15……….【分析】先將3A 求出，然後利用定義判斷其秩.【詳解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【評注】本題為基礎題型.16……….【分析】根據題意可得兩個隨機變數服從區間()0,1上の均勻分佈，利用幾何概型計算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計算. 圖如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【評注】本題也可先寫出兩個隨機變數の概率密度，然後利用它們の獨立性求得所求概率.17……..【分析】由凹凸性判別方法和隱函數の求導可得.【詳解】 方程 ln 0y y x y -+=兩邊對x 求導得A1/2 11 /2Oyxln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，則1(1)2y '=. 上式兩邊再對x 求導得()2(2ln )0y y y y'''++=則1(1)8y ''=-，所以曲線()y y x =在點(1,1)附近是凸の.【評注】本題為基礎題型.18…….【分析】由於積分區域關於,x y 軸均對稱，所以利用二重積分の對稱性結論簡化所求積分. 【詳解】因為被積函數關於,x y 均為偶函數，且積分區域關於,x y 軸均對稱，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 為D 在第一象限內の部分.而1222D 1,0,012,0,01(,)d d d x y x y x y x y f x y x x yσσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222222220011011d d d d d d xx x x x x y x y x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()12ln 1212=++. 所以()D1(,)d 42ln 123f x y σ=++⎰⎰.【評注】被積函數包含22y x +時, 可考慮用極座標，解答如下：2212120,00,01(,)d d x y x y x y x y f x y x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=+⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰2ln(12)=+..19…….【分析】由所證結論()()f g ξξ''''=可聯想到構造輔助函數()()()F x f x g x =-，然後根據題設條件利用羅爾定理證明.【詳解】令()()()F x f x g x =-，則()F x 在[],a b 上連續，在(,)a b 內具有二階導數且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 內同一點c 取得最大值，則()()()0f c g c F c =⇒=， 於是由羅爾定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用羅爾定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 內不同點12,c c 取得最大值，則12()()f c g c M ==，於是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 於是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 於是由羅爾定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用羅爾定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【評注】對命題為()()0n fξ=の證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證ξ為(1)()n fx -の最值或極值點，利用極值存在の必要條件或費爾馬定理可得證；方法二：驗證(1)()n fx -在包含x ξ=於其內の區間上滿足羅爾定理條件..20….【分析】本題考查函數の冪級數展開，利用間接法. 【詳解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而 10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑，10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n nn n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收斂區間為 13x -<<.【評注】請記住常見函數の冪級數展開.21…..【分析】將方程組和方程合併，然後利用非齊次線性方程有解の判定條件求得a .【詳解】將方程組和方程合併，後可得線性方程組12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其係數矩陣22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 顯然，當1,2a a ≠≠時無公共解.當1a =時，可求得公共解為 ()T 1,0,1k ξ=-,k 為任意常數； 當2a =時，可求得公共解為 ()T 0,1,1ξ=-. 【評注】本題為基礎題型，考查非齊次線性方程組解の判定和結構.22……【分析】本題考查實對稱矩陣特徵值和特徵向量の概念和性質.【詳解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 則1α是矩陣B の屬於－2の特徵向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B の全部特徵值為2，1，1設B の屬於1の特徵向量為T 2123(,,)x x x α=，顯然B 為對稱矩陣，所以根據不同特徵值所對應の特徵向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程組可得B の屬於1の特徵向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 為不全為零の任意常數.由前可知B の屬於－2の特徵向量為 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不為零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，則011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【評注】本題主要考查求抽象矩陣の特徵值和特徵向量，此類問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為Ax x λ=の形式. 請記住以下結論：（1）設λ是方陣A の特徵值，則21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分別有特徵值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且對應の特徵向量是相同の.（2）對實對稱矩陣來講，不同特徵值所對應の特徵向量一定是正交の23…….【分析】（I ）可化為二重積分計算；(II) 利用卷積公式可得.【詳解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷積公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【評注】 (II)也可先求出分佈函數，然後求導得概率密度..（24） (本題滿分11分)設總體X の概率密度為1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12(,,X X …,)n X 為來自總體X の簡單隨機樣本，X 是樣本均值.（I ）求參數θの矩估計量θ；（II ）判斷24X 是否為2θの無偏估計量，並說明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判斷()?224E Xθ=. 【詳解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰， 令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰， 所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以 ()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故24X 不是2θの無偏估計量.【評注】要熟練掌握總體未知參數點估計の矩估計法，最大似然估計法和區間估計法.。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
2007年考研数学试题难度分析一（共五则）
2007年考研数学试题难度分析一（共五则）第一篇：2007年考研数学试题难度分析一2013年考研数学试题难度分析 2013-01-10 15:40各位考生好，2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学科目的考试已经落下帷幕，万学教育数学教师就今年考研数学题目难度帮考研同学的做第一时间的真题分析.2013年的考研数学题目中的高数部分还是强调了“三基本”，即数学考试的目的就是对基本概念、基本性质、基本原理的考察，这类考试性质没有变。
具体来说，从整体试卷来看，理工类(数学一、数学二)比经济类(数学三)的从计算量和难度略微高一点，平常我们上课当中着力强调的，应该说偏题怪题没有出现。
但今年的考题包括一些选择题，如果平常复习仅仅是死记硬背，对于知识点不能灵活掌握运用，这种题做起来会有困难。
作为考生来说，复习肯定要扎扎实实的，押题的话，我们正好改成重点，尤其是到了冲刺阶段，有所侧重的做题型复习也是有必要的，我们经常说要“抓重点”，抓住重点就可以提高复习的效率，要是侧重掌握某些题型、加深印象，这与全面复习掌握基础是不矛盾的。
我们认为押题和有所侧重是在打好基础的情况下侧重，这样才不会走偏，如果一个考生就想押题，让老师告诉你几道题就得高分，这样是不正确的，往往不会成功。
命题老师没有把前两年考过的一模一样的题拿过来，但很多题型是重复的，像是今年考的题型，以前都考过，但题目和以前不一样，如果是只会死记硬背的考生，这样的题你还是做不出来。
所以万学教育考研的数学老师建议同学们在复习数学时强调的是理解，只有理解了，不仅这个题能够做，自己还能够提出问题，我们经常说，提出问题比解决问题更加困难，道理就在这里，只有对这个问题复习得很透彻了，才能够提出问题，这更能够挑战一个人的智力。
对于刚刚参加完考试的同学来说，你们可以对对答案，自己估估分，做这个工作我认为是有必要的，等到权威完整的答案公布出来之前自己对一对。
万学教育官方网站在第一时间公布了数学一、数学二、数学三、数学农、经济类联考、管理类联考中数学部分试题及试卷答案，可供各位考生参考!第二篇：复旦大学金融硕士考研难度分析考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！复旦大学金融硕士考研难度分析一、复旦大学金融硕士考研难不难，跨专业的学生行不行?最近几年金融硕士很火，特别是清华、北大这样的名校。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B. F (3) 5 F (2)
4
C. F (3) 3 F (2) 4
D. F (3) 5 F (2) 4
1
（4）
设函数 f (x, y) 连续，则二次积分
dx
f (x, y)dy 等于（
sin x
）
2
1
A. dy
f (x, y)dx
0
arcsin x
1
B. dy
f (x, y)dx
证明：
（Ⅰ）存在 (a,b), 使得 f () g() ；
（Ⅱ）存在 (a,b), 使得 f ''( ) g ''( ).
（20）（本题满分 10 分）
将函数
f
(x)
x2
1 3x
4
展开成
x
1 的幂级数，并指出其收敛区间.
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
x1 x1
x2 x3 2x2 ax3
D. 若 lim
存在，则 f '(0) 存在
x0
x
（3） 如图.连续函数 y f (x) 在区间3, 2,2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间
2, 0,0, 2上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F (x)
x
f (t)dt, 则下列结论正确的是：（
）
0
A. . F (3) 3 F (2) 4
（13）设 f (u, v) 是二元可微函数， z f ( y , x ), 则 z y z ________. x y x y
dy
（14）微分方程
dx
y x
1 ( y )3 满足 2x
y
x1
1的特解为__________.
0 1 0 0
（15）设距阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
,
概率为 ( )
( A)3 p(1 p)2
(B)6 p(1 p)2
(C)3 p2 (1 p)2
(D)6 p2 (1 p)2
(10) 设随机变量 ( X ,Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， fx (x), f y ( y) 分别表示 X, Y 的概率密度， 则在 Y y 条件下， X 的条件概率密度 f X Y (x y) 为( )
2 1 1
1 0 0
（8）设矩阵 A 1 2 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B （ ）
1 1 2
0 0 0
（A）合同，且相似
(B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的
（Ⅰ）验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵 B. （23）（本题满分 11 分）
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
（Ⅰ）求 PX 2Y ；
f
(x,
y)
2 x y,0 0, 其他
x
1, 0
y
1.
（Ⅱ）求 Z X Y 的概率密度 fZ (z) .
2007 年考研数学（三）真题
一．选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是（ ）
A .1 e x
B.ln(1 x )
C. 1 x 1 D.1 cos x
（2） 设函数 f (x) 在 x 0 处连续，下列命题错误的是： ( )
A .若 lim f (x) 存在，则 f (0) 0 x0 x f (x)
C. .若 lim 存在，则 f '(0) 存在 x0 x
B. 若 lim f (x) f (x) 存在，则 f (0) 0
x0
x
f (x) f (x)
则
A3
的秩为_______.
0 0 0 0
1
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为________.
2
三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（17）（本题满分 10 分）
设函数 y y(x) 由方程 y ln y x y 0 确定，试判断曲线 y y(x) 在点（1，1）附近的凹凸性.
（18）（本题满分 11 分） 设二元函数
x2.
f
(
x,
y)
1 ,
x2 y2
x y 1. 1 x y 2.
计算二重积分 f (x, y)d . 其中 D (x, y) x y 2
D
（19）（本题满分 11 分）
设函数 f (x) ， g(x) 在 a,b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 f (a) ＝ g(a) ， f (b) ＝ g(b) ，
（24）（本题满分 11 分）
0
arcsin y
1
arcsin y
C.
dy
0
f (x, y)dx
2
1
arcsin y
D.
dy
0
f (x, y)dx
2
（5） 设某商品的需求函数为 Q 160 2 ，其中 Q ， 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性
的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）
A. 10
B. 20
C. 30
0
0
(1)
x1
4 x2
a2 x3
0
与方程x1 2x2 x3 a 1
(2)
有公共解，求a的值及所有公共解
（22）（本题满分 11 分）
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2,1 (1, 1,1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量.记
B A5 4 A3 E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
D. 40
（6） 曲线 y 1 ln(1 1
C. 2
）
D. 3
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是( )
（A）1 2 ,2 1,3 1
(B)2 1 ,2 3,3 1
（C）1 22 ,2 23,3 21
(D)1 22 ,2 23,3 21
（A） fX (x)
(B) f y ( y)
(C) fx (x) f y ( y)
(D) fx (x) fy (y)
二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）
lim
x
x3 x2 1 2x x3
(sin
x
cos
x)
________
.
（12）设函数 y 1 ，则 y(n) (0) _________ . 2x 3